Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
f (?(t))? ? (t) dt, (323) s08.56hc причјм из сходимости интеграла в правой части равенства ( s08.56hc 323) следует существование интеграла в левой части и наоборот. Для доказательства теоремы int inf func 56.4 надо в равенстве ( s01.52hc 291) (естественно, перейдя при этом к другим обозначениям (см. теорему change var def int 52.1 в п change def int 52.1 џ change var def int 52)) перейти к соответствующим пределам согласно опредeлению int inf func 56.7. Читателю предлагается провести это самостоятельно. Для бесконечно больших величин ?(t) при t ? ? и (или) t ? ? нахождение пределов интегрирования в левой части формулы ( s08.56hc 323) пояснено сразу после формулировки теоремы inf int func 57.4 в п var inf int 57.5 џ inf int func 57. 56.6. Интегрирование по частям inf parts int inf Теорема int inf func 56.5. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные в интервале, Тогда справедлива формула b ? a u(x)v ? (x) dx = u(x)v(x)| b a ? b ? a u ? (x)v(x) dx, (324) s09.56hc причјм из существования левой части равенства ( s09.56hc 324) следует существование правой части и наоборот. (величина F (x)| b определена в равенстве ( s06.56hc 322) теоремы int inf Для доказательства теоремы int inf func 56.5 надо в равенстве) dx = u(x)v(x)| ? ? ? ? ? ? v(x)u ? (x) см. формулу ( s01.53hc 303) в теореме def int on parts 53.1 џ def int on parts 53) перейти к и к и использовать определения int inf func 56.1 и int inf func 56.4. Читателю предлагается провести это самостоятельно int func 57 Несобственные интегралы второго типа (интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы второго типа (интегралы с бесконечными пределами интегрирования int func 57.1. Определение несобственного интеграла. Сходимость и расходимость inf int def inf Пусть функция f(x) ограничена и интегрируема п Риману на любом отрезке [a, b] (возможно, в несобственном смысле) действительной прямой. Рассмотрим следующие случаи. Нижний предел интегрирования бесконечен. Определение inf int func 57.1. b ? ?? f(x) dx = lim a??? b ? a f(x) dx. (325) s01.57hc 115 Определение inf int Если предел правой части равенства ( s01.57hc 325) существует, то интеграл b ? ?? f (x) dx называется сходящимся. Определение inf int func 57.3. Если предел правой части равенства ( s01.57hc 325) не существует, то интеграл b ? ?? f (x) dx называется расходящимся. Bерхний предел интегрирования бесконечен. Определение inf int func 57.4. ? ? a f(x) dx = lim b?+? b ? a f(x) Определение inf int Если предел правой части равенства ( s02.57hc 326) существует, то интеграл f (x) dx называется сходящимся. Определение inf int func 57.6. Если предел правой части равенства ( s02.57hc 326) не существует, то интеграл f (x) dx называется расходящимся. Пределы интегрирования неограничены в обе стороны (то есть интеграл по всей действительной прямой). Пусть c некоторая точка вещественной прямой. Определение inf int func 57.7. ? ? ?? f(x) dx = ? R f(x) dx = c ? ?? f(x) dx + ? ? c f(x) dx = lim a??? c ? a f(x) dx + lim b?+? b ? c f(x) Здесь нужно доказывать корректность этого определения, то есть то, что (x) dx не зависит от выбора точки c на действительной прямой самом деле, берјм любую другую точку d на вещественной прямой. Не ограничивая общности, можно считать, что d > c. Тогда (x) dx = c ? ?? f (x) dx + ? ? c f (x) dx = = lim a??? c ? a f (x) dx + lim b?+? b ? c f (x) dx = lim a??? ( c ? a f (x) dx + ( lim b?+? d ? c f (x) dx) + b ? d f (x) dx) = = ( lim a??? c ? a f (x) dx + d ? c f (x) dx) + lim b?+? b ? d f (x) dx = lim a??? d ? a f (x) dx + ? ? d f (x) dx = d ? ?? f (x) dx + ? ? d f (x) dx ( d ? c f (x) dx ни от a, ни от b не зависит, и поэтому оба предела от него равны ему самому как предела от постоянной величины поэтому d ? c f (x) dx можно перекидывать из одного предела в другой). Таким образом, при выборе другой точки d правая часть равенства ( s03.57hc 327) не меняется, то есть (x) dx от выбора точки c на действительной прямой не зависит, и определение inf int func 57.7 корректно. Определение inf int func 57.8. ? ? ?? f (x) dx называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части формулы (Определение inf int func 57.9. ? ? ?? f (x) dx называется сходящимся, если сходится хотя бы один из интегралов в правой части формулы ( s03.57hc 327). 116 Определение int inf func 56.10. Несобственным интегралом второго типа называются интегралы в определениях inf int func 57.1 (левая часть формулы ( s01.57hc 325)), inf int func 57.4 (левая часть формулы ( s02.57hc 326)) и inf int func 57.7 (левая часть формулы ( s03.57hc 327)). 57.2. Свойство линейности inf int func lin inf int Теорема inf int func 57.1. Пусть f(x) и g(x) функции, аи постоянные числа. Тогда имеет место формула (x) + ?g(x)) dx = ? ? ? ?? f (x) dx + ? ? ? ?? g(x) dx, (328) s05.57hc причјм из сходимости левой части равенства ( s05.57hc 328) следует сходимость правой части и наоборот. При ? = ? = 1 из теоремы inf int func 57.1 следует, что несобственный интеграл суммы равен сумме несобственных интегралов. При ? = 1 и ? = ?1 из теоремы inf int func 57.1 следует, что несобственный интеграл от разности двух функций равен разности несобственных интегралов от них. Для ? = 0 из равенства ( s05.57hc 328) следует, что постоянный множитель ? можно выносить за знак несобственного интеграла. Теорема inf int func 57.1 непосредственно следует из свойств линейности для определјного интеграла и предела и читателю предлагается доказать е самостоятельно. Сохранение неравенств eq inf int not eq inf Теорема inf int Пусть f(x) ? g(x) для любого действительнльного числа x, и такжу существуют оба интеграла (x) dx и) Тогда (x) dx ? ? ? ?? g(x) Теорема inf int func 57.2 непосредственно следует из сохранения неравенств в определјнном интеграле (см. теорему prop def int 48.3 в пи при вычислении предела (см. теорему limit of function 7.20 в пи читателю предлагается провести соответствующие выкладки самостоятельно. Формула Ньютона-Лейбница. N/L int inf N/L int Теорема inf int Пусть функция f(x) непрерывна на всей действительной прямой, за исключением, быть может, конечного числа точек c 1 , c 2 , . . . , c n , a функция F (x) такова, что) = f (на всей вещественной прямой, за исключением, быть может, вышеупомянутых точек c 1 , c 2 , . . . , c в которых функция F (x) непрерывна. Тогда имеет место равенство (x) dx = F (x)| ? ?? , где F (x)| ? ?? = lim x?+? F (x) ? lim x??? F (x), (329) s06.57hc причјм из сходимости левой части равенства ( s06.57hc 329) следует существование его правой части и наоборот. Определение inf int func 57.14. Равенство ( s06.57hc 329) называется формулой Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов второго типа. Доказательство почти дословно повторяет вывод теоремы int inf func 56.3 (см. п inf int 56.4 в џ int inf func 56) и читателю предлагается провести его самостоятельно 57.5. Замена переменной var inf int change var inf Теорема inf int func 57.4. Пусть функция x = ?(t) гладкая (то есть имеет непрерывную производную) на всей действительной прямой a = lim t??? ?(t), b = lim и функция f(x) непрерывна на всей вещественной прямой. Тогда имеет место формула b ? a f (x) dx = ? ? ?? f (?(t))? ? (t) dt, (330) s08.57hc причјм из сходимости интеграла в правой части равенства ( s08.57hc 330) следует существование интеграла в левой части и наоборот. Если величина ?(t) бесконечно большая при t ? ??(t ? ? для теоремы int inf func 56.4), то нижний предел интегрирования в левой части формулы ( s08.57hc 330) (формулы ( s08.56hc 323) для теоремы int inf func 56.4) равен Если величина ?(t) бесконечно большая при t ? +?(t ? ? для теоремы int inf func 56.4), то верхний предел интегрирования в левой части формулы ( s08.57hc 330) (формулы ( s08.56hc 323) для теоремы int inf func 56.4) равен Для доказательства теоремы int inf func 56.4 надо в равенстве ( s01.52hc 291) (естественно, перейдя при этом к другим обозначениям (см. теорему change var def int 52.1 в п change def int 52.1 џ change var def int 52)) перейти к соответствующим пределам согласно опредeлению int inf func 56.7. Читателю предлагается провести это самостоятельно. Интегрирование по частям int parts inf int Теорема inf int Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на всей действительной прямой. Тогда справедлива формула) dx = u(x)v(x)| ? ?? ? ? ? ?? u ? (x)v(x) dx, (331) s09.57hc причјм из существования левой части равенства ( s09.57hc 331) следует существование правой части и наоборот. (величина F (определена в равенстве ( s06.57hc 329) теоремы inf int Для доказательства теоремы inf int func 57.5 надо в равенстве b ? a u(x)v ? (x) dx = u(x)v(x)| b a ? b ? a v(x)u ? (x) dx (см. формулу ( s01.53hc 303) в теореме def int on parts 53.1 џ def int on parts 53) перейти к lim и к lim и использовать определения inf int func 57.1 и inf int Читателю предлагается провести это самостоятельно int 58 Признак сравнения несобственных интегралов с неотрицательными подинтегральными функциями. Признак сравнения несобственных интегралов с неотрицательными подинтегральными функциями int 58.1. Неубывание первообразной Теорема compar int 58.1. Если функция f(x) ? 0 для всех x ? a, то е первообразная F (x) = x ? a f (t) dt неубывает. 118 inc Доказательств Пусть x 1 ? Тогда по свойствам аддитивности интеграла как функции отрезка (см. п int seg 48.4 в def int 48, теорему prop def int 48.4, формула ( s02.48hc 263)) и интеграла от неотрицательной функции (см. п pos func 48.3 в џ prop def лемму prop def int 48.1) F (x 1 ) ? F (x 2 ) = x 2 ? a f (t) dt + x 1 ? x 2 f (t) dt ? x 2 ? a f (t) dt = x 1 ? x 2 f (t) dt ? то есть (x 1 ) ? F (Теорема compar int 58.1 доказана. Признак сравнения comp test Определение compar int 58.1. Точки, где функция f(x) не является непрерывной, будем называть еј особыми точками. Tеоремa compar int 58.2. Пусть g(x) непрерывная функция, за исключунием конечного числа особых точек c 1 , c 2 , . . . , c где она определена и пусть ? f (x) ? g(x) (332) s02.58hc для всех действительных x. Тогда (величины a и b могут быть как конечными, таки бесконечными. Если b ? a g(x) dx сходится, то b ? a f (x) dx также сходится и имеет место неравенство b ? a f (x) dx ? b ? a g(x) dx. (333) s01.58hc 2. Если b ? a f (x) dx сходится, то b ? a g(x) dx также pacходится. Неравенство ( s01.58hc 333) легко следует из теоремы prop def int 48.3 (см def int 48, п pos func 48.3, теорему prop def int 48.3). А сама сходимость b ? a f (x) dx вытекает из следующего утверждения: лемма compar int 58.1. Если f(x) является знакопостоянной функцией, то b ? a f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда е первообразная F (x) = x ? a f (t) dt ограниченa, которая следует из монотонности первообразной F (x) = x ? a f (t) см. теорему compar int 58.1 в п comp 58.2 џ compar теоремы limit of function 7.22 Больцано-Вейерштрасса (см. теорему limit of function 7.22 в пи ограниченности функции F (имеющей предел (см. теорему limit of function 7.3 в п of function 7.5 џ limit of Контрпример compar int 58.1. Первобразная от функции f(x) = cos x будет F (x) = x ? 0 cos t dt = sin x ограничена на всей действительной прямой, однако x dx расходится, ибо lim x?? sin x не существует. Поэтому условие знакопостоянства функций f(x) и g(x) существенно. Впрочем, это условие можно ослабить ни) меняют знак не более конечного числа раз. (334) s03.58hc А при интеграле по полупрямой или по прямой можно требовать лишь знакопостоянство функций f (и g(x), начиная с некоторого значения (для бесконечного нижнего предела интегрирования знакопостоянство для всех x, меньше, чем некоторое число Признак сравнения (условие ( s02.58hc 332)) можно ослабить. Tеоремa compar int 58.3. Пусть g(x) непрерывная функция, за исключунием конечного числа особых точек c 1 , c 2 , . . . , c где она определена и пусть ? f (x) ? cg(x) (335) s04.58hc для всех действительных x и некоторой постоянной c > 0. Тогда (величины a и b могут быть как конечными, таки бесконечными. Если b ? a g(x) dx сходится, то b ? a f (x) dx также сходится и имеет место неравенство b ? a f (x) dx ? c b ? a g(x) dx. (336) s05.58hc 2. Если b ? a f (x) dx сходится, то b ? a g(x) dx также pacходится. 58.3. Некоторые обобщения признака сравнения gener compar test some gener compar Теорема compar int 58.4. Пусть теперь f(x) = O(g(x)) в некоторых окрестностях всех особых точек функции f(x) (см. определение comparision 9.1 в џ comparision 9, пи при x ? ?, a также f(x) и g(x) удовлетворяют условию ( s03.58hc 334) и условию, стоящему сразу после ( s03.58hc 334). Тогда. Если b ? a g(x) dx сходится, то b ? a f (x) dx также сходится. Если b ? a f (x) dx сходится, то b ? a g(x) dx также pacходится. В самом деле, если в промежутке интегрирования особых точек функции f(x) нетто несобственного интеграла там не будет будет обычный определјнный интеграл. А в окрестностях особых точек применяем теорему compar int 58.3. Однако оценка типа ( s05.58hc 336) уже не имеет места, ибо на множестве точек непрерывности функции f(x) интеграл от не может существенно измениться. Теорема compar Пусть теперь f(x) ? g(x) в некоторых окрестностях всех особых точек функции f(x) (см. определение comparision 9.3 в џ comparision 9, пи при x ? ?, a также f(x) и g(x) удовлетворяют условию ( s03.58hc 334) и условию, стоящему сразу после (Тогда из сходимости b ? a f (x) dx следует сходимость b ? a g(x) dx и наоборот. Пример compar int 58.1. Найти По формуле Ньютона-Лейбница, (см. џ N/L 51, пи п N/L 51.2, теорема, третьей строке таблицы основных интегралов (см. џ table undef int 36), cвойству аддитивности интнграла как функции отрезка (см. џ prop def п int seg 48.4, теорему prop def int 48.4, формулу ( s02.48hc 263)) и определению inf int func 57.4 несобственного интеграла (см. џ inf int func 57.4, п inf int 57.1, paвенствo ( s02.57hc 326)) ? ? 0 e ?x dx = lim b?+? b ? 0 e ?x dx = ? lim b?+? b ? 0 e ?x d(?x) = ? lim b?+? e ?b | b 0 = ? lim b?+? (e ?b ? e 0 ) = = e 0 ? lim b?+? 1 e b = Пример compar int 58.2. Исследовать на сходимость По теореме change var def int 52.4 (она переносится и на несобственные интегралы при переодев равенстве (к lim см var def int 52, п sim seg 52.3), ? ? ?? e ?x 2 dx = 2 ? ? 0 e ?x 2 dx = 2 1 ? 0 e ?x 2 dx + Первое слагаемое в правой части равенства ( s08.58hc 338) является интегралом от непрерывной функции и поэтому он сходится. А второе слагаемое в ( s08.58hc 338) также сходящийся интеграл ввиду примера compar и теоремы compar int 58.3, ибо e ?x 2 ? e ?x для всех x ? 1. Поэтому интеграл ( s06.38hc 221) сходится. Пуассон этот интеграл вычислил (для его вычисления нужно пользоваться методами, которые в данном курсе не рассматривались. Впрочем, его можно найти и из некоторых Эйлеровых интегралов Определение compar int 58.2. Интеграл ( s09.58hc 339) называется интегралом Пуассона (или интегралом Эйлера-Пуассона). џ compar lim 59 Признак сравнения в предельной форме. Признак сравнения в предельной форм Используя тeорему comparision 9.1 (см. џ comparision 9, п, a также замечание двумя строками выше контрпримера из теорем compar int 58.4 и compar int 58.5 получаем, что справедливы следующие утверждения: Теорема compar lim 59.1. Пусть для всех особых точек функции f(x), a также величин c 1 = и c n = +существует конечный lim x?c k f (x) g(x) a также f(x) и g(x) удовлетворяют условию (и условию, стоящему сразу после ( s03.58hc 334). Тогда. Если b ? a g(x) dx сходится, то b ? a f (x) dx также сходится. Если b ? a f (x) dx сходится, то b ? a g(x) dx также pacходится. Теорема compar lim 59.2. Пусть для всех особых точек функции f(x), a также величин c 1 = и c n = +существует конечный lim x?c k f (x) g(x) ?= 0. a также f(x) и g(x) удовлетворяют условию) и условию, стоящему сразу после ( s03.58hc 334). Тогда из сходимости b ? a f (x) dx следует сходимость b ? a g(x) dx и наоборот џ et ints 60 a ? 0 dx и dx x ? 60. a ? 0 dx и dx x ? et ints Найдјм первообразные (перва и вторая строки таблицы основных интегралов (см. џ table undef int 36): F (x) = ? dx x ? = ? x 1?? 1?? = 1 1?? 1 x ??1 , если ? ?= 1 ln для ? = Тогда слито при ? ? 1 первообразная F (x) является бесконечно большой величиной. Поэтому dx сходится, если > 1 и расходится для ? ? Прибудет для ? ? 1 первообразная F (x) является бесконечно большой величиной. Поэтому a ? 0 dx сходится, если < 1 и расходится для ? ? 1. (341) s02.60hc Приведјнные в заголовке џ et ints 60 интегралы можно считать эталонами для сравнения при исследовании на сходимость conv int 61 Абсолютная сходимость интегралов. Абсолютная сходимость интегралов conv int 61.1. Определение абсолютной сходимости abs conv int def abs conv Определение abs conv Интеграл b ? a f (x) пределы интегрирования a и b могут быть как конечными, таки бесконечными) называется aбсолютно сходящимся, если сходится b ? a |f (x)| dx. 61.2. Сходимость абсолютно сходящихся интегралов abs conv int conv abs conv int 61.2 Teopeма abs conv int 61.1. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Д ока за тел ь ст в o Раcсмотрим функции g(x) = |f (x)|+f (и h(x) = |f (x)|?f (Справедливы неравенства ? g(x) ? |f (и 0 ? h(x) ? |f(x)|. (342) s01.61hc 122 Атак как b ? a |f (x)| dx сходится, то, по признаку сравнения (см. џ compar int 58, п comp 58.2, теорему compar int 58.2), сходятся b ? a g(x) dx и h(x) Поэтому сходится и интеграл от их разности g(x) ? h(x) = (|f (x)|+f (x))?(|f (x)|?f (x)) 2 = f (Теорема abs conv int 61.1 доказана. Обратное, вообще говоря, неверно. Некоторые условия эквивалентности сходимости и абсолютной сходимости Тривиальное условие эквивалентности сходимости и абсолютной сходимости если функция f (x) знакопостоянная. Обобщим это условие. Теорема abs conv int 61.3. Если функция f(x) непрерывна всюду, за исключением, быть может, конечного числа особых точек и меняет свой знак лишь конечное число раз, то ходимость е интеграла эквивалентна абсолютной сходимости. Д ока за тел ь ст в Пусть (a k , b k )(k = 1, 2, . . . , n) интервалы (не более двух из них могут иметь бесконечную длину), где функция f(x) ? 0; на этих интервалах f(x) = |f(x)|, a (c k , d k )(k = 1, 2, . . . , m) это интервалы, где функция f(x) < 0 (не более двух из них могут иметь бесконечную длину в этих интервалах (x)| = ?f (Тогда (пределы интегрирования a и b могут быть как конечными, таки бесконечными и b ? a |f (x)| dx = n ? k=1 b k ? a k |