Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
f (x) dx ? m ? k=1 d k ? c k f (x) Однако, если сходится b ? a f (x) то должны сходится всe интегралы правой части равенства) в обеих cуммах. Поэтому сходятся и все интегралы в обеих суммах правой части равенства, то есть сходится и b ? a |f (x)| Теорема abs conv int 61.3 доказана. Эквивалентность сходимости и абсолютной сходимости интеграла для монотонных функций int monot func conv int monot Так как монотонная функция меняет свой знак не более одного раза, то простым следствием теоремы abs conv int 61.3 является следующая теорема abs conv Если функция f(t) монотонна на действительной прямой, то сходимость еј интеграла эквивалентна его абсолютной сходимости. Отметим, что непрерывность функции f(x) при доказательстве теоремы abs conv int 61 не использовалась; использовалась лишь е интегрируемость по Риману наконечных отрезках. А монотонная фунеция по Риману интегрируемая (см. џ def def int 46, п int 46.6, теорему def def int 46.6). 123 61.5. Необходимое условие сходимости f (x) dx для монотонных функций conv int monot func nec conv int monot Теорема abs conv int 61.5. Если функция f(x) монотонна для x ? a и f (x) dx сходится, то lim x?? f (x) = Контрпример abs conv int 61.1. ? ? 1 dx расходится согласно џ et ints 60, хотя и lim x?? 1 x = Поэтому условие (является необходимым, ноне достаточным. Из ( s04.61hc 345) сходимость f (x) вообще говоря, не следует. См. также контрпример cond conv int 62.4 в п int 62.4 џ cond conv Доказательство теоремы abs conv Если f(x) монотонная функция, то и |f(x)| для всех x ? a ( a это единственное число, где функция f(x) меняет знак если же f(x) знак не меняет, то это верно при любых x) также является монотонной функцией. Рассмотрим следующие случаи. |f(x)| неубывает (тогда lim x?? |f (x)| ? |f (если этот предел существует. В таком случае (x)| dx ? |f (a)| ? ? a dx расходится ввиду расходимости второго эталонного интеграла в џ et ints 60 и признаку сравнения (см. џ compar int 58, п comp 58.2, терму compar int 58.3, п. Тогда, по теореме abs conv int 61.4, расходится и f (x) dx. 2. |f(x)| невозрастает. Атак как |f(x)| ограничен снизу (например, нулјм), то, по теореме Больцано- Вейерштрасса (см. џ limit of function 7, п functions 7.9, теорема limit of function 7.22), существует lim x?+? |f (x)| = l ? см. также џ limit 4, конец п Если l > 0, то, согласно определению limit of function 7.4, для числа ? = l 2 найдјтся M > 0, такое, что для всех x > выполнено неравенство ||f(x)| ? l| или ? l 2 < |f (x)| ? l Прибавляя l ко всем трјм частям последнего неравенства, получим l 2 < |f (x)| < 3 то есть (x)| > l 2 > для всех x > Тогда (x)| dx ? l 2 ? ? M dx расходится ввиду расходимости второго эталонного интеграла в џ et при ? = 0 и признаку сравнения (см. џ compar int 58, п comp 58.2, терму compar int 58.3, п. Следовательно, расходится и (x)| Поэтому, по теореме abs conv int 61.4, расходится f (x) Теорема abs conv int 61.5 полностью доказана conv int 62 Условная сходимость несобственных интегралов. Условная сходимость несобственных интегралов conv int 62.1. Определение условной сходимости cond conv int def cond conv Определение cond conv int 62.1. Интеграл b ? a f (x) величины a и b могут быть как конечные, таки бесконечные) называется условно сходящимся, если b ? a f (x) dx сходится, a b ? a |f (x)| dx расходится Согласно теореме abs conv int 61.3 (м. џ abs conv int 61, п eq abs conv and conv 61.3), условная сходимость может быть лишь от интегралов тех функций, которые в промежутке интегрирования бесконечно часто меняют знак. Признак Абеля сходимости несобственных интегралов test int Abel test Рассмотрим f (x)g(x) dx , гдe a любое дeйствительноe число. (346) s01.62hc Теорема cond conv int 62.1 (Абель). Пусть интеграл f (x) dx сходится, a функция g(x) монотонна, ограничена и имеет интегрируемую по Риману (в собственном смысле) производную. Тогда интеграл от их произведения ( s01.62hc 346) сходится (возможно, что условно). Доказательство теоремы cond conv int 62.1 Абеля. Первообразную x ? a f (t) dt обозначим за F (x). По условию теоремы (сходимость f (x) существует. Из монотонности и ограниченности функции g(x), по теореме Больцано- Вейерштрасса (см. џ limit of function 7, п functions 7.9, теорема limit of function 7.22), существует lim Поэтому lim x?+? F (x)g(x) существует. (347) s02.62hc Для интеграла ( s01.62hc 346) рассмотрим фoрмулу интегрирования по частям (см. џ inf int func 57, п int parts 57.6, теорему inf int func 57.5, формулу ( s09.57hc 331) для u(x) = g(x) и v(x) = F (x)) ? ? a g(x)f (x) dx = ? ? a g(x) dF (x) = F (x)g(x)| ? a ? ? ? a g ? (x)F (x) Уменьшаемое в правой части равенства ( s03.62hc 348) имеет предел согласно ( s02.62hc 347). Вычиаемое в правой части ( s03.62hc 348) проверим на абсолютную сходимость. Так как функция F (x) имеет предел при x ? ?, то она ограничена, то есть найдјтся такое число M, что |F (x)| ? M для всех x ? a. A g(x) монотонная функция, и, следовательно, е производная g ? (x) знакопостоянна, и тогда dx = | ? ? a g ? (x) dx| = |g(x)| ? a | (349) s04.62hc по формуле Ньютона-Лейбница (см. џ inf int func 57, п int inf 57.4, теорему inf int func 57.3, формулу (Как уже отмечалось ранее, существует lim то есть интеграл ( s04.62hc 349) абсолютно сходится. Оценим ? ? a |g ? (x)F (x)| dx = ? ? a |g ? (x)||F (x)| dx ? M ? ? a |g ? (x)| dx cходится ввиду ( s04.62hc 349) и признаку сравнения (см int 58, п comp 58.2, теорему compar int 58.3, формулу ( s05.58hc 336)). Поэтому, ввиду теоремы abs conv int 61.1 (см. џ abs conv int 61, п abs conv вычитаемое в правой части равенства ( s03.62hc 348) является сходящимся интегралом, и теорема cond conv int 62.1 Абеля доказана. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов test Теорема cond conv int 62.2 (Дирихле. Пусть функция f(x) имеет ограниченную первообразную, a g(x) монотоннo стремится к нулю при x ? +?, a также имеет интегрируемую по Риману (в собственном смысле) производную. Тогда интеграл от их произведения ( s01.62hc 346) сходится (возможно, что условно test Доказательство теоремы cond conv int 62.2 (Дирихле). По условию теоремы, первообразная F (x) = x ? a f (t) dt ограничена, то есть найдјтся такое число M, что для всех x ? a выполнено неравенство |F (x)| ? M. Атак как lim x?+? g(x) = то, по теореме limit of function 7.11 (см. џ limit of function 7, п large and small functions 7.6) lim x?+? F (x)g(x) = 0. (350) s05.62hc Bce дальнейшие рассуждения практически дословно повторяют вывод признака Абеля. Для интеграла ( s01.62hc 346) рассмотрим фoрмулу интегрирования по частям (см. џ inf int func 57, п int parts 57.6, теорему inf int func 57.5, формулу ( s09.57hc 331) для u(x) = g(x) и v(x) = F (x)) ? ? a g(x)f (x) dx = ? ? a g(x) dF (x) = F (x)g(x)| ? a ? ? ? a g ? (x)F (x) Уменьшаемое в правой части равенства ( s03.62hc 348) имеет предел, равный нулю, согласно ( s05.62hc 350). Вычи- аемое в правой части ( s06.62hc 351) проверим на абсолютную сходимость. Так как g(x) монотонная функция, и, следовательно, е производная g ? (x) знакопостоянна, то dx = | ? ? a g ? (x) dx| = |g(x)| ? a | (352) s08.62hc по формуле Ньютона-Лейбница (см. џ inf int func 57, п int inf 57.4, теорему inf int func 57.3, формулу (По условию теоремы существует lim x?+? g(x) = то есть интеграл ( s08.62hc 352) абсолютно сходится. Оценим ? ? a |g ? (x)F (x)| dx = ? ? a |g ? (x)||F (x)| dx ? M ? ? a |g ? (x)| dx cходится ввиду ( s08.62hc 352) и признаку сравнения (см int 58, п comp 58.2, теорему compar int 58.3, формулу ( s05.58hc 336)). Поэтому, ввиду теоремы abs conv int 61.1 (см. џ abs conv int 61, п abs conv вычитаемое в правой части равенства ( s06.62hc 351) является сходящимся интегралом, и теорема cond conv int 62.2 Дирихле доказана. Примеры условной сходимости. Интеграл Дирихле int Dirichlet Контрпример cond conv int 62.1. Исследовать на сходимость mx x dx, (353) s09.62hc где m целое число. Функция f(x) = cos mx имеет ограниченную первообразную F (x) = 1 m sin mx, a g(x) = 1 x монотоно стремится к нулю при x ? ?. Поэтому, по признаку Дирихле, интеграл ( s09.62hc 353) сходится. Оценим снизу dx ? ? ? 1 cos 2 mx x dx = 1 2 ? ? 1 1 ? cos2mx x dx = 1 2 ? ? 1 1 x dx ? 1 2 ? ? 1 cos2mx x dx. (354) s10.62hc 126 Уменьшаемое в правой части равенства ( s10.62hc 354) расходящийся интеграл согласно второму интегралу в џ et ints 60 при ? = 1. А вычитаемое является сходящимся интегралом вида ( s09.62hc 353). Поэтому x расходится. (355) s11.62hc Следовательно, по признаку сравнения (см. џ compar int 58, п comp 58.2, теорема compar int 58.2, п cos mx| x dx расходится, то есть интеграл ( s09.62hc 353) сходится условно. Пример cond conv int 62.1. Исследовать на сходимость x x dx. ? ? 0 sin x x dx = 1 ? 0 sin x x dx + ? ? 1 sin x Первое слагаемое в правой части равенства ( s12.62hc 356) ограниченная (см. џ first and second good limits 8, п good limit 8.1, неравенство (и непрерывная в интервале (0, 1) функция, и поэтому, по теореме def def int 46.5 (см. џ def def int 46, п cont 46.5) 1 ? 0 sin x x dx существует в собственном смысле. А второе слагаемое в правой части ( s12.62hc 356) условно сходящийся интеграл показывается аналошично контрпримеру cond conv int 62.1, и читателю предлагается доказать это самостоятельно. Следовательно x x dx условно сходится x x dx был найден Дирихле x x dx Определение cond conv int 62.2. Интеграл ( s13.62hc 357) называется интегралом Дирихле. Контрпример cond conv int 62.2 на признак сходимости Абеля. Пусть f(x) функция с условно сходящимся интегралом f (x) dx, a g(x) = ? ? ? 1 , если f(x) > для f(x) < 0 при f(x) = Тогда f(x)g(x) = |f(x)|, то есть f (x)g(x) dx расходится, хотя функция g(x) ограничена. Поэтому условие монотонности функции хотя бы с некоторого числа) в теореме cond conv int 62.1 Абеля существенно. Контрпример cond conv int 62.3 на признак сходимости Дирихле. Пусть f(x) = sin x имеет ограниченную первообразную ? cos x, a g(x) = sin x такова, что lim x?? g(x) = как частное при делении ограниченной функции sin x на бесконечно большую x (см of function 7, п large and small functions 7.6, теорему limit of function 7.14), однако (x)g(x) dx = ? ? 1 sin 2 x x dx расходится ввиду неравенства ( s10.62hc 354). Поэтому условие монотонности функции) (хотя бы с некоторого числа) в теореме cond conv int 62.2 Дирихле существенно. Контрпример cond conv int 62.4. Исследовать на сходимость) Сделаем подстановку y = см. џ int inf func 56, п var int inf 56.5, теорему int inf func 56.4, формулу ( s08.56hc 323) и џ inf int func 57, п var inf int 57.5, теорему inf int func 57.4, формулу ( s08.57hc 330)), то есть x = ? y для x ? [1, ?). Тогда dy При х = 1 будет y = 1 127 нижний предел интегрирования пои верхний предел интегрирования пои интеграл) принимает вид) dx = 1 2 ? ? 1 sin y ? y Функция f(y) = sin y имеет ограниченную первообразную ? cos y, a g(y) = 1 ? y монотонно стремится к нулю при x ? +?. Поэтому интеграл ( s15.62hc 359), и, следовательно, и интеграл ( s14.62hc 358), сходятся, хотя и подинтегральная функция вне стремится к нулю при x ? +? (например, прибудет Следовательно, условие на монотонность функции f(x) в теореме abs conv int 61.5 (см. п conv int monot func 61.5, џ abs conv int 61) существен- но. Сходимость интегралов ( s15.62hc 359) и ( s14.62hc 358) условная, ибо sin y| ? y dy ? ? ? 1 | sin y| y который расходится ввиду примера cond conv int 62.1. IX ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ n var 63 Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных n var 63.1. мерная сфера. Окрестность точки. Проколотая окрестность n-dem point neib n-dem point 63.1 128 |