Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ В.В. Горяйнов Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград 1998 ББК Г Рецензенты доктор физмат. наук, профессор В.М. Миклю- ков, доктор физмат. наук, профессор Д.В. Прохоров, кандидат физмат. наук, доцент В.А. Ботвинник Печатается по решению учебно-методической комиссии ВГИ ВолГУ Г 71 Горяйнов В.В. Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе- циальностей. Систематическое использование понятия индекса точки относительно замкнутой кривой делает изложение более строгими позволяет дать более наглядную трактовку основным принципам теории. Может быть использовано преподавателями в формировании курсов лекций ив методической работе 5-85534-147-X c ° В.В.Горяйнов, 1998 c ° Издательство Волгоградского государственного университета, 1998 Введение Настоящий курс лекций рассчитан на 70 лекционных часов. Он неоднократно читался в Донецком государственном университете и Волжском гуманитарном институте ВолГУ. Мотивом к его написанию было желание изложить достаточно лаконично доказательства основных теорем теории аналитических функций, не используя традиционные нечеткие геометрические описания, которые существенно снижают уровень строгости рассуждений. Как правило, уровень строгости изложения теории аналитических функций определяется доказательством теоремы Коши. По существу, в этой теореме требуется осуществить переход от локального результата к глобальному. Поэтому на первый план выступают топологические рассмотрения. В данном пособии необходимые рассуждения проводятся на основе понятия индекса точки относительно замкнутой кривой. В значительной мере эти рассуждения являются обработкой изложения из монографии Л.Альфорса, влияние которой можно заметить на протяжении всего курса. Понятие индекса делает также более наглядными доказательства принципа аргумента и теорем о локальных свойствах аналитических функций. При изучении локально равномерной сходимости последовательностей аналитических функций используются некоторые результаты из курса функционального анализа. В частности, теорема Арцела позволяет значительно сократить доказательство принципа компактности Монтеля. Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность А.А.Полковникову, который взял на себя труд по редактированию и оформлению этого пособия. Автор будет также признателен всем за критические замечания относительно данного курса лекций Глава Комплексные числа и функции Алгебра комплексных чисел Из элементарной алгебры уже известны такие понятия, как мнимая единица i, удовлетворяющая условию i 2 = −1, и комплексное число α + iβ = a. К такой записи комплексных чисел приводит желание расширить поле R вещественных чисел решением уравнения+ 1 = 0. Дополняя R числом i и выполняя произвольно операции сложения и умножения (при этом мы считаем, что арифметические операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и над вещественными числами, мы получаем выражения вида + iβ, где α, β ∈ R. Легко проверяется, что и операция деления (когда знаменатель отличен от нуля) разрешима в множестве чисел с такой записью. Кроме того, если предположить, что α + iβ и α 0 + выражают одно и тоже комплексное число, то − α 0 ) = i(β 0 − и − α 0 ) 2 = −(β 0 − что влечет за собой равенства α = α 0 , β = Итак, под комплексным числом мы понимаем выражение a = α + iβ, где α ∈ R называется вещественной частью числа a и обозначается Re a, а β ∈ R — мнимой частью и обозначается Im Равенство комплексных чисел означает одновременное равенство их вещественных и мнимых частей. Совокупность всех комплексных чисел образует, как и R, поле и обозначается Под комплексным сопряжением понимается преобразование, которое каждому a = α + iβ ∈ C ставит в соответствие сопряженное число a = α − iβ. Комплексное сопряжение является инволюцией, что § 1. Алгебра комплексных чисел 7 выражается равенством = Вещественная и мнимая части комплексного числа a алгебраически выражаются через a и a : Re a = a + a 2 , Im a = a − Фундаментальным свойством сопряжения является то, что + b = a + b, ab = a Поскольку частное a/b является решением уравнения z b = a ив силу второго равенства, то à a b ! = a b . Более того, если R(a, b, . . .) — рациональное выражение, составленное из комплексных чисел a, b, . . . , то, b, . . .) = R(a, b, . . Отсюда сразу же следует, что если ζ — корень уравнения+ c 1 z n−1 + · · · + c n−1 z + c n = то ζ — корень уравнения+ c 1 z n−1 + · · · + c n−1 z + c n = В частности, если коэффициенты вещественны, то ζ и ζ являются корнями одновременно. Заметим теперь, что произведение aa = α 2 + всегда положительно или нуль. Его неотрицательный квадратный корень называется модулем , или абсолютной величиной комплексного числа a, и обозначается |a|. Отметим основные свойства модуля. Из определения следует, что aa = и |a| = |a|. Для произведения получаем ab ab = a b a b = |a| 2 · |b| 2 Глава I . Комплексные числа и функции и, следовательно = |a| · Если b 6= 0, то для частного a/b, выполняя очевидные преобразования (a/b) = a ⇒ |b| · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = |a|, получаем ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = |a| |b| . Отметим теперь некоторые неравенства, которые постоянно используются в комплексном анализе. При этом нужно иметь ввиду, что множество комплексных чисел не упорядочено. Поэтому все неравенства должны быть между вещественными числами. Из определения модуля сразу же следуют неравенства ≤ Re a ≤ |a|, −|a| ≤ Im a ≤ Равенство Re a = |a| имеет место в томи только в том случае, если вещественно и ≥ 0. Далее + b| 2 = |a| 2 + |b| 2 + 2 Re ab ≤ |a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| = (|a| + и мы получаем неравенство треугольника : |a + b| ≤ |a| + Из хода доказательства видно, что равенство в нем достигается в томи только в том случае, если ab ≥ Применяя неравенство треугольника, получаем также = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ⇔ |a| − |b| ≤ |a − Аналогично получается неравенство |b| − |a| ≤ |a − b|. Это вместе с предыдущим дает − |b| ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ |a − В заключение докажем комплексный вариант неравенства Коши § 1. Алгебра комплексных чисел 9 Для его доказательства заметим, что для любого λ ∈ C 0 ≤ n X i=1 |a i − λb i | 2 = n X i=1 |a i | 2 + |λ| 2 n X i=1 |b i | 2 − 2 Полагая здесь получаем требуемое. Упражнения 1. Вычислить значения (1 + i) n + (1 − 1) n . 2. Если z = x + iy, найдите вещественные и мнимые части выражений. Покажите, что ± i √ 3 2 3 = 1. 4. Докажите тождество + b| 2 + |a − b| 2 = 2(|a| 2 + |b| 2 ). 5. Найдите абсолютные величины чисел + i)(2 + 4i)(1 + i), (3 + 4i)(−1 + 2i) (−1 − i)(3 − i) . 6. Докажите, что − b 1 − ab ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = если либо |a| = 1, либо |b| = 1. 7. Найдите условия, при которых в неравенстве Коши достигается равенство. Докажите, что − b 1 − ab ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < если |a| < 1 и |b| < 1. Глава I . Комплексные числа и функции Геометрическое представление комплексных чисел В координатной плоскости комплексное число a = α + iβ можно интерпретировать либо как точку с координатами (α, β), либо как вектор, выходящий изначала координат в эту точку. Саму плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью. Сложение комплексных чисел вполне согласуется с векторным сложением. Кроме того, простое геометрическое содержание получают модуль комплексного числа |a|, тождество |a + b| 2 + |a − b| 2 = 2(|a| 2 + |b| 2 ) и неравенство |a + b| ≤ |a| + Точка a и ее комплексное сопряжение a симметричны относительно вещественной оси. Точка, симметричная к a относительно мнимой оси, выражается в комплексной записи как −a. Это является основой для аналитической записи симметрии относительно прямых. Легко выражается аналитически и симметрия относительно окружности. Для этого, а также для геометрической интерпретации произведения комплексных чисел, удобно ввести полярные координаты. Если (r, ϕ) — полярные координаты точки (α, β), то α = r cos ϕ, β = r sin ϕ. Это приводит нас к тригонометрической форме комплексного числа = α + iβ = r(cos ϕ + i sin При этом r = |a|, а полярный угол ϕ называется аргументом комплексного числа и обозначается arg Рассмотрим два комплексных числа a 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) и r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). Их произведение записывается в виде r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin Используя теперь теоремы косинусов и синусов суммы углов, получаем+ Это равенство приводит к правилу: Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей § 2. Геометрическое представление комплексных чисел 11 В этом правиле заложена некоторая условность, которая со временем все больше и больше себя проявляет. По существу, в наших рассмотрениях соотношение arg(a 1 a 2 ) = arg a 1 + arg выражает скорее равенство углов, чем равенство чисел. Значение arg a определяется, вообще говоря, неоднозначно. К этому вопросу нам придется неоднократно возвращаться. Пусть a = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0. Тогда ϕ + i sin ϕ = 1 r (cos ϕ − i sin ϕ) = 1 r [cos(−ϕ) + i Применяя теперь правило для произведения, получаем: При делении комплексных чисел аргументы вычитаются Заметим, что для нуля аргумент не определен вовсе. Легко видеть, что a и 1/a являются точками, симметричными относительно единичной окружности. Эффективность тригонометрической записи комплексных чисел особенно проявляется при исследовании биномиального уравнения z n = a. Из правил умножения сразу же получаем для z = ρ(cos θ + i sin θ) : z n = ρ n (cos nθ + i sin В случае ρ = 1 эта формула носит имя Муавра. Таким образом, уравнение) полностью эквивалентно равенствам r, nθ = ϕ + 2kπ, k ∈ Это позволяет все решения уравнения z n = a записать формулой = n √ r " cos à ϕ n + k 2π n ! + i sin à ϕ n + k 2π n !# , k = 0, 1, . . . , n − 1. Это — все корни й степени из числа a 6= 0. Они имеют один и тот же модуль, а их аргументы равномерно распреде- лены. В частности, при a = 1 получаем корни из единицы, w, . . . , w n−1 , Глава I . Комплексные числа и функции где = cos 2π n + i Аналитическая геометрия. В классической аналитической геометрии геометрическое место точек выражается в виде соотношений между x и y. Их легко перевести в термины z и z. При этом нужно помнить, что комплексное уравнение обычно эквивалентно двум вещественными при выделении кривой они должны выражать одно и то же. Например, уравнение окружности |z − a| = r в алгебраической форме может быть записано в виде (z − a)(z − a) = r 2 . То, что это уравнение инвариантно при комплексном сопряжении, указывает на факт представления вещественного уравнения. Прямая в комплексной плоскости задается параметрическим уравнением z = a + bt, где a и b 6= 0 — комплексные числа, а параметр пробегает все вещественные числа. Два уравнения z = a + и z = a 0 + b 0 t представляют одну и туже прямую в томи только в том случае, когда a 0 − a и отличаются от b только вещественными множителями. Направление прямой можно идентифицировать с arg b. Угол между прямыми z = a + bt и z = a 0 + b 0 t выражается числом arg b 0 /b он зависит от порядка перечисления прямых. Ортогональность прямых эквивалентна тому, что b 0 /b чисто мнимое. Неравенство |z − a| < r описывает внутренность круга. Аналогично, прямая z = a + bt определяет правую полуплоскость неравенством и левую полуплоскость неравенством − a)/b} > Стереографическая проекция. По разным причинам полезно расширение системы C комплексных чисел введением бесконечно удаленной точки ∞. Ее связь с конечными числами выражается соотношениями для конечных a и b·∞ = ∞·b = ∞ для всех 6= 0, включая b = ∞. Однако невозможно определить ∞ + ∞ и 0 · без потери правил арифметики. Тем не менее специально выделяются случаи a/0 = ∞ для a 6= 0 и b/∞ = 0 при b 6= Наглядным пополнение плоскости C до C = C∪∞ становится при стереографической проекции. Для этого рассмотрим сферу S, которая § 2. Геометрическое представление комплексных чисел 13 в трехмерном пространстве задается уравнением x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1. С каждой точкой на сфере S, исключая (0,0,1), можно ассоциировать комплексное число = x 1 + ix 2 1 − Это — взаимно однозначное соответствие. Действительно 1 + x 2 2 (1 − x 3 ) 2 = 1 + x 3 1 − и, следовательно 1 |z| 2 + Дальнейшие вычисления дают + z 1 + |z| 2 , x 2 = z − z i(1 + Это отображение дополняется соответствием (0, 0, 1) → ∞. Заметим, что полусфера x 3 < 0 соответствует кругу |z| < 1 и полусфера x 3 > 0 — внешности |z| > Геометрически очевидно, что стереографическая проекция преобразует каждую окружность на сфере в окружность или прямую в z-плоскости. Для доказательства этого заметим, что окружность на сфере лежит в плоскости α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 = α 0 , где можно считать 1 + α 2 2 + α 2 3 = 1 и 0 ≤ α 0 < 1. В терминах z и z это уравнение принимает вид + z) − α 2 i(z − z) + α 3 (|z| 2 − 1) = α 0 (|z| 2 + или, если z = x + iy, в виде α 3 )(x 2 + y 2 ) − 2α 1 x − 2α 2 y + α 0 + α 3 = При α 0 6= это уравнение задает окружность, а при α 0 = α 3 — прямую. Сферическая метрика. Можно в комплексной плоскости ввести расстояние d(z, z 0 ), которое выражало бы евклидово расстояние между их образами на сфере Римана. Если (x 1 , x 2 , x 3 ) и (x 0 1 , x 0 2 , x 0 3 ) — соответствующие точки на сфере S, то x 0 1 ) 2 + (x 2 − x 0 2 ) 2 + (x 3 − x 0 3 ) 2 = 2 − 2(x 1 x 0 1 + x 2 x 0 2 + x 3 x 0 3 ). Глава I . Комплексные числа и функции Из формул, связывающих точки плоскости и точки сферы, получаем+ x 2 x 0 2 + x 3 x 0 3 = = (z + z)(z 0 + z 0 ) − (z − z)(z 0 |