Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§5 Понятие о числовом ряде 5.1. Основные понятия Важным примером применения теории пределов числовой последова- тельности является понятие числового ряда. Определение 2.5.1. Пусть дана числовая последовательность { } n a . Числовым рядом называется символ 1 2 3 a a a + + + . Нужно понимать, что написанная сумма является символом, потому что мы не знаем, как найти сумму бесконечного числа слагаемых. Это требует спе- циального определения. Отсутствие этого определения легло в основу парадок- 69 са, описанного греческим философом Зеноном, доказывающего, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Допустим, что Ахиллес и черепаха движутся по одной дороге в одном направлении и в начальный момент времени расстояние между ними таково, что Ахиллес может его пробежать за время, равное T часов. Допустим также, что Ахиллес бежит со скоростью, которая в 5 раз больше скорости черепахи. Тогда через T часов Ахиллес окажется в точке, где в начальный момент нахо- дилась черепаха. Но черепаха за это время доберется до точки, расстояние до которой Ахиллес преодолеет за 5 T часов, и через 5 T часов, когда Ахиллес до- бежит до этой точки, черепаха опять уползет вперед и уже будет в точке, до ко- торой Ахиллес доберется только через 2 5 T часов. Продолжая рассуждать таким же образом, придем к выводу, что, сколько бы ни бежал Ахиллес, черепаха бу- де впереди него и он никогда ее не догонит. Чтобы понять ошибку в этом рассуждении, нужно попытаться подсчитать время, которое Ахиллес догоняет черепаху. Очевидно, это будет бесконечная сумма 2 3 5 5 5 T T T t T = + + + + . Зенон считал, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда бесконеч- на, однако, это предположение оказывается неразумным и данная сумма конеч- на (см. пример 2 ниже). Дадим определение такой суммы. Определение 2.5.2 Пусть дан ряд 1 2 3 a a a + + + . Обозначим через n S сумму первых n членов этого ряда, которую будем называть частной суммой этого ряда. Тогда суммой ряда будем называть предел последовательности частных сумм при n → ∞ . (Если этот предел существует) Таким образом, если сумму ряда обозначить через S , то lim n n S S →∞ = Если lim n n S →∞ существует и конечен, то будем говорить, что ряд сходится, если он не существует, то ряд расходится. Общий член последовательности { } n a , из которой составлен ряд, будем называть общим членом ряда. Ряды будем записывать сокращенно в виде 1 n n a ∞ = ∑ , таким образом, если ряд сходится, то 1 n n a S ∞ = = ∑ Замечание. Нумерация членов ряда может начинаться с любого номера. В следующих примерах требуется найти сумму ряда или доказать, что ряд рас- ходится. 70 Пример 1. ( ) 1 1 1 n n n ∞ = + ∑ ☺ Рассмотрим частную сумму ряда: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 n S n n = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + Чтобы найти предел последовательности частных сумм, нужно преобразовать n S так, чтобы можно было применять теорему об арифметических свойствах пределов. Эти преобразования проделаем следующим образом ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 n n n S n n n n n n n + − − − − = + + + + = + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = − + − + − + + − = − + + Отсюда получим, что 1 lim 1 1 1 n S n →∞ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ .☻ Пример 2. 0 n n aq ∞ = ∑ ☺ Этот ряд хорошо известен, как геометрическая прогрессия. Частная сумма этого ряда равна сумме первых n членов геометрической прогрессии (в случае, если 1 q ≠ ): ( ) 1 1 1 1 n n n a q a aq S q q q − = = − − − − . Если 1 q < , то 0 n q → и lim 1 n n a S q →∞ = − , если 1 q > , то n q - бесконечно большая последовательность (до- кажите) и ряд расходится. При 1 q = получим n S n = и lim n n S →∞ = ∞ , т.е. ряд расходится. ☻ Так как в парадоксе об Ахиллесе и черепахе время t является суммой геометрической прогрессии, то теперь мы можем сказать, что Ахиллес догонит черепаху через 5 4 T часов. Пример 3. ( ) 1 1 n n ∞ = − ∑ ☺Найдем несколько первых частных сумм этого ряда: 0 1 2 3 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 S S S S = = − = = − + = = − + − = Очевидно, что последовательность частных сумм состоит из чередую- щихся единиц и нулей. Как мы уже доказывали, такая последовательность пре- дела не имеет. Ряд расходится. ☻ 71 Приведем простейшие свойства сходящихся числовых рядов. Теорема 2.5.1. Ряд останется сходящимся (расходящимся), если изменить или отбросить любое фиксированное количество членов ряда. ► Если обозначить через n S частную сумму данного ряда и через ( ) 1 n S ча- стную сумму измененного ряда, то эти частные суммы будут связаны соотно- шением ( ) 1 n n S S const = + , где const не зависит от n для достаточно больших n Отсюда следует, что, если сходится одна из последовательностей частных сумм, то сходится и другая и наоборот. ◄ Теорема 2.5.2. Если ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходится и S - его сумма, то ряд ( ) 1 , n n a λ λ ∞ = ⋅ ∈ ∑ тоже сходится, причем его сумма равна S λ ⋅ . ►Обозначим через ( ) 1 n S частную сумму ряда 1 n n a ∞ = ∑ и через n S частную сумму ряда ( ) 1 n n a λ ∞ = ⋅ ∑ . Тогда ( ) 1 n n S S λ = ⋅ и, переходя к пределу, получим тре- буемое. ◄ Теорема 2.5.3. Если ряды 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ сходятся, причем ( ) 1 1 n n a S ∞ = = ∑ и ( ) 2 1 n n b S ∞ = = ∑ , то ряд ( ) 1 n n n a b ∞ = + ∑ тоже сходится, причем ( ) ( ) ( ) 1 2 1 n n n a b S S ∞ = + = + ∑ . ► Обозначим через ( ) 1 n S частную сумму ряда 1 n n a ∞ = ∑ , через ( ) 2 n S частную сумму ряда 1 n n b ∞ = ∑ и через n S частную сумму ряда ( ) 1 n n n a b ∞ = + ∑ . Тогда, очевидно, ( ) ( ) 1 2 n n n S S S = + . Переходя к пределу в этом равенстве, получим требуемое. ◄ Замечание. Легко доказать, что, если один ряд сходится, а второй расходит- ся, то их суммарный ряд расходится. Если же расходятся оба ряда, то сум- марный ряд может быть сходящимся и может быть расходящимся. 72 Пример 4. Пусть 1 n a n = и 1 1 2 n n b n = + . Ряд 1 n n a ∞ = ∑ расходится (см. пример 7 §4), при этом частные суммы этого ряда стремятся к бесконечности, так как по- следовательность этих частных сумм возрастающая. Так как , n n b a n > ∈ , то частные суммы ряда 1 n n b ∞ = ∑ тем более будут стремиться к бесконечности, следовательно, второй ряд тоже расходиться. Суммарный ряд тоже расходится, так как , n n n a b a n + > ∈ Пример 5. Пусть 1 n a n = и 1 1 2 n n b n = − + . Ряд с общим членом n b расходится как суммарный ряд для сходящегося ряда 1 1 2 n n ∞ = ∑ и расходящегося ряда 1 1 n n ∞ = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ . Таким образом, оба ряда 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ расходятся. Но суммарный ряд ( ) 1 1 1 2 n n n n n a b ∞ ∞ = = + = ∑ ∑ сходится. Теорема 2.5.4. Если ряды 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ сходятся к суммам ( ) 1 S и ( ) 2 S соот- ветственно и общие члены этих рядов удовлетворяют неравенствам: 0, 0, n n n n a b a b > > ≤ , то ( ) ( ) 1 2 S S ≤ . ►Доказательство очевидно следует из соответствующего неравенства для частных сумм этих рядов. ◄ Определение суммы ряда можно дать на языке “ ε - n ”: Число S будет суммой числового ряда 1 n n a ∞ = ∑ , если по любому 0 ε > мож- но найти номер 0 n такой, что для любого 0 n n ≥ выполняется неравенство n S S ε − < . Если ряд сходится, то 1 n k n k n S S a R ∞ = + − = = ∑ или n n S S R = + . Ряд 1 n k k n R a ∞ = + = ∑ будем называть остатком данного ряда. Очевидно, что, если ряд расходится, то любой его остаток тоже расходится, но, если ряд сходится, то сходится любой остаток, причем lim 0 n n R →∞ = . Если ряд сходится, то его сумму можно вычислить приближенно, вычис- лив частную сумму при достаточно большом n , причем остаток дает оценку точности вычисления. Применим это рассуждение к вычислению числа e 73 В 3.3 мы доказали, что 1 1 1 1 lim 1 1! 2! 3! ! n e n →∞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , следовательно, число e можно представить в виде ряда 0 1 ! n e n ∞ = = ∑ . Оценим остаток этого ряда ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 ! 2 ! 1 ! 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 ! ! 1 1 1 n R n n n n n n n n n n n n n ⎛ ⎞ = + + = + + + < ⎜ ⎟ + + + + + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ < + + + = = ⎜ ⎟ + + + + − ⎝ ⎠ + Таким образом, справедливо неравенство: 1 0 ! n R n n < < , откуда ! n R n n θ = , где 0 1 θ < < . ( θ зависит от n). Теперь мы можем записать равенство 1 1 1 1 1! 2! ! ! e n n n θ = + + + + + . С по- мощью этого равенства число e нетрудно вычислить с любой точностью, при- чем остаток дает оценку этой точности. С помощью этого равенства докажем иррациональность числа e. Теорема 2.5.5. Число e иррационально. ►Предположим, что e - число рациональное, т.е. предположим, что число e можно представить в виде несократимой рациональной дроби k m , где 2 m ≥ . Тогда 1 1 1 1 1! 2! ! ! k m m m m θ = + + + + + . Умножая это равенство на ! m , получим ( ) 1 ! ! ! 3 4 ... ... 1 k m m m m m θ − = + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + . В этом равенстве слева стоит целое число, а справа дробь, так как 0 1 m θ < < . Следовательно, наше предположение было неверным.◄ Замечание. Мы получили еще один пример последовательности рациональных чисел, не имеющей предела в пространстве рациональных чисел. Перефразируем признак Коши сходимости числовой последовательности для рядов. Теорема 2.5.6. Для того чтобы числовой ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходился необходимо и дос- таточно, чтобы для любого 0 ε > можно было найти номер 0 n такой, что для всех 0 n n ≥ и для всех p ∈ выполнялось неравенство 1 n p k k n a ε + = + < ∑ . 74 ►Для доказательства достаточно вспомнить критерий Коши для число- вой последовательности: для сходимости последовательности частных сумм n S необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 ε > можно было найти номер 0 n такой, что для всех 0 n n ≥ и для всех p ∈ выполнялось неравенство n p n S S ε + − < . Так как 1 n p n p n k k n S S a + + = + − = ∑ , то теорема доказана. ◄ Следствие (Необходимое условие сходимости ряда) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. ► Пусть ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходится. Тогда выполнен признак Коши при 1 p = , т.е. для любого 0 ε > можно найти 0 n такой, то для 0 n n ≥ выполняется нера- венство 1 n n n S S a ε − − = < . ◄ Замечание. Требуется помнить, что обратное утверждение не будет верным. Можно встретить ряды, у которых общий член стремится к нулю и которые при этом расходятся. Пример 6. Рассмотрим ряд 1 1 n n ∞ = ∑ . Воспользуемся критерием Коши для некото- рого числа n и p n = . Напишем очевидное неравенство 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n S S n n n n n − − = + + + > ⋅ = + Отсюда следует, что какие бы большие n мы ни выбирали, мы не сможем сделать разность n p n S S + − меньшей ε для всех натуральных значений p . Ряд расходится. Этот ряд называется гармоническим рядом. Итак, если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может сходиться и может расходиться. Но, если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд рас- ходится. Например, пользуясь этим предложением, мы можем сказать, что ряд ( ) 1 1 n n ∞ = − ∑ расходится, не исследуя поведение его частных сумм. 5.2. Положительные ряды Рассмотрим ряд 1 n n a ∞ = ∑ и предположим, что 0 n a ≥ при всех значениях n. Очевидно, что частные суммы такого ряда образуют возрастающую последова- тельность. Следовательно, если эти суммы ограничены, то эта последователь- ность имеет конечный предел, и ряд сходится, в противном случае последова- 75 тельность частных сумм стремится к бесконечности, и ряд расходится. Вос- пользуемся этим фактом для доказательства некоторых достаточных признаков сходимости рядов с неотрицательными членами. Теорема 2.5.7. (Первая теорема сравнения) Пусть даны два ряда 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ , причем 0 n a ≥ , 0 n b ≥ и для всех n справедливо неравенство n n a b ≤ . Тогда, если сходится ряд 1 n n b ∞ = ∑ , то сходится ряд 1 n n a ∞ = ∑ и, если расходится ряд 1 n n a ∞ = ∑ , то расходится ряд 1 n n b ∞ = ∑ . ►Обозначим через ( ) 1 n S и ( ) 2 n S частные суммы рядов 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ соот- ветственно. Тогда, очевидно, выполняется неравенство ( ) ( ) 1 2 n n S S ≤ . Если ряд 1 n n b ∞ = ∑ сходится, то существует его сумма ( ) 2 S и ( ) ( ) 2 2 n S S ≤ . Тогда, последова- тельность частных сумм ряда 1 n n a ∞ = ∑ ограничена: ( ) ( ) 1 2 n S S ≤ , следовательно, она имеет предел и ряд сходится. С другой стороны, если ряд 1 n n a ∞ = ∑ расходится, то последовательность его частных сумм неограниченна, следовательно, последовательность частных сумм ряда 1 n n b ∞ = ∑ тоже неограниченна и второй ряд тоже расходится. ◄ Теорема 2.5.8. (Вторая теорема сравнения) Пусть даны два ряда 1 n n a ∞ = ∑ и 1 n n b ∞ = ∑ , причем 0 n a ≥ , 0 n b > . Пусть существует lim , 0 n n n a l l b →∞ = ≠ . Тогда данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. ►Допустим для определенности, что 0 l > и возьмем 2 l ε = . Тогда можно найти 0 n , начиная с которого будет выполняться неравенство ( ) ( ) n n n b l a b l ε ε − < < + или 3 2 2 n n n l l b a b < < . Тогда, если будет сходиться ряд 76 1 n n a ∞ = ∑ , то из неравенства 2 n n l b a < по первой теореме сравнения будет сходиться ряд с общим членом 2 n l b , следовательно, будет сходиться и ряд 1 n n b ∞ = ∑ Наоборот, если сходится ряд 1 n n b ∞ = ∑ , то сходится ряд с общим членом 3 2 n l b , следовательно, из неравенства 3 2 n n l a b < будет сходиться ряд 1 n n a ∞ = ∑ . ◄ Замечание. Нетрудно доказать, что, если 0 l = , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого и из расходимости первого следует расходи- мость второго. Если l = ∞ , то из сходимости первого ряда следует сходи- мость второго и из расходимости второго расходимость первого. Для применения этих признаков нужно иметь некоторый запас рядов, с которыми можно сравнивать данные ряды. Для получения целого семейства та- ких рядов докажем еще один признак сходимости. Теорема 2.5.9. (Третья теорема сравнения) Пусть последовательность { } n a монотонно убывает и все ее члены не- отрицательны. Тогда ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходится тогда и только тогда, когда схо- дится ряд 2 0 2 k k k a ∞ = ∑ . ►Пусть 1 2 3 n n S a a a a = + + + + и 1 2 4 2 2 4 ... 2 k k k S a a a a ′ = + + + + - частные суммы этих рядов. При 1 2 2 k k n + ≤ < получим ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 7 1 2 4 2 2 2 4 ... 2 k k k n n k S a a a a a a a a a a a S ′ = + + + + + + + + + ≤ + + + + = , откуда следует, что, если ряд 2 0 2 k k k a ∞ = ∑ сходится, то и ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходится. С другой стороны, при том же соотношении между n и k получим ( ) ( ) 1 1 1 2 3 4 1 2 4 2 1 2 2 2 1 1 2 ...2 2 2 k k k k k n S a a a a a a a a a a S − − + ′ ≥ + + + + + + + ≥ + + + = Следовательно, если ряд 1 n n a ∞ = ∑ сходится, то последовательность частных сумм ряда 2 0 2 k k k a ∞ = ∑ ограничена, следовательно, он сходится. ◄ 77 Применим третий признак сравнения к исследованию на сходимость ряда вида 1 1 s n n ∞ = ∑ . Для этого надо исследовать ряд ( ) 1 0 0 1 1 2 2 2 k ks k s k k ∞ ∞ − = = = ∑ ∑ , который представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 1 2 s q − = . Та- кая прогрессия сходится, если 1 q < , т.е. 1 s > и расходится, если 1 q ≥ , т.е. 1 s ≤ . Таким образом, для применения признаков сравнения к исследованию рядов на сходимость можно использовать геометрическую прогрессию и ряд вида 1 1 s n n ∞ = ∑ , который называется обобщенным гармоническим рядом §6 Компактные множества Определение 2.6.1. Пусть E - некоторое множество точек метрического пространства X и { } G α - семейство открытых множеств из этого же про- странства. Семейство { } G α будем называть открытым покрытием множе- ства E , если E G α α ⊂ ∪ . Определение 2.6.2. Множество E называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие. Приведем некоторые свойства компактных множеств. Свойство 1 Каждое конечное множество компактно Это свойство очевидно. Свойство 2 Компактное множество замкнуто ►Докажем, что дополнение d E множества E до всего пространства X открыто. Возьмем какую-нибудь точку d y E ∈ и для каждой точки x E ∈ най- дем окрестности ( ) x U y и ( ) V x радиуса меньшего ( ) 1 , 2 x y ρ . Тогда ( ) ( ) x U x V x ∩ = ∅. Очевидно, что система окрестностей ( ) { } V x образует от- крытое покрытие множества E . Выберем из этого покрытия конечное ( ) ( ) ( ) 1 2 , , ..., n V x V x V x , так что ( ) ( ) ( ) 1 2 n E V x V x V x ⊂ ∪ ∪ ∪ , тогда множест- во ( ) ( ) ( ) 1 2 n x x x U U y U y U y = ∩ ∩ ∩ является окрестностью точки y , которая не пересекается ни с одной из окрестностей ( ) , 1,2,..., i V x i n = , следовательно, не пересекается с множеством E . Значит d E - открытое множество. ◄ Свойство 3 Замкнутое подмножество компактного множества компактно. ► Допустим, что E - компактно, а F E ⊂ замкнуто. Пусть { } G α откры- тое покрытие множества F . Если к этому покрытию присоединить открытое множество d F , то получим открытое покрытие множества E , из которого 78 можно выделить конечное покрытие. Очевидно, оно будет конечным покрыти- ем и для множества F . ◄ Свойство 4. Компактное множество ограничено. ► Возьмем некоторое число 0 r > и рассмотрим систему окрестностей ( ) r U x радиуса r , построенных около каждой точки множества E . Очевидно, что эта система образует открытое покрытие множества E . Выберем конечное покрытие ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,... n U x U x U x и возьмем какую-нибудь точку y E ∈ . Поло- жим ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 max , , , ,... , n R y x y x y x ρ ρ ρ = . Теперь возьмем произвольную точ- ку x E ∈ . Обозначим через ( ) k U x окрестность, в которую входит взятая точка x . Тогда ( ) ( ) ( ) , , , k k x y x x x y r R ρ ρ ρ ≤ + ≤ + , что означает, что x входит в шар радиуса r R + с центром в точке y и множество E ограничено.◄ Обратное утверждение не будет верным в любом метрическом простран- стве. Но для пространства мы докажем следующую теорему Теорема 2.6.1. (Гейне – Бореля – Лебега) Множество E ⊂ компактно тогда и только тогда, когда оно замкну- то и ограничено. ► Если множество компактно, оно замкнуто и ограничено. (Свойства 2 и 4). Пусть числовое множество E замкнуто и ограничено. Докажем, что оно компактно. Так как множество E ограничено, то существует отрезок [ ] , a b та- кой, что [ ] , E a b ⊂ . В силу свойства 3 достаточно доказать, что будет компактен отрезок [ ] , a b Возьмем какое-нибудь бесконечное открытое покрытие отрезка [ ] , a b и предположим, что из него невозможно выделить конечное покрытие. Разделим этот отрезок пополам. Тогда хотя бы одну половину будет покрывать беско- нечное множество открытых множеств этого покрытия, из которого невозмож- но выделить конечное. Обозначим эту половину через [ ] 1 1 , a b . Продолжая этот процесс, построим систему отрезков [ ] , n n a b , ни один из которых нельзя по- крыть конечной системой множеств из данного покрытия. С другой стороны, эти отрезки вложены друг в друга: [ ] [ ] 1 1 , , , n n n n a b a b n − − ⊂ ∀ и ( ) lim lim 0 2 n n n n n b a b a →∞ →∞ − − = = . Значит, существует единственная точка, принадле- жащая всем отрезкам. Обозначим ее через c : lim lim n n n n c a b →∞ →∞ = = . Возьмем какое- нибудь множество данного покрытия, содержащее точку с . Так как множество открыто, то точка с внутренняя, следовательно, начиная с некоторого номера, точки n a и n b попадут в это множество. Тогда и отрезки [ ] , n n a b тоже попадут в 79 это множество, т.е. каждый такой отрезок будет накрыт только одним множест- вом из данного покрытия, что противоречит выбору этих отрезков. ◄ Рассмотрим еще одну характеристику компактного множества, которая справедлива в любом пространстве, но чтобы не усложнять рассуждения дока- жем ее только для пространства . Теорема 2.6.2. Множество E компактно тогда и только тогда, когда из лю- бого его бесконечного подмножества можно выделить последовательность, имеющую конечный предел, принадлежащий E . ► Пусть E ⊂ - компактно, тогда по теореме 2.6.1 оно ограничено и замкнуто. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса любое бесконечное под- множество множества E будет иметь предельную точку, принадлежащую E Обратно, если из каждого бесконечного подмножества множества E можно выделить последовательность, сходящуюся к конечной точке из E , то множество E не может быть неограниченным. В противном случае, найдется последовательность точек из E , предел которой равен бесконечности, что про- тиворечит условию. Кроме того, множество E замкнуто. Пусть y - предельная точка множе- ства E . Тогда существует последовательность различных точек n x E ∈ , такая, что lim n n x y →∞ = . Но множество { } n x является бесконечным подмножеством множества E , следовательно, y E ∈ и множество E замкнуто. ◄ Две последние теоремы можно объединить в следующее утверждение: В пространстве три утверждения эквивалентны: 1) E - компактно; 2) E - ограничено и замкнуто; 3) каждое бесконечное подмножество множества E имеет предельную точку, принадлежащую E . |