Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 14 из 18

найдјтся такое ?
1

> что для всех точек ?
j и ?

j из отрезка [?, таких, что |?
j
? ?
j
| < ?
1
,

выполннено неравенство (?
j

) ? f (?
j
)| <
?

6(b ? Пусть теперь ? = min(?
1
,
?
32M
).
Берјм произвольное разбиение отрезка [a, b] такое, что max |?x j
| < Пусть при этом разбиении ? ? ?x k
= [x k?1
, x и ? ? ?x l
= [x l?1

, x Для любых точек ?
j и ?
j из отрезка ?x j
= [x j?1

, x данного разбиения выполнено неравенство |?
j
? ?
j
| < ? ? и поэтому для них на отрезке [x k
, x l?1
] ? [?, справедливо неравенство (
s18.46hc

257). Интегральную сумму разобьјм наследующие куски (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| =
k
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| +
l?1
?
j=k+1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| +
n
?
j=l
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x Для первой суммы в правой части равенства (
s19.46hc
258) используем формулу (
s13.46hc
253) при b = x Получим k
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| ?
k
?
j=1
(|f (?
j
)|
?M

+ |f (?
j
)|
?M
)|?x j
| ? 2M
k
?
j=1
|?x j
| = 2M (x k
? Тогда k
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| < 2M (x k
? a) < 2M (x k?1
+ (x k
? x k?1
) ? a) ? 2M (? + (x k?1
? x k
) ? Используя далее опредeление величин ? и |?x k
|
, из последнего неравенства получаем k
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| < 2M (? + (x k?1
? x k
) ? a) ? 2M (a +
?
32M
+ ?x k
? a) = 2M
?
32M
+ 2M ?x k
?
?
?
16

+ 2M ? ?
?
16
+ Мы показали, что k
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| тую сумму в равенстве (
s19.46hc
258) оцениваем, исходя из неравенства (
s18.46hc
257). Получаем l?1
?
j=k+1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| <
?
6(b?a)
l?1
?
j=k+1
|?x j
| =
=
?
6(b?a)
(x k+1
? x k
+ x k+2
? x k+1
+ . . . + x l?2
? x l?3
+ x l?1
? x l?2
) =
?
6(b?a)
(x l?1
? x k
) ?
?
6(b?a)
(b ? a) Итак, для второй суммы равенства (
s19.46hc
258) справедливо неравенство l?1
?
j=k+1
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| Третья сумма в правой части равенства (
s19.46hc
258) оценивается аналогично первой. Из формулы (при а = x находим n
?
j=l
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| ?
n
?
j=l
(|f (?
j
)|
?M

+ |f (?
j
)|
?M
)|?x j
| ? 2M
n
?
j=l
|?x j
| = 2M (b ? x Тогда n
?
j=l
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| < 2M (b ? x l?1
) < 2M (b ? x l
+ (x l
? x l?1
)) ? 2M (b ? ? + (x l
? x ибо, по определению, ? ? [x l?1
, x и поэтому ? ? x Используя далее опредeление величин ? и |?x l
|
, из последнего неравенства получаем n
?
j=l
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| < 2M (b ? ? + (x l
? x l?1

)) ? 2M (b ? (b ?
?
32M
) + ?x l
) = 2M
?
32M
+ 2M ?x l
?
?
?
16

+ 2M ? ?
?
16
+ Мы показали, что n
?
j=l
|f (?
j

) ? f (?
j
)||?x j
| <
?
8
(261)
s22.46hc
94

Подставляя неравенства (
s20.46hc
259), (
s21.46hc
260) ив формулу (
s19.46hc
258), получим n
?
j=1
|f (?
j

) ? f (?
j
||?x j
| <
?
8
+
?
6
+
?
8
=
5?
12
< и интегрируемость (по Риману) функции f(x) следует из теоремы def def int
46.3. Теорема def def int
46.4 доказана. Интегрируемость монотонной функции int monotone Теорема def def int
46.6. Всякая монотонная на отрезке [a, b] функция f(x) интегрируема (по Риману)
на нјм.
Д ока за тел ь ст в Не ограничивая общности, можно считать, что функция f(x) на отрезке [a, b] не убывает. Тогда на любом содержащимся в [a, b] отрезке е наибольшее значение принимается на правом конце отрезка,

а наименьшее значенние  на левом конце. Поэтому для всех точек ?
k и ?
k из отрезка ?x k
= [x k?1

, x выполнено неравенство |f(?
k

) ? f (?
k
)| ? f (x k
) ? f (x Пусть теперь задано произвольное ? > 0. Положим ? =
?
f (b)?f (Тогда для любого разбиения такого, что max |?x k
| < ?
будeт n
?
k=1
|f (?
k

) ? f (?
k
||?x k
| < ?
n
?
k=1
(f (x k
) ? f (x k?1
)) =
= ?(f (x
1
) ? f (x
0
) + f (x
2
) ? f (x
1
) + f (x
3
) ? f (x
2
) + . . . + f (x n?1
) ? f (x n?2
) + f (x n
) ? f (x n?1
)) =
= ?(f (x n
) ? f (x
0
)) = ?(f (b) ? f (a)) =
?
f (b)?f (a)
(f (b) ? f (a)) = см. также определения величин и x
n для разбиения T в (
s11.46hc
242) в п sums
46.1 начала этого параграфа).
Таким образом, функция f(x) удовлетворяет условию (
s14.46hc
254) и е интегрируемость следует из теоремы def def int
46.3. Теорема def def int
46 доказана def int
47 Геометрический смысл определјнного интеграла. Геометрический смысл определјного интеграла def Согласно п sums
46.1 в џ
def def int
46 (см. геометрический смысл сумм Дарбу в этом п, если f(x) ? 0 всюду на отрезке [a, b], то b
?
a f (x) dx означает площадь криволинейной трапеции, то есть площадь фигуры,
ограниченной:
1. сверху  графиком функции y = f(x);
2. снизу - осью абсцисс Ox;
3. справа  вертикальной прямой x = b;
4. слева  вертикальной прямой x = Читателю рекомендуется самостоятельно сделать чертјж этой фигуры.
Более подробны пояснения см. в џ
S set def int
54.
95

џ
prop def int
48 Основные свойства опредeлјнного интеграла. Основные свойства определјнного интеграла def int
48.1. Линейность def int lin def Теорема prop def int
48.1. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на отрезке [a, b] функции, a ? и ? постоянные числа. Тогда функция ?f(x) + ?g(x) также интегрируема на отрезке [a, b] и имеет место равенство b
?
a

(?f (x) + ?g(x)) dx = ?
b
?

a f (x) dx + ?
b
?
a g(x) При ? = ? = 1 из теоремы prop def int
48.1 следует, что интеграл суммы равен сумме интегралов.
При ? = 1 и ? = ?1 из теоремы prop def int
48.1 следует, что интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от них.
Для ? = 0 из равенства (
s01.48hc
262) следует, что постоянный множитель ? можно выносить за знак определјнного интеграла.
Теорема prop def int
48.1 следует из аналогичных свойств предела и суммирования (x)+?g(x)) dx =
lim max |?x k
|?0
n
?
k=1
(?f (?
k
)+?g(?
k
))|?x k
| =
lim max |?x k
|?0
(
n
?
k=1
?f (?
k
)|?x k
|+?g(?
k
)|?x k
|) =
=
lim max |?x k
|?0
(
n
?
k=1
(?f (?
k
) +
n
?
k=1
?g(?
k
))|?x k
| =
lim max |?x k
|?0
n
?
k=1
?f (?
k
) +
lim max |?x k
|?0
n
?
k=1
?g(?
k
)|?x k
| =
=
lim max |?x k
|?0
?
n
?
k=1
f (?
k
)+
lim max |?x k
|?0
?
n
?
k=1
g(?
k
)|?x k
| = ?
lim max |?x k
|?0
n
?
k=1
f (?
k
)+?
lim max |?x k
|?0
n
?
k=1
g(?
k
)|?x k
| =
= ?
b
?

a f (x) dx + ?
b
?
a g(x) dx.
Teopeма prop def int
48.1 доказана. Интегрируемость произведения def int prod def Теорема prop def int
48.2. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и также интегрируема на том же отрезке.
Д ока за тел ь ст в Напоминаем (см. самое начало џ
def def int
46), что f(x) ограниченная функция на отрезке [a, b] и = sup
[a,b]
|f (x)|.
Берјм произвольное ? > 0. По теореме def def int
46.3 для числа
?
2M
найдјтся такое ? > 0, что для всякого разбиения T такого, что max |?x k
| < и всех точек ?
k

? ?x и ?
k
? ?x выполнено неравенство n
?
k=1
|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| Рассмотрим n
?
k=1
|f
2
(?
k
) ? f
2
(?
k
)||?x k
| =
=
n
?
k=1
|f (?
k

) + f (?
k

)||f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| ?
n
?
k=1
(|f (?
k

)| + |f (?
k

)|)|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| ?
? 2M
n
?
k=1
|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| < 2M
?
2M
= Мы показали, что n
?
k=1
|f
2
(?
k
) ? f
2
(?
k
)||?x k
| < то есть функция удовлетворяет неравенству (
s14.46hc
254), и по теореме def def int
46.3 (интегрируема (по
Риману) на отрезке [a, b]. Теорема prop def int
48.2 доказана

Следствие prop def int
48.1. Если f(x) и g(x) интегрируемые (по Риману) функции, то и их произведение) также интегрируемая (по Риману) функция.
Легко вытекает из теорем prop def int
48.1 и prop def int
48.2 и равенства f(x)g(x) =
1 4
((f (x) + g(x))
2
? (f (x) ? Следует отметить, что формулы для определјнного интеграла от произведения функций, также,
как и для неопределјнного интеграла, нет. охранение неравенств при интегрировании pos func int pos Лемма prop def int
48.1. Если для всех x ? [a, b] функция f(x) ? 0 и интегрируема (по Риману) на отрезке [a, b], то b
?
a f (x) dx ? В самом деле, все слагаемые в интегральной сумме Римана (
s10.46hc
251) неотрицательные, и поэтому и вся сумма, а также и предел от не, то есть b
?
a f (x) dx неотрицателен. Лемма prop def int
48.1 доказана.
Теорема prop def int
48.3. Пусть для всех x ? [a, b] f(x) ? g(x) и обе функции f(x) и g(x) интегрируемые
(по Риману) на отрезке [a, b]. Тогда b
?

a f (x) dx ?
b
?
a g(x) Доказательств Если f(x) ? g(x), то их разность f(x) ? g(x) ? 0, и по лемме prop def int

48.1 0 ?
b
?
a
(f (x) ? g(x)) dx =
b
?

a f (x) dx ?
b
?
a g(x) dx по теореме prop def int
48.1. Поэтому b
?

a f (x) dx ?
b
?
a g(x) и теорема prop def int
48.3 доказана. Разбиение промежутка интегрирования int seg add int Теорема prop def int
48.4.
1. Если f(x) интегрируема (по Риману) на отрезке [a, b], то она интегрируема и на любом его
подотрезке [c, d] ? [a, b].
2. Если существуют c
?
a f (x) dx и f (x) dx(c ? (a, то существует и b
?
a f (x) dx и верно равенство b
?
a f (x) dx =
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) Доказательств. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то, согласно теореме def def int
46.3, для любого положительного числа ? найдјтся такое ? > 0, что для всякого разбиения T
b новое обозначение разбиения) такого что max |?x x
| < и всех точек ?
k

? ?x и ?
k
? ?x выполнено неравенство a
|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| < новое обозначение интегральных сумм Римана по разбиению T
b a
).
Берјм любое разбиение T
d отрезка [c, d] такое, что max |?x k
| < ?
(265)
s04.48hc и продолжим его навесь отрезок [a, b] c coxpaнeнием условия (
s04.48hc
265). При этом (так как добавляться будут только неотрицательные слагаемые) сумма Римана поданному разбиению не уменьшится и неравенство (
s03.48hc
264) для него сохранится. Тогда п теоремы prop def int
48 следует из теоремы def def int
46.3.
97

2. Пусть теперь функция f(x) интегрируема (по Риману) на отрезках [a, c] и [c, b]. Берјм произвольное число ? > 0. По теореме def def int
46.3 (см. п int
46.4 в џ
def def int
46) для числа
?
6

найдутся ?
1
> и ?
2
> такие, что для любых разбиений T
c отрезка [a, c] такого, что | max |?x k
| < и T
b отрезка [c, удовлетворяющего условию max |?x k
< выполнены неравенства a
|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| ?
c
?
a f (x) dx| и c
|f (?
k

) ? f (?
k
)||?x k
| ?
b
?

c f (x) dx| Пусть теперь = min(?
1
, напоминаем, что M = sup [a, b]|f(x)|). Берјм произвольное разбиение T = T
b a
= {a = x
0
< x
1
<
x
2
. . . < x n?1
< x n
= отрезка [a, b] такое, что выполнено условие (
s04.48hc
265). Рассмотрим два случая Точка с входит в разбиение T
b и, например, c = x так определяется число m). Тогда n
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| =
m
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| +
n
?
k=m+1
f (?
k
)|?x и |
n
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| =
= |(
m
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| ?
c
?
a f (x) dx) + (
n
?
k=m+1
f (?
k
)|?x k
| ?
b
?

c f (x) dx) ?
? |
m
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| ?
c
?
a f (x) dx| + |
n
?
k=m+1
f (?
k
)|?x k
| ?
b
?
c f (x) dx| <
?
6
+
?
6
=
?
3
< ввиду неравенств (и (
s06.48hc
267) ибо в первом модуле стоит сумма Римана по разбиению отрезка [a, c], a во втором модуле интегральная сумма по разбиению отрезка ]c, b]. Итак, доказано неравенство (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| = |
n
?
k=1
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| <
?
3
(269)
s08.48hc
2.2 Точка c не входит в разбиение T. Тогда она должна войти в некоторый интервал c ? (x m?1
, x m
) ? [x m?1
, x m
] = ?x Точку c добавим к этому разбиению и новое разбиение с добавленной точкой с обозначим за При этом соответствующие слагаемые в новой интегральной сумме
Римана будут f(c)(c ? x и f(c)(x m
? c),

a слагаемое f(?
m
)|?x m

| = f (?
m
)(x m
? x m?1
)
уйдјт. Для интегpальной суммы Римана по разбиению справедливо неравенство (
s08.48hc
269):
|
?
T
1
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?

c f (x) dx)| Однако интегральные cуммы Римана в разбиениях T и изменились лишь водном (м) месте и их разность будет равна ?
T
f (?
k
)|?x k
| ?
?
T
1
f (?
k
)|?x k

| = f (?
m
)|?x m
| ? f (c)(c ? x m?1
) ? f (c)(x m
? виду неравенств (
s04.48hc
265) и (
s10.48hc
268) |?x m
| = x m
? x m?1
<
?
6M
,
a также c ? x и x m
? c напоминаем, что M = sup
[a,b]
|f (x)|).

Тогдa | ?
T
f (?
k
)|?x k
| ?
?
T
1
f (?
k
)|?x k
||
=

= |f (?
m
)|?x m
| ? f (c)(c ? x m?1
) ? f (c)(x m

? c)| ? |f (?
m
)||?x m
| + |f (c)|(c ? x m?1
) + |f (c)|(x m
? c) <
< M
?
6M
+ M
?
6M

+ Доказано неравенство (?
k
)|?x k
| ?
?
T
1
f (?
k
)|?x k
|| <
?
2
(271)
s11.48hc
98

Из неравенств (
s09.48hc
270) и (
s11.48hc

271) получаем | ?
T
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| =
= |
?
T
f (?
k
)|?x k
| ?
?
T
1
f (?
k
)|?x k
|) + (|
?
T
1
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?

c f (x) dx)|) ?
? |
?
T
f (?
k
)|?x k
| ?
?
T
1
f (?
k
)|?x k
|| + ||
?
T
1
f (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| <
?
2
+
?
3
=
5?
6
< Показано неравенство (?
k
)|?x k
| ? (
c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx)| < Неравенство (
s12.48hc
272) означает, что c
?
a f (x) dx +
b
?
c f (x) dx =
lim max |?x k
|?0
?
T
f (?
k
)|?x который, по определению интеграла Римана (см. определение def def int
46.8 в п Rieman's sums
46.2 џ
def def int
46, равенство (
s10.46hc
251)), равен b
?
a f (x) dx.
Teopeма prop def int
48.4 полностью доказана.
Простым следствием теоремы prop def int
48.4 является следующая теорема prop def int
48.5. Если точки {c
1
, c
2
, . . . , c n
} ? (a, то имеет место равенство b
?
a f (x) dx =
c
1
?
a f (x) dx+
c
2
?
c
1
f (x) dx+. . .+
c n
?
c n?1
f (x) dx+
b
?
c n
f (x) dx =
c
1
?
a f (x) dx+
n?1
?
k=1
c k+1
?
c k
f (x) dx+
b
?
c n
f (x) dx,
(273)
s13.48hc причјм из существования левой части формулы (
s13.48hc
273) cледует существование е правой части и наоборот.
Для доказательства теоремы prop def int
48.5 надо применить метод математической индукции по числу точек c
1
, c
2
, . . . c и использовать теорему prop def int
48.4. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.
Из теорем def def int
46.5 (см. џ
def def int
46, пи легко следует и обобщение теоремы def def теорема def def Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] имеет лишь конечное число точек ограниченного разрыва c
1
, c
2
, . . . c а в остальных точках отрезка [a, b] функция f(x) непрерывна.
Тогда f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, Доказательств самом деле, по теореме def def int
46.5, существуют интегралы от всех слагаемых правой части равенства. Поэтому, то теореме prop def int
48.5, существует и b
?
a f (x) Теорема prop def int
48.6 доказана f (x) dx в случае a > b.
int if inv lim int if inv Определение prop def int
48.1.
a
?

b f(x) dx = ?
b
?
a f(x) dx и a
?
a f(x) dx = Используя уже доказанную теорему prop def int
48.3 для a < b, читателю предлагается распространить п.2
этой теоремы и на случай a ? b.
99

49. Теорема о среднем значении value int
џ
mean value int
49 Теорема о среднем значении. Интеграл от модуля def int mod def Теорема mean value int
49.1. Если функция f(x) интегрируемая по Риману на отрезке [a, b], то и также интегрируем по Риману на том же отрезке и имеет место неравенство f (x) dx| ?
b
?
a
|f (x)| Доказательств Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то, по теореме def def int
46.3 для любого положительного числа ? найдјтся такое ? > 0, что для всякого разбиения T такого, что max |?x k
| < и всех точек ?
k