Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
15 6. Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть? Занятие 6 декабря 1995 1. Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? 2. Можно ли прямолинейным разрезом поделить одно- временно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими спосо- бами это можно сделать? 3. Все грани кубика размером 3×3×3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1×1×1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? 4. Внутри квадрата размером 1×1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. 5. Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании? 6. Можно ли двумя прямолинейными разрезами рассечь подкову (рис. 4) на шесть частей (части между разрезами перекладывать запрещается)? Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Занятие 13 декабря 1995 1. Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала: «Ты ошибся». Почему она так сказала? 16 Вечерняя математическая школа и собеседования 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положи- тельных чисел. Докажите, что число 999 991 | не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигза- гом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указа- ние: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых каранда- шей так, чтобы каждый из них касался всех остальных? Занятие 20 декабря 1995 1. Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10 -процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? 2. Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? 3. (а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. 4. Саша утверждает, что при подстановке вместо x в вы- ражение x 2 + x + 41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится про- стое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) 5. Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? 6. Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти? Вечерняя математическая школа и собеседования 17 Занятие 27 декабря 1995 1. Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? 2. Простое число | это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 | простое число, а 10 = 2 × 5 | нет.) Докажите, что полу- сумма двух соседних нечётных простых чисел | составное число. 3. Известно, что 57 = 2 5 + 5 2 . Найдите аналогичное раз- ложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c d + d c ). 4. Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6 , 6, 11, . . . 5. Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася | на бал- коне 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они од- новременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася | петино. Почему? 6. Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала: «Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» _Третья сказала: «Я при- шла к финишу раньше первой.» _Как такое может быть? * * * 7. Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух францу- зов, чем одного немца? 8. Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. 9. Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков меж- ду ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. 10. При всех целых x число ax 2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c | целые? Домашняя олимпиада 1. Можно ли так расположить в пространстве три оди- наковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна 18 Вечерняя математическая школа и собеседования одна и та же фигура | три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? 2. Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000 ? 3. Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомно- жители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? 4. Некоторые целые числа объявлены хорошими, осталь- ные | плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не мо- жет. 5. Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси? Занятие 17 января 1995 1. В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася ку- пил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и ду- мает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? 2. Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) тре- угольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольника- ми; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? 3. Сколько нужно провести непересекающихся диагона- лей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? 4. На прямой дороге стоят 6 домов на равных рассто- яниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Вечерняя математическая школа и собеседования 19 5. Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая про- бирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? 6. Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники. Занятие 24 января 1995 1. Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом | или это не обязательно? Являются ли лучший шах- матист среди художников и лучший художник среди шахма- тистов одним и тем же лицом? 2. Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны от- веты «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопро- сов он должен составить заранее? 3. Сумма углов треугольника всегда равна 180 ∘ . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? 4. Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? 5. Почему не горит бумажная коробочка, в которой ки- пятят воду? 6. Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них кар- точку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждо- го из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». | «Не знаю», | ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». | «И я не знаю», | от- ветил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй? 20 Вечерняя математическая школа и собеседования Занятие 31 января 1996 1. Что случится с периметром и площадью прямоуголь- ника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? 2. Двое лыжников шли друг за другом с постоянной ско- ростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участ- ке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? 3. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истин- ность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой | гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ров- но 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет так- же 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» разда- ется в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорож- ных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки, изображенной на рис. 5, внутренний диа- метр равен 1 см, а внешний | 2 см. Катушка катится со ско- ростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек дол- жен тянуть конец нитки? rm - Рис. 5 6. Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону | Вечерняя математическая школа и собеседования 21 в школу, либо в другую | в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть? Занятие 7 февраля 1996 1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шири- ной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крести- ка, а в каждом столбце | 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце | 2? 2. В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного | то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50×50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов | белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и пере- вернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение: каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр мень- шего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника де- нежных купюр у него нет? Занятие 14 февраля 1996 1. Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую 22 Вечерняя математическая школа и собеседования свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? 2. Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья сто- ит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по оче- реди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? 3. Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? 4. На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? 5. Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Ан- дрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? 6. Бизнесмен договорился о партии в шахматы по пере- писке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему при- ятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен? Занятие 21 февраля 1996 1. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) 2. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Вечерняя математическая школа и собеседования 23 3. В классе 20 учеников. Было проведены две контроль- ные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контроль- ным). 4. Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999: тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? 5. Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? 6. Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на па- мять десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недо- статочен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой? Занятие 28 февраля 1996 1. Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? 2. Двузначное число написали подряд три раза. (Напри- мер, из числа 67 получилось число 676767. Полученное чи- сло всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколь- ко кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имею- щему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кир- пича (расстояние между противоположными вершинами)? 24 Вечерняя математическая школа и собеседования 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда? Занятие 6 марта 1996 1. В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской си- стеме участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько пар- тий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпий- ской системе проигравший выбывает.) 2. Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка пока- зывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 ча- сов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придёт- ся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? 3. Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямо- угольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх дру- гих | тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? 4. Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажи- те, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2C. 5. Дальтоники не различают цветов. Могут ли они поль- зоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно вы- даёт им права? 6. Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, | говорит один из разбойников, | то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети. |