курсовая по статистической аналитике. Курсовая работа по дисциплине Методы прогнозирования и анализ рынка

• Название: Курсовая работа по дисциплине Методы прогнозирования и анализ рынка
• Анкор: курсовая по статистической аналитике
• Дата: 07.02.2020
• Размер: 2.07 Mb.
• Имя файла: KursShirochenkovZadyhin.docx
• Тип: Курсовая; #107491
• страница: 7 из 15

Построение модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p,k,q)

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p,k,q) предназначена для описания временного ряда, имеющих порядок интеграции k, в виде ARMA(p,q) модели ряда разностей k–го порядка первоначального временного ряда:

,

где C, µ_j и – коэффициенты модели,

p и q – порядки модели,

– случайные величины, образующие «белый шум».

Рассмотренные далее в пунктах 3.3 – 3.6 линейные модели можно понимать как частные случаи ARIMA(p,q) при k=0.

p = 0 => MA(q)

q = 0 =>AR(p)

p ≠ 0, q ≠ 0 =>ARMA(p,q)

Поскольку рассматриваемый временной ряд является нестационарным, т.е. имеет порядок интеграции k=1>0 (как установлено в пункте 3.1), то мы в каждом из пунктов 3.3–3.5 построим соответствующие модели для ряда разностей k–го порядка, являющегося стационарным.

3.2.1. Построение авторегрессионной модели AR(p)

При построении аддитивной модели объясняющими переменными являются функции момента времени τ. В нашем случае (для линейной модели) объясняющие переменные – лаговые переменные y_i–1, y_i–2, …, y_i–p.

Модель AR(p): (где коэффициенты β_j (j = 0…p) оцениваются с помощью пакета E’Views, p – порядок модели)

Возмущения ε_i удовлетворяют условиям Гаусса–Маркова.

P1.

P2.

P3. .

При построении модели нужно решить следующие задачи:

1. 
   определение порядка p авторегрессионной модели временного ряда;
   
2. 
   оценивание коэффициентов β_i.
   

Рассмотрим решение первой задачи.

Ρ_част(m) – частный коэффициент автокорреляции, соответствующий лагу m. Величина Ρ_част(m) определяется как коэффициент корреляции между двумя случайными величинами Y(),…,Y() случайных величин.

Оценкой для Ρ_част(m) является выборочный частный коэффициент автокорреляции r_част(m).

Предположим, что все вычисленные частные коэффициенты автокорреляции значимы до порядка p включительно. Тогда можно принять порядок автокорреляции модели равным p.

В нашем случае однозначно определить порядок p по коррелограмме не удается, поэтому будем определять порядок p подбором.

Рассмотрим решение второй задачи.

Наиболее часто используются следующие модели AR(p):

• 
  авторегрессионная модель первого порядка (или модель AR(1)):
  

• 
  авторегрессионная модель второго порядка (или модель AR(2)):
  

Коэффициентыβ_j (j = 0…p) будем оценивать с помощью пакета EViews. Построим авторегрессионную модель первого порядка. Для этого необходимо в командной строке среды EViews написать следующий код: ls у car(1), где у–название временного ряда. Результат выполнения указанной команды приведен на рисунке 3.13.

Рисунок 3.13 – Нахождение коэффициентов модели AR(1)

Таким образом, построенная модель AR(1) имеет следующий вид:

2. Построение модели скользящего среднего MA(q)

Модель скользящего среднего MA(1) имеет следующий вид:

где C, – коэффициенты модели,

q – порядок модели,

– случайные величины, образующие «белый шум». (порядок найдем перебором)

Построим модель MA(1). Коэффициенты будем считать в пакете E’Views. Для этого необходимо в командной строке среды EViews написать следующий код: ls у cma(1), где у–название временного ряда. Результат выполнения указанной команды приведен на рисунке 3.14.

Рисунок 3.14 – Нахождение коэффициентов модели MA(1)

Таким образом, построенная модель MA(1) имеет следующий вид:

– 289,9859 – 0.7016.

2. Построение смешанной модели ARMA(p,q)

Для достижения большей гибкости при построении модели ВР полезно включать в нее и авторегрессионные члены, и члены скользящего среднего.

,

где C, µ_j и – коэффициенты модели,

p и q – порядки модели,

– случайные величины, образующие «белый шум».

Коэффициенты будем считать в пакете EViews.

Построим модель ARMA(1,1). Коэффициенты будем считать в пакете E’Views. Для этого необходимо в командной строке среды EViews написать следующий код: ls у car(1) ma(1), где у–название временного ряда. Результат выполнения указанной команды приведен на рисунке 3.15.

Рисунок 3.15 – Построение смешанной модели ARMA(1,1)

Таким образом, построенная модель ARMA(1,1) имеет следующий вид:

2. Сравнительный анализ построенных моделей

Для выбора наиболее подходящей ARIMA(p,k,q) модели мы посчитаем в пакете EViews показатели адекватности для каждой модели, приведённые далее. Во всех формулах этого пункта приняты следующие обозначения:

n – число фактических значений,

m – число коэффициентов в модели,

y_i – фактическое наблюдение в i–тый момент,

– расчётное наблюдение в i–тый момент.

1. 
   Приведённый индекс детерминации (Adjusted R–squared) рассчитывается следующим образом:
   

где – индекс детерминации, введённый в пункте 2.3.

Данный коэффициент позволяет сравнить модели с разным числом коэффициентов. Он учитывает число коэффициентов модели, вводя штраф за дополнительные регрессоры, которые не способствуют увеличению объясняющей силы регрессии. При включении в регрессию дополнительных переменных коэффициент может уменьшаться и может быть отрицательным, если модель плохо специфицирована.

2. 
   Стандартная ошибка регрессии (S.E. of regression) рассчитывается следующим образом:
   

Чем меньше значение стандартной ошибки, тем адекватнее модель.

3. 
   F–статистика (F–statistic) рассчитывается следующим образом:
   

Уравнение нелинейной регрессии значимо с уровнем значимости α, если

При помощи F–статистики в предположении, что остатки модели распределены нормально, проверяется гипотеза о значимости регрессии в целом, т.е. о том, что коэффициенты при всех объясняющих переменных, включенных в модель, значимо отличаются от нуля.

4. 
   P–значение для F–статистики (Prob(F–Statistic)).
   

Если значение меньше, чемвыбранный уровень значимости, то гипотезу о том, что все коэффициенты модели равны нулю, можно отвергнуть на этом уровне значимости.

Заметим, что регрессия может быть значимой, даже если каждый коэффициент в отдельности не значим.

5. 
   Информационный критерий Акаике AIC (Akaike info criterion) рассчитывается следующим образом:
   

Используется для выбора лучшей модели из некоторого набора альтернативных моделей: чем меньше значение критерия, тем лучше модель.

6. 
   Информационный критерий Шварца BIC или SC (Schwarz criterion) рассчитывается следующим образом:
   

Используется для выбора лучшей модели из некоторого набора альтернативных моделей – чем меньше значение критерия, тем лучше модель. Всегда выбирает лучшую модель с числом параметров, не превышающим число параметров в модели, которая была выбрана по критерию Акаике. Критерий является асимптотически состоятельным, в то время как информационный критерий Акаике смещен в сторону выбора перепараметризованной модели.

7. 
   Hanna–Quinn Criterion
   

Используется для выбора лучшей модели из некоторого набора альтернативных моделей – чем меньше значение критерия, тем лучше модель.

В таблице 3.1 приведены расчётные значения показателей адекватности моделей AR(1), MA(1), ARMA(1,1), найденные с помощью пакета EViews.

Таблица 3.1 – Показатели адекватности моделей AR(1), MA(1), ARMA(1,1)

Критерий	Модель
	AR(1)	MA(1)	ARMA(1,1)
Приведённый индекс детерминации	0,825667	0,499173	0,817229
Стандартная ошибка регрессии	26,23297	44,46335	26,86035
F–статистика	50,72971	11,46531	32,29933
P–значение для F–статистики	0	0,000542	0
Информационный критерий Акаике	9,590021	10,58414	9,673755
Критерий Шварца	9,738799	10,73292	9,872126
Hanna–Quinn	9,625096	10,61919	9,720485

В результате получено, что из рассматриваемых моделей наилучшей является модель AR(1), так как имеет наибольший приведенный коэффициент детерминации и наименьшую стандартную ошибку регрессии по сравнению с моделями MA(1) и ARMA(1,1).