Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
⊃ . . . длины которых стремятся к нулю. По теореме Кантора, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам последовательности. Из условий (i), (ii) следует, что ξ принадлежит одному из множеств или G 2 . Пусть это для определенности будет G 1 . В силу открытости и стремления длин к нулю следует, что E n ⊂ при достаточно больших номерах n. Однако это противоречит условиям выбора Определение. Непустое связное открытое множество называется областью. Приведенное выше определение связности в случае открытого множества E означает, что не существует непустых непересекающих- ся открытых множеств и G 2 Глава II . Аналитические функции как отображения Замечание. Мы можем теперь усилить теорему 2 из параграфа предыдущей главы, заменив круг |a−z| < r на произвольную область. Следующий результат дает характеристическое свойство области в других терминах. Теорема 2. Непустое открытое множество E связно в томи только в том случае, если любые две ее точки можно соединить ломаной, расположенной в E. При этом ломаную можно выбрать так, чтобы ее звенья были параллельны координатным осям. Доказательство. Пусть E связно и a ∈ E — произвольная точка. Обозначим через множество тех точек из E, которые можно соединить в E сточкой ломаной со звеньями, параллельными координатным осям. Через обозначим те точки из E, которые не удовлетворяют этому условию. Очевидно, что и являются открытыми множествами и E = G 1 S G 2 . В силу связности E одно из множеств, или G 2 , должно быть пустым. Легко видеть также, что ∅, ив одну сторону утверждение доказано. Обратно, пусть E — открытое множество и любые две ее точки можно соединить ломаной, расположенной в E. Тогда связность легко устанавливается рассуждением от противного. Действительно, если и G 2 — два открытых непустых непересекающихся множества и E = G 1 S G 2 , то для точек a ∈ G 1 , b ∈ найдется ломаная, соединяющая их и расположенная в E. На этой ломаной найдется отрезок, концы которого расположены в разных множествах и Но это будет противоречить связности этого отрезка. 2 Следующий результат позволяет конструировать связные множества и сравнительно просто определять связность в ряде случаев. Теорема 3. Пусть {E α } α∈A — совокупность семейство) связных множеств и ∅. Тогда E = S α E α — связное множество. Доказательство. Допустим противное, те. найдутся такие открытые множества и G 2 , что для E выполнены условия (Выберем произвольную точку a из. В силу (i) она принадлежит § 1. Топология комплексной плоскости 35 одному из множеств или G 2 . Пусть для определенности a ∈ G 1 . В E T G 2 выберем произвольную точку b. По определению E, найдется такое α 0 ∈ A, что b ∈ E α 0 . Но тогда для и множеств ивы- полнены все условия (i)–(iii), что противоречит связности множества E α 0 2 В ряде случаев приходится иметь дело с множествами произвольной структуры. При их анализе первой ступенькой является разложение его на компоненты связности. Компонентой K множества E будем называть связное подмножество, которое не является собственным подмножеством никакой другой связной части множества E. Теорема 4. Каждое множество единственным образом может быть представлено как объединение своих компонент. Доказательство. Пусть E — произвольное множество. Для каждой точки a ∈ E через C(a) обозначим объединение всех связных подмножеств в E, содержащих a. В силу предыдущей теоремы C(a) связно, а непосредственно из определения следует ее максимальность. Таким образом, C(a) — компонента множества E. Для завершения доказательства остается показать, что две компоненты C(a) и C(b) либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть d ∈ C(a) T C(b). Тогда из определения C(d) следует, что) ⊆ C(d). Отсюда получаем a ∈ C(d) ив силу определения имеем включение C(d) ⊆ C(a). Таким образом, C(a) = C(d). Аналогично устанавливается равенство C(b) = Определение. Область D ⊆ C называется односвязной, если C \ D связно. Другими словами, область D называется односвязной, если ее дополнение C \ D состоит из одной компоненты. Следует отметить, что здесь важно условие пополненной комплексной плоскости. На это указывает пример полосы. Теорема 5. При непрерывных отображениях образ связного множества является связным Глава II . Аналитические функции как отображения Доказательство. Пусть w = f (z) — непрерывная функция, которая переводит связное множество E в Q. Допустим, что и открытые множества, удовлетворяющие условиями. Нам нужно доказать, что тогда одно из множеств, Q T H 1 или Q T H 2 , пусто. Определим множества E 1 = {z ∈ E : f (z) ∈ H 1 }, E 2 = {z ∈ E : f (z) ∈ H 2 }. В силу сделанных предположений E 1 T E 2 = ∅ и E. Далее, если z 0 — произвольная точка в и w 0 = f тов силу открытости найдется такое ε > 0, что O(w 0 , ε) ⊆ Согласно непрерывности f найдется такое δ > 0, что |f (z)−f (z 0 )| < прите. Таким образом, существует открытое множество G 1 , для которого G 1 T E = E 1 . Аналогично устанавливается существование открытого множества G 2 , для которого = E 2 . Но тогда в силу связности E одно из множеств, или, должно быть пустым. Пусть это будет E 1 . Нос ним будет пустым множеством Замечание. Среди многих приложений доказанной теоремы отметим следующие два. Не обращающаяся в нуль непрерывная вещественнозначная функция, определенная на связном множестве, сохраняет знак. Отрезок и квадрат не являются топологически эквивалентны- ми. Упражнения 1. Доказать, что E является связным в томи только в том случае, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств итак, чтобы E 1 T E 2 = ∅ и ∅. 2. Доказать, что класс связных множеств не изменится, если в определении связности условие (ii) заменить на G 1 T G 2 = ∅. 3. Докажите, что замыкание связного множества является связным множеством § 2. Конформность 2. Конформность В этом параграфе мы рассмотрим геометрические следствия аналитичности. Как отмечалось ранее, мы не можем получить наглядного представления о функции комплексного переменного посредством графика. Этот недостаток можно компенсировать наблюдением за образами семейств кривых. Уточним вначале понятийный аппарат, связанный с кривыми. В аналитической геометрии под кривой обычно понимают множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению либо задаются параметрическим способом. Для наших целей ближе второе представление, которое позволяет интерпретировать кривую как траекторию движущейся точки. Кроме того, в наших рассмот- рениях будет несущественной скорость прохождения траектории, но будет важным направление и кратность прохождения участков траектории. Перейдем теперь к точным определениями формулировкам. Определение. Путем мы будем называть непрерывное отображение z = z(t) отрезка [α, β] ⊂ R вили. Точки z(α) = a и z(β) = называются началом и концом пути, соответственно. Путь называется замкнутым, если a = Понятие пути является исходным. Понятие кривой связано стем, что мы будем не различать некоторые пути. Будем говорить, что пути z = z 1 (t), α 1 ≤ t ≤ β 1 , и z = z 2 (t), α 2 ≤ t ≤ эквивалентны, если существует непрерывная возрастающая функция, такая, что τ (α 1 ) = α 2 , τ (β 1 ) = и z 1 (t) = z 2 (τ (t)) при t ∈ [α 1 , β 1 ]. Легко видеть, что введенное понятие эквивалентности путей обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Следовательно, все множество путей распадается на непересекающиеся классы эквивалентности. Определение. Кривой γ называется класс эквивалентных путей. Представитель z = z(t), α ≤ β, из класса эквивалентности будем называть параметризацией кривой Заметим, что все пути, которые представляют одну и туже кривую, имеют общие начало и конец. Кроме того, всегда можно в качестве параметризующего отрезка выбрать [0, 1]. Итак, начало, конец Глава II . Аналитические функции как отображения и направление движения по траектории являются характеристиками всей кривой, а не отдельно взятого пути из класса эквивалентности. В частности, кривая называется замкнутой, если ее параметризации замкнуты, те. совпадают начало и конец кривой. Кривая γ называется жордановой,если параметризация z = z(t), α ≤ t ≤ β, осуществляет топологическое отображение отрезка, β]. Кривая называется замкнутой жордановой, если параметризация осуществляет топологическое отображение полуинтервала [α, и z(α) = z(β). Другими словами, замкнутая жордановая кривая это топологическое отображение окружности в плоскость. Определим теперь на множестве кривых две операции. Под сменой ориентации кривой γ с параметризацией z = z(t), α ≤ t ≤ понимается кривая −γ часто пишут также ”γ − ”), которая определяется параметризацией z = z(−t), −β ≤ t ≤ −α. Грубо говоря, при смене ориентации меняется направление обхода. Далее, если конец кривой γ 1 : z = z 1 (t), α 1 ≤ t ≤ β 1 , совпадает с началом кривой γ 2 : z = z 2 (t), α 2 ≤ t ≤ β 2 , то под суммой кривых и будем понимать кривую γ 1 + с параметризацией = z 1 (α 1 + 2t(β 1 − при 0 ≤ t ≤ 1/2, z 2 (α 2 + (2t − 1)(β 2 − α 2 )) при 1/2 ≤ t ≤ Очевидным образом (по индукции) определяется конечная сумма кривых. Заметим, что сумма определена не для каждой пары кривых и не обладает свойством коммутативности. Однако так определенная операция обладает свойством ассоциативности. Выделим теперь совокупность гладких кривых. Путь = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ называется гладким, если функции x(t) и y(t) являются непрерывно дифференцируемыми на [α, β] и z 0 (t) = x 0 (t) + iy 0 (t) 6= 0 при ∈ [α, β]. Эквивалентность гладких путей определяется посредством замены τ = τ (t), которая непрерывно дифференцируема и τ 0 (t) > при всех t. Производные в концевых точках, например z 0 (α), понимаются как односторонние. Класс эквивалентности гладких путей называется гладкой кривой § 2. Конформность 39 Заметим, что у гладкой кривой γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, в каждой точке z(t) существует касательная с направлением arg z 0 (t). Очевидно, что ориентация кривой индуцирует ориентацию касательной. Под кусочно–гладкой кривой будем понимать конечную сумму гладких кривых. Пусть теперь w = f (z) — аналитическая в области D функция. Будем говорить, что f однолистна в D, если f (z 1 ) = f (z 2 ), влечет для любой пары точек из D. Допустим теперь, что f 0 (z) 6= 0 в. Поскольку |f 0 (z 0 )| 2 — якобиан отображения w = f (z) в точке z 0 , тов силу теоремы о неявных функциях в окрестности точки w 0 = f существует обратная функция z = f −1 (w). Очевидно, что она также будет аналитической и) = lim ∆w→0 ∆z ∆w = lim ∆z→0 Таким образом, аналитическая в области D функция с необращаю- щейся в нуль производной является локально однолистной. Из локальной однолистности не следует еще глобальная (те. во всей области. Примером этому может служить функция f (z) = z 2 , рассматриваемая в кольце 1 < |z| < Рассмотрим гладкую кривую γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, расположенную в области D. Тогда уравнение w = f (z(t)) будет определять некоторую гладкую кривую в плоскости. Действительно, из равенства и условий на γ и f следует, что w 0 (t) 6= 0. Кроме того, из равенства (следует, что направление касательной к кривой в точке w 0 = связано с направлением касательной к кривой γ в точке z 0 = равенством w 0 (t 0 ) = arg f 0 (z 0 ) + arg Равенство (2) выясняет геометрический смысл аргумента производной и показывает, что угол между направлениями касательных к кривыми в соответствующих точках и равен arg Следовательно, этот угол не зависит от выбора кривой γ, а кривые, проходящие через точку и имеющие в ней общую касательную, переходят посредством f в кривые, проходящие через точку и Глава II . Аналитические функции как отображения имеющие в ней общую касательную. Более того, две кривые и, образующие в точке угол θ, переходят в кривые и γ ∗ 2 , которые пересекаются в точке под тем же углом θ с учетом направления отсчета. Это свойство называют консерватизмом углов или конформностью отображения w = f (z) в точке Выяснение геометрического смысла модуля производной также приводит к некоторому свойству отображения. Из равенства lim z→z 0 |f (z) − f (z 0 )| |z − z 0 | = видно, что при отображении w = f (z) бесконечно малый элемент длины в точке растягивается или сжимается враз. Другими словами, |f 0 (z 0 )| является коэффициентом искажения масштаба на кривых в точке z 0 , и этот коэффициент не зависит от направления. Вообще говоря, этот коэффициент меняется от точки к точке. Пусть теперь w = f (z) определена в области D и непрерывно дифференцируема в вещественном смысле, те. существуют и непрерывны в D частные производные ∂f /∂x и ∂f /∂y. Рассмотрим вопрос, какими свойствами будет обладать f , если предположить конформность отображения w = f (z) или постоянство искажения масштаба. При сделанных предположениях производную от функции) = f (z(t)) можно представить в виде) = ∂f ∂x (z 0 )x 0 (t 0 ) +В терминах z 0 (t 0 ) = x 0 (t 0 ) + iy 0 (t 0 ) это равенство принимает вид) = 1 2 Ã ∂f ∂x − i ∂f ∂y ! z 0 (t 0 ) + 1 2 Ã ∂f ∂x + откуда получаем 2 Ã ∂f ∂x − i ∂f ∂y ! + 1 2 Ã ∂f ∂x + Консерватизм углов отображения w = f (z) в точке означает, что arg w 0 (t 0 ) z 0 (t 0 ) § 3. Дробно–линейные преобразования 41 не зависит от arg z 0 (t 0 ). Это эквивалентно тому, что правая часть (имеет постоянный аргумент. Однако при полном изменении arg правая часть равенства (3) описывает окружность с центром в точке 2 [∂f /∂x − i∂f /∂y] и радиусом 2 [∂f /∂x + i∂f /∂y]. Таким образом, консерватизм углов влечет равенство нулю радиуса этой окружности, что выражается в виде Это, как мы видели ранее, и есть уравнения Коши–Римана, записанные в комплексной форме. Аналогично постоянство искажения линейного элемента приводит к условию независимости модуля правой части (3) от arg Это возможно лишь при условии вырождения окружности, которую описывает правая часть (3), либо условии попадания ее центра в начало координат. Следствием первого условия, как мы только что показали, является система уравнений Коши–Римана, те. аналитичность функции f . Второе условие эквивалентно равенству Это равенство выражает тот факт, что f (z) является аналитической функцией. В этом случае углы сохраняются по величине, но меняется их направление. Такое свойство называется антиконформностью. Отображение, осуществляемое аналитической однолистной в области функцией f , называют конформным отображением этой области. Отображение, осуществляемое функцией |