Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
= 1 + (k + 1)? + k? 2 ? 1 + (k + Лемма 1.1 (то есть неравенство ( s8.1hc 11)) доказано. Функции и способы их задания Функции и способы их задания. Функции и способы их задания. Классификация функций. Определение функции как соответствия между множествами def of Пусть X и Y некоторые множества на вещественной прямой, элементы в которых будем обозначать x ? и y ? Y и мeжду этими множествами задана некоторая взаимосвязь. Рассмотрим это наследующих восьми примерах. Пример 2.1. X = R, Y = R, y = Пример 2.2. X = (??, ?) = R, Y = [0, ?), y = Пример 2.3. X = (??, ?) = R, Y = [0, ?), y = Пример 2.4. X = (0, ?), Y = (0, ?), y? объјм прямоугольноно параллелепипеда со стороной x (то есть y = Пример 2.5. X = (0, ?), Y = (0, ?), y? площадь сферу радиус x (то есть y = Пример 2.6. X = [?1, 1], Y = [?1, 1] и точки x и y лежат на окружности единичного радиуса с центром вначале координат (тоестьx 2 + y 2 = Пример 2.7. X = [0, 1], Y = [?1, 1] и точки x и y связаны соотношением x 2 + y 2 = Пример 2.8. X = [?1, 1], Y = [0, 1] и точки x и y связаны соотношением x 2 + y 2 = 1. 7 Определение 2.1. Говорят, что между множествами X и и Y задано функциональное соответствие f (запись f : X ?? Y), и при этом y является функцией от x (запись = f(x)), если всякому точке x ? X соответствует одно и только одно число y ? Определение 2.2 при этом множество X называется областью определения функции y = f (x), a множество Y ? областью е дoпустимых значений. В примерах 2.1 2.5 и 2.8 y является функцией отв примере 2.8 y = ? 1 ? x 2 ), a в примерах и 2.7 функционального соответствия нет, ибо, например, точке x = 4 соответствует два значения y : y 1 = 3 и y 2 = ? 3 Определение 2.3 Величина x называется аргументом функции y = Определение 2.4 Величина y = f(x) называется образом x для функции (при отображении (x), a x? прообразом элемента y для функции (при отображении) y = Определение 2.5. Полным прообразом числа y для функции (при отображении y = называются все значения аргумента x ? X такие, что y = f(x) то есть все решения (относительно неизвестной x при заданном значении y уравнения y = f (Например, полным прообразом значения y = 4 для функции из примера 2.8 являются два числа и x 2 = ? 3 5 2.2. График функции. graph Определение 2.6. Графиком функции y = f(x) называется множество точек на двумерной плоскости с координатами (x, f(x)). 2.3. Способы задания функции. task Различают три основных способа задания функций. aналитический посредством алгебраической формулы. графический рисуется некая линия, являющаяся графиком функции. При этом всякая вертикальная прямая должна пересекать эту линию ровно водной точке, иначе, согласно определению, данный график функцию не задајт; 3. табличный c помощью таблиц, если область определения X является конечным множеством тогда первый столбей таблицы аргументы функции, а второй столбец их образы. Иногда при табличном методе задания функции определяют и значения функции ив не заданных в таблице точках с помощью интерполяции (линейной или иной). Определение Для аналитического метода задания функций е естественной областью определения называется множество вещественных чисел, при которых задаваемая функцию формула имеет смысл. Впрочем, могут быть и другие методы задания функций. Хотя бы для функции Дирихле) = ? 1 , если x рациональное число 0 для иррациональных x. (13) s2.2hc 2.4. Суперпозиция функций. Обратные функции Определение 2.8. Суперпозицией (или композицией) функций называется их последовательные действия (как функция от функции). Например, sin(2 x ), 2 sin x , cos 2 x = (cos(x)) 2 , Эта операция ассоциативна, ноне коммутативна (например, 2 sin x ?= Иногда заданную операцией суперпозиции функцию называют слoжной функцией. Хотя сложными могут быть и такие функции log 2 (2 x ) ? x или x. 8 Определение Функция x = называется функцией, обратной к функции y = f (если f ?1 (f (x)) ? x и f(f ?1 (y)) ? При этом сами функции f(x) и f ?1 (y) it называются взаимно обратными. То есть обратная функция является решением (относительно x при заданных переменных значениях) уравнения ( s1.2hc 12)). При этом это уравнение, согласно определению 2.1, должно иметь единственное решение. Неявное задание функций Определение 2.10. Говорят, что функция у = f(x) задана неявно, если она определяется исходя из решения некоторого уравнения от двух неизвестных x и y. При этом, согласно определению, это уравнение относительно y при всяком заданном x должно иметь единственное решение. Примеры неявно заданных функций x 2 + y 5 = или x 8 ? 4 x+y 3 = 1. 2.6. Ограниченные и неограниченные функции and unbounded Определение 2.11. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X, если множество е значений на X : Y = {y = f(x)|x ? X} является ограниченным. Аналогично определяются функции, ограниченные на X сверху и снизу. (см. определения ив, п/п bounded sets 1.4.5 Пример 2.9 Функция y = x в интервале (0, 1) (а также на отрезке [0, 1]) ограничена sup (0,1) x = и inf (0,1) = хотя (в отличие от отрезка [0, 1]) эта функция в интервале (0, 1) наибольшего значения не имеет. Контрпример 2.1. Функция y = 1 x в интервале (0, 1) не ограничена (она неограничена сверху, хотя и ограничена снизу и inf (0,1) = однако наименьшего значения в интервале (0, 1) эта функция не имеет. Контрпример 2.2 Функция y = ctg x в интервале (0, ?) не ограничена ни сверху, ни снизу. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛЫ Числовая последовательность. Числовая последовательность sequence 3.1. Определение числовой последовательности of Определение 3.1. Последовательностью (числовой последовательностью) называется функция натурального аргумента либо такое бесконечное множество действительных чисел, все элементы которого занумерованы. Обозначение последовательности {x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . .} = { x Примеры числовых последо- вательностей: Пример 3.1. {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . , 1 n , . . .} = пример 3.2. { 1 2 , 1 4 , 1 8 , . . . , 1 2 n , . . .} = { 1 Пример 3.3. {1, 1 3 , 1 9 , . . . , 1 3 n , . . .} = { 1 нумерация этой последовательности начинается c 9 n = Пример 3.4. {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 2n ? 1, . . .} = {2n + 1} ? n=0 все нечјтные положительные числа (нумерация этой последовательности начинается c n = Пример 3.5. {0, 2, 4, 6, . . . , 2n, . . .} = {2n} ? n=0 все чјтные неотрицательные числа (нумерация этой последовательности начинается c n = Пример 3.6. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .} все простые числа. Пример 3.7. {1, ?1, 1, ?1, 1, ?1, . . .} = {(?1) n } ? n=0 = {cos нумерация этой последовательности начинается c n = Пример 3.8. {1, ? 1 2 , 1 3 , ? 1 4 , . . . , (?1) n?1 n , . . .} = Пример 3.9. {1, 2, 1 3 , 4, 1 5 , 6, 1 7 , 8, . . . , } = { 1?(?1) n 2 · 1 n + 1+(?1) n 2 · Пример 3.10. {1, 1, 1, 1, . . . , 1, . . .} (все элементы этой последовательности x n ? Определение 3.2. Последовательность назовјм стационарной, если все е элементы не меняются и равны некоторому вещественному числу. Пример 3.10 является примером стационарной последовательности. Определение 3.3. Последовательность назовјм квазистационарной, если все е элементы, начиная с некоторого номера, не меняются и совпадают с некоторым действительным числом. Ограниченные последовательности sequences Определние 3.4. Последовательность {x называется ограниченной, если ограничено само множество {x Аналогично определяются последовательности, ограниченные сверху и снизу (см. определения ив п/п bounded sets 1.4.5 Например, ограниченными являются последовательности примеров 3.1, 3.2, 3.3, 3.7, 3.8 и В примерах 3.1 и 3.3 наибольшее значение равно единице, наименьшего значения нет, нижняя грань равна нулю. В примере 3.2 наибольшее значение равно 1 | 2, наименьшего значения нет, нижняя грань равна нулю. В пример 3.7 наибольшее значение равно единице, a наименьшеe В пример 3.8 наибольшее значение равно единице, a наименьшеe ? 1 В пример 3.10 наибольшее и наименьшее значения совпадаюь и равны единице. Последовательность примера 3.4 неограничена; она ограничена снизу и е наименьшее значение равно единице, ноне ограничена сверху. Последовательность примера 3.5 неограничена; она ограничена снизу и е наименьшее значение равно нулю, ноне ограничена сверху. Последовательность примера 3.6 неограничена; она ограничена снизу и е наименьшее значение равно двум, ноне ограничена сверху. Последовательность примера 3.9 неограничена; она ограничена снизу, хотя не имеет наименьшего значения, а е нижняя грань равна нулю, ноне ограничена сверху. Операции над последовательностями. Операции такие же, как над действительными числами, применяемые почленно к каждым из оперендов. Надо лишь таких занумеровать, чтобы они начинались с одного итого же номера. Например, последовательность примера 3.3 можно записать следующими способами 3 n } ? n=0 = { 1 3 n?1 } ? n=1 Тогдa {x n } ? n=1 + {y n } ? n=1 = {x n + y n } ? n=1 ; {x n } ? n=1 ? {y n } ? n=1 = {x n ? y n } ? n=1 ; {x n } ? n=1 · {y n } ? n=1 = {x n · y n } ? n=1 ; {x n } ? n=1 {y n } ? n=1 = { x n y n } ? n=1 10 Например, последовательность примера 3.8 является произведением последовательностей примеров и 3.7. џ limit 4 Предeл последовательности. Предел последовательности. Признаки существования предела. Единственность предела. Определение предела и его единственность of limit def of Определение limit 4.1. Число l называется пределом последовательности {x запись l = lim n?? x если для любого положительного числа ? найдјтся такое число N, что для всех n > выполнено неравенство n ? l| < Определение 4.2. Если предел последовательности существует, то она называется сходящейся в противном случае расходящейся. Теорема 4.1. Если lim n?? x существует, то он единственен. Доказательство. Пусть и l 2 ?= два числа, удовлетворяющих неравенству ( s1.4hc 14). Положим Тогда для l 1 найдјтся такое, что для всех n > выполнено неравенство n ? l 1 | < |l 1 ? l 2 3 (15) s3.4hc и существует такое, что при любом n > N 2 |x n ? l 2 | < |l 1 ? l 2 | 3 (16) s4.4hc Возьмјм теперь любое целое n > max(N 1 , Тогда для x имеют место как ( s3.4hc 15), таки. Из этих неравенств следует, что l 2 | = |(l 1 ? x n ) ? (l 2 ? x n )| ? |x n ? l 1 | + |x n ? l 2 | < |l 1 ?l 2 | 3 + |l 1 ?l 2 | 3 = 2 3 |l 1 ? то есть < 2 Полученное противоречие и доказывает теорему о единственности предела (теорему 4.1). 4.2. Критерий Коши. Формулировка и доказательство необходимости Коши criterion Коши 4.2 Теорема (критерий Коши. Последовательность {x сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ? найдјтся число N такое, что для всех n > N и m > выполнено неравенство n ? x m | < Переобозначив n = min(n, m), a m = max(n, m) ? min(n, m), неравенство ( s2.4hc 17) можно сформулировать так для любого n > N и всякого m > 0 справедливо неравенство |x n+m ? x n | < Доказательство необходимости критерия Коши. Берјм любое ? > 0. Тогда и Для этого числа ( ? 2 ) найдјтся N такое, что для всех m > и n > N выполнены неравенства |x n ? l| и |x m ? l| < ? 2 (l = lim n?? x который, по условию существует. Тогда и n ? x m | = |(x n ? l) + (l ? x m )| ? |x n ? l + |x m ? l| < ? 2 + ? 2 = Неравенство ( s2.4hc 17) и, следовательно, необходимость критерия Коши доказаны. Ограниченность сходящейся последовательности. Разбор примеров. Контрпример. bounded of convergence bounded of Теорема 4.2. Если последовательность {x сходится, то она ограничена. Доказательство Итак, существует l = lim n?? x Положим ? = 1. Тогда, ввиду неравенства ( s1.4hc 14), найдјтся такое число N (несколько уменьшив, его можно считать целым, что для всех n > N выполнено ннеравенство |x n ? l| < или ?1 < x n ? l < то есть l ? 1 < x n < l + Тогда число m = min(x 1 , x 2 , . . . , x N , l ? ограничивает последовательность {x снизу, а число M = max(x 1 , x 2 , . . . x N , е ограничивает сверху. Теорема 4.2 доказана. Разберјм теперь примеры 3.1 Последовательности примеров 3.1, 3.2 и 3.3 имеют нулевые пределы. Рассмотрим, к примеру Для любого положительного ? берјм N Тогда для любого n > N получим 0| = 1 n < 1 N < то есть для числа l = 0 неравенство ( s1.4hc 14) выполняется. Читателю предлагается самостоятельно установить, что последовательности примеров 3.2 и 3.3 имеют нулевые пределы. Впрочем, здесь можно воспользоваться неравенствами 3 n > 2 n > n и применить предыдущие рассуждения для примера Последовательности примеров 3.4, 3.5, 3.6 и 3.9 пределов не имеют как неограниченные последо- вательности. Последовательность в примере 3.7 также не имеет предела, ибо для любого N, положив n > N и нечјтное, a m > N? чјтное, получим, что x n ? x m = и, следовательно, |x n ? x не может быть сделано меньше ? = 2. Поэтому критерий Коши для последовательности примера 3.7 не выполнен, то есть последовательность примера 3.7 предела не имеет. Контрпример 4.1 Последовательность примера 3.7 предела не имеет, хотя и является ограниченной. то есть ограниченная последовательность иметь предел не обязана. Последовательность примера 3.8 имеет нулевой предел. Показывается это аналогично примеру и читателю предлагается провести этот вывод самостоятельно. Последовательность примера 3.10 имеет единичный предел. Более того, для квазистационарных последовательностей легко доказывается следующая теорема 4.3 Если для некоторого N последовательность {x такова, что x n = c при всех n > N, то существует lim n?? x n = В самом деле для любого n > N |x n ? c| = |c ? c| = 0 < при любом ? > 0. 4.4. Монотонные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. monotone sequence monotone Определение 4.3 Последовательность {x называется монотонно неубывающей, если для любого целого положительного n выполнено неравенство x n+1 ? x Определение 4.4 Последовательность {x называется монотонно возрастающей, если для любого целого положительного n выполнено неравенство x n+1 > x Определение 4.5 Последовательность {x называется монотонно убывающей, если для любого целого положительного n выполнено неравенство x n+1 < x Определение 4.6 Последовательность {x называется монотонно невозрастающей, если для любого целого положительного n выполнено неравенство x n+1 ? x n 12 Определение Последовательность {x называется монотонной, если либо монотонно невозрастает, либо монотонно неубывает. Определение 4.8 Последовательность {x называется строго монотонной, если либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. Последовательности примеров 3.1 3.3 монотонно убывают примеров 3.4 3.7 монотонно возрастают. Последовательности примеров 3.7 3.9 монотонными не являются. Стацоонарная последовательность в примере 3.10 монотонна (как невозрастающая, таки неубывающая, ноне строго монотонна. Теорема (Больцано, Вейерштрасс. Всякая монотонная и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Теорему мы покажем для неубывающей и ограниченной сверху последовательности {x прич м тогда lim n?? x n = sup{x n } ? n=1 = sup n x другое обозначение верхней грани последовательности). Если же x n невозрастает, то нужно перейти к {?x и тогда lim n?? x n = inf{x n } ? n=1 = inf n x другое обозначение нижней грани последовательности). Доказательство теоремы Больцано-Вейерштрасса. Пусть l = sup n x Тогда для любого положительного ? число l ? ? сверху последовательность не ограничивает, то есть найдјтся x N > l ? Ввиду неубывания последователдьнсти {x и для всех n > N выполнено неравенство l ? ? < x N ? x n ? ибо l = sup n x то есть x n ? l при всех n, то есть l ? ? < x n ? l или |x n ? l| = l ? x n < Неравенство ( s1.4hc 14) выполнено и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана. Числ e. number e number Рассмотрим две последовательности n = (1 + 1 n ) n = (n+1) n n n и b n = (1 + 1 n ) n+1 = (n+1) n+1 n Очевидно, что a n ? b Покажем, что {a монотонно неубывает, a {b монотонно невозрас- тает, то есть a n+1 ? a и b n+1 ? b По лемме 1.1 (см в џ1) a n+1 a n = (n+1+1) n+1 (n+1) n+1 n n (n+1) n = n+2 n+1 (n(n+2)) n ((n+1) 2 ) n = (n+1)+1 n+1 ( (n+1) 2 ?1 (n+1) 2 ) n = = (1 + 1 n+1 )(1 ? 1 (n+1) 2 ) n ? (1 + 1 n+1 )(1 ? n (n+1) 2 ) = 1 + 1 n+1 ? n (n+1) 2 ? n (n+1) 3 = = 1 + 1 n+1 (1 ? n n+1 ? n (n+1) 2 ) = 1 + 1 n+1 ( (n+1) 2 ?n(n+1)?n (n+1) 2 ) = 1 + 1 n+1 ( n 2 +2n+1?n 2 ?n?n (n+1) 2 ) = = 1 + ( 1 n+1 ) 3 ? то есть неравенство ( s5.4hc 18) для a доказано. Рассмотрим теперь b n b n+1 = (n+1) n+1 n n+1 (n+1) n+1+1 (n+1+1) n+1+1 = (n+1) n+1 n n+1 (n+1) n+2 (n+2) n+2 = n+1 n+2 ((n+1) 2 ) n+1 (n(n+2)) n+1 = (n+2)?1 n+2 ((n 2 +2n)+1) n+1 (n 2 +2n) n+1 = = (1 ? 1 n+2 )(1 + 1 n 2 +2n ) n+1 ? (1 ? 1 n+2 )(1 + n+1 n 2 +2n ) = 1 + n+1 n(n+2) ? 1 n+2 ? n+1 n(n+2) 2 = = 1 + (n+1)(n+2)?n(n+2)?n?1 n(n+2) 2 = 1 + n 2 +3n+2?n 2 ?2n?n?1 n(n+2) 2 = 1 + 1 n(n+2) 2 > и неравенство (доказано и для b Поэтому a n ? b n ? b 1 = для всех натуральных Используя метод доказательства теоремы о вложенных отрезках (см in segment 1.4.7 в џ1), когда устанавливалось, что a n ? b при всех целых положительных m и n, читателю предлагается доказать, что для любого натурального n a n ? b 6 = 2, 985984 < Поэтому последовательность {a ограничена и не убывает и, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она имеет предел. Е предел назван числом то есть lim n?? (1 + 1 n ) n = e < 3 < 4. (19) s6.4hc C точностью до 10 десятичных знаков e = 2, 182818285 . . . . Число e иррациональное, то есть его нельзя представить никаким отношением целых чисел. Более того, оно трансцендентно, то есть не является корнем никакого алгебраического уравненния с целыми коэффициентами. Переход к пределу в неравенствах и теорема о пределе последовательности, заключјнной между двумя, имеющими одинаковые пределы 3 police 3 Лемма 4.1. Если для всех n, начиная с некоторого номера N 1 x n |