Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
0 − z 00 | < M δ ≤ Теорема 3 (Монтеля). Если F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в D семейство, то из всякой последовательности ⊂ F можно выбрать подпоследовательность {f n k }, сходящуюся локально равномерно в Доказательство. Пусть K 1 ⊂ K 2 ⊂ · · · — компактное исчерпание области D, те компактные подмножества в D и Такую последовательность компактных множеств можно построить, например, следующим образом. Выберем R > 0 и натуральное N так, чтобы множество ∈ D : dist(z, ∂D) ≥ 1 N , |z| ≤ было не пусто. Тогда в качестве искомой последовательности можно взять множества {z ∈ D : dist(z, ∂D) ≥ 1 N + j , |z| ≤ R + j}, j = 1, 2, . . . В силу предыдущей теоремы семейство F удовлетворяет на каждом компакте условиям теоремы Арцела, те. оно является на каждом равномерно ограниченными равностепенно непрерывным семейством функций. Следовательно, если {f n } — произвольная последовательность функций из F, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на K 1 . Из этой Глава V . Основные принципы подпоследовательности, в свою очередь, можно выделить подпоследовательность, которая будет сходиться равномерно на Продолжая этот процесс, получим подпоследовательности, f 1,2 , f 1,3 , . . . f 2,1 , f 2,2 , f 2,3 , . . . . . . . . . . . . . . Для каждого j = 2, 3, . . . выполняются следующие условия. подпоследовательность из и {f j,k } сходится равномерно на K j Заметим теперь, что диагональная последовательность f n k = будет, начиная с некоторого номера, подпоследовательностью каждой из {f j,k }. Следовательно, {f n k } будет сходиться равномерно на каждом. Поскольку {K j } является исчерпанием области D, то для любого компакта K ⊂ D найдется такое j, что K ⊂ K j . Это означает, что сходится локально равномерно в области D. 2 § Теорема Римана об отображении В геометрически ориентированной части теории аналитических функций проблема конформного отображения играет доминирующую роль. Теоремы существования и единственности позволяет определить аналитические функции с важными свойствами, минуя аналитическую их запись. В 1851 г. Риман объявило фундаментальной теореме, согласно которой каждую односвязную область, отличную от всей плоскости, можно конформно отобразить на единичный круг. Однако его доказательство оказалось не лишенным недостатков, на которые обращал внимания Вейерштрасс. Около половины века понадобилось для отыскания строгого доказательства этой теоремы. Одним из первых его получил Кебе. Приведенный здесь вариант доказательства близок к предложенному им. Заметим вначале, что в силу теоремы Лиувилля не существует конформного отображения всей плоскости на единичный круг § 4. Теорема Римана об отображении 101 Теорема 1. Пусть D — односвязная область, отличная от всей плоскости, и z 0 ∈ D. Тогда существует единственная аналитическая в D функция f , которая отображает взаимно однозначно область D на единичный круги удовлетворяет условиям f (z 0 ) = 0, f 0 (z 0 ) > Доказательство. Докажем вначале единственность. Допустим, мы имеем две функции и f 2 , удовлетворяющие условиям из формулировки теоремы. Тогда функция ϕ = f 2 ◦ f −1 будет конформно отображать единичный круг D на себя и ϕ(0) = 0, ϕ 0 (0) > 0. В силу леммы Шварца |ϕ(w)| ≤ |w|. С другой стороны, обратная функция) также удовлетворяет условиям леммы Шварца и |ϕ −1 (ζ)| ≤ Подставляя в последнее неравенство вместо ζ выражение ζ = получаем |w| ≤ |ϕ(w)|. Таким образом, |ϕ(w)| ≡ |w| и ϕ(w) = Из условия ϕ 0 (0) > 0 следует ϕ(w) ≡ w и f 1 (z) ≡ Для доказательства существования отображающей функции введем в рассмотрение класс F однолистных в D функций g, удовлетворяющих условиями при z ∈ Покажем вначале непустоту введенного класса функций. По условию и найдется точка a 6∈ D. Поскольку D — односвязная область, тов ней выделяются однозначные ветви функций ln(z − a) и) = √ z − a = e 1 см. последний параграф главы III). Заметим, что для любой пары точек z 1 , из D любое из равенств) = влечет равенство z 1 = z 2 . Это означает, что Q однолистна вине содержит пары точек, симметричных относительно начала координат. Поскольку Q(z 0 ) = принадлежит Q(D) вместе с некоторой окрестностью O r (w 0 ), то O r (−w 0 ) ∩ Q(D) = ∅. Следовательно) + w 0 | > r для всех z ∈ D и функция) = r w 0 + Q(z) Глава V . Основные принципы является однолистной в области D со значениями из D. Условия нормировки можно добиться дополнительным дробно–линейным преобразованием Заметим, что в силу однолистности функции h ее производная h 0 (z) в нуль не обращается. Таким образом, g ∈ F и непустота F доказана. Пусть теперь = sup {g 0 (z 0 ) : g ∈ F} Мы не исключаем здесь возможности α = ∞. Из определения супре- мума следует существование такой последовательности {f n } ⊂ что f 0 n (z 0 ) → α при n → ∞. Поскольку F является равномерно– ограниченным в D семейством, тов силу принципа компактности можно выделить подпоследовательность {f n k }, сходящуюся локально–равномерно в D к некоторой функции f . Из теоремы Вейерштрасса следует аналитичность функции f и равенство f 0 (z 0 ) = что, в частности, означает конечность α. Последствию из теоремы Гурвица имеем также однолистность функции f . В результате f ∈ и является решением поставленной выше экстремальной задачи. Покажем теперь, что f — искомая функция. При этом мы воспользуемся ее экстремальным свойством. Допустим, что некоторая точка из D не принадлежит области (D). Тогда выделяется однозначная ветвь) = f (z) − w ∗ 1 − w ∗ f которая представляет собой однолистную в D функцию. При этом < 1 при z ∈ D и H(z 0 ) = √ −w ∗ = Дифференцируя равенство получаем также) = 1 − |w ∗ | 2 2ζ ∗ α = 1 − |w ∗ | 2 2 √ −w ∗ α . § 5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии 103 Перейдем теперь к нормированной функции (z) = H 0 (z 0 ) |H 0 (z 0 )| H(z) − ζ ∗ 1 − Очевидно, что F ∈ F. Кроме того) = |H 0 (z 0 )| 1 − |ζ ∗ | 2 = α(1 − |w ∗ | 2 ) 2 q |w ∗ |(1 − |w ∗ |) = α 1 + |w ∗ | 2 q |w ∗ | > α что противоречит определению Заметим, что полученное в конце доказательства неравенство не является совсем неожиданным. Действительно, из построения функции видно, что f (z) = Φ(F (z)), где ) = Ã æW + ζ ∗ 1 + ζ ∗ æW !2 + w ∗ 1 + w ∗ Ã æW + ζ ∗ 1 + ζ ∗ æW !2 , æ Поскольку Φ удовлетворяет условиям леммы Шварца, то |Φ 0 (0)| < Отсюда) = Φ 0 (0)F 0 (z 0 ) < F 0 (z 0 ), те. f 0 (z 0 ) < F 0 (z 0 ) . § Аналитическое продолжение и принцип симметрии Согласно теореме единственности голоморфная функция однозначно определяется ее значениями в сколь угодно малой окрестности какой–либо одной точки. Во времена Ньютона считалось, что все функции только такие, а трудности видели лишь в вычислении значений там, где исходная формула ее не определяла, те. в аналитическом продолжении. Основная логическая трудность, связанная с аналитическим продолжением, состоит в его неоднозначности. Напомним, что ранее при определении однозначной ветви ln f (z) функции, не обращающейся в нуль в односвязной области D, мы продолжали ее из точки z 0 ∈ D путем интегрирования f 0 (z)/f (z). Глава V . Основные принципы Односвязность области D гарантировала нам однозначность такого продолжения. Опишем кратко понятийный аппарат, связанный с представлением об аналитической функции как о совокупности ее продолжений. Аналитическая функция f в области образует функциональный элемент и обозначается (f, D). Два функциональных элемента, D 1 ) и (f 2 , D 2 ) называются прямыми аналитическими продолже- ниями друг друга, если D 1 ∩ D 2 6= ∅ и f 1 (z) = f 2 (z) при z ∈ D 1 ∩ Более конкретно говорят, что (f 2 , D 2 ) является аналитическим продолжением) в область D 2 . Такое продолжение может и несу- ществовать, но если оно существует, то оно единственно. Если (f 1 , D 1 ) и (f 2 , D 2 ) являются прямыми аналитическими про- должениями друг друга, то можно было бы рассмотреть функциональный элемент (f, D), где D = D 1 ∪D 2 , а f совпадает с f 1 иf 2 вD 1 иD 2 соответственно. Таким образом, рассмотрение только пар функциональных элементов нового содержания не дает. Более общим понятием является цепь функциональных элементов, в которой (f k , D k ) является прямым аналитическим продолжением функционального элемента, D k−1 ). Элементы в такой цепи называются аналитическими продолжениями друг друга. Пример функции и областей {z : Im z > 0}, D 2 = {z : Re z > 0}, D 3 = {z : Im z < 0}, D 4 = {z : Re z < показывает, что в результате аналитического продолжения мы можем вернуться в некоторую область, нос другой функцией. Отметим также, что, как ив случае прямого аналитического продолжения, продолжение посредством цепи с фиксированным набором областей определяется однозначно. Определение. Глобальной аналитической функцией является непустое семейство f функциональных элементов (f, D), в котором каждая пара элементов представляет собой аналитическое продолжение друг друга посредством цепи с элементами из f. § 5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии 105 Полная аналитическая функция — глобальная аналитическая функция, которая содержит все аналитические продолжения каждого своего элемента. Полная аналитическая функция является, очевидно, максимальной в том смысле, что ее нельзя расширить. Очевидно также, что каждый функциональный элемент принадлежит единственной (а следовательно, и полностью определяет ее) полной аналитической функции. Глобальные аналитические функции являются более произвольными. Разные семейства функциональных элементов могут определять одну и туже глобальную аналитическую функцию. Например, однозначная аналитическая функция f , определенная в области может идентифицироваться либо с семейством, состоящим из одного функционального элемента (f, D), либо с семейством элементов, D 0 ), D 0 ⊂ Глобальная аналитическая функция f имеет однозначно определяемую производную f 0 , определяемую функциональными элементами. Действительно, если (f 1 , D 1 ) и (f 2 , D 2 ) — прямые аналитические продолжения друг друга, то таковыми же являются, D 1 ) и (f 0 2 , Аналогичное соотношение может существовать между двумя глобальными аналитическими функциями f и g. Мы предполагаем, что каждому (f, D) ∈ f сопоставляется единственный функциональный элемент (g, D) ∈ g так, что прямые аналитические продолжения переходят в прямые аналитические продолжения. В этом случае мы говорим, что f подчинена g, и можно определить f + g и f · g как семейства, состоящие из элементов (f + g, D) и (f · g, D), соответствующих элементам (f, D) из f. Например, f подчинена любой целой функции h, откуда следует, что f + h и f · h корректно определены. Приведенное понятие полной аналитической функции называют ”в смысле Вейерштрасса. Оно далеко отходит от обычного понятия функции. Однако есть другой подход, основанный на понятии римановой поверхности, который рассматривает полную аналитическую функцию как однозначную, но определенную уже не на плоскости. Рассмотрим теперь специальный случай аналитического продолжения, когда области и не пересекаются, а имеют общий учас- Глава V . Основные принципы ток границы. Приводимый ниже результат известен как принцип симметрии Римана–Шварца. Теорема 1. Пусть D — область, симметричная относительно вещественной оси, D + — ее часть, расположенная в верхней полуплоскости, и σ — часть вещественной оси, расположенная в Допустим, что f является непрерывной в D + ∪ σ, голоморфной в D + и принимает вещественные значения на σ. Тогда она имеет аналитическое продолжение вовсю область D, где удовлетворяет соотношению симметрии (z) = f Доказательство. Определим в области D функцию F , полагая (z) = f (z) при z ∈ D + ∪ σ и F (z) = f (z) при z ∈ D − = D ∩ {z : Im z < 0}. Если мы покажем, что F аналитична в D, то (F, D) будет прямым аналитическим продолжением (f, Из определения F и вещественности f наследует, что F непрерывна в D. Легко также показать аналитичность F в D − . Действительно, если z 0 ∈ D − , то z 0 ∈ и lim z→z 0 F (z) − F (z 0 ) z − z 0 = lim z→z 0 f (z) − f (z 0 ) z − z 0 = lim z→z 0 f (z) − f (z 0 ) z − z 0 = Пусть x 0 ∈ σ. Тогда найдется r > 0, такое, что O r (x 0 ) ⊂ D. Обозначим) и определим) = 1 2πi Z γ F (ζ) dζ ζ − Как интеграл Коши с непрерывной плотностью F (ζ) функция является аналитической в O r (x 0 ). Если γ ± = γ ∩ D ± , то) = 1 2πi Z γ + F (ζ) dζ ζ − z + 1 2πi Z [x 0 −r,x 0 +r] F (ζ) dζ ζ − z + 1 2πi Z [x 0 +r,x 0 −r] F (ζ) dζ ζ − z + + 1 2πi Z γ − F (ζ) dζ ζ − z = 1 2πi Z Γ + F (ζ) dζ ζ − z + 1 2πi Z Γ − F (ζ) dζ ζ − z = ϕ + (z) + ϕ − (z) , § 5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии 107 где Γ ± — ориентированная граница O r (x 0 )∩D ± . Если z ∈ то ϕ + (z) = f (z) по интегральной формуле Коши, а ϕ − = 0 по интегральной теореме Коши, примененной к функции F (ζ)/(ζ − z), ζ ∈ В действительности, для применения этих результатов мы должны отступить от отрезка [x 0 − r, x 0 + r] внутрь области аналитичности функции F и затем совершить предельный переход. Аналогично, если, то ϕ + (z) = 0 и ϕ − (z) = f (z). Таким образом) = F (z) в O r (x 0 ), что означает аналитичность F Доказанная теорема имеет очевидные обобщения. Область можно выбирать симметричной относительно окружности C и предполагать, что f (z) приближается к другой окружности C 0 , когда стремится к C. При этих условиях f имеет аналитическое продолжение, которое отображает точки, симметричные относительно в точки, симметричные относительно |