Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды Простая замена переменной z = 1/ζ приводит его к обычному степенному ряду, областью сходимости которого, как мы знаем, является круг |ζ| < R, где R = 1/( lim n→∞ n q |b n |). Следовательно, областью сходимости исходного ряда является внешность круга > 1/R, где его сумма представляет собой аналитическую функцию. Если скомбинировать такой ряд с обычным степенным рядом, то получим более общую форму степенного ряда, или − a) n , областью сходимости которого (если она не пуста) является кольцо. Теорема 1 (Лорана). Любую функцию f , голоморфную в кольце = {z : r < |z − a| < можно представить как сумму сходящегося в K ряда (z) = ∞ X n=−∞ c n (z − коэффициенты которого определяются по формуле 2πi Z γ ρ f (ζ)dζ (ζ − где γ ρ — положительно ориентированная окружность |ζ − a| = ρ, r < ρ < Доказательство. Заметим прежде всего, что интервалы в правой части (2) не зависят от значения ρ ∈ (r, R). Действительно, если, ρ 00 ∈ (r, R), то γ ρ 0 − γ ρ 00 ∼ 0(mod K) и по теореме Коши, примененной к функции f (z)/(z − a) n+1 , n = 0, ±1, ±2, . . . , получаем (ζ) dζ (ζ − a) n+1 = Z γ ρ00 f (ζ) dζ (ζ − Пусть теперь r < r 0 < R 0 < R. Тогда цикл γ R 0 − ограничивает кольцо {z : r 0 < |z − a| < R 0 }. § 3. Ряды Лорана 81 В силу интегральной формулы Коши имеем в представление (z) = 1 2πi Z γ R0 f (ζ) dζ ζ − z − 1 2πi Z γ r0 f (ζ) dζ ζ − z = f 1 (z) + Функцию можно рассматривать как интеграл Коши в круге − a| < R 0 . Ее разложение вряд Тейлора (см, например, доказательство теоремы 1 предыдущего параграфа) имеет вид) = ∞ X n=0 c n (z − где коэффициенты определяются по формуле (Для получения разложения функции во внешности круга |z − a| > представим ядро Коши в виде − z = 1 (z − a) Ã 1 − ζ − a z − a ! = ∞ X n=1 (ζ − a) n−1 (z − Поскольку при |z − a| > и ζ ∈ выполняется неравенство − a z − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = r 0 |z − a| < то полученный ряд сходится равномерно пои его можно почленно интегрировать. Умножая его на ограниченную функцию 2πi f (ζ) и интегрируя почленно, получим) = ∞ X n=1 b n (z − где 2πi Z γ r0 (ζ − a) n−1 f (ζ) dζ = Складывая теперь полученные разложения для и f 2 , получим разложение) для функции f в кольце K 0 . Поскольку и выбирались произвольно и коэффициенты не зависят от этого выбора, то полученное представление имеет место во всем K. 82 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана функции f в кольце K. Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется его правильной частью, а совокупность членов с отрицательными степенями — главной частью. Теорема 2 (Единственности. Если функция f в кольце = {z : r < |z − a| < представима рядом вида (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (Доказательство. Фиксируем ρ ∈ (r, R). Ряд (1) сходится равномерно на окружности γ ρ . Поэтому его можно почленно интегрировать. Равномерная сходимость не нарушается, если его умножить на ограниченную функцию. Умножая равенство (1) на (z − a) −m−1 , где m произвольное целое, и переходя к почленному интегрированию, получим Однако в левой части все слагаемые, кроме соответствующего индексу, обращаются в нуль и мы получаем 2πi = Z γ ρ f (z) dz (z − Теорему 2 можно сформулировать так всякий сходящийся ряд) является рядом Лорана своей суммы. Формулы (2) для вычисления коэффициентов ряда Лорана на практике применяются довольно редко ввиду громоздкости сопутствующих вычислений. На основании доказанной теоремы для получения лорановского разложения можно использовать любой корректный прием. Результат будет один и тот же § 4. Изолированные особые точки Изолированные особые точки Если для a ∈ C найдется такая окрестность O r (a), что f является голоморфной в проколотой окрестности ˙ O r (a) = O r (a) \ {a}, то называется изолированной особой точкой функции f . В зависимости от поведения функции при приближении к особой точке проведем следующую классификацию. Определение. Изолированная особая точка a функции f называется) устранимой особой точкой, если существует конечный предел lim z→a f (z) = A; (II) полюсом, если f (z) → ∞ при z → a; (III) существенно особой точкой, если f не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → Теорема 1. Изолированная особая точка a функции f является устранимой в томи только в том случае, если f ограничена в некоторой проколотой окрестности Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности допустим, что |f (z)| ≤ M при всех z ∈ ˙ O r (a) и некотором M > 0. По теореме Лорана f представима в ˙ O r (a) рядом вида (z) = ∞ X n=−∞ c n (z − где 2πi Z γ ρ f (ζ) dζ (ζ − a) n+1 , γ ρ — положительно ориентированная окружность |z − a| = ρ, а можно выбрать любым в интервале (0, r). Поскольку ≤ 1 2π M · ρ −n 2π = M ρ −n , 84 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды то c n = 0 при всех отрицательных номерах n. Таким образом, ряд Лорана функции f в ˙ O r (a) является, по существу, обычным степенным рядом и определяет в O r (a) голоморфную функцию g, которая совпадает св Замечание. Из доказательства теоремы видно, что переопределение или доопределение) функции f в устранимой особой точке делает ее аналитической в полной окрестности O r (a). Этим объясняется название. Следствие. Пусть f ∈ H(D) и a (a ∈ D) — нуль порядка m функции . Тогда в D имеет место равенство (z) = (z − где g ∈ H(D) и g(a) 6= Доказательство. Функция g, определенная равенством g(z) = f (z) (z − a) n , является аналитической в D\{a}. Легко видеть также, что является для g устранимой особой точкой. Следовательно, g ∈ Условие g(a) = 0 обозначало бы, что f имеет в a нуль более высокого порядка, чем m. Таким образом, g(a) 6= Теорема 2 (Сохоцкого, Вейерштрасса. Множество значений, принимаемых аналитической функцией в любой окрестности существенно особой точки, является всюду плотным в Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется комплексное число A ∈ C и ε > 0 такие, что |f (z) − A| > ε при z ∈ где a — существенно особая точка функции f , а O r (a) — некоторая ее окрестность. Функция g(z) = 1/(f (z) − A) будет аналитической и ограниченной в ˙ O r (a). По теореме 1 a является устранимой особой точкой функции g. Если g(a) 6= 0, то f (z) → 1/g(a) + A при z → a и будет устранимой особой точкой и для f . В случае же g(a) = 0 должно § 4. Изолированные особые точки 85 выполнятся предельное соотношение f (z) → ∞ при z → a, что означает является полюсом функции f . Полученное противоречие с условием теоремы завешает доказательство. 2 При доказательстве теоремы 1 мы установили также, что a является устранимой особой точкой функции f в томи только в том случае, если лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки не содержит главной части. Оказывается главная часть лора- новского разложения полностью определяет характер особой точки. Теорема 3. Изолированная особая точка a ∈ C функции f является полюсом существенно особой) в томи только том случае, если главная часть ряда Лорана функции f в проколотой окрестности) содержит конечное бесконечное) число отличных от нуля членов. Доказательство. Пусть лорановское разложение функции f в окрестности ˙ O r (a) имеет вид (z) = c −m (z − a) −m + c −m+1 (z − a) −m+1 + . . . , c −m 6= Функция ϕ, представимая рядом) = ∞ X k=0 c k−m (z − является аналитической в O r (a) и ϕ(a) = c −m 6= 0. Из равенства) следует, что f (z) → ∞ при z → a. Таким образом, a — полюс функции. Допустим теперь, что a — полюс. Тогда f не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности ˙ O r (a) и, следовательно, в этой окрестности является аналитической функция 1/f . Кроме того (z) → 0 при z → a. Из теоремы 1 следует, что a является устранимой особой точкой для 1/f . Пусть m — порядок нуля функции в точке a. Тогда (z) = (z − a) m g(z), 86 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды где g ∈ H(O r (a)) и g не имеет нулей в O r (a). Функция 1/g также будет аналитической в O r (a) и ее разложение вряд Тейлора можно записать в виде − a) n , c 0 6= Теперь получаем представление (z) = (z − a) −m ∞ X n=0 c n (z − которое в силу теоремы 2 предыдущего параграфа и есть лорановское разложение функции f Из доказанного и заключений относительно устранимой особой точки следует утверждение о существенно особой точке. 2 Определение. Порядком или кратностью) полюса a функции f называется порядок этой точки как нуля функции 1/f Из доказательства теоремы 3 видно, что порядок полюса совпадает с номером старшего члена главной части лорановского разложения функции в окрестности полюса. Голоморфная в C функция называется целой. В этом случае, как ив случае голоморфности f во внешности круга |z| > R, естественно рассмотреть бесконечность как изолированную особую точку. Классификация особых точек на этот случай распространяется путем замены и переноса характера особенности точки ζ = 0 функции (1/ζ) на точку z = ∞ функции f (z). Если в лорановском разложении в окрестности бесконечности, те. по степеням z во внешности круга |z| > R, под главной частью понимать совокупность членов с положительными степенями, то связь между классификацией и видом главной части будет такой же, как ив конечных точках. Характер особенности на бесконечности во многом определяет целую функцию. Действительно, если бесконечность является устранимой особой точкой, то, по теореме Лиувилля, целая функция сводится к тождественной постоянной. Если это — полюс, то главная § 5. Вычеты 87 часть лорановского разложения f в окрестности бесконечно удаленной точки является полиномом P (z) = c 1 z + . . . + c m z m , c m 6= 0. Но тогда g = f −P также будет целой функцией, и бесконечно удаленная точка для g будет устраняемой. Следовательно, g(z) ≡ const и f — полином. Целые функции с существенной особенностью на бесконечности называются целыми трансцендентными функциями. Таковыми являются 5. Вычеты Пусть a — изолированная особая точка функции f и ˙ O r (a) — проколотая окрестность, в которой f аналитична. Тогда в силу теоремы Коши, интеграл 2πi Z γ ρ f (z) где γ ρ = ∂O ρ (a), 0 < ρ < r, не зависит от ρ. Его значение называется вычетом функции f в точке a и обозначается Res a f или Res z=a f Теорема 1. Вычет функции f в изолированной особой точке a ∈ C равен коэффициенту при (z − a) −1 лорановского разложения f в окрестности точки Доказательство. Поскольку ряд Лорана f (z) = P∞ n=−∞ c n (z − сходится равномерно на окружности γ ρ , то его можно почленно интегрировать Замечание. Из хода доказательства видно, что если γ — замкнутая кусочно–гладкая кривая, расположенная в ˙ O r (a), то 2πi Z γ f (z) dz = c −1 J(γ, a) = J(γ, a) Следствие. В устранимой особой точке вычет равен нулю 88 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды В случае когда a — полюс, можно привести формулу для вычисления вычета, которая не требует отыскания лорановского разложения. Пусть m ≥ 1 — порядок полюса. Тогда f имеет в проколотой окрестности ˙ O r (a) разложение вида (z) = c −m (z − a) −m + c −m+1 (z − a) −m+1 + . . где c −m 6= 0. Функция g(z) = (z − a) m f (z) будет иметь a устранимой особой точкой, а будет коэффициентом ее ряда Тейлора при (z − a) m−1 . Из формул для коэффициентов ряда Тейлора получаем = c −1 = g m−1 (a) (m − 1)! = 1 (m − 1)! lim z→a d (m−1) dz m−1 (z − a) m f Особенно просто эта формула выглядит при m = 1 : Res a f = lim z→a (z − a)f Теорема 2. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f голоморфная на D функция, исключая конечное число особых точек, . . . , a N , расположенных в D. Тогда 2πi Z γ f (z) dz Доказательство. Пусть ρ > 0 таково, что O ρ (a k ) ⊂ D при всех = 1, . . . , N и O ρ (a i ) ∩ O ρ (a j ) = ∅ при i 6= j. Тогда цикл γ где σ k = ∂O ρ (a k ), будет гомологичным нулю относительно области голоморфности функции f . Следовательно, по теореме Коши имеем 2πi Z γ f (z) dz − 1 2πi N X k=1 Z σ k f (z) dz = что эквивалентно доказываемому равенству. 2 Как уже отмечалось выше, в случае голоморфности f во внешности некоторого круга |z| > R бесконечно удаленную точку естественно причислить к особым. Определим вычет в бесконечности посредством равенства = 1 2πi Z −γ ρ f (z) dz, § 5. Вычеты 89 где γ ρ — положительно ориентированная окружность |z| = ρ, ρ > Интегрируя почленно лорановское разложение f (z) на, получаем = Члены с отрицательными степенями входят в правильную, а не в главную часть лорановского разложения в бесконечности. В отличие от конечных точек вычет в бесконечности может оказаться неравным нулю даже в случае, когда бесконечность является устранимой особой точкой. Теорема 3. Пусть f — аналитическая в C функция, исключая конечное число особых точек a 1 , . . . , a N . Тогда + N X k=1 Res a k f = Доказательство. Пусть γ — окружность с центром вначале координат и такая, что все a k , k = 1, . . . , N , попадают внутрь круга, ограниченного γ. Применение предыдущей теоремы дает требуемый результат. 2 Теория вычетов — эффективный инструмент для вычисления определенных интегралов. Следует при этом иметь ввиду, что подынтегральная функция должна быть близка к аналитической. Это на практике, как правило, выполняется. Более существенным является то, что теория вычетов связана с интегрированием по замкнутому контуру, в то время как в вещественном анализе интегрирование ведется по отрезку. Рассмотрим на примерах, как эти трудности пре- одолеваются. Пример 1. Интеграл вида |