Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
∂∆ f (z) − f (a) z − a dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ r · max z∈∂∆ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) − f (a) z − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ § 5. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия 71 и может быть сделано сколь угодно малым при r → 0. Осуществляя в (2) предельный переход при r → 0, получаем (Замечание. Наиболее частое применение доказанной теоремы относится к случаю, когда цикл γ ограничивает область D и функция является аналитической на множестве D ∪ γ. В этом случае для всех ∈ D имеет место равенство (z) = 1 2πi Z γ f (ζ) dζ ζ − Его называют интегральной формулой Коши. Она позволяет найти значения функции f внутри области D по ее значениям на границе γ. Интегральная формула Коши дает идеальный инструмент для исследования локальных свойств аналитических функций. При этом в качестве γ мы можем брать окружность, которая ограничивает круг, расположенный в D. В частности, мы можем теперь доказать, что аналитическая функция имеет производные всех порядков, которые сами являются аналитическими функциями. Для этого выделим отдельно конструкцию, содержащуюся в (1) и (Пусть γ — некоторая кривая и ϕ — заданная на ней непрерывная функция. Тогда выражение (z) = 1 2πi Z γ ϕ(ζ) dζ ζ − называют интегралом Коши с плотностью ϕ. Формула (3) выражает тот факт, что f представляет собой внутри D интеграл Коши. Лемма. Пусть ϕ непрерывна на кривой γ. Тогда функции) = Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z) n , n = 1, 2, . . ., являются аналитическими в каждой из областей, определяемых γ, и) = nF n+1 (z). Глава III . Комплексное интегрирование Доказательство. Докажем вначале непрерывность F 1 . Для произвольной точки z 0 ∈ C \ γ выберем δ > 0 так, чтобы O(z 0 , δ) не пересекалось с γ. Тогда для z ∈ O(z 0 , δ/2) будем иметь) − F 1 (z 0 )| = |z − z 0 | ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z)(ζ − z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ |z − откуда следует непрерывность в точке Заметим теперь, что отношение разностей) − F 1 (z 0 ) z − z 0 = Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z)(ζ − имеет туже структуру, что и F 1 , с плотностью ϕ/(ζ −z 0 ). Поэтому, по доказанному, ее предел при z → существует и равен F 2 (z 0 ). Таким образом, равенство F 0 1 (z) = F 2 (z) установлено. Воспользуемся теперь методом индукции и допустим, что доказано соотношение F 0 n−1 (z) = (n − 1)F n (z). Тогда из представления) − F n (z 0 ) = Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z) n−1 (ζ − z 0 ) − Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z 0 ) n + +(z − z 0 ) Z γ ϕ(ζ) dζ (ζ − z) n (ζ − можно получить непрерывность F n . Действительно, при z → выражение в квадратных скобках стремится к нулю по предположению индукции, примененному к плотности ϕ/(ζ − z 0 ), а интеграл при (z − является ограниченным. Поделив теперь обе части равенства на и используя предположение индукции и непрерывность с плотностью, получаем) − F n (z 0 ) z − z 0 = (n − 1)F n+1 (z 0 ) + F n+1 (z 0 ) = что и следовало доказать. 2 Следствие. Из леммы и замечания к теореме 1 следует бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Кроме того, в § 5. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия 73 условиях справедливости формулы (3) выполняется также равенство) = n! 2πi Z γ f (ζ) dζ (ζ − которое доказывается из леммы индукцией и также называется интегральной формулой Коши для производных. Приведем еще несколько следствий интегральной формулы Ко- ши. Теорема 2 (Морера). Если f определена и непрерывна в области и если dz = 0 для любой замкнутой кусочно–гладкой кривой в D, то f аналитична в Доказательство. Условие теоремы означает, что f dz — полный дифференциал в D. Следовательно, найдется аналитическая в функция F , для которой F 0 (z) = f (z). Таким образом, f аналитична как производная аналитической функции. 2 Следующий результат часто используется в приложениях. Теорема 3. Пусть f — аналитическая в односвязной области функция и f (z) 6= 0 при z ∈ D. Тогда в D выделяются однозначные ветви ln f (z) и (f (z)) a , a ∈ Доказательство. Поскольку также аналитична вине обращается в нуль в D, то f 0 /f является аналитичной в D и по теореме Коши для односвязной области имеет в D первообразную F , те. Для некоторой точки z 0 ∈ D фиксируем значение ln f (z 0 ) и нормируем F с условием F (z 0 ) = ln f (z 0 ). Тогда поскольку (z)e −F (z) ´0 = f 0 (z)e −F (z) − F 0 (z)f (z)e −F (z) = всюду в D и f (z 0 )e −F (z 0 ) = 1, то f (z)e −F (z) ≡ 1 и f (z) ≡ e F (z) . Последнее равенство означает, что F (z) = ln f (z). Выделение степени f a определяется по формуле f a = e a ln Следующий классический результат известен как теорема Лиу- вилля. Глава III . Комплексное интегрирование Теорема 4. Если функция f голоморфна во всей плоскости C и ограничена, то она тождественно постоянна. Доказательство. Пусть |f (z)| ≤ M при всех z ∈ C. Полагая в (4) z = и выбирая в качестве γ положительно ориентированную границу круга |z − z 0 | < r, получим ≤ n!M Осуществляя предельный переход при r → ∞, получаем f (n) (z 0 ) = Поскольку точка выбиралась произвольной, то f (n) (z) ≡ 0. Примы получаем требуемое. 2 Доказанный результат сразу же влечет основную теорему алгебры. Неравенства (5) носят имя Коши. Приведем еще одно геометрическое свойство аналитических функций. Теорема 5 (О среднем. Пусть f голоморфна в области D и, r) ⊂ D. Тогда (a) = 1 2π 2π Z 0 f (a + re iθ ) Доказательство. Выбирая в (3) z = a и γ : ζ = a + re iθ , 0 ≤ θ ≤ приходим к утверждению теоремы Глава Изолированные особые точки и разложения в ряды Локально равномерная сходимость В дальнейшем для области D ⊂ C через H(D) будем обозначать совокупность всех голоморфных в D функций. Определение. Будем говорить, что последовательность функций H(D n ), n = 1, 2, . . ., сходится локально равномерно в области к функции f , если для каждой точки z 0 ∈ D найдутся окрестности) и натуральное число N , такие, что O ε (z 0 ) ⊂ при n ≥ и f n (z) → f (z) равномерно в O ε (z 0 ) при n → Замечание. Приведенное определение можно дать в терминах компактных подмножеств области D : f n → f локально равномерно в ⇔ ∀ компактного множества K ⊂ D найдется номер N , такой, что K ⊂ при n ≥ N и f n (z) → f (z) равномерно на Пример. f n (z) = z/(1 + 2z n ), n = 1, 2, . . . Здесь функция является аналитической в круге D n = {z : |z| < 2 −1/n } и f n 6∈ H(D). С другой стороны, f n (z) → z локально равномерно в D. Интересно также обратить внимание на то, что предельная функция f (z) ≡ z является аналитической во всей комплексной плоскости Теорема 1 (Вейерштрасса. Пусть f n ∈ H(D n ), n = 1, 2, . . . , и) → f (z) локально равномерно в D. Тогда f ∈ H(D) и f 0 n (z) → f 0 (z) локально равномерно в D. 75 76 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды Доказательство. Учитывая локальный характер наших утверждений, фиксируем произвольную точку и выберем 0 < r < dist(z 0 , ∂D). Тогда O r (z 0 ) содержится в D вместе со своим замыканием и по условию теоремы найдется номер N , такой, что O r (z 0 ) ⊂ при n ≥ N . При этом f n → f равномерно на O r (z 0 ). Следовательно является непрерывной функцией и для любой кусочно–гладкой замкнутой кривой γ ⊂ O r (z 0 ) имеем) dz = Z γ f (z) Однако по теореме Коши интегралы слева равны нулю. Но тогда в силу произвольности кривой γ функция f является аналитической в) на основании теоремы Морера. Поскольку была произвольной точкой в D, то f ∈ Для доказательства второй части утверждения воспользуемся интегральными формулами Коши) = 1 2πi Z Γ f (ζ) dζ (ζ − z) 2 , f 0 n (z) = 1 2πi Z Γ f n (ζ) dζ (ζ − z) 2 , z ∈ O r (z 0 ), n ≥ N . Здесь Γ — положительно ориентированная окружность. В круге O r/2 (z 0 ) будем иметь) − f 0 n (z)| = 1 Г (ζ) − f n (ζ) (ζ − z) 2 dζ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 4 r max ζ∈Γ {|f (ζ) − Поскольку правая часть неравенства не зависит от z ∈ и стремится к нулю при n → ∞, то f 0 n → равномерно в круге O r/2 (z 0 ). 2 Ранее мы доказали аналитичность суммы степенного ряда. Теорема Вейерштрасса позволяет расширить этот результат. Теорема 2. Если ряд f (z) = P∞ n=1 f n (z), составленный из аналитических в области D функций, сходится локально равномерно в то его сумма является аналитической в D функцией, и его можно почленно дифференцировать § 2. Тейлоровское разложение и теорема единственности 2. Тейлоровское разложение и теорема единственности Как было показано ранее, сумма степенного ряда представляет собой аналитическую функцию в круге сходимости. Оказывается, что локально каждую аналитическую функцию можно представить в виде суммы степенного ряда. Теорема 1. Если f ∈ H(D) и z 0 — произвольная точка области тов любом круге O r (z 0 ) ⊆ D эту функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда (z) = ∞ X n=0 c n (z − Доказательство. Пусть O r (z 0 ) ⊆ D и z ∈ O r (z 0 ). Обозначим через γ r положительно ориентированную границу круга O r (z 0 ). Тогда по интегральной формуле Коши имеем (z) = 1 2πi Z γ r f (ζ) ζ − Разложим теперь ядро Коши − вряд Поскольку для всех ζ ∈ имеем − z 0 | |ζ − z 0 | = |z − z 0 | r < то полученный ряд мажорируется сходящейся прогрессией и потому сам сходится равномерно на γ r . Равномерная сходимость не нарушается приумножении его на непрерывную на а следовательно, и ограниченную) функцию 2πi f (ζ). Поэтому можно выполнить почленное интегрирование, что дает представление (1), в котором 2πi Z γ r f (ζ) (ζ − z 0 ) n+1 dζ = f (n) (z 0 ) n! . (2) 78 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды Поскольку коэффициенты (2) ряда (1) не зависят ни от точки z, ни от выбора окружности γ r , то ряд (1) сходится и представляет функцию , по-крайней мере в круге O ρ (z 0 ), где ρ = dist(z 0 , Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (называется рядом Тейлора функции f в точке Теорема 2. Если f в круге O r (z 0 ) представима как сумма степенного ряда (1), то его коэффициенты определяются однозначно равенствами c n = f (n) /n!, n = 0, 1, 2, . . Доказательство. Подставляя в (1) z = z 0 , находим f (z 0 ) = c 0 . Равенство в случае n = 1, 2, . . . получается в результате кратного дифференцирования и последующей подстановки z = Доказанная теорема утверждает единственность разложения функции в степенной ряд сданным центром. Ее иногда формулируют в виде всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. В вещественном анализе недостаточно даже бесконечной дифференцируемости, чтобы она была суммой своего ряда Тейлора. Классическим примером является f (x) = Точка a ∈ C называется нулем функции f , если f (a) = Определение. Порядком или кратностью) нуля a ∈ C функции f голоморфной в этой точке, называется наименьший номер отличной от нуля производной f (n) (a). Другими словами, точка a называется нулем f порядка m, если (a) = . . . = f (m−1) = 0 , Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует, что порядок нуля совпадает с наименьшим номером отличного от нуля коэффициента тейлоровского разложения функции в этой точке. При этом, если a — нуль бесконечного порядка, тов некоторой окрестности. С другой стороны, если a — нуль конечного порядка m, § 3. Ряды Лорана 79 то найдется окрестность O δ (a), в которой нет нулей функции f , отличных от a. Действительно, в некоторой окрестности O r (a) функция представима рядом Тейлора (z) = (z − a) m ∞ X n=0 c m+k (z − a) k = (z − Здесь ϕ — голоморфная в O r (a) функция и ϕ(a) = c m 6= 0. В силу непрерывности ϕ найдется окрестность O δ (a), в которой ϕ не обращается в ноль. Ввиду отсутствия делителей нуля в поле комплексных чисел f (z) 6= 0 при z ∈ O δ (a) \ Теорема 3 (Единственности. Если две голоморфные в области функции f и g совпадают на множестве E, которое имеет хотя бы одну предельную точку a, принадлежащую D, то f (z) ≡ всюду в Доказательство. Нам нужно доказать, что h(z) = f (z) − g(z) обращается в нуль в D тождественно. По условию теоремы h обращается в нуль на E. В силу непрерывности a также является нулем функции. Из предыдущего видно, что его порядок не может быть конечными, следовательно, h обращается в нуль в некоторой окрестности Пусть теперь A — внутренность множества нулей функции Очевидно, что A открыто и a ∈ A. Покажем, что B = D \ A также является открытым. Действительно, если b ∈ B не является внутренней точкой, тов любой ее окрестности найдутся точки из A, те предельная точка нулей функции h. Но по доказанному она должна тогда принадлежать A. Таким образом, D = A ∪ B, где A и B открытые непересекающиеся множества. В силу связности D одно из этих множеств пусто. Однако A 6= ∅. Следовательно, B = ∅ и D = Следствие. Если f (z) 6≡ 0 голоморфна в области D, то все ее нули изолированы и конечного порядка Ряды Лорана Рассмотрим вначале ряд вида+ b 1 z −1 + b 2 z −2 + . . . . 80 Глава |