Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
y 1 < Im z < y 2 } при y 2 − y 1 < 2π отображается на сектор : y 1 < arg w < y 2 }, который в случае y 2 − y 1 = π является по- луплоскостью. В заключение этого параграфа рассмотрим рациональную функцию которая носит имя Жуковского, применившего ее для аэродинамического расчета крыльев. Она имеет два простых полюса в точках = 0 и ∞. Ее производная 2 Ã 1 отлична от нуля всюду в C \ {0}, кроме точек z = Выясним теперь условия однолистности функции Жуковского в какой–либо области D ⊂ C. Пусть z 1 , z 2 — произвольные две точки в \ {0}. Тогда (z 1 − z 2 ) Ã 1 и мы видим, что D является областью однолистности функции Жуковского в томи только в том случае, если она не содержит пары точек z 1 , z 2 , для которых z 1 · z 2 = 1. Простейшими такими областями являются внутренность и внешность единичного круга. Чтобы наглядно представить отображение, осуществляемое функцией Жуковского, положим z = r e iθ , w = u + iv. Тогда = 1 2 Ã r + 1 r ! cos θ, v = 1 2 Ã r − 1 r ! sin Из этих равенств видно, что окружности |z| = r 0 , r 0 > 1, переходят в эллипсы с полуосями = 1 2 Ã r 0 + 1 r 0 ! , b = 1 2 Ã r 0 − 1 r 0 ! Глава II . Аналитические функции как отображения и фокусами в точках w = ±1, поскольку a 2 − b 2 = 1. При r + 0 → имеем b → 1 и эллипсы стягиваются к отрезку [−1, 1]. Лучи θ = θ 0 , 1 < r < ∞, преобразуются в части гипербол с теми же фокусами ±1. В силу конформности семейство этих гипербол ортогонально описанному выше семейству эллипсов Глава Комплексное интегрирование Определение и основные свойства интеграла Пусть γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, — некоторая кривая в C. Под ее длиной понимается величина length(γ) = sup n X i=1 |z(t i ) − где супремум берется по всем разбиениям α = t 0 < t 1 < . . . < t n = β интервала [α, β] (или кривой γ). Если этот супремум конечен, то кривая γ называется спрямляемой. Для каждого разбиения кривой и функции f , определенной на этой кривой (точнее на множестве = z(t) : t ∈ [α, β]}), рассмотрим два типа интегральных сумм (z(τ i ))(z(t i ) − z(t i−1 )), n X i=1 f (z(τ i ))|z(t i ) − где τ i ∈ [t i−1 , t i ], i = 1, . . . , n. Из теории криволинейных интегралов первого и второго рода, примененной к вещественной и мнимой частям этих сумм, следует существование их пределов при условии спрямляемости γ и непрерывности f , когда max i |t i − t i−1 | → 0. Эти пределы будем соответственно обозначать (z) dz = Z γ (u dx − v dy) + i Z γ (u dy + v dx), Z γ f (z) |dz| = Z γ u ds + i Z γ v ds, 53 Глава III . Комплексное интегрирование где f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, а ds — элемент длины. В случае кусочно–гладкой кривой имеем также (z) dz = β Z α f (z(t))z 0 (t) dt, Z γ f (z) |dz| = β Z α f (z(t))|z 0 (t)| Из свойств криволинейных интегралов сразу же следуют аналогичные свойства введенных интегралов + bg) dz = a Z γ f dz + b Z γ g dz линейность dz = Z γ 1 f dz + Z γ 2 f dz (аддитивность). В этих двух равенствах dz можно заменить на |dz|. Однако dz = − Z γ f dz, Z −γ f |dz| = Z γ f Применяя неравенство треугольника к интегральным суммам, получаем следующее неравенство (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z γ |f (z)| · Заметим, что при f (z) ≡ 1 последний интеграл равняется длине кривой, те Другой аспект интегрального исчисления связан, как ив вещественном анализе, с рассмотрением интегрирования как операции, обратной к дифференцированию. В связи с этим аналитическую в области функцию F будем называть первообразной функции f , если) = f (z) для всех z ∈ D. Другими словами, f (z) dz является полным дифференциалом в области Эти две концепции интегрирования связывает следующая теоре- ма. Теорема 1. Пусть f — непрерывная в области D функция. Тогда интеграл (z) dz § 1. Определение и основные свойства интеграла 55 определяется только концевыми точками кривой γ, расположенной в области D, и не зависит от ее формы в томи только в том случае, когда f (z) dz — полный дифференциал в области Доказательство. Пусть f (z) dz — полный дифференциал, тесу- ществует такая аналитическая в области D функция F , что F 0 (z) = f (z) при z ∈ D. Если γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, — кусочно–гладкая кривая в области D, то (z) dz = β Z α f (z(t))z 0 (t) dt = β Z α d dt F (z(t)) dt = F (z(β)) − F Случай произвольной спрямляемой кривой легко достигается путем аппроксимации ее ломаными. Однако мы не будем активно этим пользоваться и всюду в дальнейшем будем иметь дело в основном с кусочно–гладкими кривыми. Обратно, пусть интеграл (z) dz не зависит от формы кривой в области D. Фиксируем произвольную точку z 0 ∈ D и определим функцию (z) = Z γ f (z) где γ — ломаная, соединяющая с текущей точкой z. В силу сделанных предположений функция F корректно определена. Покажем, что она голоморфна в D и F 0 (z) = f (z). Действительно, пусть z произвольная точка области D и ε > 0. В силу открытости D и непрерывности найдется такое δ > 0, что (z +ζ) ∈ D и |f (z +ζ)−f (z)| < при |ζ| < δ. Тогда (z + ζ) − F (z) = Z [z,z+ζ] f (ξ) где [z, z + ζ] — отрезок, соединяющий z и z + ζ. Поскольку (ξ) dξ = ζ · f (z) + Z [z,z+ζ] [f (ξ) − f (z)] то (z + ζ) − F (z) ζ − f (z) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 |ζ| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z [z,z+ζ] [f (ξ) − f (z)] dξ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Глава III . Комплексное интегрирование ([z, z + ζ]) = В качестве приложения доказанной теоремы отметим, что для любой замкнутой кривой γ и целого неотрицательного n Z γ (z − a) n dz = Действительно, функция (z − a) n+1 /(n + 1) является первообразной подынтегральной функции во всей комплексной плоскости, а в силу замкнутости γ ее начальная и конечная точки совпадают. Если отрицательно, ноне равно −1, то аналогичный результат имеет место для любой замкнутой кривой γ, не проходящей через точку поскольку в области C\{a} приведенная выше функция является первообразной. При n = −1 это уже выполняется не всегда. Рассмотрим круг ∆ = {z : |z − a| < r}. Через ∂∆ обозначим положительно ориентированную границу этого круга. В дальнейшем в случае таких простых областей, как круг, треугольник, прямоугольник, будем под положительно ориентированной границей понимать окружность или соответствующую ломаную, которая однократно обходится так, что ограниченная ею область остается слева. Часто такое определение положительно ориентированной границы распространяют вплоть до жордановых областей, хотя в этом случае оно лишено смысла. Итак, параметризацию ∂∆ : z = a + re it , 0 ≤ t ≤ 2π, можно рассматривать как представитель положительно ориентированной границы круга ∆. Тогда z 0 = ire it dt и − a = 2π Z 0 i dt = В случае когда кривая γ содержится в некоторой полуплоскости, не содержащей точки a, имеет место равенство − a = поскольку в этой полуплоскости можно выделить однозначную ветвь ln(z − a), которая будет первообразной подынтегральной функции § 1. Определение и основные свойства интеграла 57 Упражнения 1. Используя представление = 1 2 (z + z) = 1 2 z на окружности |z| = r, вычислите интеграл где ∆ = {z : |z| < r}. 2. Вычислите интеграл − 1| · где ∆ = {z : |z| < 1}. 3. Допустим, что функция f аналитична на замкнутой кривой γ и f 0 непрерывна на ней. Докажите, что (x)f 0 (z) является чисто мнимым. Решение. Поскольку f 0 dz = R w dw и (u−iv) d(u+iv) = (u du+ v dv)−i(v du−u dv), то Re R f f 0 dz = R u du+v dv = 1 2 R d(u 2 +v 2 ) = замкнутость кривой. Допустим, что f аналитична в области D и удовлетворяет неравенству при z ∈ D. Предполагая для удобства непрерывность f 0 , докажите, что (z) dz = для любой замкнутой кривой γ в D. 5. Пусть по определению dz = R γ f dz. Покажите, что если P (z) полином и ∆ = {z : |z − a| < r}, то (z) dz = −2πir 2 P 0 (a). Глава III . Комплексное интегрирование Решение. Пусть (z) = n X k=0 b k (z − a) k ⇒ P (z) = n X k=0 b k r 2k (z − и dz = 2πib 1 r 2 . § Теорема Коши в выпуклой области В предыдущем параграфе мы установили, что существование первообразной функции f в области D эквивалентно условию независимости интеграла dz от формы кривой. Последнее равносильно обращению в нуль этого интеграла по любой замкнутой кривой γ в Действительно, если и γ 2 — две кривые в D с одними и теми же концевыми точками, то будет замкнутой кривой и равенство нулю интеграла R γ 1 −γ 2 приводит к равенству. Результаты, устанавливающие равенство нулю интегралов от аналитических функций вдоль кривых или систем кривых, носят название теорем Коши. В этом параграфе мы установим теорему Коши для выпуклой области. Случай более сложных областей потребует развития дополнительных топологических средств. Следующий результат принадлежит Гурса и иногда называется основной леммой интегрального исчисления. Лемма. Пусть f — аналитическая в области D функция и треугольник ∆ содержится в D вместе со своим замыканием. Тогда (z) dz = Доказательство. Введем для интеграла вдоль положительно ориентированной границы треугольника ∆ обозначение) = Z ∂∆ f (z) dz. § 2. Теорема Коши в выпуклой области 59 Соединяя середины сторон треугольника ∆, разобьем его на четыре конгруентных треугольника ∆ (1) , . . . ∆ (4) . Очевидно, что) = η(∆ (1) ) + . . . + поскольку интегрирования вдоль общих сторон взаимно уничтожаются. Из этого равенства следует, что найдется среди ∆ (1) , . . . , треугольник, обозначим его ∆ 1 , для которого |η(∆ 1 )| ≥ 1 4 |η(∆)|. Теперь разобьем на четыре конгруентных треугольника ∆ (1) 1 , . . . , и выберем из них так, чтобы выполнялось неравенство |η(∆ 2 )| ≥ 1 4 |η(∆ 1 )|. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных треугольников ∆ ⊃ ∆ 1 ⊃ ∆ 2 ⊃ . . . удовлетворяющих условию ≥ 1 4 |η(∆ n−1 )|. Следовательно, при всех натуральных n |η(∆ n )| ≥ 1 Легко видеть, что центры треугольников образуют сходящуюся последовательность ив силу замкнутости треугольников мы получаем существование точки z ∗ ∈ ∆, которая принадлежит всем треугольникам последовательности. Для произвольного ε > 0 выберем δ > 0 так, чтобы окрестность, δ) содержалась в области D и при z ∈ O(z ∗ , δ) выполнялось неравенство (z) − f (z ∗ ) z − z ∗ − f 0 (z ∗ ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < Поскольку периметры треугольников связаны с периметром исходного треугольника соотношением length(∂∆ n ) = 1 где λ = length(∂∆), то найдется такой номер n, что ∆ n ⊂ O(z ∗ , Заметим также, что = 0, Z ∂∆ n z dz = поскольку dz и z dz являются полными дифференциалами в C. Но тогда) = Z ∂∆ n [f (z) − f (z ∗ ) − (z − z ∗ )f 0 (z ∗ )] dz Глава III . Комплексное интегрирование ив силу (2) |η(∆ n )| ≤ ε Z ∂∆ n |z − z ∗ | · Подынтегральное выражение не превышает периметра треугольника, те. величины λ/2 n , и мы можем продолжить оценку ≤ ε λ 2 Сравнивая ее с неравенством (1), получаем ≤ Поскольку ε было произвольным, то η(∆) = 0 и лемма доказана. 2 Теорема 1. Пусть f аналитическая в выпуклой области D функция. Тогда f(z) dz — полный дифференциал в D и (z) dz = для любой замкнутой кривой γ в Доказательство. Фиксируем произвольно в области D точку a и определим в D функцию (z) = Z [a,z] f (ζ) Из доказанной леммы следует, что (z + ζ) − F (z) = Z [z,z+ζ] f (ξ) при любых z ∈ D и ζ, для которого (z + ζ) ∈ D. Здесь мы используем также выпуклость области Повторяя теперь рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы предыдущего параграфа, придем к заключению о дифферен- цируемости функции F и выполнению равенства F 0 (z) = f (z). Таким § 3. Индекс. Цепи и циклы 61 образом, f (z) dz является полным дифференциалом в области D и теорема доказана. 2 Замечание. Полученный результат влечет локальную теорему существования первообразной голоморфной функции. Если f го- ломорфна в произвольной области D, тов любом круге ∆ ⊂ D она имеет первообразную. Вопрос существования глобальной первообразной существенно зависит от топологических свойств области D. В предыдущем параграфе мы видели, что уже в кольце он может решаться отрицательно. С другой стороны, выпуклость области вовсе необязательна Индекс. Цепи и циклы Чтобы активнее включить аналитический аппарат в изучении свойств, введем сразу понятие индекса для кусочно–гладких кривых, хотя это — чисто топологическое понятие. Кроме того, аналитическое определение индекса позволит в дальнейшем эффективнее его использовать в вычислениях. Определение. Пусть γ — кусочно–гладкая замкнутая кривая, не проходящая через точку a. Тогда индексом J(γ, a) точки a относительно кривой γ называется число, a) = 1 2πi Z γ dz z − Иногда J(γ, a) называют порядком кривой γ относительно точки. Выясним геометрический смысл индекса. Пусть z = z(t), α ≤ t ≤ β, — параметризация кривой γ. Поскольку расстояние от a до γ положительно, то найдется такое разбиение α = t 0 < t 1 < . . . < t n = интервала [α, β], что каждая из кривых γ k : z = z(t), t k−1 ≤ t ≤ t k , k = 1 |