Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
f , называют ан- тиконформным отображением области D. § 3. Дробно–линейные преобразования Общие свойства. Среди всех аналитических функций наиболее простые отображающие свойства имеют рациональные функции 1- го порядка. Они обладают многочисленными замечательными свойствами, которые выводят их далеко за рамки элементарной теории. Кроме того, свободное владение их свойствами составляют основу достаточно эффективной вычислительной техники Глава II . Аналитические функции как отображения Любое дробно–линейное преобразование записывается в виде) = az + b cz + где a, b, c, d — комплексные числа, называемые коэффициентами дробно–линейного преобразования, удовлетворяют условию − bc 6= Это условие отвечает за невырожденность отображения w = Действительно, числа −b/a и −d/c являются нулями числителя и знаменателя дроби (1). Условие (2) означает, что это различные чис- ла. Как невырожденная рациональная функция первого порядка дробно–линейное преобразование L осуществляет топологическое отображение расширенной комплексной плоскости C на себя, поскольку для любого ζ ∈ C уравнение L(z) = ζ имеет в C единственное решение. При этом L(∞) = a/c и L(−d/c) = ∞. Замечая также, что) = ad − bc (cz + приходим к выводу о конформности L в Отметим теперь свойства совокупности всех дробно–линейных преобразований. Если) = a 1 z + b 1 c 1 z + d 1 , L 2 (z) = a 2 z + b 2 c 2 z + d 2 — произвольные два дробно-линейные преобразования, то их композиция+ также является дробно-линейным преобразованием и ad−bc = (a 1 d 1 − b 1 c 1 )(a 2 d 2 − b 2 c 2 ). Таким образом, дробно-линейные преобразования замкнуты относительно операции композиции. Кроме того, обратная функция = L −1 (w) = dw − b −cw + a § 3. Дробно–линейные преобразования 43 также является дробно–линейным преобразованием. Следовательно, совокупность всех дробно–линейных преобразований образует группу относительно операции композиции. Следует отметить, что это некоммутативная группа. Ангармоническое отношение. Установим вначале результат, согласно которому соответствие трех точек вполне определяет дробно– линейное отображение. Теорема 1. Пусть z 1 , z 2 , z 3 — различные точки в C. Тогда существует и единственно дробно–линейное преобразование T , которое переводит эти точки соответственно в 1, 0 и Доказательство. В случае конечных точек z 1 , и это отображение можно предъявить формулой (z) = z − z 2 z − z 3 , z 1 − z 2 z 1 − В случае когда одна из этих точек бесконечно удаленная, требуемое отображение задается одной из формул = z − z 2 z − при z 1 = ∞, z 1 − z 3 z − при z 2 = ∞, z − z 2 z 1 − при z 3 = которые получаются соответствующими предельными переходами. Докажем теперь единственность этого отображения. Действительно, пусть S — дробно–линейное преобразование с теми же свойствами. Тогда дробно–линейное преобразование L = S ◦ оставляет неподвижными точки 1,0 и ∞. Из условия L(∞) = ∞ следует, что) = az + b. Используя теперь условия L(0) = 0 и L(1) = 1, приходим к тождеству L(z) = z. Отсюда сразу же следует, что S(z) = T Следствие. Для любых различных трех точек z 1 , z 2 , в плоскости и различных трех точек w 1 , w 2 , в плоскости существует и единственно дробно-линейное преобразование L, такое что L(z k ) = w k , k = Глава II . Аналитические функции как отображения, 2, 3. Требуемое отображение определяется из соотношения, z 1 , z 2 , z 3 ) = (w, w 1 , w 2 , Определение. Под ангармоническим отношением (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) четырех различных точек z 1 , z 2 , и понимается образ точки при отображении ее посредством дробно-линейного преобразования, которое переводит точки z 2 , ив и ∞ соответственно. Важность ангармонического отношения обусловлена уже тем, что оно является инвариантом для дробно–линейных преобразований. Теорема 2. Пусть z 1 , z 2 , z 3 , z 4 — четыре различные точки и L — дробно–линейное преобразование. Тогда, . . . , L(z 4 )) = (z 1 , . . . , Доказательство. Пусть T (z) = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ). Тогда T ◦ переводит точки L(z 2 ), L(z 3 ) и L(z 4 ) соответственно в 1,0 и ∞. Следовательно, Круговое свойство. Отметим вначале, что окружности на сфере Римана при стереографической проекции соответствует на комплексной плоскости окружность или прямая. Это приводит к мысли о целесообразности рассматривать прямую в C как окружность, проходящую через бесконечно удаленную точку. Поэтому в дальнейшем под окружностью в C будем понимать такое расширенное ее значение. Предложение 1. Прообразом вещественной оси для любого дроб- но–линейного преобразования является окружность в Доказательство. Пусть L определяется равенством (1) с условием) на его коэффициенты. Нам нужно найти множество точек z, для которых Im L(z) = 0, те. удовлетворяющих условию + b cz + d − a z + b c z + d = 0. § 3. Дробно–линейные преобразования 45 Это равенство можно переписать в эквивалентной форме − ca)|z| 2 + (ad − cb)z + (bc − da)z + (bd − db) = Если ac − ca = 0, то уравнение (3) определяет в комплексной плоскости прямую, те. окружность в Допустим теперь, что ac − ca 6= 0. Тогда уравнение (3) переписывается в эквивалентном виде − bc ac − ca z + bc − ad ac − ca z + bd − bd ac − ca = или после выделения полного квадрата модуля в виде + bc − ad ac − ca ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ad − bc ac − что определяет окружность. 2 Предложение 2. Ангармоническое отношение (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) вещественно в томи только в том случае, если точки z 1 , z 2 , z 3 , лежат на одной окружности в Доказательство. Утверждение следует из предыдущего результата, примененного к дробно–линейному преобразованию T (z) = (z 1 , z 2 , z 3 , Теорема 3. При дробно–линейных преобразованиях окружности в переходят в окружности в Доказательство. Пусть L — произвольное дробно-линейное преобразование и C — окружность в плоскости. Выберем на ней три различные точки z 1 , z 2 , z 3 . В силу инвариантности ангармонического отношения, z 1 , z 2 , z 3 ) ≡ (L(z), L(z 1 ), L(z 2 ), В силу предложения 2 левая часть последнего тождества вещественна в томи только в том случае, когда z ∈ C. Применение предложения 2 Глава II . Аналитические функции как отображения к правой части тождества показывает, что L(z) пробегает окружность, проходящую через L(z 1 ), L(z 2 )L(z 3 ) и L(z 3 ), когда z пробегает C. 2 Принцип симметрии. Если дробно–линейное преобразование определяется вещественными коэффициентами, то оно переводит вещественную ось на себя, а точки z и z, симметричные относительно вещественной оси, в симметричные. Ввиду кругового свойства можно ожидать выполнения этого ив более общей ситуации. Чтобы рассуждения были одинаково применимыми к прямой и окружности, естественно использовать ангармоническое отношение. Как видно из предложения 2, в его терминах легко определяется попадание текущей точки на окружность, определяемую тремя своими точками. Оказывается, ангармоническое отношение отражает и более точное расположение точек относительно окружности. Предложение 3. Пусть z 1 , z 2 , z 3 — три различные точки в C и — окружность или прямая, проходящая через них. Тогда точки и симметричны относительно C в томи только в том случае, если выполняется соотношение, z 1 , z 2 , z 3 ) = (z, z 1 , z 2 , Доказательство. Поскольку T (z) = (z, z 1 , z 2 , z 3 ) является взаимно- однозначным отображением C на себя, то достаточно показать, что условие (4) влечет симметрию точек z и z ∗ . Выделим в доказательстве два случая) Пусть С — прямая. В этом случае (z 1 − z 2 )/(z 1 − z 3 ) вещественно и условие (4) принимает вид z 2 z ∗ − z 3 = z − z 2 z − Но тогда из равенств arg z ∗ − z 2 z ∗ − z 3 = − arg z − z 2 z − z 3 , |z ∗ − z 2 | |z ∗ − z 3 | = |z − z 2 | |z − следует подобие треугольников с вершинами z ∗ , z 2 , и z, z 2 , z 3 . Поскольку у них еще общая сторона, то они равны. Отсюда сразу же следует симметричность и z. § 3. Дробно–линейные преобразования 2) Пусть C — окружность с центром в a и радиуса R. Систематическое использование инвариантности ангармонического отношения дает, z 1 , z 2 , z 3 ) = (z, z 1 , z 2 , z 3 ) = (z − a, z 1 − a, z 2 − a, z 3 − a) = z − a, R 2 z 1 − a , R 2 z 2 − a , R 2 z 3 − a = = R 2 z − a , z 1 − a, z 2 − a, z 3 − a = R 2 z − a + a, z 1 , z 2 , откуда следует, что a + R 2 /(z − и a)(z − a) = Таким образом a) = arg(z − и a| · |z − a| = Теорема 4. Если дробно–линейное преобразование L переводит окружность в окружность в расширенном смысле, то оно преобразует каждую пару точек, симметричных относительно в пару точек, симметричных относительно Доказательство. Пусть z 1 , z 2 , z 3 — три различные точки на окружности. Тогда симметричность точек z и относительно выражается равенством, z 1 , z 2 , z 3 ) = (z, z 1 , z 2 , z 3 ) В силу инвариантности ангармонического отношения имеем, L(z 1 ), L(z 2 ), L(z 3 )) = (L(z), L(z 1 ), L(z 2 ), L(z 3 )) , Глава II . Аналитические функции как отображения что означает симметричность точек L(z ∗ ) и L(z) относительно окружности, определяемой точками L(z 1 ), L(z 2 ) и L(z 3 ), те. Подытоживая полученные результаты, мы видим, что любые два круга в C (те. круг или полуплоскость) являются конформно эквивалентными. Требуемое конформное отображение осуществляется дробно–линейным преобразованием. Для его отыскания можно воспользоваться соответствием трех точек и искать его, разрешая уравнение) где z 1 , z 2 , z 3 — точки на одной окружности, а w 1 , w 2 , w 3 — точки на ее образе. Однако этот путь приводит к громоздким формулам. Более изящным является путь, использующий принцип симметрии. Найдем для примера все дробно–линейные преобразования, которые отображают верхнюю полуплоскость на единичный круги отображения единичного круга на себя. В первом случае допустим, что, Im A > 0, — точка, которая переходит в начало координат. В силу принципа симметрии z = A будет переводить в точку w = ∞. Однако точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно–линейное преобразование определяется однозначно с точностью до постоянного множителя = k z − A z − Поскольку |x − A| = |x − A| при x ∈ R, то условие соответствия вещественной оси и единичной окружности приводит к равенству = 1. Таким образом, общий вид требуемого отображения определяется формулой (5), в которой комплексные числа A и k играют роль параметров и удовлетворяют условиями Аналогично устанавливается, что общий вид дробно–линейного преобразования, отображающего единичный круг на себя, определяется формулой = k z − a 1 − где |a| < 1 и |k| = 1. § 4. Элементарные конформные отображения 49 Упражнения 1. Докажите, что отображение −→ a b c действующее из группы всех дробно–линейных преобразований в группу матриц 2 × 2 относительно умножения, является гомоморфизмом. Покажите, что отображения вида = z + a, w = bz, w = где a и b 6= 0 — комплексные числа, можно рассматривать как систему образующих в группе всех дробно–линейных преобразований. Докажите, что всякое дробно–линейное преобразование, которое переводит вещественную ось в себя, можно записать с вещественными коэффициентами. Пусть дробно–линейное преобразование переводит пару концентрических окружностей в другую пару концентрических окружностей. Докажите, что отношение радиусов окружностей при этом сохраняется. Найдите дробно–линейное преобразование, которое переводит = 1 ив концентрические окружности. Чему равняется отношение их радиусов ? § Элементарные конформные отображения Конформное отображение, ассоциированное с аналитической функцией, позволяет получить наглядное представление о ней, подобно графику в случае функции вещественного пременного. Кроме того, во многие области математики теория функции комплексного переменного входит через конформное отображение. Одной из наиболее важных проблем, возникающих при этом, является задача отыскания конформного отображения одной области на другую. Чтобы Глава II . Аналитические функции как отображения иметь представление о разрешимости этого вопроса в рамках элементарных функций, нужно хорошо знать их отображающие свойства. Последнее достигается, как правило, выяснением вопроса, как преобразуются те или иные семейства кривых. Наиболее общий подход состоит в изучении образов координатных прямых x = или = y 0 . Если записать f (z) = u(x, y) + iv(x, y), то образом прямой = будет кривая, которая задается параметрическими уравнениями. Образы прямой y = описываются аналогично. Вместе они образуют ортогональную сетку в плоскости. В некоторых случаях удобно использовать полярные координаты и изучать образы концентрических окружностей и прямолинейных лучей, выходящих изначала координат. Основным инструментом в практике конформного отображения являются дробно–линейные преобразования, степенная функция, экспонента и логарифм. Степенная функция. w = z α , 0 < α < ∞. Ранее мы видели, что в \ выделяется однозначная ветвь функции z α . Поскольку = |z| α , arg w = α arg то концентрические окружности с центром вначале координат переводятся в окружности этого же семейства, а лучи, выходящие изначала координат, переводятся в такие же лучи. Из равенства следует, что степенная функция осуществляет отображение, конформное во всех точках z 6= 0, а угол θ вначале координат преобразуется в угол раствора Таким образом, в случае 0 < α ≤ 1 степенная функция од- нолистна в области C \ и конформно отображает ее на сектор : −απ < arg w < απ}. В случае α > 1 степенная функция не является однолистной в C \ R − . Однако она будет однолистной в любом секторе {w : −π/α < arg w < Экспонента. w = переводит прямые x = ив окружности с центром вначале координат ив лучи, выходящие изначала. Элементарные конформные отображения 51 координат соответственно. Всякая другая прямая в плоскости переходит в логарифмическую спираль. Экспонента является однолист- ной в каждой области, которая не содержит ни одной пары точек, разность которых кратна 2πi. В частности, горизонтальная полоса : |