Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
N, что < 1/ρ 0 , при всех n ≥ N. Следовательно, для всех z из круга |z| ≤ ρ |a n z n | = |a n | · |z n | при n ≥ N. Это означает, что в круге |z| ≤ ρ ряд (1) мажорируется геометрической прогрессией. Поскольку ρ/ρ 0 < 1, то мажорантный ряд сходится и (i) доказано Глава I . Комплексные числа и функции Для доказательства (ii) заметим, что если |z| > R, то можно выбрать ρ с условием |z| > ρ > R ив силу lim n→∞ n q |a n | найдется бесконечное число индексов n, для которых > 1/ρ. Но тогда для этих индексов Это означает, что необходимое условие сходимости ряда P a n z n (стремление к нулю общего члена) не выполняется ион расходит- ся. Приступая к доказательству (iii), заметим, что почленно продифференцированный ряд P∞ n=1 na n z n−1 имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд (1). Это следует из формулы (2) и условия → 1, при n → ∞. Обозначим (z) = ∞ X n=0 a n z n , g(z) Тогда f (z) = lim n→∞ S n (z) и g(z) = lim n→∞ S 0 n (z), поскольку S 0 n (z) частные суммы ряда Фиксируем теперь произвольно z 0 , |z 0 | < R, и выберем ρ > 0 из условия |z 0 | < ρ < R. Тогда для любого z 6= из круга |z| ≤ ρ будем иметь (z) − f (z 0 ) z − z 0 − g(z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ S N (z) − S N (z 0 ) z − z 0 − S 0 N (z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + +|S 0 N (z 0 ) − g(z 0 )| + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 z − z 0 ∞ X n=N +1 a n (z n − z n 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ S N (z) − S N (z 0 ) z − z 0 − S 0 N (z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + +|S 0 n (z 0 ) − g(z 0 )| + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ X n=N +1 a n (z n−1 + · · · + z n−1 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ S N (z) − S N (z 0 ) z − z 0 − S 0 N (z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + |S 0 N (z 0 ) − g(z 0 )| + ∞ X n=N +1 n|a n |ρ n−1 . § 4. Степенные ряды 25 Для произвольного ε > 0 выберем N так, чтобы +1 n|a n |ρ n−1 < ε/3 и |S 0 N (z 0 ) − g(z 0 )| < ε/3. Существование такого N следует из сходимости ряда P n|a n |ρ n−1 и условия S 0 n (z 0 ) → g(z 0 ), при n → ∞. Затем, в силу аналитичности как полинома, можно выбрать δ, 0 < δ < ρ − |z 0 |, так, чтобы выполнялось неравенство) − S N (z 0 ) z − z 0 − при 0 < |z − z 0 | < δ. Но тогда при этих z будем иметь (z) − f (z 0 ) z − z 0 − g(z 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < ε 3 + ε 3 + ε 3 = Заметим, что формула (2) носит имя Коши–Адамара. Из хода доказательства видно также, что допускаются случаи R = 0 и Упражнения. Пусть lim n→∞ a n = A. Докажите, что lim n→∞ 1 n (a 1 + a 2 + · · · + a n ) = A. 2. Докажите, что ряд из комплексных членов, каждая часть которого сходится, должен сходиться абсолютно. Докажите, что если ряд расходится, то существует по крайней мере одно направление сгущения α, обладающее тем свойством, что, каково бы ни было ε > 0, ряд абсолютных величин тех членов ряда, которые расположены в угле α − ε < arg z < α + ε, является расходящимся. Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов < 1), X z n! . 5. Если ряд P a n z n имеет радиус сходимости R, то каковы радиусы сходимости рядов P a n z 2n и P a 2 n z n ? 6. Если f (z) = P a n z n , то что можно сказать о ряде Глава I . Комплексные числа и функции. Для каких z сходится ряд + z !n ? 8. Если числа z 1 , z 2 , . . . лежат в угле ≤ arg z ≤ α, α < то ряды+ z 2 + · · и + |z 2 | + · · либо оба сходятся, либо оба расходятся. Пусть числа z 1 , z 2 , . . . лежат в полуплоскости Re z ≥ 0. Если сходятся оба ряда+ z 2 + . . и 1 + z 2 2 + . . . то сходится также ряд |z 1 | + |z 2 | + . . . . § Экспонента и тригонометрические функции Один из мотивов введения экспоненциальной функции связан с решением дифференциального уравнения f 0 (z) = f (z) с начальным условием f (0) = 1. Полагая (z) = X a n z n , f 0 (z) мы приходим к следующим соотношениям на коэффициенты a n−1 = и a 0 = 1. Индуктивное рассуждение приводит к равенствам a n = 1/n!, n = 1, 2, . . . . Таким образом, решение должно определяться степенным рядом e z = ∞ X n=0 z n n! . Из формулы Коши–Адамара и предельного соотношения → при n → ∞, следует сходимость этого ряда во всей комплексной плоскости. Экспонента и тригонометрические функции 27 Отметим некоторые свойства экспоненты. Из определяющего ее дифференциального уравнения следует так называемая теорема сложения e z 1 · e z 2 ∀z 1 , z 2 ∈ Действительно, для любого фиксированного a ∈ C имеем e a−z ) 0 = e z · e a−z − e z · e a−z = и, следовательно, e z · e a−z ≡ значение при z = 0). Полагая в этом тождестве a = и z = z 1 , получаем равенство теоремы сложения. Применение теоремы сложения, в частности, дает e z · e −z ≡ 1, откуда следует, что e z 6= 0 ни при каком z ∈ C. Далее, из вида степенного ряда видно, что e x > 1 при x > 0, а из равенства e x e −x = 1 получаем также 0 < e x < 1 при x < 0. Наконец, в силу вещественности коэффициентов разложения имеет место равенство Следовательно, для любого y ∈ R имеем |e iy | 2 = e iy e −iy = 1 и = e x |e iy | = Одним из преимуществ комплексного анализа является то, что в нем наиболее полно раскрываются связи между элементарными функциями. Заметим, что степенной ряд экспоненты можно рассматривать как продолжение в комплексную плоскость ее вещественного ряда. В связи с этим оправдано введение тригонометрических функций посредством равенств z = e iz + e −iz 2 , sin z = e iz − При этом cos z = 1 − z 2 2! + z 4 4! − · · · , sin z = z − z 3 3! + z 5 5! − · · · Для вещественных z мы получаем ряды Тейлора соответствующих функций вещественного переменного. Непосредственно из определения косинуса и синуса следует формула Эйлера cos z + i sin z, Глава I . Комплексные числа и функции а также основное тригонометрическое тождество z) 2 + (sin z) 2 = Используя теорему сложения для экспоненты, легко выводятся формулы cos Из вида разложений sin z и cos z или просто из определения и формулы) следуют формулы дифференцирования z) 0 = cos z, (cos z) 0 = − sin Обычным образом через sin z и cos z определяются другие тригонометрические функции tg z, ctg z, sec z и cosec z. Заметим лишь, что все они являются рациональными функциями от Периодичность. Говорят, что функция f имеет период c, если f (z + c) = f (z) при всех z ∈ C. Условие на c быть периодом экспоненты выражается равенством e z ⇒ e c = Полагая c = α + iβ, получаем α = 0 и cos β + i sin β = 1, откуда β = 2kπ, где k — целое. Таким образом, периоды функции определяются равенством = i2kπ, k ∈ С алгебраической точки зрения экспонента устанавливает гомоморфизм, действующий из аддитивной группы комплексных чисел в мультипликативную. В частности, w = e iy — гомоморфизм между аддитивной группой вещественных чисел и мультипликативной группой комплексных чисел с абсолютной величиной, равной Вместе с экспонентой нужно изучить обратную к ней функцию логарифм. Поскольку не обращается в нуль, то уравнение w = его решение — z = ln w) не имеет решения при w = 0. Другими словами, логарифм нуля не существует. При w 6= 0 уравнение e x+iy = w эквивалентно системе |w|, e iy = w |w| . § 5. Экспонента и тригонометрические функции 29 Первое уравнение имеет единственное решение = ln где справа стоит вещественный логарифм положительного числа. Второе уравнение имеет бесконечно много решений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2πi. Таким образом, каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет бесконечно много логарифмов, отличающихся друг от друга на слагаемое, кратное Мнимая часть ln w называется также аргументом числа w и обозначается. Геометрически он выражает угол между положительным направлением вещественной оси и лучом (0, w). Согласно этому определению аргумент имеет бесконечно много значений и ln w = ln |w| + i arg Если обозначить |z| = r и arg z = θ, то мы придем к очень распространенной записи комплексного числа = Из теоремы сложения для экспоненциальной функции следует также, что ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2 (mod 2πi), arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 (mod Используя логарифм, можно ввести понятие комплексной степени exp(b ln если a 6= 0. Как и логарифм, имеет, вообще говоря, бесконечно много значений, отличающихся множителями Рассмотрим теперь область D = C \ R − . Фиксируя для каждой точки z ∈ D одно значение ln z, мы получим однозначную функцию, которая называется ветвью логарифма. Среди них выделяется главная ветвь, которая определяется условием | Im ln z| < π. Будем ее обозначать w = ln z. Легко видеть, что так определенная функция Глава I . Комплексные числа и функции ln z будет непрерывной в D. Следовательно, ∆w → 0 при ∆z → Поэтому lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim w→0 Те является в D аналитической функцией и Любая другая непрерывная ветвь ln z в D отличается на аддитивную константу 2πin и имеет туже производную Аналогично выделяются однозначные ветви показательной функции Упражнения. Найдите значения sin i, cos i. 2. Найдите значения тех z, для которых равно 2, −1, i. 3. Определите все значения 2 i , i i . Глава Аналитические функции как отображения Топология комплексной плоскости Здесь мы рассмотрим некоторые свойства множеств комплексной плоскости (или расширенной комплексной плоскости, которые инвариантны относительно непрерывных отображений. Пусть ε > 0 — произвольное число. Под окрестностью точки ∈ C будем понимать круг) = O(a, ε) = {z ∈ C : |z − a| < если a 6= ∞, и, ε) = ( z ∈ C : |z| С каждым множеством E ⊆ C можно связать разбиение C натри непересекающихся множества. Точка a ∈ E называется внутренней, если она принадлежит вместе с каждой своей окрестностью. Совокупность всех внутренних точек называется внутренностью множества E и обозначается Внешностью множества E называется внутренность его дополнения и обозначается Ext Множество точек C, не принадлежащих ни внутренности, ни внешности множества E называется границей множества E и обозначается. Очевидно, что a ∈ ∂E в томи только в том случае, если всякая ее окрестность содержит одновременно как точки множества, таки точки ее дополнения Глава II . Аналитические функции как отображения Множество E называется открытым, если каждая его точка является внутренней, те. E = Int E. Совокупность открытых множеств определяет топологию. Дополнительные к открытым множества называются замкнутыми. Их можно определить посредством операции замыкания. Точка ∈ C называется предельной для множества E, если ее всякая ε- окрестность O(a, ε) содержит бесконечно много точек из E. Операция замыкания состоит в присоединении к E всех его предельных точек, а ее результат обозначается E. Множество E замкнуто в томи только в том случае, если E = E. Заметим, что ∂E = E \ Int Фундаментальными свойствами открытых и замкнутых множеств являются следующие. Объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Пустое множество и вся расширенная комплексная плоскость являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Как известно из вещественного анализа (C можно рассматривать как R 2 ), всякое ограниченное замкнутое множество E ⊂ C является компактным. Свойство компактности выражается в двух фундаментальных результатах лемме Гейне–Бореля и принципе Больцано– Вейерштрасса. Согласно первому, из всякого открытого покрытия компактного множества можно выбрать конечное подпокрытие. Согласно второму, всякое бесконечное подмножество компактного множества имеет хотя бы одну предельную точку. В расширенной комплексной плоскости C всякое замкнутое множество является компактным. Обычно в вещественном анализе (ив курсе топологии) доказывается инвариантность компактности при непрерывных отображениях. Хорошо известны также свойства непрерывных вещественно- значных функций, определенных на компакте. В частности, каждая такая функция является равномерно непрерывной и достигает своего максимума и минимума. Остановимся более подробно на топологическом понятии связность § 1. Топология комплексной плоскости 33 Определение. Множество E ⊆ C называется связным, если несу i-iществует двух открытых множеств и G 2 , удовлетворяющих условиям) E ⊆ G 1 S G 2 ; (ii) E T G 1 T G 2 = ∅ (iii) G 1 T E 6= ∅, G 2 T E 6= Интуитивно связность означает, что E состоит из одного ”куска”. Теорема 1. Отрезок прямой — связное множество. При этом допускается, чтобы один из концов отрезка был бесконечно удаленной точкой, асам отрезок был открытым, замкнутым или полуоткры- тым. Доказательство. Допустим противное, те. найдутся два открытых множества и G 2 , для которых выполнены условия (i)–(iii), где — наш отрезок. Тогда на E найдутся две конечные точки a ∈ и b ∈ G 2 . Очевидно, что условия (i)–(iii) также выполняются приза- мене E на подынтервал E 1 = [a, b]. Разобьем пополам и выберем ту его часть E 2 , которая представляет собой интервал с концами в разных множествах и G 2 . Продолжая этот процесс, получим последовательность замкнутых вложенных отрезков E 1 ⊃ E 2 |