Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
52.3 будет f (x) dx = ? 0 ? a f (?y) dy = 0 ? a f (y) dy = ? a ? 0 f (x) dx (302) s13.52hc (определјнный интеграл от переменной интегрирования не зависит, а в последнем справа равенстве использовалось определение prop def int 48.1 (см. п if inv lim 48.5 в џ prop def Подставляя в правую часть равенства ( s12.52hc 301) вместо первого слагаемого его выражение по формуле, получим a ? ?a f (x) dx = ? a ? 0 f (x) dx + a ? 0 f (x) dx = Равенство ( s11.52hc 300) и теорема change var def int 52.5 доказаны. Теорема change var def int 52.4 доказывается аналогично и читателю предлагается провести е доказательство самостоятельно Интегрирование по частям. Интегрирование по частям int on parts Teopeма def int on parts 53.1. Пусть обе функции u(x) и v(x) гладкие (то есть имеют непрерывные производные) (или хотя бы кусочно-гладкие) на отрезке [a, b]. Тогда имеет место формула b ? a u(x)v ? (x) dx = u(x)v(x)| b a ? b ? a v(x)u ? (x) dx = u(b)v(b) ? u(a)v(a) ? b ? a u ? (x)v(x) Доказательств По теореме undef int on parts 38.1 (см. џ undef int on parts 38, формула ( s01.38hc 216)) первообразные ? u(x)v ? (x) dx и u(x)v(x) ? ? u ? (x)v(x) dx совпадают (точнее, их разность есть постоянная величина. Тогда равенство ( s01.53hc 303) непосредственно следует из формулы Ньютона-Лейбница (см. џ form N/L 51.1, теорема, равенство ( s01.51hc 287)). Теорема def int on parts 53.1 доказана Площадь фигуры. Площадь фигуры set def int 54.1. Площадь фигуры в декартовой системе координат Dec S Согласно џ geom def int 47 для f(x) ? 0 площадь множества, ограниченного сверху графиком функции y = f(x) ; снизу осью абсцисс Ox ; справа вертикальной прямой x = b ; слева вертикальной прямой x = a равна = b ? a f (x) dx = b ? a y Если нам нужно найти площадь множества, ограниченного графиками двух функций y = f(x) и y = при условии f (x) > для всех x ? (a, b), (305) s01.54hc где a и b точки пересечения этих графиков, то надо из площади криволинейной трапеции, находящейся под графиком функции y = f(x), вычесть площадь криволинейной трапеции, находящейся под графиком функции y = g(x). Тогда, используя свойство линейности определјнного интеграла (см. п def int 48.1 в џ prop def int 48, теорему prop def int 48.1 и второе пояснение к ней сразу после е формулировки и равенство, находим, что искомая площадь равна b ? a (f (x) ? g(x)) Если же условие ( s01.54hc 305) не выполнено, то эта площадь будет равна b ? a |f (x) ? g(x)| dx. 108 54.2. Площадь множества в полярной системе координат pol S Напомню переход от полярной к декартовой системе координат x = r cos ? y = r sin ?, где r растояние от точки с координатами (x, y) до начала координата угол между осью абсцисс Ox и прямой линией, проходящей через начало координат и точку с координатами (x, Пусть фигура ограничена линией r = r(?), заданной в полярной системе координат и выходящими изначала координат лучами ? = ? и ? = ?. Фигуру разделим на круговые секторы, ограниченные лучами ? = ? 0 < ? 1 < ? 2 < . . . < ? n?1 < ? n = и линией r = r(?) (читателю просьба нарисовать соответствующий чертјж). Тогда площадь го кругового сектора будет равна ?S k = 1 А площадь всей фигуры этот предельное значение суммы площадей этих круговых секторов, когда То есть S = 1 2 lim max |?? k |?0 n ? k=1 r 2 (? k )|?? k | = 1 2 ? ? ? r 2 (?) по определению интеграла Римана (см. џ def def int 46, п Rieman's sums 46.2, определение def def int 46.8, равенство ( s10.46hc 251)). Итак, показано, что площадь фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле = 1 2 ? ? ? (r(?)) 2 d?. (306) s03.54hc 54.3. Площадь фигуры, ограниченной параметрически заданными линиями Пусть замкнутая линия l задана параметрически (см. џ par and log der 20, п func 20.1, равенство ( s01.20hc 94): ? ? ? x = ?(t) y = ?(t) t ? [?, ?], (307) s05.54hc где ?(t) и ?(t) гладкие (то есть имеющие непрерывные производные) на отрезке [?, ?]. То, что кривая замкнутая, означает, что точки с координатами (?(?), ?(?)) и (?(?), ?(?)) совпадают, то есть) = и ?(?) = Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линией l, надо в формуле ( s02.54hc 304) провести подстановку. Получим = ? ? ? ?(t)? ? (t) dt или = ? ? ? ?(t)? ? (t) вторая формула получается из первой заменой местами переменных x и y; эти переменные должны быть равноправными. Если мы сложим правые части формул ( s06.54hc 309) и ( s08.54hc 310), то получим) dt + ? ? ? ?(t)? ? (t) dt = = ? ? ? (?(t)? ? (t)?(t)? ? (t) dt = ? ? ? (?(t)?(t)) ? dt = ?(??(?) ? ?(?)?(?) = ввиду равенства ( s04.54hc 308). Таким образом, правые части формул ( s06.54hc 309) и ( s08.54hc 310) имеют разные знаки и одновременно применяться не могут. Чтобы определить, какую из этих формул применять, надо понять, в какую сторону происходит движение точка по кривой ( s05.54hc 307). Когда мы двтжемся по графику функции в сторону возрастания переменной x, для f(x) ? 0, то фигура находится слева от нас. Поэтому непосредственно полученная из равенства ( s02.54hc 304) формула ( s06.54hc 309) применяется в том случае, если при движении по линии l в сторону возрастания параметра t ограниченная этой линией множество находится справа от нас. А формула) надо применять тогда, когда при движении по линии l в сторону возрастания параметра t ограниченная этой линией фигура находится полевую сторону от нас curve 55 Длина дуги кривой. Длина дуги кривой curve 55.1. Определение длины дуги кривой L curve def L Пусть имеется непрерывная линия l, например, заданная параметрически ( s05.54hc 307), где ?(t) и ?(t) непрерывные на отрезке [?, ?] функции. На данной кривой выберем точки, ?(?)), M 1 , M 2 , . . . , M n?1 , M n (?(?, Соединим эти точки прямолинейными отрезками. Получится ломаная линия. Отметим, что при добавлении одной (и конечного числа точек) длина ломаной не уменьшается, ибо при добавлении между точками и M k точки к новой ломаной добавилися две стороны и 2 M k треугольника ?M k?1 M k? 1 2 M k , a убралась одна сторона длина которой меньше, чем сумма длин добавленных (читателю рекомендуется сделать чертјж). Определение L curve 55.1. Длиной кривой линии M 0 M n называется верхняя грань длин ломаных, соединяющих эти точки. Определение L curve 55.2. Кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину. Отметим, что приведјнная в контрпримере par and log der 20.1 кривая Пеано (см. џ par and log der 20, п func 20.1) непрерывна, ноне спрямляема. Можно показать, что длина дуги кривой равна пределу длин ломаных, когда наибольшая из длин разбиения M k?1 M k стремится к нулю. Длина дуги кривой, заданной параметрически par curve L par Точки M k и M k+1 (k = 1, 2, . . . , n ? должны иметь координаты M k (x k = ?(t k ), y k = ?(t где ? = t 1 < t 2 < t 3 < . . . < t n?2 < t n?1 = ? некоторое разбиение отрезка [?, ?]. Тогда длина отрезочка согласно формyле расстояния между двумя точками на плоскости, ?l k = ?(?(t k+1 ) ? ?(t k )) 2 + (?(t k+1 ) ? ?(t и тогда длина дуги кривой l = lim max ?l k ?0 n?1 ? k=1 ?l k = lim max ?t k ?0 n?1 ? k=1 ? (?(t k+1 ) ? ?(t k )) 2 + (?(t k+1 ) ? ?(t где ?t k = t k+1 ? t переход к другой базе предела возможен ввиду гладкости, и, следовательно,непрерывности функций ?(t) и ?(t) ). 110 По теореме Лагранжа (м. џ Roll 19, п Лагранж, равенство ( s02.19hc 93)), ?(t k+1 ) ? ?(t k ) = ? ? (? k )(t k+1 ? t k ), a ?(t k+1 ) ? ?(t k ) = ? ? (? k )(t k+1 ? t Подставив эти равенства в ( s01.55hc 311), получим l = lim max ?t k ?0 n?1 ? k=1 ? (? ? (? k )) 2 + (? ? (? k )) 2 ?t Используя непрерывность функций и можно показать, что правая часть равенства) равна+ (Итак, доказано равенство l = ? ? ? ?(? ? (t)) 2 + (Иногда его записывают так = ? ? ? ? (x ? ) 2 + (Фактически мы показали также, что всякая гладкая (и даже кусочно-гладкая) кривая является спрямляемой. Длина дуги кривой в декартовой системе координат Dec L Пусть на отрезке [a, b] задан график гладкой функции y = f(x). Чтобы найти длину кривой графика функции, заключјнной между вертикальными прямыми x = a и x = b, нужно в формулу) вместо t подставить x. Тогда x ? = 1, y ? = f ? (x), ? = a, ? = b и формула ( s03.55hc 313) принимает вид l = b ? a ? 1 + (f ? (x)) 2 dx. (314) s04.55hc 55.4. Длина дуги кривой в полярной системе координат pol L Обозначения и уравнение кривой такие же, как в п pol 54.2 џ S set def Если x(?) = r(?) cos ? и y(?) = r(?) sin ?, то x ? (?) = r ? (?) cos ? ? r(?) sin и y ? (?) = r ? (?) sin ? + r(?) cos Тогда (x ? (?)) 2 + (y ? (?)) 2 = = (r ? (?)) 2 cos 2 ??2r(?)r ? (?) sin ? cos ?+r 2 (?) sin 2 ?+(r ? (?)) 2 sin 2 ?+2r(?)r ? (?) sin ? cos ?+r 2 (?) cos 2 ? = = (r ? (?)) 2 (cos 2 ? + sin 2 ?) + r 2 (?)(sin 2 ? + cos 2 ?) = r 2 (?) + (Получено равенство+ (y ? (?)) 2 = r 2 (?) + (Чтобы теперь получить формулу длины линии в полярной системе координат, надо при t = ? в равенство ( s03.55hc 313) вместо (x ? ) 2 + (подставить его выражение по формуле ( s05.55hc 315). Получим l = ? ? ? ? r 2 (?) + (Равенство ( s06.55hc 316) и задајт формулу длины дуги кривой в полярной системе координат џ int inf func 56 Несобственные интегралы первого типа (интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы первого типа (интегралы от неограниченных функций inf func 56.1. Определение несобственного интеграла. Сходимость и расходимость int inf func def int inf Пусть функция f(x) ограничена и интегрируема п Риману на любом подотрезке [?, ?] ? [a, b], a на концах опрезка [a, b] может иметь неограниченные разрывы. Рассмотрим следующие случаи. Функция f(x) имеет единственный неограниченный разрыв в левом конце отрезка точке Определение int inf func 56.1. b ? a f(x) dx = b ? a+ f(x) dx = lim c?a+ b ? c f(x) Определение int inf Если предел правой части равенства ( s01.56hc 317) существует, то интеграл b ? a f (x) dx называется сходящимся. Определение int inf func 56.3. Если предел правой части равенства ( s01.56hc 317) не существует, то интеграл b ? a f (x) dx называется расходящимся. Функция f(x) имеет единственный неограниченный разрыв в правом конце отрезка точке в. Определение int inf func 56.4. b ? a f(x) dx = b? ? a f(x) dx = lim c?b? c ? a f(x) Определение int inf Если предел правой части равенства ( s02.56hc 318) существует, то интеграл b ? a f (x) dx называется сходящимся. Определение int inf func 56.6. Если предел правой части равенства ( s02.56hc 318) не существует, то интеграл b ? a f (x) dx называется расходящимся. Функция f(x) имеет неограниченные разрывы в обоих концах отрезка [a, Пусть c некоторая точка интервала (a, Определение int inf func 56.7. b ? a f(x) dx = c ? a f(x) dx + b ? c f(x) dx = lim ?? a+ c ? ? f(x) dx + lim ?? b? ? ? c f(x) Здесь нужно доказывать корректность этого определения, то есть то, что b ? a f (x) dx не зависит от выбора точки c ? (a, b). B самом деле, берјм любую другую точку d ? (a, b). Не ограничивая общности, можно считать, что d < c. Тогда b ? a f (x) dx = c ? a f (x) dx + b ? c f (x) dx = lim ??a+ c ? ? f (x) dx + lim ??b? ? ? c f (x) dx = 112 = lim ??a+ ( d ? ? f (x) dx + c ? d f (x) dx) + lim ??b? ? ? c f (x) dx = lim ??a+ d ? ? f (x) dx + lim ??b? ( c ? d f (x) dx) + ? ? c f (x) dx = = d ? a f (x) dx + lim ??b? ? ? d f (x) dx = d ? a f (x) dx + b ? d f (x) dx ( c ? d f (x) dx ни от ?, ни от ? не зависит, и поэтому оба предела от него равны ему самому как предела от постоянной величины поэтому c ? d f (x) dx можно перекидывать из одного предела в другой). Таким образом, при выборе другой точки d правая часть равенства ( s03.56hc 319) не меняется, то есть b ? a f (x) dx от выбора точки c ? (a, b) не зависит, и определение int inf func 56.7 корректно. Определение int inf func 56.8. b ? a f (x) dx называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части формулы (Определение int inf func 56.9. b ? a f (x) dx называется paсходящимся, если сходится хотя бы один из интегралов в правой части формулы (Пусть теперь функция f(x) имеет несколько (обязатально конечное число) неограниченных разрывов внутри отрезка [a, b]. Обозначим эти точки неограниченного разрыва за c 1 , c 2 , . . . , c Определение int inf func 56.10. b ? a f(x) dx = c 1 ? a f(x) dx + c 2 ? c 1 f(x) dx + . . . + c n ? c n?1 f(x) dx + b ? c n f(x) dx = c 1 ? a f(x) dx + n?1 ? k=1 c k+1 ? c k f(x) dx + b ? c n f(x) Определение int inf func 56.11. b ? a f (x) dx называется сходящимся, если сходятся все интегралы в правой части формулы (Определение int inf func 56.12. b ? a f (x) dx называется сходящимся, если сходится хотя бы один из интегралов в правой части формулы (Определение int inf func 56.13. Несобственным интегралом первого типа называются интегралы в определениях int inf func 56.1 (левая часть формулы ( s01.56hc 317)), int inf func 56.4 (левая часть формулы ( s02.56hc 318)) и int inf func 56.7 (левая часть формулы ( s03.56hc 319)) и int inf func 56.10 (левая часть формулы ( s04.56hc 320)). 56.2. Свойство линейности int inf func lin int inf Теорема int inf func 56.1. Пусть f(x) и g(x) функции, аи постоянные числа. Тогда имеет место формула b ? a (?f (x) + ?g(x)) dx = ? b ? a f (x) dx + ? b ? a g(x) dx, (321) s05.56hc причјм из сходимости левой части равенства ( s05.56hc 321) следует сходимость правой части и наоборот. При ? = ? = 1 из теоремы int inf func 56.1 следует, что несобственный интеграл суммы равен сумме несобственных интегралов. При ? = 1 и ? = ?1 из теоремы int inf func 56.1 следует, что несобственный интеграл от разности двух функций равен разности несобственных интегралов от них. Для ? = 0 из равенства ( s05.56hc 321) следует, что постоянный множитель ? можно выносить за знак несобственного интеграла Теорема int inf func 56.1 непосредственно следует из свойств линейности для определјного интеграла и предела и читателю предлагается доказать е самостоятельно. Сохранение неравенств eq int inf not eq int Теорема int inf func 56.2. Пусть f(x) ? g(x) для всех x ? (a, b) и обе функции f(x) и g(x) интегрируемы (в несобственном смысле) в интервале (a, b). Тогда b ? a f (x) dx ? b ? a g(x) Теорема int inf func 56.2 непосредственно следует из сохранения неравенств в определјнном интеграле (см. теорему prop def int 48.3 в пи при вычислении предела (см. теорему limit of function 7.20 в пи читателю предлагается провести соответствующие выкладки самостоятельно. Формула Ньютона-Лейбница. N/L inf int N/L inf Теорема int inf func 56.3. Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), за исключением, быть может, конечного числа точек c 1 , c 2 , . . . , c n , a функция F (x) такова, что F ? (x) = f (всюду в интервале (a, b), за исключением, быть может, вышеупомянутых точек c 1 , c 2 , . . . , c в которых функция F (x) непрерывна. Тогда имеет место равенство b ? a f (x) dx = F (x)| b a , где F (x)| b a = lim x?b? F (x) ? lim x?a+ F (x), (322) s06.56hc причјм из сходимости левой части равенства ( s06.56hc 322) следует существование его правой части и наоборот. Определение int inf func 56.14. Равенство ( s06.56hc 322) называется формулой Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов первого типа. Д ока за тел ь ст в Так как F (x) непрерывна во всех точках c 1 , c 2 , . . . , c то lim t?c k + F (t) = lim t?c k ? F (t) (k = 1, 2, . . . , Используя далее формулу Ньютона-Лейбница для определјнного интеграла (см. џ N/L 51, п N/L 51.1, теорему, равенство ( s01.51hc 287)) и определения int inf func 56.1, int inf func 56.4 и int inf func 56.7, имеем b ? a f (x) dx = c 1 ? a f (x) dx + c 2 ? c 1 f (x) dx + . . . + c n ? c n?1 f (x) dx + b ? c n f (x) dx = lim t?c 1 ? F (t) ? lim t?a+ F (t)+ + lim t?c 2 ? F (t) ? lim t?c 1 + F (t) + lim t?c 3 ? F (t) ? lim t?c 2 + F (t) + . . . + lim t?c n?1 ? F (t) ? lim t?c n?2 + F (t)+ + lim t?c n ? F (t) ? lim t?c n?1 + F (t) + lim t?b? F (t) ? lim t?c n + F (t) = lim t?b? F (t) ? lim t?a+ F (t) = F (x)| b Равенство ( s06.56hc 322) и теорема int inf func 56.3 (формула Ньютона-Лейбница) доказаны. Замена переменной var int inf change var int Теорема int inf func 56.4. Пусть функция x = ?(t) гладкая (то есть имеет непрерывную производную) в интервале (?, ?); a = lim t??+ ?(t), b = lim t ? и функция f(x) непрерывна в интервале (a, Тогда имеет место формула b ? a f (x) dx = ? ? ? |