Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
C 0 . Принцип симметрии часто используется для построения конформных отображений Глава Гармонические функции Основные свойства гармонических функций Как уже ранее отмечалось, под гармонической в области функцией понимается дважды непрерывно дифференцируемая функция) = u(x, y), z = x + удовлетворяющая уравнению Лапласа = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = Непосредственно из линейности оператора Лапласа ∆ следует, что совокупность h(D) всех гармонических в области D функций образует линейное пространство. Уместно провести аналогию с линейными функциями одного переменного, поскольку в этом случае уравнение Лапласа приводит нас именно к ним. Отметим, что для линейных функций выполняются теоремы о среднем и принцип максимума. Если f (z) = u(z) + iv(z) — аналитическая в области D функция, тов силу уравнений Коши–Римана функции u и v являются гармоническими в Теорема 1. Пусть D — односвязная область и u ∈ Тогда найдется такая функция f ∈ H(D), что u(z) = Re f (z). 108 § 1. Основные свойства гармонических функций 109 Доказательство. Пусть u ∈ h(D). Рассмотрим функцию g, определенную в области D равенством) = ∂ u ∂ x − i ∂ u ∂ y , x + iy = Поскольку u удовлетворяет уравнению Лапласа, для функции g выполнено условие комплексной дифференцируемости, те В силу односвязности области D однозначно определена также голоморфная функция (z) = U (z) + iV (z) = Z g(ζ) которую мы нормируем условием U (z 0 ) = u(z 0 ), z 0 ∈ D. В этом случае определена с точностью до мнимой константы. Равенство f 0 (z) = g(z) влечет U ∂ x = ∂ u ∂ x , ∂ U ∂ y = − ∂ V ∂ x = ∂ u ∂ Таким образом, U (z) ≡ Применение этой теоремы сразу же дает локальные свойства гармонических функций) Бесконечная дифференцируемость. b) Конформная инвариантность. Если u — гармоническая в области функция, а g — аналитическая в области D функция и g(D) ⊆ G, то v = u ◦ g является гармонической в области D. c) Принцип экстремума. Непостоянная гармоническая в области функция u не может достигать локального максимума или минимума во внутренней точке. Доказательство. a) Пусть u ∈ h(D) и z 0 ∈ D. Тогда найдется > 0 такое, что O r (z 0 ) ⊂ D. По теореме 1, найдется f ∈ для которой Re f (z) = u(z). Отсюда следует бесконечная дифферен- цируемость функции u в O r (z 0 ). Глава VI . Гармонические функции b) Если g(z) ≡ const, то доказывать нечего. Поэтому допустим, что g(z) 6≡ const. Фиксируем произвольно z 0 ∈ D. Пусть O r (z 0 ) ⊂ В силу принципа открытости g(O r (z 0 )) содержит некоторую окрестность точки w 0 = g(z 0 ). Допустим, O ρ (w 0 ) ⊂ g(O r (z 0 )). По теореме найдется функция f ∈ H (O ρ (w 0 )), такая, что u(w) = Re f (w) при ∈ O ρ (w 0 ). Сужая окрестность O r (z 0 ) до O r 0 (z 0 ) так, чтобы выполнялось включение g(O r 0 (z 0 )) ⊂ O ρ (w 0 ), мы получим v(z) = Re f ◦ в O r 0 (z 0 ). Таким образом, v гармонична в окрестности точки как вещественная часть аналитической функции) Допустим, что u(z 0 ) является наибольшим (или наименьшим) значением функции u в окрестности O r (z 0 ) ⊂ D. По теореме, найдется функция f ∈ H(O r (z 0 )), для которой u(z) = Re f (z) в. Но тогда по принципу экстремума для вещественной части аналитической функции будем иметь f (z) ≡ const, что влечет) ≡ const в O r (z 0 ). Чтобы распространить это на всю область снова рассмотрим функцию) = ∂ u ∂ x − i ∂ u ∂ которая определена и аналитична во всей области D. Однако в мы имеем g(z) = f 0 (z) = 0. По теореме единственности для аналитических функций g(z) ≡ 0 в D, что влечет u(z) ≡ const в области D. 2 Принцип экстремума сразу же влечет два варианта теоремы единственности для гармонических функций. Теорема 2 (Единственности. Пусть u ∈ h(D) и выполнено одно из следующих условий) u(z) = 0 в некоторой окрестности O r (z 0 ) ⊂ D; (ii) u непрерывно продолжается в замыкание D ограниченной области D и u(z) = 0 на ∂ Тогда u(z) ≡ 0 в D. § 1. Основные свойства гармонических функций 111 Из теоремы единственности, в частности, следует, что граничные значения вполне определяют гармоническую функцию в области. Задача восстановления гармонической функции по ее граничным значениям известна как задача Дирихле. В последующих двух параграфах она будет решена в случае, когда в качестве области выступает единичный круг. Теорема 3 (О среднем. Пусть u — гармоническая в O r (z 0 ) и непрерывная в O r (z 0 ) функция. Тогда) = 1 2π 2π Z 0 u(z 0 + re iθ ) dθ = 1 2π Z T u(z 0 + ræ)| Здесь ив дальнейшем через T будем обозначать ориентированную границу ∂ Доказательство. Поскольку u — непрерывная в O r (z 0 ) функция, то достаточно доказать равенство) = 1 2π 2π Z 0 u(z 0 + ρe iθ ) для всех ρ ∈ (0, r). Однако в круге O r (z 0 ) функция u представима как вещественная часть аналитической функции. Применяя к последней теорему о среднем и отделяя в полученном равенстве вещественную часть, приходим к требуемому утверждению. 2 Упражнение. Покажите, что гармоническая функция u, зависящая только от r = |z − z 0 |, имеет вид) = α ln |z − z 0 | + Решение. Если u(z) = λ(r), то u ∂ x = λ 0 (r) ∂ r ∂ x = x r λ 0 (r), ∂ 2 u ∂ x 2 = x 2 r 2 λ 00 (r) +и = λ 00 (r) + 1 r λ 0 (r). Глава VI . Гармонические функции Решая уравнение) + 1 r λ 0 (r) = приходим к требуемому утверждению Интегральные формулы Пуассона и Шварца Теорема 1. Пусть u ∈ h(D) и непрерывно продолжается в D. Тогда для любого a ∈ D выполняется равенство) = 1 2π 2π Z 0 1 − |a| 2 |e iθ − a| 2 u(e iθ ) dθ = 1 2π Z T u(æ) 1 − |a| 2 |æ − a| 2 | Доказательство. В случае a = 0 равенство (1) выражает теорему о среднем. В случае a 6= 0 рассмотрим дробно–линейное отображение) = (z − a)/(1 − и определим функцию v = u◦` −1 . В силу конформной инвариантности свойства гармоничности v ∈ h(D) и также непрерывно продолжается в D. По теореме о среднем) = v(0) = 1 2π Z T u(` −1 (ζ)) Выполним в этом интеграле замену переменной) = æ, ζ = `(æ), dζ = ` 0 (æ) и) = 1 2π Z T u(æ)|` 0 (æ)||dæ| = 1 2π Z T u(æ) 1 − |a| 2 |1 − Поскольку при u ∈ T имеет место равенство − aæ| = |1 − aæ| = |æ − то мы приходим к равенству (1). 2 § 2. Интегральные формулы Пуассона и Шварца 113 Теорема 2. Пусть f — голоморфная в D функция, вещественная часть которой u(z) = Re f (z) непрерывно продолжается в D. Тогда для любого z ∈ D выполняется равенство (z) = 1 2π Z T æ + z æ − z u(æ) |dæ| + i Im f (0) = 1 2πi Z T æ + z æ − z u(æ) dæ æ + i Im f Доказательство. По теореме 1 функция u имеет представление в виде) = 1 2π Z T u(æ) 1 − |z| 2 |æ − z| 2 |dæ| = Re ½ 1 2π Z T æ + z æ − z u(æ) Заметим теперь, что функция в фигурных скобках является аналитической в единичном круге. Чтобы убедиться в этом, представим в виде (|dæ| = |iæ dθ| = dθ, æ = e iθ ) : 1 2π Z T æ + z æ − z u(æ) |dæ| = 1 2πi Z T æ + z æ − z u(æ) dæ æ = = 1 2πi Z T u(æ) æ − z dæ + z 1 2πi Z T u(æ) æ − Выражение в правой части последнего равенства является интегралом Коши с плотностью + и потому представляет собой аналитическую в D функцию. Следовательно, функция f , определенная равенством (2), аналитична в D и f (z) = u(z). Остается заметить, что мнимая часть аналитической функции восстанавливается однозначно с точностью до аддитивной константы по вещественной части. 2 Замечание. Формулы (1) и (2) называются соответственно формулами Пуассона и Шварца. Глава VI . Гармонические функции Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле Пусть ϕ — интегрируемая на T вещественнозначная функция. Тогда для z ∈ D определен интеграл (z; ϕ) = 1 2π Z T 1 − |z| 2 |æ − z| 2 ϕ(æ) |dæ| = 1 2π 2π Z 0 1 − |z| 2 |e iθ − z| 2 ϕ(e iθ ) который называется интегралом Пуассона с плотностью ϕ. Определим также интеграл Шварца S(z; ϕ) = 1 2π Z T æ + z æ − z ϕ(æ) Легко видеть, что между интегралами Пуассона и Шварца с одной и той же плотностью ϕ имеет место соотношение S(z; ϕ) = P (z; Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L 1 (T) — вещественнозначная функция. Тогда S(z; ϕ) является аналитической в D функцией. Кроме того, если обращается в нуль на некоторой открытой дуге γ ∈ T, то S(z; аналитически продолжается через γ во внешность единичного круга и принимает начисто мнимое значение. Доказательство. Пусть z 0 — произвольная точка круга D. Выберем > 0 меньше половины расстояния от до T = ∂ D. Тогда ϕ) − S(z 0 ; ϕ) z − z 0 = 1 2π Z T 2 æ ϕ(æ) (æ − z)(æ − ив силу неравенства ϕ(æ) (æ − z)(æ − под знаком интеграла можно совершить предельный переход при z → z 0 . Это означает комплексную дифференцируемость функции S(z; в D. Пусть теперь ϕ(æ) = 0 на открытой дуге γ ⊂ T. Для любого § 3. Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле γ расстояние от добудет положительными поскольку в этом случае ϕ) = 1 2π Z T\γ æ + z æ − z ϕ(æ) то рассуждения, аналогичные проведенным в случае z 0 ∈ D, дают непрерывность и комплексную дифференцируемость функции S(z; на дуге γ. Аналитическое продолжение S(z; ϕ) через γ во внешность единичного круга следует из принципа симметрии Римана–Шварца. Отметим при этом, что условие Re S(z; ϕ) = 0 при z ∈ γ следует из равенства + z æ − z = 1 − |z| 2 |æ − z| 2 = 0, z, æ ∈ T, z 6= Отметим теперь некоторые свойства интеграла Пуассона, характеризующие его как оператор, действующий изв пространство h(D). (а) Линейность ( · ; ϕ 1 + ϕ 2 ) = P ( · ; ϕ 1 ) + P ( · ; ϕ 2 ), P ( · ; αϕ) = αP ( · ; б) Монотонность (z; ϕ) ≥ если ϕ ≥ в) P (z; 1) ≡ 1 и inf ϕ ≤ P (z; ϕ) ≤ sup Доказательство. Линейность является следствием свойств интеграла. Для доказательства монотонности достаточно отметить, что ядро Пуассона неотрицательно в D. Равенство P (z; 1) ≡ 1 следует из интегральной формулы Пуассона для функции u(z) ≡ 1. Наконец, неравенство для P (z; ϕ) следует из монотонности и линейности Глава VI . Гармонические функции Теорема 2 (Шварца). Пусть ϕ — функция, интегрируемая на T и непрерывная в точке æ 0 ∈ T. Тогда lim z→æ 0 P (z; ϕ) = Доказательство. Пусть ε > 0 задано. Выберем дугу γ ⊂ T c центром в точке так, чтобы неравенство) − ϕ(æ 0 )| выполнялось для всех æ ∈ γ. Обозначим через дополнительную дугу T \ γ и определим) = ( ϕ(æ) − ϕ(æ 0 ) при æ ∈ при æ ∈ γ ∗ ; ϕ 2 (æ) при æ ∈ γ, ϕ(æ) − ϕ(æ 0 ) при æ ∈ Тогда (z; ϕ) − ϕ(æ 0 ) = P (z; ϕ 1 ) + P (z; Заметим теперь, что P (z; ϕ 2 ) непрерывно продолжается на дугу γ и обращается на ней в нуль (см. теорему 1). Следовательно, найдется такое δ > 0, что (z; ϕ 2 )| при |z − æ 0 | < δ. Кроме того, из свойств интеграла Пуассона следует, что |P (z; ϕ 1 )| ≤ sup æ∈γ |ϕ(æ) − ϕ(æ 0 )| Таким образом, для любого z ∈ D, удовлетворяющего условию |z − æ 0 | < δ получаем (z; ϕ) − ϕ(æ 0 )| ≤ |P (z; ϕ 1 )| + |P (z; ϕ 2 )| < Доказанная теорема показывает, что задача Дирихле (отыскание гармонической функции по ее непрерывным граничным значениям) всегда разрешима в случае круга. Этот результат можно перенести с помощью конформного отображения на другие односвязные области, ограниченные жордановыми кривыми § 4. Характеристическое свойство гармонических функций Характеристическое свойство гармонических функций Ранее было установлено, что гармонические функции обладают свойством среднего значения. Оказывается, что это свойство является для них характеристическим. Определение. Будем говорить, что непрерывная в области функция u обладает локально свойством среднего значения, если для каждой точки z 0 ∈ D найдется такое r > 0, что O r (z 0 ) ⊂ D и) = 1 2π 2π Z 0 u(z 0 + ρe iθ ) dθ = 1 2π Z T u(z 0 + ρæ) для всех ρ ∈ (0, Теорема 1. Непостоянная непрерывная в области D функция u, обладающая в D локально свойством среднего значения, не может достигать внутри D ни минимума, ни максимума. Доказательство. Допустим, что функция u достигает в точке z 0 ∈ D своего максимума (или минимума. По определению свойства найдется такое r > 0, что при всех ρ ∈ (0, r) выполняется равенство (Поскольку для всех æ ∈ T имеет место неравенство u(z 0 + ρæ) ≤ или u(z 0 + ρæ) ≥ u(z 0 )), то равенство (1) вместе с непрерывностью функции u дает u(z 0 + ρæ) = u(z 0 ) при всех ρ ∈ (0, r) и æ ∈ T. Таким образом, множество A точек области D, в которых u достигает своего максимума (или минимума) открыто. С другой стороны, множество в силу непрерывности функции u также должно быть открытым. Поскольку D связно, то одно из множеств A или должно быть пустым. По предположению A 6= ∅. Следовательно = ∅ и A = D. Однако это влечет условие u(z) ≡ u(z 0 ), которое противоречит непостоянности функции Теорема 2. Непрерывная в области |