Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 11 из 18

Пусть существует другое представление) = ?
S
n?m
(z)Q
m

(z) + ?
R
j
(z)
, где j < Вычтем из (
s02.31hc
182) (
s03.31hc
183). Получим 0 = P
n
(z) ? P
n
(z) = (S
n?m

(z) ? ?
S
n?m
(z))Q
m
(z) + R
k
(z) ? Перенеся оба остатка в левую часть последнего равенства, выводим, что) ? R
k
(z) = (S
n?m
(z) ? Однако многочлены, стоящие в левой и правой частях равенства (
s04.31hc
184), разных степеней, если) ?= степень многочлена в левой части меньше, чем m (ибо k < m и j < m), a степень многочлена в правой части больше, чем m. Поэтому S
n?m
(z) = Подставляя полученное равенство в (
s04.31hc
184), получаем, что и остатки R
k
(z) = то есть представление по формуле (
s02.31hc
182)
eдинственно.
Рассмотрим тепрь случай, когда степень m = 1. Тогда степень остатка может быть только равна нулю, то тесть остаток будет комплексным числом, независящим от переменной z. Получится равенство) = S
n?1
(z)(z ? c) + Теорема polinoms
31.5 (Безу).
Остаток при делении многочлена на одночлен z ? c равен значению многочлена в точке c (то есть R = Следствие polinoms
31.1. Если P
n
(c) = то делится на z ? c без остатка, то есть тогда справедливо равенство) = (z ? c)P
n?1
(z).
(186)
s06.31hc
31.2. Решение алгебраических уравнений. Основная теорема алгебры eq alg Определение polinoms
31.6. Алгебраическим уравнением й степни называется уравнение вида) = где P
n
(z)
 многочлен й степени.
(187)
s08.31hc
Определение polinoms
31.7. Число называется корнем многочлена ли P
n
(z
1
) = или является решением алгебраического уравнения (Теорема polinoms
31.6 (основная теорема алгебры, Гаусс)
Bcякий многочлен с комплексными коэффициентами не ниже первой степени имеет хотя бы один комплексный корень.
То есть, в отличие от множества действительных чисел, где даже неразрешимо уравнение второй степени (
s01.30hc
161) см. п в џ
complex numbers
30), на множестве комплексных чисел всякое алгебраическое уравнение имеет решения.
Теорема polinoms
31.6 (основная теорема алгебры, доказанная К.Гауссом) доказывается в курсе Теория функций комплексной переменной(или теории аналитических функций

31.3. Корни многочлена и их кратности. Разложение многочлена на множители По основной теореме алгебры, всякий многочлен й степени должен иметь корень, который мы обозначим за Тогда, по формуле (
s06.31hc
186), P
n
(z) = (z ? Многочлен также должен иметь корень, который мы обозначим за и , по формуле (
s06.31hc
186), P
n?1
(z) = (z ? то есть P
n
(z) = (z ? z
1
)(z ? Продолжая этот процесс n раз, получаем равенство) = (z?z
1
)(z?z
2
) . . . (z?z где P
0
 многочлен нулевой степени, то есть постоянная величина.
Сравнивая в последнем равенстве ив формуле (
s01.31hc
181) коэффициенты при z получим) = c n
(z ? z
1
)(z ? z
2
) . . . (z ? z Итак, доказаны следующие два утверждения:
теорема polinoms
31.7. Всякий многочлен й степени можно разложить на линейные множители. и теорема сякое алгебраическое уравнение й степени может иметь не более, чем n решений (или любой многочлен й степени имеет не более, чем n корней).
Контрпримеp polinoms
31.2. Многочлен второй степени z
2
? 2z + 1 = (z ? имеет один корень z = То есть числа z в формуле (
s09.31hc
188) могут повторяться.
В равенстве (
s09.31hc
188) соберјм вместе все одинаковые корни. Получим) = c n
(z ? z
1
)
k
1
(z ? z
2
)
k
2
. . . (z ? z j
)
k j
. . . (z ? z l
)
k l
,
(189)
s10.31hc где z
1
, z
2
, . . . , z l
 попарно различные комплексные числа.
Определение polinoms
31.8. Степень k в формуле (
s10.31hc
189) называется кратностью корня z Определение polinoms
31.9. Корень первой кратности называется простым.
Можно дать и такое определение кратности корня:
Определение polinoms
31.10. число называется корнем кратности k многочлена если) = (z ? z
0
)
k
Q
n?k
(z)
, где Q
n?k
(z)
 многочлен степени n ? k и Q
n?k
(z
0
) ?= Из равенства (
s10.31hc
189) легко следует формула k
1
+ k
2
+ . . . k l
=
l
?
j=1
k j
= n,
(191)
s12.31hc то есть сумма всех кратностей корней равна степени многочлена. Тогда можно уточнить теорему теорема polinoms
31.9. Любой многочлен й степени имеет ровно n комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Разложение на множители многочлена с вещественными коэффициентами Рассмотрим теперь многочлен) = a
0
+ a
1
z + a
2
z
2
+ . . . + a n
z n
=
n
?
k=0
a k
z k
,
(192)
s13.31hc где коэффициенты a k
 действительные числа

Teopeма polinoms
31.10. Для многочлена с вещественными коэффициентами имеет место равенство) = Доказательств По теоремами (см. пи п comp
30.4 в џ
complex numbers
30) имеем) =
n
?
k=0
a k
z k
=
n
?
k=0
a k
z k
=
n
?
k=0
a k
z k
=
n
?
k=0
a k
(z)
k
= P
n
(z).
Teopeма polinoms
31.10 доказана.
Из тeopeмы polinoms
31.10 легко вытекает (ибо 0 = следствие Для многочлена с действительными коэффициентами P
n
(z
0
) = тогда и только тогда, когда P
n
(z
0
) = Теорема polinoms
31.11. Число является корнем многочлена с действительными коэффициентами
P
n
(z)
кратности k тогда и только тогда, когда сопряжјнное ему число будет корнем того же многочлена и той же кратности Доказательств По равенству (
s11.31hc
190) выделяем среди множителей как z ? таки Получим) = (z ? z
0
)
k
(z ? z
0
)
k
Q
n?2k
(z) = ((z ? z
0
)(z ? z
0
))
k
Q
n?2k
(z)
, где Q
n?2k
(z
0
) ?= 0,
(194)
s15.31hc и, следовательно, последствию Теорема polinoms
31.11 доказана.
Однако (z ? z
0
)(z ? z
0
) = z
2
? (z
0
+ z
0
)z + z
0
z
0
= z
2
? 2Re(z
0
)· z + см. лемму complex numbers
30.1 в п comp
30.4 џ
complex равенство (
s08.30hc
167))  это многочлен второй степени с действительными коэффициентами. Поэтому и тоже должен быть многочленом с вещественными коэффициентами. Поэтому верна теорема polinoms
31.12. Bсякий многочлен с вещественными коэффициентами разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей. Причјм можно оставить лишь те его квадратичные множители, которые не имеют действительных корней (иначе его, например, по теореме Виета,
можно представить в виде произведения линейных множителей качестве задачи предлагаю доказать, что любой многочлен нечјтной степени с вещественным коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Впрочем, это можно установить и из теоремы Коши о свойствах функции, непрерывной на отрезке func
32 Разложение правильной рациональной дробина элементарные. Разложение правильной рациональной дробина элементарные. Определение рациональной функции (дроби. Правильные и неправильные дроби rat func def rat Определение rat func
32.1. Рацинальной функцией (или рациональной дробью) называется отношение двух многочленов) = R
n,m
(z) Определение rat func
32.2. Рациональная дробь называется правильной, если степень е числителя меньше, чем степень е знаменателя в противном случае рациональная дробь называется неправильной.
В частности, если степени числителя и знаменателя равны, то рациональная дробь неправильная.
На множестве действительных чисел имеет место следующая теорема rat func

32.1. Рациональная дробь является правильной тогда и только тогда, когда lim x??
R(x) = 0.
72

Доказательств Пусть P
n
(x) = a n
x n
+ a n?1
x n?1
+ . . . + a
1
x + и Q
m
(x) = b m
x m
+ b m?1
x m?1
+ . . . + b
1
x + где a
n
?= и b m
?= Тогда рациональную дробь R(x) представим в виде) =
x n
x m
a n
+
a n?1
x
+ . . . +
a
1
x n?1
+
a
0
x n
b m
+
b m?1
x
+ . . . +
b
1
x m?1
+
b
0
x m
(195)
s01.32hc
Bce слагаемые во второй дроби равннства (
s01.32hc
195), за исключением первых ( a и b m
) стремятся к нулю при x ? ?. Поэтому предел второй дроби при x ? ? равен a
n b
m
?= 0.
B cлучае правильной рациональной дроби, когда n < m,

lim x??
x n
x m

= и поэтому из равенства) следует, что lim x??
R(x) = Если же n = m, то x
n x
m

= и, учитывая ранее найденный предел второй дроби, получим, что lim x??
R(x) =
a n
b m
?= Когда же n > m правильной будет дробь
1
R(x)
,
и, по доказанному ранее (для случая n < m)

lim x??
1
R(x)

= то есть R(x) даже является бесконечно большой при x ? ? и поэтому, естественно, к нулю не идјт. Таким образом, lim x??
R(x) = может быть в томи только в том случае, когда n < то есть рациональная дробь R(x) правильная. Теорема rat func
32.1 доказана.
Тогда из теорем limit of function
7.10 и limit of function
7.13 (см. п functions
7.9 в џ
limit of function
7) вытекает следующая теорема rat Сумма и произведение правильных рациональных дробей является правильной рациональной дробью.
Аналогичная теорема справедлива и на множестве комплексных чисел. Определение элементарной (простейшей) дроби frac simplest Определение rat func
32.3. Элементарной (или простейшей) дробью на множeстве комплексных чисел называется функция вида где c и ?  комплексные постоянные числа комплексная переменная и k  целое положительное число.
Определение rat func
32.4. Элементарной (или простейшей) дробью на множeстве действительных чисел называется одна из функций следующего вида
1.
а
(
х??)
k
;
2.
ax+b
(
x
2
+
px+q)
k
,
где a, b, ?, p и q вещественные постоянные числа, удовлетворяющие условию p
2
< то есть знаменатель не имеет действительных корней, x  вещественная переменная и k  целое положительное число. Pазложение правильной рациональной дробина элементарные. Формулировка теоремы th formulation Имеет место следующая теорема rat func
32.3. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных. Доказательство теоремы на множестве комплексных чисел Согласно формуле (
s10.31hc
189) знаменатель дроби) многочлен разложим на линейные множители) = C
m
(z ? z
1
)
k
1
(z ? z
2
)
k
2
. . . (z ? z j?1
)
k j?1
(z ? z j
)
k j
. . . (z ? z l
)
k l
, где k
1
+ k
2
+ . . . + k l
= m > n.
proof Сначала покажем, что R(z) можно свести к сумме правильных дробей, у которых числители будут постоянными величинами.
Для этого сначала многочлен представим по степеням z ? Для чего можно, например ? обозначить зато есть z = w + ив формуле для многочлена P
n
(z) = P
n
(w + раскроем скобки при соответствующих степенях. Получим некоторый многочлен й степени относительно переменной w, куда затем вместо w подставим z ? Если n ? то все степени числителя сократятся с первым множителем знаменателя y Q
m
(z) = (z ? z
1
)
k
1
. . . то есть рациональная функция
R(z)
перейдјт в сумму рациональных дробей, у которых числители будут постоянными величинами.
Если же n > то после этих сокращений степень числителя уменьшится на Представим далее числитель по степенями проведјм дальнейшее сокращение. Тогда степень числителя уменьшится на k
1
+k
2
A так как k
1
+k
2
+. . . k l
> то найдјтся такое j ? l, что k
1
+k
2
+. . .+k j?1
? но k
1
+ k
2
+ . . . + k j?1
+ k j
> Тогда после ( j - 1 го шага степени числителей станут не более, чем n ? k
1
? k
2
? . . . ? k j?1
< k и разлагая далее все полученные числители по степням z ? z j
,
после
сокращения далее сомножителем в знаменателе умы получим сумму правильных рациональных функций, у которых числители будут постоянные величины.
Итак можно считать, что n = 0, то есть числитель P
n
(z) = P
 постоянная величина. Для пары различных множителей знаменателя рассмотрим следующее преобразование (замы обозначаем остальное произведение в равенстве (
s02.32hc
196) для Q
m
(z)) :
R(z) =
P
(z?z
1
)
k1
(z?z
2
)
k2
S
m?k1?k2
(z)
=
P
z
2
?z
1
(z?z
1
)?(z?z
2
)
(z?z
1
)
k1
(z?z
2
)
k2
S
m?k1?k2
(z)
=
=
P
z
2
?z
1
(
z?z
1
(z?z
1
)
k1
(z?z
2
)
k2
S
m?k1?k2
(z)
?
z?z
2
(z?z
1
)
k1
(z?z
2
)
k2
S
m?k1?k2
(z)
) =
=
P
z
2
?z
1 1
(z?z
1
)
k1?1
(z?z
2
)
k2
S
m?k1?k2
(z)
?
P
z
2
?z
1 Получилась сумма правильных рациональных дробей, знаменатели у которых уменьшились на единицу. Будем так поступать со всяким слагаемым, в знаменателе которого будут различные линейные множители.Тем самым степени знаменателей всј время будут уменьшаться.
Однако до бесконечности это продолжаться не может степени всех множителей в знаменателе всј же должны быть положительными. А прекратится этот процесс может лишь тогда, когда у всех cлагаемых не останется даже пары линейных множителей, то есть все линейные множители знаменателя будут одинаковые. А это, с учјтом того, что ранее числитель мы довели до постоянной величины, уже и будут элементарные дроби. Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы элементарных на множестве комплексных чисел доказана. Доказательство теоремы на множестве действительных чисел real proof Будем рассматривать лишь случай, когда знаменатель имеет комплексные корни. Если комплексных корней у знаменателя нетто он представляется в виде произведения линейных множителей, и теорема тогда доказывается также, как и на множестве комплексных чисел.
Более того, будем избавляться только от квадратичных множителей, не имеющих вещественных корней далее заканчиваем доказательство так, как на множестве комплексных чисел в п comp
32.4.
74

Итак) где n < m и по теореме polinoms
31.12
Q
m
(x) = (x
2
+ px + q)
k
S
m?2k
(x),
(197)
s09.32hc причјм x
2
+ px + q имеет лишь комплексные корни ? ± i? при ? ?= 0, a также S
m?2k
(? + i?) ?= 0
( k  это кратность корня ? + i? многочлена Q
m
(x)).
Подберјм действительные числа M итак, чтобы) = (M x + N )S
m?2k
(x) + (x
2
+ px + q)T
l
(x),
(198)
s03.32hc где степень многочлена T
l
(x) l ? max(n ? 2, m ? 2k + 1 ? 2) = max(n ? 2, m ? 2k ? Для этого нужно подобрать действительные числа M итак, чтобы число ?+i? было бы корнем многочлена P
n
(x) ? (M x + N то есть + i?) ? (M (? + i?) + N )S
m?2k
(? + i?) = 0
, или (? + i?) + N =
P
n
(? + i?)
S
m?2k
(? + Но так как S
m?2k
(? + i?) ?= то деление на него возможно и правая часть равенства (является некоторымкомплексным числом a + ib, то есть получилось равенство (? + i?) + N =
P
n
(? + i?)
S
m?2k
(? + i?)
= a + Приравняв в левой и правой частях равенства (
s06.32hc
201) их действительные и мнимые части, получим,
что
? M ? + N = a
M ? = b
(202)
s08.32hc
A так как ? ?= 0, то система линейных уравнений (
s08.32hc
202) относительно неизвестных M и N разрешима (читатель может даже написать е решение).
Тогда при найденных действительных числах M и N число ? + i?, a также, по теореме см. п pol
31.4 в џ
polinoms
31), и число ? ? i? являются корнями многочлена P
n
(x) ? (M x + то есть,
применяя теорему polinoms
31.11 для многочлена P
n
(x) ? (M x + получаем равенство) ? (M x + N )S
n?2k
(x) = (x
2
+ px + при некотором многочлене откуда и вытекает формула (В числитель ив знаменатель) подставив вместо его выражение по формуле, a вместо Q
M
(x)
 его выражение по формуле (
s09.32hc
197), получим) =
P
n
(x)
Q
m
(x)
=
(M x+N )S
n?2k
(x)+(x
2
+px+q)T
l
(x)
(x
2
+px+q)
k
S
m?2k
(x)
=
(M x+N )S
m?2k
(x)
(x
2
+px+q)
k
S
m?2k
(x)
+
(x
2
+px+q)T
l
(x)
(x
2
+px+q)
k
S
m?2k
(x)
=
=
M Доказано равенство) =
M x + N
(x
2
+ px + q)
k
+
T
l
(x)
(x
2
+ px + Первое слагаемое в правшй части равенства (
s10.32hc
203) является элементарной дробью на множестве действительных чисел. А второе слагаемое  это правильная рациональная дробь, в знаменателе которой степень у x
2
+ px + q на единицу меньше. Продолжая этот процесс дальше, мы избавляемся в знаменателе от множителя x
2
+ px + q и от всех лстальных множителей второй степени. А
линейные множители преобразуем также, как в комплексном случае. В результате получаем сумму элементарных дробей и теорема rat func
32.3 доказана

32.6. Метод неопределјнных коэффициертов.
undef coff undef На практике пользоваться предложенным в п real
32.5 пользоваться достаточно тяжело и чаще применяется метод неопределјнных коэффициентов. рассмотрим его наследующем примере.
Пример rat func
32.1. Представить в виде суммы элементарных
1
(x+1)
2
(x
2
+1)
Отметим, что знаменатель дроби уже разложен на линейные и квадратичный множитель, не имеющий действительных корней. Знаменатели элементарных дробей должны иметь те же множители,
что и сама исходная рациональная дробь. Поэтому эти элементарные дроби будут вида a
k
(x+1)
k при k = 1, и bx+c то есть должно быть + 1)
2
(x
2
+ 1)
=
a
1
x + 1
+
a
2
(x + 1)
2
+
bx + c x
2
+ 1
(204)
s11.32hc
Приведјм дробь в (
s11.32hc
204) к общему знаменателю.
1
(x+1)
2
(x
2
+1)
=
a
1
(x+1)(x
2
+1)+a
2
(x
2
+1)+(bx+c)(x+1)
2
(x+1)
2
(x
2
+1)
=
a
1
x
3
+a
1
x
2
+a
1
x+1+a
2
x
2
+a
2
+(bx+c)(x
2
+2x+1)
(x+1)
2
(x
2
+1)
=
a
1
x
3
+a
1
x
2
+a
1
x+a
1
+a
2
x
2
+a
2
+bx
3
+2bx
2
+bx+cx
2
+2cx+c
(x+1)
2
(x
2
+1)
=
(a
1
+b)x
3
+(a
1
+a
2
+2b+c)x
2
+(a
1
+b+2c)x+(a
1
+a
2
+c)
(x+1)
2
(x
2
+1)
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей полученного равенства. Причјм x отсутствие x в некоторой степени в левой части этого равенства означает, что коэффициенту этой степени x равен нулю. Получаем следующую систему из четырјх линейных уравнений с четырьмя неизвестными a
1
, a
2
, b и c.
?
?
?
?
?
?
?
a
1
+ b = 0
a
1
+ a
2
+ 2b + c = 0
a
1
+ b + 2c = 0
a
1
+ a
2
+ c = Эту систему можнорешить, например, методом Гаусса. Можно использовать и специальный вид этой системы. Например, если мы вычтем из е третьего уравнения первое, то получим, что 2c = или c = 0. Из первого уравнения мы устанавливаем, что b = и подставим это во второе уравнения.
С учјтом того, что ранее мы определили, что c = 0, из второго и четвјртого уравнений получаем
?
а
2
? a
1
= 0
a
1
+ a
2
= Складывая далее оба уравнения полученной системы (
s13.32hc
206), находим, что 2a
2
= или a
2
=
1 Тогда из первого уравнения системы (
s13.32hc
206) получаем, что a
2
= a
1
=
1 Ранее мы определили, что b = ?a
1
= ?
1 и c = 0. Подставив найденные значения a
1
, a
2
, b ив равенство (
s11.32hc
204), получаем разложение правильной рациональной функции
1
(x+1)
2
(x
2
+1)
на элементарные + 1)
2
(x
2
+ 1)
=
1 2(x + 1)
+
1 2(x + 1)
2
?
x
2(x
2
+ 1)
(207)
s14.32hc
76

VII НЕОПРЕДЕЛњННЫЙ ИНТЕГРАЛ int
33 Основная лемма интегрального исчисления.
Первообразная от функции.
Множество всех первообразных от функции
(неопределјнный интеграл. Первообразня от функции. Основная лемма интегрального исчисления. Множество всей первообразных от функции
(неопределјнный интеграл int undef int
33
Oпределение undef int
33.1. Первообразной от f(x) называется функция F (x), производная которой всюду равна заданной (то есть F
?
(x)
dF
dx
= f (Пример undef int
33.1. Первообразной от функции f(x) = x является (x) =
x
2 ибо 2
)
?
=
1 2
(x
2
)
?
=
1 2
(2x) = Контрпример undef int
33.1. Первообразной от функции f(x) = x является (x) =
x
2 2
+ ибо 2
)
?
+ 1
?
=
1 2
(x
2
)
?
+ 0 =
1 2
(2x) = Таким образом, одна и та же функция может иметь несколько первообразных.
В качестве задачи предлагаю Вам доказать, что если первообразная от функции f(x) существует,
то их бесконечно много.
Teopема undef int
33.1. Если F (x) и G(x) первообразные от одной и той же функции f(x), то их разность тщждественная постоянная (то есть F (x) ? G(x) ? Доказательств Если F
?
(x) = G
?
(x) = f (то (F (x) ? G(x))
?
= F
?
(x) ? G
?
(x) = f (x) ? f (x) = и ввиду следствия из теоремы Лагранжа (см. п Лагранж в џ
Roll
19) разность F (x)?G(x) тождественная постоянная. Теорема undef int
33.1 доказана.
Определение undef int
33.2. Множество всех первообразных от функции f(x) называется е неопре- делјнным интегралом. Запись ? f(x) Ранее (м. пример undef int
33.1) было показано, что x dx =
x
2 2
+ Пример undef int
33.2.
?
1
x dx = ln |x| + c
(208)
s01.33hc
( ln x не соответствует по области определения).
Из второй строки таблицы производных (см. џ
table der
17) (ln x)
?
=
1
x
,
a (ln(?x))
?
=
1
?x
(?x)
?
=
1
?x
· (?1) Теорема undef int
33.2 (основная лемма интегрального исчисления. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Основная лемма интегрального исчисрения будет доказана в џ
der up int
50 (см. следствие der up int
50.1 в п int up
50.2 џ
der up Согласно п в џ
Lop
23 (см. рассуждения между равенством (
s14.23hc
128) и контрпримером) первообразной не может быть у функции, имеющей в некоторой точке разрыв первого рода

џ
dif and int
34 Последовательность действий операций дифференцирования и интегрирования. Последовательность действий операций дифференцирования и интегрирования and Дифференцирование и интегрирование (нахождение неопределјнного интеграла)  это взаимно- обратные операции. То есть (x) dx)
?
= f (x);
?
f
?
(x) dx = f (x) + c и (x)) = f (x) + c.
(209)
s01.34hc
џ
lin int
35 Линейность операции интегрирования. Линейность операции интегрирования Теорема lin int
35.1. Пусть f(x) и g(x) функции, у которых существует неопределјнный интеграл, и ?  постоянные числа. Тогда существует неопределјнный интеграл и у функции и имеет место равенство (x) + ?g(x)) dx = ?
?