Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 5 из 18

10.3. Функция f(x) называется непрерывной слева в точке a, если существует lim x?a?
f (x) = f (a).
10.2. Простейшие свойства функции, непрерывной в точке of continious on Из теоремы limit of function
7.3 (м of function
7.5 в џ
limit of function
7) легко следует следующая теорема continious in point
10.1. Если функция непрерывна в точке a, то она ограничена в некоторой е окрестности.
теорема continious in point
10.2. Если функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) ?= 0, то существует окрестность точки a, в которой функция f(x) сохраняет знак.
Доказательство.
Не ограничивая общности, можно считать, что f(a) > 0 (иначе переходим к функции Положим ? =
f (Тогда, согласно второму определению непрерывности в точке a функции, найдјтся такая окрестность точки a, во всех точках x которой выполнено неравенство |f(x) ? f(a)| < ? =

f (то есть ?
f (a)
2
< f (x) ? f (a) <
f (Прибавив ко всем трјм частям последнего неравенства получим 2
f (a) > f (x) >
f (a)
2
> то есть функция f(x) остајтся положительной (сохраняет знак) во всей найденной окрестности точки a. Теорема continious in point
10.2 доказана. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного двух функций Из теорем limit of function
7.16 
limit of function
7.19 (см. п and product on limits of functions
7.7 в џ
limit of function
7 непосредственно вытекают следующие утверждения:
Tеорема continious in point
10.3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то и их сумма f(x) + также непрерывна в точке a.
Tеорема continious in point
10.4. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то и их разность также непрерывна в точке a.
Tеорема continious in point
10.5. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то и их произведение f (также непрерывно в точке a.
26

Tеорема continious in point
10.6. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a и знаменатель g(a) ?= то и их частное f (также непрерывнo в точке a.
10.4. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложной функции (суперпозиции функций of Теорема continious in point
10.7 (переход к пределу под знаком непрерывной функции. Если существует lim x?a g(x) = l и функция f(y) непрерывна в точке l, то суцествует и lim x?a f (g(x)) = f (l) = f (lim x?a То есть знак предела можно вносить под знак непрерывной функции.
Доказательство.
Если функция f(y) непрерывна в точке l, то, согласно второму определению непрерывности функции в точке (см. п cont point
10.1) для любого положительного ? найдјтся число ? > 0 такое, что при всех удовлетворяющих условию ? l| < ?
(41)
s02.10hc выполнено неравенство (y) ? f (l)| < ?.
(42)
s03.10hc
A так как lim x?a g(x) = то, по определению Коши (см.
Гейне и Коши в џ
limit of function
7) для найденного положительного
?
существует число ? > 0 такое, что при всяком x, удовлетворяющего условиями имеет место неравенство |g(x) ? l| < ?. Таким образом, значения функции y = g(x) удовлетворяют условию (
s02.10hc
41) и поэтому для y = g(x) (то есть при всех x, удовлетворяющих условиям (
s04.10hc
43) должно быть выполнено неравенство (
s03.10hc
42), то есть |f(g(x))?f(l)| < ?. Последнее неравенство, по определению
Коши (см.
Гейне и Коши в џ
limit of function
7) и означает, что lim x?a f (g(x)) = f (Теорема continious in point
10.7 доказана.
Простым следствием теоремы continious in point
10.7 является следующая теорема continious in point
10.8 Если функции g(x) непрерывна в точке a, a f(y) непрерывна в точке g(a), то их суперпозиция f(g(x)) непрерывна в точке Или непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией on segment
11 Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Непрерывность функции на интервале и на отрезке on segment
11.1. Определение непрерывных на интервале и на отрезке функций cont on Определение continious on segment
11.1. функция f(x) называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна во всякой его точке.
Определение continious on segment
11.2. функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она. непрерывна в интервале (a, b);
2. непрерывна слева в правом конце отрезке (точке b);
3. непрерывна справа в левом конце отрезка (точке Множество непрерывных на отрезке обозначается C(a, b), в частности, запись f(x) ? C(a, означает, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. В дальнейшем мы будем пользоваться такой записью

11.2. Две теоремы Вейерштрасса.
Вейерштрасс Теорема continious on segment
11.1 (Вейерштрасс. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нјм.
Контрпример continious on segment
11.1. Функция f(x) =
1
x непрерывна в интервале (0, 1), однако неограничена на нм. Поэтому для интервала (a, b) теорема continious on segment
11.1 Вейерштрасса становится неверной.
Доказательство теоремы continious on segment
11.1 Вейерштрассa.
Доопределим функцию f(x) вне отрезка [a, b], положив f(x) = f(a), если x < a и f(x) = f(b) для x > Новая функция в точках a и b будет непрерывна в обе стороны (докажите это самостоятельно).
По теореме continious in point
10.1 (см of continious on point
10.2 в џ
continious in point
10) во всякой точке отрезка [a, b] существует окрестность этой точки,
в которой функция f(x) ограничена (она ограничивается чмслом, зависящим от точки отрезка, и поэтому для интервала такое доказательство не проходит. Таким образом, отрезок [a, b] покрыт системой интервалов, являющихся окрестностями точек, в которых функция f(x) ограничена (для разных интервалов ограничиваюшие функцию f(x) числа, вообще говоря, различаются. По теореме
Гейне-Бореля (см. п/п.
finet unet
1.4.8 в џ
sets

1) выделяем конечное покрытие [a, b] ?
n
?
k=1
I
k и для любого x ? I
k найдјтся такое число что |f(x)| ? M
k
Тoгда для всякого x ? [a, b] имеет место оценка (x)| ? M = max(M
1
, M
2
, . . . , то есть функция f(x) ограничена на всјм отрезке [a, b]. Теорема continious on segment
11.1 Вейерштрасса доказана.
Теорема continious on segment
11.2 (Вейерштрасс. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на нм наибольшее и наименьшее значения.
Доказательство.
Покажем для наибольшего значения для наименьшего значения доказывается аналогично впрочем, можно перейти и к функции Итак, по теореме continious on segment
11.1 Вейерштрасс функция f(x) на отрезке [a, b] ограничена. Пусть s = sup
[a,b]
f (м. oпределения sets
1.27 и sets
1.28, a также теорему sets
1.1 в п/п.
sup and inf
1.4.6 Допустим противное, то есть f(x) ?= s ни при каком x ? [a, b]. Тогда функция (x)
> является непрерывной на отрезке [a, b] и по теореме continious on segment
11.1 Вейерштрасс найдјтся такое число M, что при всех x ? [a, b] выполнено неравенство (x)
< то есть s ? f(x) или f(x) < s Таким образом, число s?
1
M
< s также ограничивает функция f(x) на отрезке [a, b] сверху, что противоречит определению верхней грани как самому маленькому из чисел,ограничивающих функцию сверху. Полученное противоречие и доказывает теорему continious on segment
11.2 Вейерштрасс. Свойство непрерывной на отрезке функции принимать все свои промежуточные значения (теорема Коши values intermediate values
11.3
Tеоремa continious on segment
11.3 (Koши).
Пусть f(x) ? C(a, b), m = min
[a,b]
f (и M = max
[a,b]
f (Тогда для любого y
0
? [m, M ]
найдјтся (возможно и не одно) число x
0
? [a, такое, что f(x) = Для доказательства теоремы Коши сначала покажем, что справедлива следующая лемма continious on segment
11.1. Пусть f(x) ? C(a, b) и f(a)f(b) < 0 (то есть на концах отрезка [a, b] функция принимает значения разных знаков. Тогда существует точка x ? [a, b], в которой f(x) = Доказательство леммы continious on По теореме continious in point
10.2 (см. п of continious on point
10.2 в џ
continious in point
10) для всякой точки отрезка [a, b] найдјтся окрестность этой точки, в которой функция f(x) охраняет знак (как эту окрестность получить на концах отрезка,
пояснено при доказательстве теоремы continious on segment
11.1 Вейерштрассa).
Таким образом, отрезок [a, b] покрыт системой интервалов, являющихся окрестностями точек,
в которых функция f(x) сохраняет знак По теореме Гейне-Бореля (см. п/п.
finet unet
1.4.8 в џ
sets
1) выделяем

конечное покрытие [a, b] Занумеруем эти интервалы в порядке возрастания их центров, а
лишние  уберјм. Обозначим за x центры интервалов Тогда знак функции f(x) в интервале
I
2
совпадает со знаком функции в интервале и, следовательно совпадает со знаком функции в точке a, ибо интервалы и имеют общие точки (иначе не было бы покрытия отрезка [a, Рассматривая далее последующие интервалы, получаем, что signf(a) = signf(x
1
) = signf (x
2
) =
. . . = signf (x n
) = signf (что противоречит условию, по которому signf(a) ?= signf(b). (функция signx определена в контрпримере limit of function
7.1 п functions
7.9 в џ
limit of function
7). Полученное противоречие и доказывает лемму continious on Доказательство теоремы Коши.
Пусть ?(x) = f(x) ? y
0
, f (x
1
) = m и f(x
2
) = то есть минимальное значение принимается в точке x
1
,
a максимальное  в точке Тогда непрерывная на отрезке [x k
, x j
] ? [a, b]
( k, j ? {1, и x k
< x функция ?(x) на концах отрезка [x k
, x принимает значения разных знаков. Поэтому, по лемме continious on segment
11.1, найдјтся точка x
0
? [x k
, x j
] ? [a, в которой 0 = ?(x
0
) = f (x
0
) ? то есть f(x
0
) = Теорема Коши доказана. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора Определение continious on segment
11.2. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве
A,
если для любого положительного ? найдјтся такое число ? > 0, что при всех x
1
, x
2
? таких, что |x
1
? x
2
| < выполнено неравенство |f(x
1
) ? f (x
2
)| < Контрпример continious on segment
11.2. Функция f(x) =
1
x непрерывна в интервале (0, 1), однако равномерно непрерывной на нм не является, ибо f(
1 2n
) ? f (
1
n

) = n n??
?? хотя и 2n n??
?? Контрпример continious on segment
11.3. Функция f(x) = sin
1
x непрерывна в интервале (0, 1) и даже ограничена на нм, однако равномерно непрерывной на (0, 1) не является, ибо f (
1
?
2
+2?n
) ? f (
1
?
?
2
+2?n
) = 2,
a
1
??
2
+2?n
?
1
?
2

+2?n n??
?? То есть для ? < 2 условие равномерной непрерывности не выполняется.
Tеоремa continious on segment
11.4 (Kантор). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], равномерно непрерывна на нјм.
Доказательство.
Берјм произвольное число ? > 0. Тогда для всякой точки y ? [a, b] найдјтся ? = ?(y) > 0 такое,
что для любого x, удовлетворяющему условию |x ? y| < ? выполнено неравенство (x) ? f (y)| Положим ? ив каждой точке отрезка [a, b] строим окрестность радиуса ?(x). Получилось покрытие отрезка [a, b] системой интервалов, откуда, по теореме Гейне-Бореля, выделяем конечное покрытие. Пусть ?? самый маленький из радиусов окрестностей полученного конечного покрытия.
Пусть точка попала в некоторую окрестность с центром в точке Тогда x
0
| < ?(x
0
) < ?(x
0
)
(45)
s03.11hc и поэтому, ввиду неравенства (
s01.11hc
44)
|f (x
1
) ? f (x
0
)| Но если |x
2
? x
1
| < то, ввиду неравенств (
s03.11hc
45),
|x
2
? x
0
| = |(x
2
? x
1
) ? (x
1
? x
0
)| ? |x
2
? x
1
| + |x
1
? x
0
| < ? + ?(x
0
) ? 2?(x
0
) = и тогда, ввиду (
s01.11hc
44)
|f (x
2
) ? f (x
0
)| А из неравенств (
s02.11hc
46) и (
s04.11hc
47) получаем (x
2
) ? f (x
1
)| = |(f (x
2
) ? f (x
0
)) ? (f (x
1
) ? f (x
0
))| ? |f (x
2
) ? f (x
0
)| + |f (x
1
) ? f (x
0
)| <
?
2
+
?
2
= ?.
29

Теорема Кантора доказана inv func
12 Существование и непрерывность обратной функции. Cуществование и непрерывность обратной функции inv Теорема cont inv func
12.1. Пусть функция f(x) непрерывна и строго возрастает на отрезке [a, b]. Тогда существует обратная функция, которая определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке (a), f (Убывающей функция также имеет обратную, которая определена, непрерывна и убывает на отрезке. Таким образом, всякая непрерывная и строго монотонная на отрезке [a, b] функция имеет обратную.
Теорему мы будем доказывать для возрастающей функции случай для убывающей функции можно свести к возрастающей заменой f(x) на Напомним, что обратная функция определяется изходя из решения уравнения (
s1.2hc
12), которое должно иметь (относительно неизвестной x) единственное решение (см. определение functions
2.9 в п functions
2.4 џ
functions
2, уравнение) определено в конце п of functions
2.1 По теореме continious on segment
11.3 (Коши) имеет решение. Атак как функция строго возрастает, то это решение единственно, ибо если f(x
1
) = f (x
2
) = y и x
1
?= тоне ограничивая общности можно считать, что x
1
< Тогда, ввиду строгого возрастания функции, должно быть f(x
1
) < f (что противоречит последнему равенству (f(x
1
) = f (x
2
) = Поэтому обратная функция существует и определена на отрезке [f(a), Обратную функцию будем обозначать как
?(y).
Причјм, если y = f(x), то x = ?(y) для тех же x и Покажем возрастание функции Допустим, что функция ?(y) возрастающей не является, то есть для некоторых и y
2
таких,
что y
1
< будет x
1
= ?(y
1
) ? x
2
= Тогда, ввиду возрастания функции f(x), должно быть y
1
= f (x
1
) ? f (x
2
) = что противоречит исходному предположению (y
1
< Таким образом,
возрастание обратной функции ?(y) доказано.
Докажем теперь непрерывность обратной функции ?(y). Доказывать будем для точек интервала (a), f (на концах отрезка [f(a), f(b)] доказательство осуществляется аналогично и читателю предлагается провести его самостоятельно.
Итак, берјм произвольную точку y
0
? (f (a), f (Обозначим зато есть y
0
= f (Пусть задано любое положительное число ?. Положим x
1
= и x
2
= Тогда x
1
< x
0
< Обозначим за y
1
= f (и y
2
= f (то есть) = x
1
= x
0
? ? < x
0
= ?(y
0
) < x
0
+ ? = x
2
= ?(y
2
)
, a также y
1
< y
0
< Пусть теперь ? = min(y
0
? y
1
, y
2
? y
0
) > ввиду неравенства (
s03.12hc
50). Тогда y
0
? ? ? y
0
? (y
0
? y
1
) = и y
0
+ ? ? y
0
+ (y
2
? y
0
) = и для любого y, такого, что |y ? y
0
| < то есть y
0
? ? < y < y
0
+ из возрастания функции ?(y) получим) ? ? = x
0
? ? = x
1
= ?(y
1
) ? ?(y
0
? ?) < ?(y) < ?(y
0
+ ?) ? ?(y
2
) = x
2
= x
0
+ ? = ?(y
0
) + Неравенство (
s04.12hc
51) означает, что) ? ?(y
0
)| < ?
, если |y ? y
0
| < ?,
(52)
s05.12hc
30

то есть непрерывность функции ?(y) во всякой точке интервала (f(a), f(b)) доказана.
При доказательстве мы неявно предполагали, что ? достаточно мало, то есть точки x
0
? и x
0
+ лежат в интервале (a, b). Если это не выполняется, то мы уменьшим число ? так, чтобы точки x
0
? и x
0
+ попали бы в интервал (a, b) и доказываем неравненство (
s05.12hc
52) для уменьшенного ?. Тогда это неравенство, естественно, будет справедливо и для большего числа ?.
џ
cont element func
13 Непрерывность элементарных функций. Непрерывность элементарных функций element Определение cont element func
13.1. Oсновной элементарной функцией называется одна из следующих. f(x) ? const
2. f(x) ? x
3. f(x) = sin x
4. f(x) = cos x
5. f(x) = tg x
6. f(x) = ctg x
7. f(x) = arcsin x
8. f(x) = arccos x
9. f(x) = arctg x
10. f(x) = arcctg x
11. многочлен и отношение многочленов. степенная функция f(x) = x
?
13. показательная функция f(x) = a x
14. логарифмическая функция f(x) = log Определение cont element func
13.2. Элементарной называется функция, получаемая из основных элементарных с поощью коннечного числа операций сложение, вычитания, умножения, деления и супер- позиции.
В частности, функция f(x) = x является элементарной, ибо x
x
= a log a
x x
= a x log Теорема cont element func
13.1. Элементарная функция непрерывнa во всякой точке, где она определена.
Ввиду теорем continious in point
10.3 
continious in point
10.7 (см. пи п of superposition
10.4 в џ
continious in point
10) теорему cont element func
13.1 достаточно доказать только для основных элементарных функций.
Hепрерывность первой и второй из основных элементарных функций доказана в п examples
7.2 в џ
limit of function
7 (см.
примеры limit of function
7.1 и limit of function
7.2). Непрерывность функции f(x) = cos x доказана в џ
first and second good limits
8, п good limit
8.1, равенство (
s 5.8hc
??). Непрерывность функции f(x) = sin x получается из непрерывности f(x) = cos x и формулы sin x = Из теоремы continious in point
10.6 получаем далее непрерывность функций f(x) = tg x =
sin x cos x и f(x) = ctg x =
cos x sin x
A из них, применяя теорему cont inv func
12.1, показываем непрерывность обратных тригонометрических функций. Многочлен получается из функций f(x) ? const и f(x) = x c помощью конечного- числа операций сложения, вычитания и умножения, и поэтому он является непрерывной функцией на всей вещественноя прямой.
Осталось рассмотреть степенную, логарифмическую и показательную функции.
Логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными, и поэтому, по теореме cont inv func
12.1 виз непрерывности одной из них следует непрерывность другой. Мы будем доказывать непрерывность логарифмической функции. А из непрерывности логарифмической и показательной функций будет следовать и непрерывность степенной функции, ибо справедлива формула x
?
= a log a
x
?
= a
? log Итак, нам осталось доказать непрерывность логарифмической функции

Будем рассматривать натуральный логарифм ln x, то есть логарифм по основанию e, где e число, определјнное в п e
4.5 џ
limit
4. Тогда ненпрерывность log a
x будет следовать из непрерывности ln x и формулы log a
x =
ln x ln То есть осталось доказать непрерывность функции f(x) = ln x во всякогй точке x > Сначала докажем неравенство ln(1 + y) ? 2y
, если y > 0.
(53)
s01.13hc
(вообще-то справедливо неравенство ln(1 + y) ? y для любого y. Однако вывод последнего неравенства требует длительных исследований и при его доказательстве используются материалы последующих глав. Нам же пока хватит неравенства (В џ
first and second good limits
8, п good limit
8.2, неравенство (
s10.08hc
36) было показано, что (1 +
1
x
)
x
? (1 +
1
n
)
n+1
A в џ
limit
4, п e
4.5, неравенство) получено, что b n+1
? b n
? b
1
= где b n
= (1 +Положив y из предыдущих двух неравенств находим, что + y)
1
y
? 4 = 2 2
< Прологарифмировав далее (
s02.13hc
54), получим, что ln(1+y)
y
< Тогда неравенство (
s01.13hc
53) вытекает из последнего после домножения обеих его частей на Приступаем к доказательству непрерывности функции f(x) = ln x во всякой точке x
0
> Итак, пусть задано любое положительное число ?. Положим = min(
x
0 Будем оценивать разность | ln x ? ln при |x ? x
0
| < Для этого рассмотрим следующие два случая x > и x < x
0 1. x > Тогда ln x ? ln x
0
| = ln x ? ln x
0
= ln x
x
0
= ln(1 + (
x x
0
? 1)) = ln(1 +Последнюю величину оцениваем по неравенству (
s01.13hc
53):
| ln x?ln x
0
| = ln(1+
x?x
0
x
0
) ? 2
x?x
0
x
0
<
2
x
0
? ?
2
x
0
?x
0 4
=
?
2
< Мы показали, что при |x?x
0
| < и x > справедливо неравенство ln x ? ln x
0
| < ?.
(55)
s03.13hc
2. Рассмотрим теперь случай x < x
0
,
a также, по условию на число x, |x ? x
0
| < Тогда, по выбору числа ?,
x > x
0
? ? ? x
0
?
x
0 2
=
x
0 2
(56)
s04.13hc
Тепрь оцениваем разность ln x ? ln x
0
| = ln x
0
? ln x = ln x
0
x
= ln(1 + (
x
0
x
? 1)) = ln(1 +
x
0
?x Последнюю величину оцениваем по неравенству (
s01.13hc
53):
| ln x ? ln x
0
| = ln(1 +
x
0
?x x
) ? Применяя к знаменателю последней дроби x неравненство (
s04.13hc
56) и используя определение числа ?, получаем, что ln x ? ln x
0
| ?
2
x
? ?
4
x
0
?x
0 то есть неравенство (
s03.13hc
55) установлено и для x < Непрерывность функции f(x) = ln x, и,
следовательно, теорема cont element func
13.1 доказаны Точки разрыва и их классификация. Точки разрыва и их классификация. Ограниченные и неограниченные разрывы Определение discontinuity
14.1. Функция f(x) в точке a имеет ограниченный разрыв, если в заданной точке a она не непрерывна, однако в некоторой окрестности этой точки a функция является ограниченной. Соответственно

Определение discontinuity
14.2. Функция f(x) в точке a имеет неограниченный разрыв, если во всякой окрестности этой точки a функция f(x) неограничена.
14.2. Классификация ограниченных разрывов (разрывы первого и второго рода and second Определение discontinuity
14.3. Функция f(x) в точке a имеет устранимый разрыв, если существует lim x?a f (x) ?= f (Определение discontinuity
14.4. Функция f(x) в точке a имеет скачок ( или неустранимый разрыв первого рода, если существуют оба односторонних предела, но lim x?a+