Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§3 Свойства пределов функции 3.1. Ограниченность функции, имеющей предел Теорема 3.3.1. Если функция имеет конечный предел в точке 0 x , то она огра- ничена в некоторой окрестности этой точки. ►Для доказательства достаточно взять какое-нибудь значение ε, напри- мер, 1 ε = . Тогда существует окрестность ( ) 0 U x точки 0 x такая, что для всех значений ( ) ( ) 0 o x D f U x ∈ ∩ будет выполняться неравенство ( ) 1 1 A f x A − < < + , где ( ) 0 lim x x A f x → = . Если существует значение ( ) 0 f x , то в найденной окрестно- сти функция будет ограничена числами ( ) ( ) 0 min 1, A f x − и ( ) ( ) 0 max 1, A f x + ◄ Замечания 1. В теореме утверждается, что свойство ограниченности функции, имеющей предел в некоторой точке, локальное, т.е. выполняется только в ок- рестности этой точки. Легко построить пример функции, которая не будет ограничена даже на ограниченном множестве вещественной оси. 96 2. Утверждение теоремы верно и для случая 0 x = ∞ . Пример 1 Рассмотрим функцию ( ) ( )( ) 2 1 1 2 x f x x x − = − − Если 1 x ≠ , то ( ) 1 2 x f x x + = − , в точке 1 x = функция не определена. В некоторой окрестности точки 1 x = функция ограниче- на, но она не является ограниченной, напри- мер, на промежутке [ ] 1,3 − . График данной функции представлен на рисунке. 3.2. Предельный переход в неравенстве Теорема 3.3.2. Пусть две функции ( ) f x и ( ) g x определены в некоторой проко- лотой окрестности ( ) 0 o U x точки 0 x , причем для всех значений x из этой окре- стности выполняется неравенство ( ) ( ) f x g x ≤ . Допустим, что существуют ( ) 0 lim x x f x A → = и ( ) 0 lim x x g x B → = . Тогда A B ≤ . ►Возьмем произвольную последовательность { } n x такую, что ( ) 0 0 n x U x ∈ и 0 lim n n x x →∞ = . Тогда, используя определение предела функции по Гейне, получим: ( ) lim n n f x A →∞ = и ( ) lim n n g x B →∞ = . Так как ( ) ( ) , n n f x g x n ≤ ∀ ∈ , то по теореме о предельном переходе в неравенстве для последовательности, получим A B ≤ . ◄ 3.3. Теорема о сжатой переменной Теорема 3.3.3. Пусть в некоторой проколотой окрестности ( ) 0 o U x точки 0 x определены три функции ( ) f x , ( ) g x и ( ) h x , причем для всех значений x из этой окрестности выполняется неравенство ( ) ( ) ( ) f x h x g x ≤ ≤ . Допустим, что существуют ( ) 0 lim x x f x A → = и ( ) 0 lim x x g x A → = . Тогда существует ( ) 0 lim x x h x A → = . ► Возьмем произвольную последовательность { } n x такую, что ( ) 0 0 n x U x ∈ и 0 lim n n x x →∞ = . Используя определение предела функции по Гейне, 97 получим: ( ) ( ) lim lim n n n n f x g x A →∞ →∞ = = . Так как ( ) ( ) ( ) , n n n f x h x g x n ≤ ≤ ∀ ∈ , то по теореме о сжатой переменной для последовательности, получим ( ) lim n n h x A →∞ = . ◄ 3.4. Теорема отделимости от нуля Теорема 3.3.4. Пусть в точке 0 x существует ( ) 0 lim x x f x A → = , причем 0 A > . То- гда существует окрестность ( ) 0 U x точки 0 x такая, что ( ) ( ) 0 o x U x D f ∀ ∈ ∩ будет выполняться неравенство ( ) 0 f x > . ► Возьмем 2 A ε = . По определению предела функции по Коши, можно найти окрестность ( ) 0 U x такую, что для всех значений x, принадлежащих множеству ( ) ( ) 0 o U x D f ∩ , будет выполняться неравенство ( ) 2 2 A A A f x A − < < + . Из левой части этого неравенства следует, что для этих значений x будет ( ) 0 f x > . ◄ Замечания 1. Если в условиях теоремы поло- жить 0 A < , то для соответствую- щих значений x будет выполнено ( ) 0 f x < . 2. Из этой теоремы следует, что если ( ) 0 lim 0 x x f x → ≠ , то в некоторой ок- рестности точки 0 x функция будет, не только отлична от нуля, но можно найти число 0 c > так, что ( ) f x c > . Тогда в этой окрестности функция ( ) ( ) 1 g x f x = будет ограничена. 3. Теорему можно усилить, сформулировав ее следующим образом: Пусть в точке 0 x существует ( ) 0 lim x x f x A → = , причем A B > . Тогда существует окрест- ность ( ) 0 U x точки 0 x такая, что ( ) ( ) 0 o x U x D f ∀ ∈ ∩ будет выполняться не- равенство ( ) f x B > . Для доказательства достаточно рассмотреть функцию ( ) ( ) 1 f x f x B = − . 98 3.5. Арифметические свойства пределов Теорема 3.3.5. Пусть существуют конечные пределы ( ) 0 lim x x f x → и ( ) 0 lim x x g x → . Тогда существуют пределы суммы, произведения, частного этих функций, причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1. lim lim lim ; 2. lim lim lim ; lim 3. lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x → → → → → → → → → + = + ⋅ = ⋅ = Последнее равенство справедливо при условии ( ) 0 lim 0 x x g x → ≠ . ►Для доказательства достаточно взять произвольную последователь- ность { } n x значений аргумента этих функций, сходящуюся к 0 x , и воспользо- ваться определением предела функции по Гейне и соответствующим свойством предела последовательности. ◄ Замечание. Все доказанные теоремы §3 справедливы и для 0 x = ∞ . 3.6. Пределы монотонной функции Теорема 3.3.6. Пусть функция ( ) f x определена на некотором промежутке , a b , причем на этом промежутке она монотонно возрастает. Тогда в каж- дой внутренней точке этого промежутка 0 x существуют пределы этой функции слева и справа: ( ) ( ) 0 0 0 lim 0 x x f x f x → − = − и ( ) ( ) 0 0 0 lim 0 x x f x f x → − = + , при- чем ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x − ≤ ≤ + . ►Рассмотрим промежуток ( ) 0 , a x . На этом промежутке функция будет ограничена сверху, так как ( ) 0 , x a x ∀ ∈ выполняется неравенство ( ) ( ) 0 f x f x ≤ Следовательно, существует число ( ) ( ) 0 , sup x a x M f x ∈ = Докажем, что ( ) 0 0 lim x x M f x → − = По определению точной верхней границы имеем 1) ( ) ( ) 0 , , f x M x a x ≤ ∀ ∈ , 2) 0 ε ∀ > ( ) 0 , x a x ε ∃ ∈ ( ) f x M ε ε > − . Тогда для всех значений x, лежащих на промежутке ( ) 0 , x x ε , будет выполнять- ся неравенство ( ) ( ) M f x f x M ε ε − < ≤ ≤ . Таким образом, по 0 ε > мы нашли 0 x x ε δ = − так, что, если взять значения x из δ - окрестности точки 0 x и 0 x x < , то соответствующие им значения функции попадут в ε - окрестность точки M . Мы доказали, что ( ) 0 0 M f x = − , следовательно, ( ) ( ) 0 0 0 f x f x − ≤ 99 Аналогично доказывается, что существует ( ) ( ) ( ) 0 0 , 0 inf x x b f x f x ∈ + = и справедли- во неравенство ( ) ( ) 0 0 0 f x f x ≤ + . ◄ Замечания 1. Теорема справедлива и в случае, когда функция ( ) f x монотонно убыва- ет. Тогда будет верным неравенство ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x − ≥ ≥ + . 2. Если монотонная функция задана на замкнутом промежутке [ ] , a b , то в точке a существует правосторонний предел, а в точке b - левосторонний. 3. Теорема будет справедлива и на открытом промежутке, конечном или бесконечном. Причем, если функция возрастает и ограничена сверху, то на правом конце промежутка существует ее конечный односторонний предел, если она возрастает и неограниченна, то ее левосторонний предел на этом конце равен +∞ . Если она возрастает и ограничена снизу, то на левом конце промежутка существует конечный предел и этот предел равен −∞ , если функция неограниченна. Аналогичное утверждение можно сформулировать и для убывающей функции. 3.7. Бесконечно малые функции. Критерий существования предела Определение 3.3.1. Функция ( ) x α называется бесконечно малой в точке 0 x , если ( ) 0 lim 0 x x x α → = . Очевидно, что для бесконечно малых функций выполняются те же свой- ства, что и для бесконечно малых последовательностей. Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых в точке 0 x функций есть бесконечно малая функция. Свойство 2. Произведение бесконечно малой в точке 0 x функции на функцию, ограниченную в некоторой окрестности этой точки есть бесконечно малая в этой точке функция. Свойство 3. Пусть функция ( ) 0 x α ≠ в некоторой окрестности точки 0 x . То- гда ( ) x α будет бесконечно малой в точке 0 x тогда и только тогда, когда функция ( ) ( ) 1 x x σ α = будет бесконечно большой в этой точке. Также как и для предела последовательности, справедлив следующий критерий того, что число A будет пределом функции в точке 0 x : Теорема 3.3.7. Для того чтобы число A было пределом функции ( ) f x в точке 0 x необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки 0 x функцию можно было представить в виде ( ) ( ) f x A x α = + , где ( ) x α - беско- нечно малая в точке 0 x функция. Доказательство очевидно следует из любого из определений предела функции. 100 3.8. Критерий Коши Теорема 3.3.8. Для того чтобы функция ( ) f x имела конечный предел в точке 0 x необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 ε > можно было найти 0 δ > так, что для любых двух значений x′ и x′′ из множества ( ) ( ) 0 o U x D f δ ∩ выполнялось неравенство ( ) ( ) f x f x ε ′ ′′ − < . ► Необходимость. Предположим, что функция ( ) f x в точке 0 x имеет предел, равный A . Тогда, взяв произвольное 0 ε > , можно найти 0 δ > так, что, если ( ) ( ) 0 o x U x D f δ ∈ ∩ , то будет выполняться неравенство ( ) 2 f x A ε − < . Возьмем два значения x′ и x′′ из множества ( ) ( ) 0 o U x D f δ ∩ . Тогда будет справедливо ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x f x A f x A ε ε ε ′ ′′ ′ ′′ − ≤ − + − < + = Достаточность. Допустим, что выполнено условие, сформулированное в теореме, т.е. по 0 ε > можно найти 0 δ > так, что для любых двух значений x′ и x′′ из множества ( ) ( ) 0 o U x D f δ ∩ будет выполняться неравенство ( ) ( ) f x f x ε ′ ′′ − < Возьмем произвольную последовательность { } n x значений аргумента функции, сходящуюся к 0 x ( ) 0 n x x ≠ . Тогда по найденному значению 0 δ > можно указать номер 0 n , начиная с которого все члены последовательности { } n x попадут в множество ( ) ( ) 0 o U x D f δ ∩ , следовательно, для 0 n n ≥ и p ∈ будет выполнено неравенство ( ) ( ) n p n f x f x ε + − < . Последнее неравенство оз- начает, что последовательность значений ( ) { } n f x - сходящаяся (по критерию Коши для последовательности). Мы доказали, что если взять последовательность значений аргумента { } n x , сходящуюся к 0 x ( 0 n x x ≠ ), то последовательность соответствующих зна- чений функции будет сходящейся. По теореме 3.2.1 функция в точке 0 x имеет предел. ◄ Замечание. Теорема будет справедлива, если 0 x = ∞ или, если 0 x - конечная точка, но рассматривается односторонний предел. 101 §4 Непрерывность функций В этом параграфе мы рассмотрим одно из самых важных свойств функ- ций. 4.1. Непрерывность функции в точке Определение 3.4.1. Пусть ( ) 0 x D f ∈ - предельная точка области определения функции ( ) f x . Будем говорить, что функция ( ) f x непрерывна в точке 0 x , если ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = . Таким образом, функция ( ) f x непрерывна в точке 0 x , если 1) существует значение ( ) 0 f x ; 2) существует ( ) 0 lim x x f x → ; 3) предел функции в точке 0 x равен значению функции в этой точке: ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = Используя определения предела, это определение можно перефразиро- вать на языке окрестностей (или " " ε δ − ) или на языке последовательностей: 1. Функция ( ) f x будет непрерывной в точке ( ) 0 x D f ∈ , если для любой ок- рестности ( ) ( ) 0 U f x ε точки ( ) 0 f x можно найти окрестность ( ) 0 U x δ точки 0 x так, что из условия ( ) ( ) 0 x U x D f δ ∈ ∩ следует ( ) ( ) ( ) 0 f x U f x ε ∈ . 2. Функция ( ) f x будет непрерывной в точке ( ) 0 x D f ∈ , если для любой по- следовательности { } n x такой, что ( ) n x D f ∈ и 0 lim n n x x →∞ = , будет вы- полнено ( ) ( ) 0 lim n n f x f x →∞ = . Если выполняется соотношение ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x → + = или ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x → − = , то говорят о непрерывности в точке 0 x , соответственно, справа или слева. Сформулируем свойства непрерывных функций. Свойство 1. Если функция непрерывна в точке 0 x , то она ограничена в неко- торой окрестности этой точки. Свойство 2 Если для функций ( ) f x и ( ) g x в некоторой окрестности точки 0 x выполняется неравенство ( ) ( ) f x g x ≤ и обе эти функции непрерывны в точке 0 x , то ( ) ( ) 0 0 f x g x ≤ . Свойство 3. Если функция ( ) f x непрерывна в точке 0 x и ( ) 0 0 f x > , то суще- ствует окрестность этой точки такая, что для всех значений аргумента, 102 взятых из этой окрестности, будет справедливо неравенство ( ) 0 f x > . (Ана- логично, если ( ) 0 0 f x < , то для всех значений аргумента, взятых из некоторой окрестности точки 0 x , выполнено ( ) 0 f x < ). Свойство 4. Если функции ( ) f x и ( ) g x непрерывны в точке 0 x , то в этой точке будут непрерывны а) их сумма ( ) ( ) f x g x + ; b) их произведение ( ) ( ) f x g x ⋅ ; c) если ( ) 0 0 g x ≠ , будет непрерывно их частное ( ) ( ) f x g x . Замечание. Это свойство легко распространяется на сумму и произведение любого фиксированного числа компонент. Свойство 5. Для того чтобы функция ( ) f x была непрерывной в точке ( ) 0 x D f ∈ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ( ) ( ) ( ) 0 f x f x x α = + , где ( ) x α - бесконечно малая в точке 0 x функция. Свойства 1-5 очевидно следуют из свойств пределов функции. Свойство 6. Если функция ( ) x ϕ определена в некоторой окрестности точки 0 x и непрерывна в этой точке, а функция ( ) f t определена в окрестности точ- ки ( ) 0 0 t x ϕ = и непрерывна в ней, то в некоторой окрестности точки 0 x опре- делена сложная функция ( ) ( ) f x ϕ , которая будет непрерывна в точке 0 x . ► Возьмем 0 ε > и найдем 0 σ > такое, что ( ) ( ) 0 U t D f σ ⊂ и если ( ) 0 t U t σ ∈ , то ( ) ( ) ( ) 0 f t U f t ε ∈ . Для найденного числа σ можно указать число 0 δ > такое, что если ( ) 0 x U x δ ∈ , то ( ) ( ) 0 x U t σ ϕ ∈ Отсюда следует, что если ( ) 0 x U x δ ∈ , то существует ( ) ( ) f x ϕ и ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f x U f t ε ϕ ∈ , а так как ( ) ( ) ( ) 0 0 f t f x ϕ = , это означает непрерывность функции ( ) ( ) f x ϕ в точке 0 x .◄ Замечание. Если в свойстве 6 предположить непрерывность функции ( ) f t и существование предела ( ) 0 0 lim x x x t ϕ → = , при этом непрерывность ( ) x ϕ не пред- полагать, то можно доказать, что ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x f x f x ϕ ϕ → → ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 103 4. 2. Точки разрыва Определение 3.4.2. Если точка 0 x является предельной точкой области ( ) D f , но функция не является непрерывной в этой точке, то точка 0 x называется точкой разрыва функции ( ) f x . Для исследования поведения функции вблизи точки разрыва полезно вспомнить, что предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют ее пределы справа и слева и они равны между собой. Поэтому оп- ределение 3.4.2 удобно сформулировать следующим образом: Определение 3.4.1(а) Функция ( ) f x непрерывна в точке 0 x , если 1) Существует значение ( ) 0 f x ; 2) Существуют односторонние пределы ( ) 0 0 lim x x f x → − и ( ) 0 0 lim x x f x → + ; 3) Справедливо равенство ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x → − → + = = . Если нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3), то точка 0 x будет точ- кой разрыва функции ( ) f x Классификация точек разрыва функции a) Если односторонние пределы в точке 0 x существуют и равны между собой, но функция в этой точке не определена, или ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x → − → + ≠ = , то точка 0 x называется точкой устранимого разрыва. Пример 1 ( ) 2 4 1 2 1 x f x x − = − , 0 1 2 x = . ☺ Значение функции в точке 0 1 2 x = не определено, но мы доказали в примере 1 §2, что 2 1 2 4 1 lim 2 2 1 x x x → − = − . Значит 0 1 2 x = - точка устранимого разрыва. Если ввести функцию ( ) ( ) 1 1 , , 2 1 2, , 2 f x x f x x ⎧ ≠ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪⎩ то эта функция будет непрерывной в точке 0 1 2 x = . ☻ Пример 2. ( ) 1 sin f x x x = ⋅ , 0 0 x = 104 ☺В точке 0 0 x = функция не определена, но 0 1 lim sin 0 x x x → ⎛ ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , так как 1 sin x x x ⋅ ≤ . Следовательно, функция 1 1 sin , 0, 0, 0 x x f x x ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ будет непрерывной. ☻ б) Если существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой, то точка 0 x , называется точкой разрыва первого рода или точкой ко- нечного разрыва. Пример 3. ( ) 0 sign , 0 f x x x = = . ☺ Как было доказано в примере 8 §2, 0 0 lim sign 1 x x → − = − и 0 0 lim sign 1 x x → + = . Следовательно, точка 0 0 x = является точкой разрыва первого рода для функ- ции ( ) sign f x x = . Будем говорить, что в этой точке функция имеет скачок и величина скачка равна ( ) ( ) 0 0 0 0 2 f x f x + − − = . ☻ в) Если в точке 0 x хотя бы один конечный односторонний предел не сущест- вует или существует и бесконечен, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. Пример 4. ( ) 1 sin f x x = , 0 0 x = . ☺ Как было доказано в примере 3 §2, 0 1 lim sin x x → не существует (Из доказа- тельства ясно, что не существуют и односторонние пределы). Поэтому эта точ- ка является точкой разрыва второго рода. ☻ Пример 5. ( ) 0 2 1 , 1 1 f x x x = = − ☺ В примере 4 §2 было доказано, что 2 1 1 lim 1 x x → = ∞ − . Следовательно, точ- ка 0 1 x = является точкой разрыва второго рода. В этом случае также говорят, что это точка бесконечного разрыва. ☻ 4.3. Критерий непрерывности функции Возьмем точку ( ) 0 x D f ∈ , являющуюся предельной точкой области оп- ределения ( ) D f и число x ∆ , которое будем называть приращением аргумента, такое, чтобы ( ) 0 x x x D f = + ∆ ∈ Составим разность ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x f x ∆ = + ∆ − , которую будем называть приращением функции в точке 0 x , соответствующим приращению аргумента x ∆ . 105 Теорема 4.4.1 (Критерий непрерывности функции в точке) Функция ( ) f x будет непрерывной в точке 0 x тогда и только тогда, ко- гда ее приращение в этой точке будет стремиться к нулю, если приращение аргумента стремится к нулю. ►Пусть функция ( ) f x непрерывна в точке 0 x . Тогда в некоторой окре- стности точки 0 x будет справедливо равенство ( ) ( ) ( ) 0 1 f x f x x α = + , где ( ) 1 x α - бесконечно малая в точке 0 x функция. Обозначим 0 x x x ∆ = − и ( ) ( ) 1 x x α α ∆ = Следовательно, ( ) ( ) ( ) 0 0 f x x f x x α + ∆ = + ∆ , откуда ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x f x ∆ = + ∆ − = ( ) x α = ∆ - бесконечно малая функция при x ∆ , стремящемся к нулю. Докажем обратное утверждение. Пусть ( ) 0 0 lim 0 x f x ∆ → ∆ = . По критерию су- ществования предела в точке получим ( ) ( ) 0 f x x α ∆ = ∆ , следовательно, ( ) ( ) ( ) 0 0 f x x f x x α + ∆ = + ∆ . Если положить 0 x x x + ∆ = и ( ) ( ) 1 x x α α ∆ = , то по- следнее равенство примет вид ( ) ( ) ( ) 0 1 f x f x x α = + , где функция ( ) 1 x α - бес- конечно малая при x , стремящемся к 0 x , а это означает, что ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = , т.е. функция непрерывна в точке 0 x . ◄ Пример 6. Функция ( ) f x c = - непрерывна в каждой точке вещественной оси. ☺ Для доказательства достаточно составить приращение функции в про- извольной точке: ( ) 0 f x c c ∆ = − = . Функция, тождественно равная нулю – бес- конечно малая, следовательно, ( ) f x c = - непрерывна. ☻ Пример 7. Функция ( ) f x x = непрерывна в каждой точке. ☺ Составим приращение функции ( ) ( ) f x x x x x ∆ = + ∆ − = ∆ . Если 0 x ∆ → , то ( ) 0 f x ∆ → . ☻ Пример 8. Функция ( ) , n f x x n = ∈ непрерывна в каждой точке веществен- ной оси. ☺ Это следует из предыдущего примера и теоремы о непрерывности произведения непрерывных функций. ☻ Теорема 4.4.2. Функция, заданная и монотонная на промежутке , a b , a b − ∞ ≤ < ≤ +∞ может иметь не более чем счетное число точек разрыва пер- вого рода. ► Было доказано, что, если функция монотонна на некотором промежут- ке, то в любой внутренней точке этого промежутка существуют ее пределы слева и справа, причем выполнено неравенство ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x − ≤ ≤ + . 106 Отсюда следует, что, если точка 0 x является точкой разрыва функции, то это точка разрыва первого рода, и в этой точке хотя бы одно из этих неравенств – строгое. Допустим, что ( ) ( ) 0 0 0 f x f x − < и возьмем рациональное число, ле- жащее на промежутке ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ; f x f x − . Так как все такие промежутки не пе- ресекаются, то числа, соответствующие точкам разрыва, будут разные. Множе- ство таких рациональных чисел счетно, как подмножество множества всех ра- циональных чисел. Следовательно, множество точек разрыва тоже будет счет- но. ◄ 4.4. Непрерывность функции на множестве Определение 3.4.3. Будем говорить, что функция ( ) f x непрерывна на мно- жестве ( ) G D f ⊂ , если она непрерывна в каждой точке этого множества. При этом если [ ] , G a b = - отрезок, то функция должна быть непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b . Теорема 4.4.3. Если функция ( ) f x непрерывна на множестве G , и множество G компактно, то множество ( ) f G - компактно. ► Докажем, что множество ( ) f G - замкнуто, т.е. содержит все свои пре- дельные точки. Пусть 0 y - предельная точка множества ( ) f G . Тогда существу- ет последовательность различных точек { } n y таких что n ∀ ∈ ( ) n y f G ∈ , 0 n y y ≠ и 0 lim n n y y →∞ = . Рассмотрим прообраз этой последовательности { } ( ) 1 n f y − , который состоит из бесконечного множества точек n x G ∈ . По тео- реме о компактном множестве в 1 можно выделить подпоследовательность { } k n x , сходящуюся к некоторой точке 0 x G ∈ (так как G - замкнуто). Тогда, с одной стороны ( ) ( ) 0 lim k n k f x f x →∞ = , так как функция ( ) f x непрерывна, с дру- гой стороны ( ) 0 lim lim k k n n k k f x y y →∞ →∞ = = , так как { } k n y - подпоследовательность сходящейся к 0 y последовательности. Следовательно, ( ) 0 0 y f x = , т.е. ( ) 0 y f G ∈ Теперь докажем ограниченность множества ( ) f G . Так как функция ( ) f x непрерывна в каждой точке множества G , то для каждой точки можно найти окрестность, в пределах которой функция будет ограничена. Рассмотрим систему этих окрестностей ( ) { } , U x x G ∈ . Очевидно, она образует открытое покрытие множества G и в силу его компактности из нее можно выбрать ко- нечный набор окрестностей, который также будет являться покрытием множе- ства G . Пусть это будет система ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,... m U x U x U x , причем для ( ) , 1,2,... i x U x i m ∈ = выполняется неравенство ( ) i i m f x M ≤ ≤ . Обозначим че- 107 рез 1 max i i m M M ≤ ≤ = и 1 min i i m m m ≤ ≤ = . Тогда на всем множестве G будет выполняться неравенство ( ) m f x M ≤ ≤ . ◄ Следствиями из этой теоремы являются две теоремы Вейерштрасса: Теорема 4.4.4 (Первая теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на отрезке ограниче- на. Теорема 4.4.5 (Вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Первая из этих теорем очевидна, а вторая следует из замкнутости множества ( ) f G . Замечание. Если условия теоремы 4.4.3 не выполнены, то функция может быть неограниченной. Некоторые случаи изображены на рисунках: Теорема 4.4.6 (Первая теорема Коши о промежуточном значении непре- рывной на отрезке функции) Пусть функция ( ) f x непрерывна на отрезке [ ] , a b и на концах этого от- резка принимает значения разных знаков. Тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой ( ) 0 f x = . ► Предположим, что такой точки не существует. Тогда для любого [ ] , x a b ∈ ( ) 0 f x ≠ и, следовательно, у каждой точки промежутка найдется ок- рестность, в пределах которой функция будет сохранять знак. Эти окрестности образуют открытое покрытие промежутка [ ] , a b и в силу компактности этого промежутка из него можно выделить конечное покрытие, т.е. конечный набор окрестностей ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,... m U x U x U x , 1 2 m x x x ≤ ≤ ≤ … , объединение которых со- держит данный отрезок, и в каждой из которых все значения функции имеют один и тот же знак. Тогда допустив, что ( ) 0 f a > , получим, что ( ) 0 f x > в ( ) 1 U x , а так как окрестности ( ) 1 U x и ( ) 2 U x пересекаются, то ( ) 0 f x > и в ( ) 2 U x . Таким обра- зом, за конечное число шагов мы можем дойти до последней окрестности 108 ( ) m U x , которая содержит точку b , но в которой ( ) 0 f x > , что противоречит тому, что в точке b должно быть ( ) 0 f b < . ◄ Следствие 1 (Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерыв- ной на отрезке функции) Пусть функция ( ) f x непрерывна на отрезке [ ] , a b и [ ] ( ) , max x a b A f x ∈ = , [ ] ( ) , min x a b B f x ∈ = . Тогда для любого значения C такого, что A C B < < на проме- жутке [ ] , a b найдется по крайней мере одна точка 0 x , в которой ( ) 0 f x C = . ►Для доказательства достаточно взять функцию ( ) f x C − и применить к ней первую теорему Коши о промежуточном значении. ◄ Замечание. Данные теоремы часто применяются для доказательства суще- ствования на заданном промежутке корней уравнений вида ( ) 0 f x = или ( ) f x C = . Пример 9. Рассмотрим уравнение 3 3 1 0 x x − + = . ☺ Обозначим ( ) 3 3 1 x x f x − + = . Так как ( ) 0 1 0 f = > , а ( ) 1 1 0 f = − < , то можно утверждать, что на промежутке [ ] 0,1 лежит по крайней мере один ко- рень данного уравнения. ☻ Следствие 2. Если функция непрерывна на отрезке [ ] , a b , то [ ] ( ) , f a b - отре- зок. Это следует из второй теоремы Вейерштрасса и второй теоремы Коши. Следствие 3 (Теорема об обратной функции) Пусть функция ( ) f x задана, строго возрастает и непрерывна на отрез- ке [ ] , a b , причем ( ) f a c = и ( ) f b d = . Тогда существует функция ( ) 1 f y − , об- ратная к функции ( ) f x , заданная и непрерывная на промежутке [ ] , c d , кото- рая также строго возрастает. ►Так как ( ) f x возрастает, то [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) , , min max a b a b f x c f a f b d f x = = < = = Таким образом, по теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции, областью значений данной функции будет промежуток [ ] , c d , т.е. для каждого [ ] , y c d ∈ уравнение ( ) f x y = имеет хотя бы одно решение. Чтобы до- казать существование обратной функции, нужно доказать, что это решение единственно. Допустим, что это уравнение имеет два решения 1 x и 2 x , причем 1 2 x x < В силу строгого возрастания функции получим неравенство ( ) ( ) 1 2 f x f x < , ко- торое противоречит тому, что ( ) ( ) 1 2 f x f x y = = . Следовательно, наше предпо- ложение неверно, уравнение ( ) f x y = имеет ровно одно решение, и на проме- жутке [ ] , c d существует функция ( ) 1 x f y − = , обратная к данной. 109 Докажем, что функция ( ) 1 f y − строго возрастает. Допустим противное, т.е. допустим, что существуют значения [ ] 1 2 , , y y c d ∈ такие, что 1 2 y y < , но ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 x f y f y x − − = ≥ = . Тогда, используя монотонность функции ( ) f x , получим неравенство ( ) ( ) 1 1 2 2 f x y y f x = ≥ = , которое противоречит неравенству 1 2 y y < . Следова- тельно, предположение неверно и обратная функция строго возрастает. Докажем непрерывность обратной функции. Сначала напомним, что об- ластью значений обратной функции будет промежуток [ ] , a b . Так как обратная функция монотонна, то в любой точке [ ] 0 , y c d ∈ будет выполняться неравенст- во ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 0 f y f y f y − − − − ≤ ≤ + , и для доказательства непрерывности функции в точке 0 y нужно доказать, что последнее неравенство является ра- венством. Допустим противное. Например, допустим, что ( ) ( ) 1 1 0 0 0 f y f y − − − < . То- гда никакое число из промежутка ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 ; , f y f y a b − − − ⊂ не будет яв- ляться значением функции, что противоречит тому, что любое число из проме- жутка [ ] , a b является значением обратной функции. Теорема полностью дока- зана. ◄ Замечания 1. Теорема будет верна и в случае, когда функция ( ) f x строго убывает. Тогда ( ) 1 f y − тоже будет строго убывающей. 2. Аналогично формулируется и доказывается теорема о существовании функции, обратной к монотонной и непрерывной функции, заданной на интер- вале (конечном или бесконечном). Пример 10. Рассмотрим функцию ( ) n f x x = ☺ Если n нечетно, то эта функция возрастает и непрерывна на всей ве- щественной оси, причем ее область значений - . Следовательно, обратная к ней функция n y существует на , непрерывна и монотонно возрастает. Если n четно, то функция n x будет возрастающей на промежутке [ ) 0, +∞ и убывающей на промежутке ( ] ,0 −∞ , причем ее область значений будет [ ) 0, +∞ . Существуют две обратные функции ( ) 1 n f y y − + = , ( ) [ ) 1 0, D f − + = +∞ , ( ) [ ) 1 0, E f − + = +∞ и ( ) 1 n f y y − − = − , ( ) [ ) 1 0, D f − − = +∞ , ( ) ( ] 1 ,0 E f − − = −∞ . Обе эти функции непрерывны, но первая возрастает, а вторая убывает. ☻ 110 4.5. Равномерная непрерывность Рассмотрим функцию ( ) f x , где x G X ∈ ⊂ , X – некоторое метрическое пространство. Определение 4.4.4. Будем говорить, что функция ( ) f x равномерно непре- рывна на множестве ( ) G D f ⊂ , если для любого числа 0 ε > можно найти число 0 δ > так, что для любых значений аргумента x′ и x′′ , принадлежащих множеству G , из неравенства ( ) , x x ρ δ ′ ′′ < будет следователь неравенство ( ) ( ) ( ) , f x f x ρ ε ′ ′′ < . Для вещественнозначной функции одной вещественной переменной рав- номерная непрерывность на множестве G будет означать, что по 0 ε > можно найти 0 δ > такое, что если x x δ ′ ′′ − < , то ( ) ( ) f x f x ε ′ ′′ − < для любых x′ и x′′, принадлежащих множеству G . Отличие определения равномерной непрерывности от непрерывности на множестве состоит в том, что в определении равномерной непрерывности чис- ло δ зависит только от ε , тогда как в определении непрерывности функции в точке δ зависит от ε и от точки, для которой мы ищем окрестность. Пример 11. Рассмотрим функцию ( ) 2 1 1 f x x = + на множестве [ ) 0, +∞ . Дока- жем, что на этом множестве данная функция будет равномерно непрерывна. ☺ Возьмем произвольное число 0 ε > и два значения аргумента из про- межутка [ ) 0, +∞ и составим разность ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x f x f x x x x x x x ′′ ′ ′ ′′ − + ′′ ′ − ′ ′′ − = − = = ′ ′′ + + ′ ′′ ′ ′′ + + + + Оценим модуль этой разности, используя неравенство между средним арифме- тическим и средним геометрическим 2 1 2 x x ⎛ ⎞ + ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ : ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 x x f x f x x x x x x x x x ′ ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ − ≤ + ⋅ − ≤ + − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′′ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Отсюда следует, что, если взять δ ε = , то из неравенства x x δ ′ ′′ − < будет сле- довать неравенство ( ) ( ) f x f x ε ′ ′′ − < , что и требовалось доказать. ☻ Пример 12. Пусть ( ) 2 f x x = и [ ) 0, G = +∞ . Отметим, что данная функция бу- дет непрерывной в каждой точке данного промежутка. Докажем, что эта непре- рывность не будет равномерной на G. ☺ Возьмем два значения аргумента 1 x n n ′ = + и x n ′′ = n∈ , которые бу- дут принадлежать заданному промежутку. Тогда будет справедливо неравенст- во 111 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 f x f x x x n n n ⎛ ⎞ ′ ′′ ′ ′′ − = − = + > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Следовательно, если взять 0 2 ε = , то, какое бы число 0 δ > мы ни взяли, мы сможем найти число n ∈ такое, что 1 x x n δ ′ ′′ − = < , но при этом ( ) ( ) 0 f x f x ε ′ ′′ − > . Это означает, что равномерной непрерывности функции на данном промежутке нет. ☻ Теорема 4.4.7 (Кантора). Если функция непрерывна на компакте ( ) G D f ⊂ , то она равномерно непрерывна на нем. ► Возьмем 0 ε > и, пользуясь непрерывностью функции на множества G , для каждой точки x этого множества найдем окрестность ( ) x U x δ так, что если ( ) ( ) x x U x D f δ ∈ ∩ , то ( ) ( ) ( ) 2 f x U f x ε ∈ . Тогда, если взять значения x′ и x′′ из множества ( ) ( ) x U x D f δ ∩ , то будет выполняться неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 2 2 f x f x f x f x f x f x ε ε ρ ρ ρ ε ′ ′′ ′ ′′ ≤ + < + = Теперь возьмем покрытие данного компакта ( ) 2 x U x δ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ окрестностями каждой точки радиуса 2 x δ и выделим из этой системы конечное покрытие. Пусть это будут окрестности ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 , ,..., m m U x U x U x δ δ δ точек 1 2 , ,..., m x x x . Положим 1 2 min , ,..., 2 2 2 m δ δ δ δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и возьмем два значения аргумента функции x′ и x′′ из множества G таких, чтобы ( ) , x x ρ δ ′ ′′ < . Найдем окрест- ность ( ) 2 k k U x δ , в которую попадает точка x′ , т.е. ( ) , 2 k k x x δ ρ ′ < . Тогда ( ) ( ) ( ) , , , 2 k k k k x x x x x x δ ρ ρ ρ δ δ ′′ ′′ ′ ′ ≤ + < + ≤ . Это означает, что точки x′ и x′′ ле- жат в одной и той же окрестности точки k x радиуса k δ . А тогда, по доказанно- му выше, получим ( ) ( ) ( ) , f x f x ρ ε ′ ′′ < . ◄ По доказанной теореме, функция ( ) 2 f x x = будет равномерно непрерыв- ной на любом конечном промежутке [ ] 0,a , но, как мы видели, не будет равно- мерно непрерывной на бесконечном луче [ ) 0, +∞ . |