Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
, . . . , n, содержится в некотором круге каждая в своем), не содержащем точку a. Очевидно, что γ = γ 1 + . . . + и, a) = 1 2πi Z γ dz z − a = 1 2πi n X k=1 Z γ k dz z − a . Глава III . Комплексное интегрирование другой стороны, в каждом круге можно выделить однозначную ветвь функции ln(z − a) и − a = ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z(t k ) − a z(t k−1 ) − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + i arg z(t k ) − a z(t k−1 ) − Выражение в правой части этого равенства не зависит от выбора ветви ln(z − a) в круге ∆ k , а мнимая часть его равна приращению (в радианной мере) угла, который описывает вектор z − a на дуге. Суммируя эти равенства по k от 1 до n, получаем чисто мнимое число, которое выражает полное приращение угла поворота вектора − a на всей кривой γ. Учитывая нормирующий множитель в определении, приходим к выводу, что индекс точки a относительно кривой γ выражает число оборотов вектора, соединяющего a сточкой, когда она обходит кривую γ. Отсюда следует, в частности, что индекс принимает только целочисленные значения. Отметим теперь другие свойства индекса. Непосредственно из определения следует, что, a) = −J(γ, Теорема 1. Как функция точки a индекс J(γ, a) является постоянным в каждой компоненте связности множества C \ γ и обращается в нуль во внешней компоненте связности. Доказательство. Пусть две точки a и b принадлежат одной компоненте связности множества C \ γ. Тогда в этой компоненте связности их можно соединить ломаной. Таким образом, первая часть утверждения будет доказана, если мы покажем, что J(γ, a) = J(γ, b) в случае, когда отрезок [a, b] не пересекается с Поскольку отображение w = (z − a)/(z − b) переводит внешность отрезка [a, b] на C \ R − , то во внешности этого отрезка выделяется однозначная ветвь функции ln z − a z − b . При этом − a z − b !0 = 1 z − a − 1 z − и, следовательно − a − 1 z − b ! dz = 0, § 3. Индекс. Цепи и циклы 63 что означает равенство J(γ, a) = J(γ, Осталось показать, что во внешней компоненте J(γ, a) = 0. Это следует из постоянства индекса в ней итого, что интеграл − стремится к нулю, когда a → Рассмотрим случай, когда γ = ∂∆ — положительно ориентированная граница круга ∆ = {z : |z − a| < r}. Из геометрического смысла (или из вычислений, проведенных в конце § 1) следует, что, a) = 1. В силу доказанной теоремы J(∂∆, ζ) = 1 ∀ζ ∈ ∆ и, ζ) = 0 при ζ ∈ C \ ∆. Этим оправдывается термин положительно ориентированная граница. Сделаем еще одно важное наблюдение. Если кривую γ непрерывно деформировать, не задевая точку, то J(γ, a) будет меняться непрерывно. Однако, в силу целочислен- ности индекса, J(γ, a) будет оставаться при этом постоянным. Это может быть эффективно использовано при вычислении индекса относительно сложных кривых. Отмечая, наконец, топологический характер индекса, наметим путь определения J(γ, a) в случае произвольной замкнутой кривой, не проходящей через точку a. Для этого кривая γ разбивается на дуги γ 1 , . . . , γ n , каждая из которых содержится в некотором круге, не содержащем точки a. Обозначая через отрезок, соединяющий начало и конец дуги γ k , определим ломаную σ 1 + . . . + и положим, a) = J(σ, Упражнения. Покажите, что приведенное выше определение J(γ, a) не зависит от ломаной σ. 2. Покажите, что новое определение индекса совпадает с прежним на кусочно–гладких кривых. Докажите теорему 1 для произвольных замкнутых кривых. Как уже отмечалось, обобщение теоремы Коши будем развивать в двух направлениях. С одной стороны, будем искать наиболее широкий класс областей, для которых утверждение теоремы остается Глава III . Комплексное интегрирование в силе. С другой стороны, считая область произвольной, будем искать системы кривых, на которых результат интегрирования любой аналитической функции будет нулем. Вначале рассмотрим расширение понятия кривой в рамках интегрирования. В качестве отправного пункта возьмем равенство (z) dz = Z γ 1 f (z) dz + . . . + Z γ 2 f (z) которое имеет место в случае, когда γ 1 , . . . , γ n , образуют разбиение кривой γ = γ 1 +. . .+γ n . Заметим, что правая часть в (1) имеет смысли тогда, когда γ 1 , . . . , γ n — произвольная совокупность кривых. В этом случае формальную сумму+ γ 2 + . . . + γ n = назовем цепью. Очевидно, что различные формальные суммы (2) могут представлять одну и туже цепь. Другими словами, под цепью следует понимать класс эквивалентных формальных сумма эквивалентными читать те цепи, которые дают одно и тоже значение интегралу (1) при любой непрерывной функции f . Очевидно, что следующие операции не выводят за класс эквивалентности) перестановка двух кривых и γ j ; (ii) разбиение кривой на дуги и объединение дуг в одну общую кривую) аннулирование двух противоположно ориентированных дуг. Очевидным образом определяется сумма двух цепей. Это достигается соединением двух сумм в одну общую сумму. В случае суммы эквивалентных цепей удобно обозначить результат как кратное. В такой терминологии каждую цепь можно представить в виде = m 1 γ 1 + . . . + где m j — положительные целые, а γ j — различные кривые. Для противоположно ориентированных кривых можно писать) = −mγ, § 3. Индекс. Цепи и циклы 65 и тогда (3) преобразуется в сумму, в которой отсутствуют пары противоположно ориентированных кривых, но коэффициенты могут быть отрицательными целыми. Допуская также нулевые коэффициенты, можно любые две цепи представить в виде (3) с одними и теми же кривыми γ j . Тогда их сумма будет получаться простым суммированием коэффициентов при одноименных кривых. Под нулевой цепью будем понимать либо пустую сумму, либо сумму с нулевыми коэффи- циентами. Цепь γ будем называть циклом, если ее можно представить в виде (3), где все являются замкнутыми кривыми. Будем также говорить, что цепь (или цикл) содержится в области D, если она допускает представление (3), в котором все кривые расположены в D. В этом контексте циклы играют роль замкнутых кривых. В частности, для любого цикла γ и точки a 6∈ γ те допускает представление (3), каждая кривая которого не проходит через определен индекс, a) = n X j=1 m j J(γ j , Он обладает теми свойствами, что были установлены выше, если кривые заменить на циклы. Определение. Цикл γ в области D называется гомологичным нулю относительно области D, если J(γ, a) = 0 для любой точки a 6∈ D. При этом пишут γ ∼ 0(mod D) или просто γ ∼ 0, если ясно, относительно какой области. Понятие γ 1 ∼ γ 2 (mod D) означает, что γ 1 − γ 2 ∼ 0(mod D). Запас циклов в области D, гомологичных нулю, зависит от ее топологических свойств, те. является топологической характеристикой области. Можно пойти немного дальше и ввести в рассмотрение группу гомо- логий. Теорема 2. Область D ⊆ C односвязна в томи только в том случае, если всякий цикл γ в D является гомологичным нулю относительно области D. Глава III . Комплексное интегрирование Доказательство. Допустим вначале, что D односвязна и цикл расположен в D. Поскольку C \ D связно и содержит ∞, то оно содержится во внешней компоненте связности множества C \ γ. Следовательно, по теореме 1 имеем J(γ, a) = 0 для всех a 6∈ D, что означает ∼ 0(mod Обратно, допустим, что A = C \ D не является связным. Это означает существование таких открытых множеств и G 2 , что A 1 = A ∩ и A 2 = A ∩ не пусты A = A 1 ∪ A 2 , и G 2 ∩ A 6= Замкнутость множества A влечет замкнутость и A 2 . Действительно, если, например, предположить, что ζ ∈ является предельной точкой множества A 1 , то O(ζ, ε) ∩ A 1 6= 0 для любого ε > 0. Однако, в силу открытости множества G 2 , найдется такое ε > 0, что, ε) ⊆ G 2 . В результате мы приходим в противоречие с условием (4). Одно из множеств, пусть это будет для определенности A 2 , содержит. Тогда множество будет ограниченными пусть δ > меньше расстояния от до A 2 . Выберем точку a ∈ и выполним разбиение плоскости на квадраты со сторонами δ/2 проведением сетки прямых, параллельных координатным осям, так, чтобы a являлось центром одного из квадратов Q 0 . Занумеруем также все остальные квадраты Q 1 , . . . , Q n , замыкание которых имеет непустое пересечение с A 1 . Поскольку ограничено, то их будет конечное число, а в силу выбора δ пересечение любого с множеством пусто. Рассмотрим цикл Поскольку для каждого из квадратов, кроме Q 0 , точка a является внешней, то, a) = n X j=0 J(∂Q j , a) = J(∂Q 0 , a) = При этом, после аннулирования сторон квадратов, входящих в γ с противоположной ориентацией, цикл γ будет расположен в D. Действительно, каждая сторона, имеющая непустое пересечение с A 1 , входит в сумму (5) в качестве частей границ двух смежных квадратов с § 4. Общая форма теоремы Коши 67 противоположной ориентацией. Таким образом, мы нашли цикл γ в, который не является гомологичным нулю относительно D. 2 § Общая форма теоремы Коши Понятие цикла, гомологичного нулю, позволяет сформулировать наиболее общий вид теоремы Коши. Теорема 1. Пусть f — голоморфная в области D функция и цикл гомологичен нулю относительно области D. Тогда (z) dz = Доказательство. Выполним вначале разбиение γ на дуги γ 1 , . . . , так, чтобы каждая содержалась в круге ∆ j ⊂ D. Поскольку (z) dz — полный дифференциал в ∆ j , то (z) dz = Z λ j f (z) где λ j — ломаная, соединяющая в концы дуги и имеющая звенья, параллельные координатным осям. Сумма λ представляет собой цикл, состоящий из замкнутых ломаных со звеньями, параллельными координатным осям. При этом (z) dz = Z γ f (z) Заметим, что (1) имеет место для любой аналитической в D функции . В частности, если a 6∈ D, то 1/(z − a) является аналитической в и J(λ, a) = J(γ, a) = 0, те Далее, через каждую вершину λ проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате мы получим сетку, разбивающую всю плоскость наконечное число прямоугольников Q 1 , . . . , и неограниченных областей H 1 , . . . типа полуполос или углов. Исключая тривиальный случай, когда λ расположено на одной прямой, существует хотя бы один прямоугольник, те. Обозначим Глава III . Комплексное интегрирование через центры прямоугольников и покажем, что λ можно представить в виде = n 0 X j=1 J(λ, Для этого нам нужно показать, что = λ − n 0 X j=1 J(λ, является нулевым циклом. Допустим вначале, что σ ij — сторона, общая для двух прямоугольников и Q j . Будем считать, что ориентирована как в Допустим также, что входит в σ с коэффициентом k. Тогда цикл − не содержит и точки a i , принадлежат одной и той же компоненте связности множества C \ (σ − k∂Q i ). По теореме предыдущего параграфа − k∂Q i , a i ) = J(σ − k∂Q i , С другой стороны, используя равенство J(∂Q r , a s ) = δ rs — символ Кронекера, получаем − k∂Q i , a i ) = J Ã λ − n 0 P r=1 J(λ, a r )∂Q r − k∂Q i , a i ! = = J(λ, a i ) − J(λ, a i ) · J(∂Q i , a i ) − kJ(∂Q i , a i ) = и − k∂Q i , a j ) = J(λ, a j ) − J(λ, a j ) · 1 − k · 0 = Таким образом, в силу равенства (3) имеем k = 0 и отрезок не входит в Аналогично рассматривается случай, когда является смежной стороной прямоугольника и неограниченной области H j . В этом случае из точки можно провести луч, расположенный в Q i ∪ Это означает, что находится во внешней компоненте множества −k∂Q i ) и, следовательно, J(σ −k∂Q i , a i ) = 0. С другой стороны, проведенные выше вычисления дают J(σ −k∂Q i , a i ) = −k, и мы снова получаем k = 0. § 4. Общая форма теоремы Коши 69 Таким образом, представление (2) доказано. Покажем теперь, что это представление является внутренним относительно области D. Более точно, что в сумму (2) входят с ненулевыми коэффициентами лишь те ∂Q i , для которых Q i ⊂ D. Действительно, пусть a ∈ и 6∈ D. Поскольку λ ∼ 0(mod D), то J(λ, a) = 0. Кроме того, в рассматриваемом случае отрезок [a i , a] не пересекает λ и по теореме предыдущего параграфа J(λ, a i ) = J(λ, a) = 0, те. коэффициент перед в сумме (2) равен нулю. Из теоремы Коши для выпуклой области для прямоугольников D имеет место равенство (z) dz = откуда следует равенство (z) dz = которое в силу (1) доказывает теорему. 2 Из доказанной теоремы и гомологического описания односвязной области (теорема 2 предыдущего параграфа) сразу же следует Теорема 2. Если f — аналитическая в односвязной области функция и γ — замкнутая кривая в D, то (z) dz = В традиционных курсах теории аналитических функций нет упоминания о гомологиях и не используется явно понятие индекса. Обычно под γ понимают систему кривых, образующих полную границу некоторой подобласти в D и ориентированных так, что при их обходе выделяемая подобласть остается слева. Однако при строгом изложении нужны значительные усилия, чтобы придать точный смысл этому интуитивному представлению. Основное возражение против такого подхода 1 состоит в необходимости очень большую часть времени 1 см.: Ahlfors L.V., Complex analysis, New York: McGraw–Hill, 1966, стр. 150. Глава III . Комплексное интегрирование посвятить периферийным сточки зрения предмета исследований вопросам. В контексте наших рассмотрений легко выделить классический случай путем введения следующего понятия. Определение. Будем говорить, что цикл γ ограничивает область, если индекс J(γ, a) определен и равен 1 для любой точки a ∈ D и либо не определен, либо равен нулю для точек a 6∈ Заметим, что если γ ограничивает D и D ∪ γ содержится в более широкой области D 0 , то γ ∼ 0(mod Теорема 3. Пусть цикл γ ограничивает область D и f — аналитическая на множестве D ∪ γ функция. Тогда (z) dz = 0. § Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия Теорема 1. Пусть f — аналитическая в области D функция и γ цикл гомологичный нулю относительно области D. Тогда для любой точки a ∈ D \ γ выполняется равенство, a) · f (a) = 1 2πi Z γ f (z) dz z − Доказательство. Поскольку D \ γ является открытым множеством, то для достаточно малых r > 0 круг ∆ = {z : |z − a| ≤ r} содержится в D \ γ. Легко видеть, что цикл γ − J(γ, a) · ∂∆ будет гомологичен нулю относительно проколотой области D \ {a}. Заметим также, что в проколотой области функция f (z)/(z − a) является аналитической, и применяя теорему Коши, получим 2πi Z γ f (z) dz z − a = J(γ, a) · 1 2πi Z ∂∆ f (z) dz z − Однако 2πi Z ∂∆ f (z) dz z − a − f (a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 2π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |