Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
10. Какое преобразование является композицией парал- лельного переноса и поворота? * * * 11. Доказать, что для данного многоугольника с чётным числом сторон можно построить бесконечно много других, у которых будут те же середины сторон, но что многоугольник с нечётным числом сторон определяется их серединами однозначно. 12. Доказать, что композиция двух поворотов на 90 ∘ предста- вляет собой центральную симметрию, и что её центр образует с центрами поворотов прямоугольный равнобедренный треугольник. 13. На двух сторонах треугольника вовне его построены ква- драты. Доказать, что отрезок, соединяющий их центры, виден из середины третьей стороны треугольника под прямым углом. 14. Доказать, что композиция трёх осевых симметрий, оси ко- торых | биссектрисы треугольника ABC, есть осевая симметрия. Найти её ось. Симметричные фигуры Прямая называется осью симметрии фигуры, если для любой точки фигуры симметричная ей точка также принад- лежит фигуре. Аналогично определяется центр симметрии. 1. Какие четырёхугольники имеют ось симметрии? Какие четырёхугольники имеют центр симметрии? 2. Доказать, что если фигура имеет две перпендикуляр- ные оси симметрии, то она имеет центр симметрии. 3. Доказать, что если фигура имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 60 ∘ , то она имеет и третью ось Задачи 1997 { 1998 года 89 симметрии. 4. Может ли ограниченная фигура (целиком находящая- ся внутри некоторого круга) иметь два разных центра сим- метрии? 5. Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит фигуру на две равновеликие части. А если прямая не проходит через центр симметрии, то та из частей, которая содержит центр симметрии, имеет большую площадь (или такую же). 6. Фигура переходит в себя при повороте на 57 ∘ , Следует ли отсюда, что она переходит в себя при повороте на 60 ∘ ? на 40 ∘ ? 7. Может ли 1997-угольник иметь центр симметрии? * * * 8. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника по- парно равны и параллельны. Доказать, что этот шестиугольник име- ет центр симметрии. 9. Существует ли (не обязательно ограниченная) фигура, име- ющая ровно два центра симметрии? 10. Какое максимальное число осей симметрии может иметь се- миугольник? 11. Доказать, что если фигура имеет конечное число осей сим- метрии, то все они пересекаются в одной точке, и углы между со- седними равны. 12. Доказать, что фигура, имеющая три оси симметрии, не про- ходящие через одну точку, не может быть ограниченной. Классификация движений Мы рассматривали различные виды преобразований плос- кости | симметрии, повороты, перенос и т. п. Вообще пре- образованием плоскости называется любое правило, которое для каждой точки плоскости определяет, в какую точку она переходит. Преобразование называется движением, если оно сохра- няет расстояния, то есть любые две точки переходят в две точки, находящиеся на том же расстоянии. (В частности, раз- ные точки переходят в разные.) 90 Задачи 1997 { 1998 года 1. Доказать, что если движение оставляет на месте три точки, не лежащие на одной прямой, то оно является тожде- ственным преобразованием (оставляет на месте все точки). 2. Доказать, что если движение оставляет на месте две разные точки A и B, то оно оставляет на месте все точки прямой AB. 3. Даны два движения, которые одинаково действуют на трёх точках A, B и C, не лежащих на одной прямой. До- казать, что эти движения совпадают (т. е. одинаково ведут себя для всех точек). 4. Доказать, что движение, оставляющее на месте какие- то две точки, является либо тождественным, либо осевой симметрией. 5. Доказать, что движение, оставляющее на месте хотя бы одну точку, является либо осевой симметрией, либо по- воротом вокруг этой точки (возможно, на нулевой угол, то есть тождественным преобразованием). 6. Придумать движение, которое не является ни поворо- том, ни переносом, ни симметрией (осевой или центральной). Как представить его в виде композиции уже известных нам видов движений? (Ответ есть в одной из следующих задач.) 7. Говорят, что два движения перестановочны (комму- тируют), если их композиции в двух разных порядках дают одно и то же движение. Перестановочны ли два параллель- ных переноса? два поворота с одним и тем же центром? два поворота с разными центрами? две осевые или центральные симметрии? В каком случае параллельный перенос и осевая симметрия перестановочны? 8. Говорят, что движение обращает ориентацию, если оно переводит букву R в букву Я. Если же буква R остается латинской, то говорят, что движение сохраняет ориентацию. Какие из известных вам движений сохраняют ориентацию, а какие меняют её? 9. Про два движения известно, сохраняют они ориента- цию или обращают. Что можно сказать про их композицию? 10. Доказать, что любое движение можно представить в виде композиции параллельного переноса и поворота (и Задачи 1997 { 1998 года 91 тогда оно сохраняет ориентацию) либо в виде композиции параллельного переноса и осевой симметрии (и тогда оно меняет ориентацию). (Указание. Посмотрим, куда переходит какая-то точка A. Можно найти параллельный перенос, пе- реводящий её туда же, и останется сделать поворот или осе- вую симметрию.) 11. (Теорема Шаля) Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и переноса на отрезок, парал- лельный оси симметрии (эти два преобразования перестано- вочны). Показать, что любое движение является либо пово- ротом, либо переносом, либо скользящей симметрией (част- ным случаем которой мы считаем осевую симметрию). 12. По двум прямым дорогам едут две машины с постоян- ными и равными скоростями. Доказать, что есть такая точка, от которой в любой момент времени машины находится на одинаковом расстоянии. (Дороги не параллельны.) 13. Может ли композиция 1997 осевых симметрий быть поворотом? * * * 14. Доказать, что всякое преобразование плоскости, сохраняю- щее расстояние, является наложением (для любой точки A суще- ствует точка B, переходящая в неё при этом преобразовании). Движения и координаты Выберем на плоскости прямоугольную систему коорди- нат. Указать, в какую точку переходит точка с координатами ⟨x, y⟩ при следующих преобразованиях: 1. Осевая симметрия относительно оси OX. 2. Осевая симметрия относительно оси OY. 3. Осевая симметрия относительно прямой x = 2. 4. Осевая симметрия относительно оси y = x. 5. Центральная симметрия относительно точки ⟨0, 0⟩. 6. Центральная симметрия относительно точки ⟨1, 2⟩. 7. Поворот на 90 ∘ относительно точки ⟨0, 0⟩. 8. Поворот на −90 ∘ относительно точки ⟨0, 0⟩. 9. Поворот на 90 ∘ относительно точки ⟨1, 2⟩. 92 Задачи 1997 { 1998 года 10. Поворот на 45 ∘ относительно точки ⟨0, 0⟩. 11. Параллельный перенос на − → OA , где точка A имеет координаты ⟨1, 2⟩. 12. Осевая симметрия относительно прямой y = 2x. 13. Поворот на 60 ∘ относительно точки ⟨0, 0⟩. 14. С помощью полученных формул проверить, что ком- позиция осевых симметрий относительно осей OX и OY явля- ется центральной симметрией, что дважды выполненный по- ворот на 90 ∘ является также центральной симметрией. * * * 15. Действуя аналогично задаче 14, проверьте еще несколько утверждений о композициях преобразований с помощью формул преобразования координат. Симметрии Движение называется симметрией фигуры, если она пере- ходит в себя при этом движении. (Здесь слово «симметрия» не означает, что преобразование является осевой или цен- тральной симметрией!) Множество всех симметрий фигуры называется её груп- пой симметрий. 1. Сколько симметрий может иметь треугольник? 2. Нарисовать фигуру, для которой группа симметрий со- стоит ровно из трёх движений. 3. Подобрать на рис. 22 для каждой картинки слева кар- тинку справа, имеющую такую же группу симметрий. (Кар- тинки предполагаются неограниченно продолженными влево и вправо.) 4. Может ли фигура перейти при движении в свою часть (не совпадающую со всей фигурой)? * * * 5. Возможно ли такое для ограниченной фигуры? Гомотетия Преобразование гомотетии с центром в точке O и коэф- фициентом k ̸= 0 переводит каждую точку A в точку B, Задачи 1997 { 1998 года 93 (1) (a) (2) (b) (3) (c) (4) (d) (5) (e) (6) (f) (7) (g) Рис. 22 находящуюся на прямой OA в k раз дальше от O, чем A. При положительном k точка B находится с той же стороны от O, что и точка A; при отрицательном k | с противопо- ложной. 1. Что такое гомотетии с коэффициентом 1 и −1? Какое преобразование обратно к гомотетии с коэффициентом k? (Если некоторое преобразование переводит точку X в точ- ку Y, то обратное к нему преобразование переводит Y в X.) 2. Доказать, что при гомотетии все расстояния увеличи- ваются в одно и то же число раз (какое?), прямые переходят в прямые, а окружности в окружности. 3. Даны два параллельных отрезка разной длины. Ука- зать два преобразования гомотетии, переводящие первый от- резок во второй. (Почему существенно, чтобы длины были разными?) 4. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продол- жений боковых сторон лежат на одной прямой. 5. Дана окружность и точка внутри неё. Построить хорду, которая делится этой точкой в отношении 1 : 2. При каком соотношении между радиусом окружности r и расстоянием 94 Задачи 1997 { 1998 года a от точки до центра окружности это возможно? 6. Вписать квадрат в данный треугольник (две вершины должны лежать на одной стороне, две остальные | по одной на каждой из двух оставшихся сторон). 7. Доказать, что композиция двух гомотетий с коэффици- ентами k 1 и k 2 снова является гомотетией (если k 1 · k 2 ̸= 1 ), причём центры всех трёх гомотетий лежат на одной прямой. 8. Даны три окружности различных радиусов. Для каж- дой пары окружностей нашли точку пересечения их общих внешних касательных. Доказать, что эти три точки лежат на одной прямой. 9. Доказать, что точки пересечения высот, серединных перпендикуляров и медиан треугольника лежат на одной пря- мой. В каком отношении одна из этих точек делит отрезок между двумя другими? 10. В окружности проведены два радиуса. Построить хор- ду, которая делится этими радиусами на три равные части. 11. Через данную точку внутри угла провести окруж- ность, касающуюся сторон угла. 12. Два квадрата имеют параллельные стороны. Дока- зать, что четыре прямые, соединяющие соответственные вер- шины, пересекаются в одной точке. * * * 13. Сформулировать аналог задачи 8, использующий общие вну- тренние касательные наряду с внешними. 14. Преобразованием подобия называется преобразование, ко- торое меняет все расстояния в одно и то же число раз. (Это число называется коэффициентом подобия.) 15. Доказать, что всякое преобразование подобия является ком- позицией движения и гомотетии. 16. Доказать, что всякое преобразование подобия с коэффици- ентом, не равным 1, имеет неподвижную точку. 17. Две карты Москвы разного масштаба (отображающие один и тот же участок местности) положили друг на друга. Доказать, что их можно проколоть иголкой так, чтобы оказалось проколотой одна и та же точка (на местности). Задачи 1997 { 1998 года 95 18. По двум прямым дорогам с постоянными, но разными ско- ростями едут две машины. Доказать, что можно встать так, чтобы видимый угол между машинами был бы неизменным. 19. На стене висят двое часов. Доказать, что прямые, соединяю- щие концы минутных стрелок в разные моменты времени, проходят через одну точку. 20. Если все стороны выпуклого многоугольника отодвинуть на единицу, то получится многоугольник, подобный исходному. Дока- зать, что в многоугольник можно вписать окружность. 21. Доказать, что в любой выпуклый многоугольник можно по- местить два непересекающихся многоугольника, подобных исход- ному с коэффициентом 1/2. 22. Вершины двух правильных n-угольников A 1 A 2 . . . A n и B 1 B 2 . . . B n пронумерованы по часовой стрелке, начиная с их общей вершины A 1 = B 1 . Доказать, что прямые A 2 B 2 , A 3 B 3 , . . . , A n B n проходят через одну точку. Контрольная работа 1. Точку X, лежащую внутри острого угла AOB, симме- трично отразили относительно сторон угла, получив точки X ′ и X ′′ . При этом оказалось, что расстояния X ′ X ′′ и OX равны. Найти угол AOB. 2. Дана трапеция ABCD. Где может находиться центр симметрии, если известно, что образ боковой стороны AB при этой симметрии пересекается со стороной CD? 3. Стороны квадрата l 1 , l 2 , l 3 , l 4 пронумерованы против часовой стрелки. Какое преобразование является композици- ей осевых симметрий относительно l 1 , l 2 , l 3 и l 4 (выполня- емых в этом порядке)? 4. Какое преобразование является композицией централь- ной и осевой симметрий, если центр лежит на оси симметрии? если центр не лежит на оси симметрии? 5. Какое преобразование является композицией шести центральных симметрий, центры которых образуют правиль- ный шестиугольник (преобразования выполняются против часовой стрелки)? 6. Композиция поворота вокруг точки O на 90 ∘ и сдви- га на отрезок OX (сначала поворот, потом сдвиг) является 96 Задачи 1997 { 1998 года поворотом с центром в O 1 . Найти угол этого поворота, рас- стояние OO 1 и угол O 1 OX 7. Фигура F имеет форму уголка, составленного из трёх квадратов. Нарисовать множество тех точек X, для которых образ F при центральной симметрии относительно X пересе- кается с F. 8. На сторонах пятиугольника построили квадраты и от- метили их центры, после чего всё, кроме этих центров, стёр- ли. Как восстановить пятиугольник? 9. Найти все движения, которые перестановочны с пово- ротом на 90 ∘ вокруг данной точки. 10. Единичный квадрат раскрашен в черный и белый цве- та, причём никакие две чёрные точки не находятся на рас- стоянии 0,1. Доказать, что площадь чёрной части квадрата не превосходит (а) 0,6; (б) 0,4. Слабо? 1. Двое игроков ставят коней на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга. Кто не может сделать хода, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? 2. Океаны покрывают больше половины поверхности Зем- ли. Доказать, что есть две симметричные относительно цен- тра Земли точки, приходящиеся на океан. 3. Фигура на клетчатой бумаге имеет площадь N. Дока- зать, что её можно сдвинуть параллельно себе так, чтобы она покрыла (а) не менее N вершин клеток; (б) не более N вершин клеток. (Клетки имеют единичные стороны.) 4. Выпуклая фигура на клетчатой бумаге (сторона клет- ки равна 1) имеет площадь больше 4. Один из узлов сетки является центром симметрии. Доказать, что фигура покры- вает ещё хотя бы один узел (лемма Минковского). 5. Даны две концентрические окружности. Построить прямую, на которой точки пересечения с этими окружно- стями высекают три равных отрезка. 6. Построить квадрат, две противоположные вершины ко- торого лежат на данной прямой, а две другие | на сторонах данного угла. Задачи 1997 { 1998 года 97 7. Два треугольника симметричны друг другу относи- тельно двух различных прямых. Доказать, что они | равно- сторонние. 8. Точка O находится внутри выпуклого n-угольника, не имеющего параллельных сторон. Доказать, что есть не более n прямых, проходящих через O и делящих площадь многоугольника пополам. 9. Через точку пересечения двух окружностей провести прямую, если задана разность длин хорд, высекаемых на этой прямой окружностями. 10. Даны две точки A и B по одну сторону прямой l. Найти такую точку X, что в траектории AXB угол падения вдвое больше угла отражения. 11. Доказать, что площадь четырёхугольника со сторона- ми a, b, c, d не превосходит (а) (ab+cd)/2; (б) (ac+bd)/2. 12. Может ли ограниченная фигура иметь центр симме- трии и ровно одну ось симметрии? 13. Фигура имеет чётное число осей симметрии. Доказать, что некоторые две из них перпендикулярны. 14. Может ли ограниченная фигура иметь ось симметрии и не принадлежащий ей центр симметрии? 15. На отрезке AB имеется 2n точек, образующих n сим- метричных (относительно середины отрезка) пар. Из этих 2n точек некоторые n покрашены в синий цвет, остальные в красный. Доказать, что сумма расстояний от красных точек до A равна сумме расстояний от синих точек до B. 16. Угол, изготовленный из прозрачного материала, дви- гают так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внутренним образом. Доказать, что на нём можно отметить точку, которая описывает дугу окружности. 17. Найти все движения, которые перестановочны с по- воротом на 90 ∘ вокруг данной точки. 18. Две соседние вершины квадрата лежат на окружно- сти радиуса 1. Каково максимально возможное расстояние от других двух вершин квадрата до центра окружности? 19. (а) Окружность пересекает все три стороны треуголь- ника. Доказать, что её радиус больше радиуса вписанной ок- 98 Задачи 1997 { 1998 года ружности. (б) Доказать, что для любого треугольника ради- ус описанной окружности по крайней мере вдвое больше ра- диуса вписанной. Для каких треугольников они отличаются ровно вдвое? 20. Единичный квадрат раскрашен в черный и белый цве- та, причём никакие две чёрные точки не находятся на рас- стоянии 0,1. Доказать, что площадь чёрной части квадрата не превосходит (а) 0,6; (б) 0,4. 21. Вписать в данный треугольник другой, стороны ко- торого параллельны сторонам третьего. (Первый и третий даны, второй надо построить.) 22. Дан луч с началом в O и точка A, не лежащая на нём. Построить на луче точку M, для которой OM : MA = 1 : 3. 23. Указать фигуру, которая симметрична двум фигурам на рис. 23 (стоящей и лежащей единицам) относительно не- которых прямых. @ @ Рис. 23 24. Противоположные стороны выпуклого шестиугольни- ка попарно равны и параллельны. Доказать, что этот шести- угольник имеет центр симметрии. |