Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
θ, sin θ) где R — рациональная функция, можно вычислять посредством вычетов. Введение комплексной переменной z = преобразует наш 90 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды интеграл к виду 2 à z + 1 z ! , 1 2i à z Остается найти вычеты в полюсах, попадающих внутрь единичного круга. Например, вычислим интеграл + cos θ , a > Замечая, что расширение интервала интегрирования допри- водит к удвоению результата, получаем + cos θ = 1 2 2π Z 0 dθ a + cos θ = −i Z |z|=1 dz z 2 + 2az + Поскольку+ 2az + 1 = (z − z 1 )(z − где z k = −a + (−1) k √ a 2 − 1, и |z 1 | > 1, |z 2 | < 1, то + cos θ = 2π Res z=z 2 ( −i z 2 + 2az + 1 ) = π √ a 2 − Пример 2. Интеграл вида) где R — рациональная функция, сходится в томи только в том случае, если R не имеет полюсов на вещественной оси, и степень знаменателя, по–крайней мерена порядка выше степени числителя. Выберем так, чтобы все полюсы функции R содержались в круге. Пусть γ + ρ — часть положительно ориентированной окружности, расположенная в верхней полуплоскости. По теореме о вычетах) dx + Z γ + ρ R(z) dz = 2πi X Im a>0 Res z=a R(z). § 5. Вычеты 91 Однако при достаточно больших ρ и некоторой константе M будет выполнятся на неравенство |R(z)| ≤ M/ρ 2 . Следовательно, для этих ρ имеем) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z γ + ρ |R(z)| · |dz| ≤ π M ρ → при → Таким образом) dx = 2πi X Im Например + x 2 = 2πi Res z=i 1 1 + z 2 = 2πi 1 2i = π. Глава Основные принципы Принцип аргумента Совокупность H(D) всех голоморфных в области D функций образует кольцо, те. замкнуто относительно суммы, разности и произведения функций. Что касается частного f /g двух функций из то оно голоморфно в D, за исключением нулей знаменателя g. Допустим, что g(a) = 0, a ∈ D. В силу изолированности нулей найдется такая окрестность O r (a) ⊂ D, в которой f и g будут иметь представление, где и аналитические не обращающиеся в нуль в O r (a) функции. Но тогда в ˙ O r (a) будем иметь (z) g(z) = (z − Поскольку f 1 /g 1 ∈ H(O r (a)), то f /g имеет в a устранимую особенность при n ≥ m и полюс при n < m. При этом кратность полюса будет равна m − Будем говорить, что функция f мероморфна в области D, если она голоморфна всюду в D, за исключением, быть может, некоторого множества полюсов. Очевидно, совокупность M(D) всех меро- морфных в области D функций образует поле. Под мероморфностью функции в точке естественно понимать мероморфность в некоторой ее окрестности. Поскольку полюсы, как и нули, мероморфной в области D функции являются изолированными, тона любом компакте K ⊂ D их может быть лишь конечное число. Под числом полюсов (или нулей § 1. Принцип аргумента 93 на множестве K с учетом их кратности будем понимать сумму крат- ностей полюсов (соответственно, нулей, попадающих на Теорема 1. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f — мероморфная на D функция, не имеющая нулей и полюсов на γ. Тогда число N ее нулей и число P полюсов в области D с учетом их кратности удовлетворяют соотношению − P = 1 2πi Z γ f 0 (z) f Доказательство. Поскольку D является компактом в области меро- морфности функции f , тов содержится лишь конечное число нулей и полюсов. Пусть a 1 , . . . , a n — её нули в D с кратностями s 1 , . . . , s n , а, . . . , b m — её полюсы с кратностями q 1 , . . . , соответственно. Тогда+ и P = q 1 + · · · + q m . Далее рассмотрим функцию) = n Y j=1 (z − a j ) −s j · m Y j=1 (z − b j ) q j · f Очевидно, что изолированные особые точки a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , функции g являются устранимыми. Следовательно, функция g является голоморфной и не обращается в нуль на D. Поскольку (z) = (z − a 1 ) s 1 · . . . · (z − a n ) s n · (z − b 1 ) −q 1 · . . . · (z − и (z) = n X j=1 s j z − a j − m X j=1 q j z − то, применяя теорему Коши к аналитической на D функции g 0 /g, получаем Замечание. Пусть Γ — цикл, полученный из γ преобразованием = f (z). Тогда 2πi Z γ f 0 (z) f (z) dz = 1 2πi Z Γ dw w = J(Γ, 0). Глава V . Основные принципы Другими словами, интеграл в правой части (1) выражает приращение (деленное на 2π) аргумента точки w, совершающей обход цикла Γ. В связи с этим соотношение (1) называется также принципом аргумента в теории аналитических функций. На практике принцип аргумента чаще всего применяется через следующий результат. Теорема 2 (Руш´ е). Пусть D — область, ограниченная циклом и f, g — аналитические на D функции, удовлетворяющие условию (z)| < |g(z)| при z ∈ γ. Тогда g и g +f имеют в D одинаковое число нулей с учетом их кратности. Доказательство. Из условия теоремы следует, что g и g + f не обращаются в нуль на γ. Пусть N 1 — число нулей g, а N 2 — число нулей g + f в D с учетом их кратности. Тогда функция F = (g + f является мероморфной на D и разность между числом N е нулей и числом P е полюсов в D с учетом их кратности равна N − P = N 2 − N 1 . Однако, как отмечалось выше − P = J(Γ, где Γ = F (γ). С другой стороны, из условия |F (z) − 1| < 1 при z ∈ следует, что Γ содержится в круге |w − 1| < 1 и J(Γ, 0) = 0. Таким образом, N 2 − N 1 = 0 и N 2 = В заключение приведем результат, касающийся локально равномерной сходимости. Теорема 3 (Гурвица). Пусть функции f n ∈ H(D), n = 1, 2, . . . , не обращаются в нуль в D и f n → f локально равномерно в D. Тогда либо f (z) ≡ 0 в D, либо f не обращается в нуль в Доказательство. Пусть f (z) 6≡ 0. Фиксируем произвольно точку ∈ D. В силу изолированности нулей найдется r > 0 такое, что) ⊂ D и f не обращается в нуль на γ = ∂O r (a). Как непрерывная на компакте функция |f | отделена от нуля нате при § 1. Принцип аргумента ∈ γ. Отсюда и из локально равномерной сходимости последовательности следует, что 1/f n → 1/f равномерно на γ. Следовательно 2πi Z γ f 0 n (z) f n (z) dz = 1 2πi Z γ f 0 (z) f Однако интегралы слева выражают числа нулей функций в и, следовательно, равны нулю. Поэтому равен нулю интеграл справа и f не обращается в нуль в O r (a). В частности, f (a) 6= Следствие. Пусть последовательность однолистных в области функций f n ∈ H(D) сходится локально равномерно в D к функции (z) 6≡ const. Тогда f также однолистна в Доказательство. Допустим, что для некоторых z 1 6= в D имеет место равенство f (z 1 ) = f (z 2 ) = A. Пусть и U 2 — две непересе- кающиеся окрестности точек и соответственно, расположенные в D. В силу однолистности функции водной из окрестностей, или U 2 , она не принимает значение A. Следовательно, можно выделить подпоследовательность {f n k } функций, которые не принимают значение A водной из окрестностей. Пусть для определенности ею будет U 1 . Применяя теорему Гурвица к последовательности функций) − A в области U 1 , получаем, что f (z) − A не обращается в нуль в U 1 . Это противоречит предположению, что f (z 1 ) = Другое доказательство теоремы Гурвица. Допустим f (z) 6≡ и f (a) = 0 для некоторой a ∈ D. В силу изолированности нулей найдется такое r > 0, что в проколотой окрестности ˙ O r (a) функция не обращается в нуль. Можно также считать, что f не обращается в нуль и на γ = ∂O r (a). Поскольку γ является компактом, то min z∈γ |f (z)| = δ > 0. В силу локально равномерной сходимости последовательности найдется номер N такой, что |f n (z) − f (z)| < при всех n ≥ N и z ∈ γ. Но тогда по теореме Руш´е функция f + (f n − f ) будет иметь в O r (a) столько же нулей, сколько их имеет там f , те. по крайней мере один. Полученное противоречие с условиями теоремы доказывает требуемое утверждение Глава V . Основные принципы Принцип открытости Вначале установим один результат, который даёт представление о локальной структуре отображения, осуществляемого непостоянной аналитической функцией. Теорема 1 (О локальной структуре отображения. Пусть f го- ломорфна в области D и f (z 0 ) = w 0 , z 0 ∈ D. Допустим также, что функция f (z) − имеет в нуль порядка n, те. f 0 (z 0 ) = . . . = f (n−1) (z 0 ) = 0 и f (n) (z 0 ) 6= 0. Тогда найдутся также окрестности) и O ρ (w 0 ), что уравнение w 0 = f (z) имеет ровно n различных корней в ˙ O r (z 0 ) при любом w 0 ∈ Доказательство. Из условия теоремы следует, что f (z) 6≡ В силу изолированности нулей аналитической функции найдется окрестность O r (z 0 ), которая вместе с замыканием содержится в области и функции f (z) − w 0 , f 0 (z) не обращаются в нуль в Пусть γ = ∂O r (z 0 ) и Γ = f (γ). Замечая, что Γ не проходит через точку w 0 , выберем число ρ > 0 меньше, чем расстояние от до Фиксируем произвольное w 0 ∈ ˙ O ρ (w 0 ). Из условия выбора ρ следует выполнение неравенства w 0 | < |f (z) − при всех z ∈ γ. Но тогда по теореме Руш´е функции (z) − и (z) − w 0 = (f (z) − w 0 ) + (w 0 − имеют в O r (z 0 ) одинаковое число нулей с учетом их кратности. Однако функция f (z) − имеет в O r (z 0 ) один нуль z = порядка Поскольку f 0 (z) 6= 0 при z ∈ ˙ O r (z 0 ), то все нули функции f (z) − в O r (z 0 ) являются простыми. Таким образом, в O r (z 0 ) содержится ровно n точек z 1 , . . . , z n , которые являются решениями уравнения (z) = Следствие. Условие f 0 (z) 6= 0 является необходимым для однолист- ности функции f в области D. § 2. Принцип открытости 97 Теорема 2 (Принцип открытости или сохранения области). Непостоянная аналитическая функция переводит открытые множества в открытые, а область — в область. Доказательство. Утверждение сразу же следует из теоремы Теорема 3 (Принцип максимума модуля. Если f — непостоянная аналитическая в области D функция, то максимум модуля |, а также максимумы и минимумы Ref и Imf не могут достигаться во внутренних точках области Задача. В какой точке квадрата достигается максимум произведений четырех расстояний от точек до вершин квадрата. Теорема 4 (Лемма Шварца). Пусть аналитическая в единичном круге D функция f удовлетворяет условиями при z ∈ D. Тогда ≤ 1 и |f (z)| ≤ |z| при z ∈ При этом знак равенства достигается лишь в случае, когда f (z) ≡ e iα z, α ∈ Доказательство. Из предположений теоремы следует аналитичность в D функции ϕ(z) = f (z)/z. Для каждого r ∈ (0, 1) в силу принципа максимума имеем max |z|≤r |ϕ(z)| = max |z|=r |ϕ(z)| = 1 r max |z|=r |f (z)| Для фиксированного z ∈ D можно осуществить предельный переход в неравенстве |ϕ(z)| ≤ 1/r при r → 1. Таким образом, |ϕ(z)| ≤ 1 при z ∈ D, что эквивалентно неравенству |f (z)| ≤ |z|. Неравенство |f 0 (0)| ≤ следует из полученного неравенства и замечания, что ϕ(0) = Допустим теперь, что водном из доказанных неравенств достигается знак равенства. Это означало бы, что |ϕ(z 0 )| = 1 для некоторой. В силу принципа максимума тогда следовало бы, что) ≡ e iα z. 2 Глава V . Основные принципы Принцип компактности В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об условиях на семейство голоморфных в области D функций, которые позволяли бы из любой её последовательности выделять сходящуюся локально равномерно в D подпоследовательность. Определение. Семейство F ⊂ H(D) называется локально равномерно ограниченным в D, если для всякой z 0 ∈ D найдутся окрестность O r (z 0 ) ⊂ D и число M > 0, такие, что |f (z)| ≤ M при всех ∈ O r (z 0 ) и f ∈ Другими словами, для каждого компактного множества K ⊂ D семейство является равномерно ограниченным на Теорема 1. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в D семейство. Тогда F 0 = {f 0 : f ∈ F} также является локально равномерно ограниченным в D семейством. Доказательство. Пусть z 0 — произвольная точка области D. По условию найдутся r > 0 и M > 0, такие, что O r (z 0 ) ⊂ D и |f (z)| ≤ для любых z ∈ O r (z 0 ) и f ∈ F. Пусть γ = ∂O r (z 0 ). Тогда, используя интегральную формулу Коши для производных, получаем для любого ∈ O r/2 (z 0 ) и любой f ∈ F: |f 0 (z)| = 1 2π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z γ f (ς) dς (ς − z) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 1 2π Z γ M r 2 /4 |dς| Теорема 2. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в D семейство. Тогда на любом компакте K ⊂ D это семейство является равностепенно непрерывным. Доказательство. Пусть K — компактное подмножество в области. Выберем r > 0 меньшим расстояния от K до ∂D. Тогда множество {z : dist(z, K) ≤ r} § 3. Принцип компактности 99 также будет компактным подмножеством области D. По предыдущей теореме найдется такое M > 0, что ≤ M при всех z ∈ и f ∈ Пусть теперь ε > 0 произвольное. Выберем δ < min{r, ε/M }. Тогда для любых z 0 , принадлежащих K и удовлетворяющих условию z 00 | < δ будем иметь [z 0 , z 00 ] ⊂ и (z 0 ) − f (z 00 )| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z [z 0 ,z 00 ] f 0 (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ M · |z |