Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
D функция u, обладающая в локально свойством среднего значения, является гармонической Глава VI . Гармонические функции Доказательство. Пусть z 0 ∈ D и r > 0, такие, что O r (z 0 ) ⊂ Определим (z) = P (z; u r ) = 1 2π Z T 1 − |z| 2 |æ − z| 2 u(z 0 + ræ) Из свойств интеграла Пуассона следует, что функция V является гармонической в D и непрерывной в D. Кроме того, V (æ) = u(z 0 + для всех æ ∈ Рассмотрим теперь функцию) = V à z − которая гармонична в O r (z 0 ), непрерывна в O r (z 0 ) и совпадает сна. Очевидно, что разность u(z) − v(z) является непрерывной в) функцией, обладающей в O r (z 0 ) локально свойством среднего значения. Следовательно, по предыдущей теореме u−v не достигает в) ни максимума, ни минимума, если только она не тождественно постоянна. Однако u(z) − v(z) = 0 при z ∈ ∂ O r (z 0 ) и потому u(z) ≡ v(z) в Полученное характеристическое свойство гармонических функций делает интуитивно понятным, почему установившееся распределение температур в однородной плоской пластине D есть гармоническая функция. В противном случаев какой–нибудь точке z 0 ∈ значение температуры было быстрого больше или строго меньше, чем среднее температуры на достаточно малой окружности с центром в z 0 . Следовательно, в этой точке происходило бы соответственно уменьшение или увеличение температуры Неравенства и принцип Гарнака В этом параграфе мы приведем два результата Гарнака, касающиеся сходимости гармонических функций и неравенств для ограниченных гармонических функций § 5. Неравенства и принцип Гарнака 119 Теорема 1. Пусть u — неотрицательная гармоническая в O r (z 0 ) и непрерывная в O r (z 0 ) функция. Тогда для всех z ∈ O r (z 0 ) выполняются неравенства − |z − z 0 | r + |z − z 0 | u(z 0 ) ≤ u(z) ≤ r + |z − z 0 | r − |z − Доказательство. Рассмотрим функцию v(ζ) = u(z 0 + rζ). Для нее выполнены условия применимости формулы Пуассона, согласно которой) Замечая, что − |ζ| 1 + |ζ| ≤ 1 − |ζ| 2 |æ − ζ| 2 ≤ 1 + |ζ| 1 − и учитывая неотрицательность v(æ), получаем − |ζ| 1 + |ζ| 1 2π Z T v(æ) |dæ| ≤ v(ζ) ≤ 1 + |ζ| 1 − |ζ| 1 2π Z T v(æ) В силу теоремы о среднем эти неравенства переписываются в виде − |ζ| 1 + |ζ| v(0) ≤ v(ζ) ≤ 1 + |ζ| 1 − Остается в этих неравенствах положить ζ = (z−z 0 ) / r и заметить,что v(0) = u(z 0 ), v à z − z 0 r ! = Упражнение. Покажите, что неотрицательная гармоническая во всей плоскости функция тождественно постоянная. Теорема 2 (Гарнака). Пусть последовательность гармонических в области D функций удовлетворяет условию u n (z) ≤ u n+1 (z) при всех z ∈ D и n = 1, 2, . . . . Тогда выполняется одно из следующих утверждений) u n (z) → ∞ локально равномерно в D при n → ∞; Глава VI . Гармонические функции) последовательность {u n } сходится локально равномерно в при n → ∞ к некоторой гармонической в D функции Доказательство. Пусть z 0 — произвольная точка области D. В силу открытости D найдется такое r > 0, что O r (z 0 ) ⊂ D. Поскольку при любых натуральных n и p функция u n+p − является неотрицательной, тов силу (1) r−|z−z 0 | r+|z−z 0 | (u n+p (z 0 ) − u n (z 0 )) ≤ u n+p (z) − u n (z) ≤ r+|z−z 0 | r−|z−z 0 | (u n+p (z 0 ) − при всех z ∈ O r (z 0 ). В круге же O r/2 (z 0 ) будет выполняться неравенство Левая часть неравенства (2) показывает, что если u n (z 0 ) → ∞ при → ∞, то u n (z) → ∞ равномерно в O r/2 (z 0 ) при n → ∞. Правая часть неравенства (2) показывает, что если {u n (z 0 )} сходится, то {u n (z)} также сходится равномерно в круге O r/2 (z 0 ) к некоторой функции u(z). Очевидно, что предельная функция u(z) будет непрерывной в Таким образом, область D распадается на два открытых непе- ресекающихся множества D 1 , на котором u n (z) → ∞ локально равномерно при n → ∞, и D 2 , на котором u n (z) сходится к некоторой непрерывной функции u(z) также локально равномерно. В силу связности области D одно из этих множеств должно быть пустым. Остается доказать, что в случае D 2 = D предельная функция является гармонической. Пусть z 0 ∈ D и r > 0, такое, что O r (z 0 ) ⊂ D и u n (z) → u(z) равномерно в O r (z 0 ) при n → ∞. Тогда для всех ∈ D получаем+ rζ) = lim n→∞ u n (z 0 + rζ) = = lim n→∞ 1 2π Z T 1 − |ζ| 2 |æ − ζ| 2 u n (z 0 + ræ) |dæ| = 1 2π Z T 1 − |ζ| 2 |æ − ζ| 2 u(z 0 + ræ) Поскольку в правой части равенства мы имеем интеграл Пуассона, то u(z 0 + rζ) является гармонической в D функцией. Следовательно) гармонична в O r (z 0 ). 2 Список использованной и рекомендуемой литературы. Бицадзе, Основы теории аналитических функций .– М Наука. Евграфов МА, Аналитические функции М Наука, 19. 3. Маркушевич АИ, Теория аналитических функций, т. 1–2.– М.: Наука, 196. 4. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного М Наука, 19. 5. Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ М Наука, 19. 6. Ahlfors L.V., Complex analysis, New York: McGraw–Hill, 1966, 121 Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Комплексные числа и функции . . . . . . . . 6 § 1. Алгебра комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . 6 § 2. Геометрическое представление комплексных чисел . 10 § 3. Комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . 15 § 4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 § 5. Экспонента и тригонометрические функции . . . . Глава Аналитические функции как отображения . 31 § 1. Топология комплексной плоскости . . . . . . . . . . . 31 § 2. Конформность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 § 3. Дробно–линейные преобразования . . . . . . . . . . . 41 § 4. Элементарные конформные отображения . . . . . . Глава III Комплексное интегрирование . . . . . . . . . 53 § 1. Определение и основные свойства интеграла . . . . . 53 § 2. Теорема Коши в выпуклой области . . . . . . . . . . 58 § 3. Индекс. Цепи и циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 4. Общая форма теоремы Коши . . . . . . . . . . . . . . 67 § 5. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия Глава IV Изолированные особые точки и разложения в ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 § 1. Локально равномерная сходимость . . . . . . . . . . 75 § 2. Тейлоровское разложение и теорема единственности 3. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 § 4. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . 83 § 5. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 122 Содержание 123 Глава Основные принципы . . . . . . . . . . . . . . . 92 § 1. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 § 2. Принцип открытости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 § 3. Принцип компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 § 4. Теорема Римана об отображении . . . . . . . . . . . 100 § 5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии . Глава VI Гармонические функции . . . . . . . . . . . . 108 § 1. Основные свойства гармонических функций . . . . . 108 § 2. Интегральные формулы Пуассона и Шварца . . . . . 112 § 3. Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле . . 114 § 4. Характеристическое свойство гармонических функций 5. Неравенства и принцип Гарнака . . . . . . . . . . . . Список использованной и рекомендуемой литературы . 121 Учебное издание Горяйнов Виктор Владимирович Курс лекций по теории функций комплексного переменного Главный редактор А.В. Шестакова Редактор ОС. Кашук Технический редактор ЛР N 020406 от Подписано в печать 30.10.98. Формат 60 × Бумага типографская N 1. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. Уч. изд. л. 7,8 Тираж 100 экз. Заказ 116. С Издательство Волгоградского государственного университета, Волгоград, ул. я Продольная, 30. |