Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
часа проехать больше 150 км? 48 Задачи 1996 { 1997 года 14. Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? 15. (Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? 16. По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали? Дроби 1. Что больше: 10001/10002 или 100001/100002? 2. Найти целые положительные числа x, y, z, t, для ко- торых 16 9 = x + 1 y + 1 z + 1 t 3. Какая обыкновенная дробь при переводе в десятичную систему даёт 0,17171717. . . ? 4. Вычислить (︂ 1 + 1 2 )︂ (︂ 1 + 1 3 )︂ (︂ 1 + 1 4 )︂ (︂ 1 + 1 100 )︂ 5. Сумма нескольких различных правильных дробей с чи- слителем 1 может быть равна 1, например 1 2 + 1 3 + 1 6 = 1 Есть ли другие такие примеры? 6. Доказать, что 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . + 1 99 − 1 100 = 1 51 + 1 52 + 1 53 + . . . + 1 99 + 1 100 (Насколько левая и правая части меньше 1+ 1 2 + 1 3 +. . .+ 1 100 ?) 7. Доля двоечников в классе больше 2 5 , но меньше 3 7 , а всего в классе не больше 15 человек. Сколько в классе двоечников? Задачи 1996 { 1997 года 49 8. Известно, что m n < p q ; числители и знаменатели этих дробей положительны. Доказать, что дробь m+p n+q находится между ними. * * * 9. Доказать, что число α = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 9 + 1 10 не целое. 10. (Продолжение) Число α записали в виде несократимой дро- би. Чётен ли её числитель? А знаменатель? 11. Любая дробь с целыми положительными числителем и зна- менателем может быть представлена в виде суммы различных дро- бей с числителем 1 и целым положительным знаменателем. 12. Найти сумму 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + 1 3 · 4 · 5 + . . . + 1 98 · 99 · 100 13. Вычислить произведение (︂ 1 − 1 4 )︂ (︂ 1 − 1 9 )︂ (︂ 1 − 1 16 )︂ (︂ 1 − 1 100 )︂ 14. Какая обыкновенная дробь при переводе в десятичную си- стему даёт 0,217171717. . . ? 15. Может ли сумма 20 дробей с нечётными числителями и знаменателями быть равна 1? 16. Сначала бревно хотели распилить на 7 равных частей, и наметили распилы красной краской; потом собрались пилить на 13 равных частей и наметили распилы зелёной краской; наконец, его распилили на 20 равных частей. Доказать, что все части, кроме двух крайних, имеют ровно одну пометку | либо красную, либо зелёную. Делимость 1. Доказать, что произведение любых трёх последова- тельных натуральных чисел делится на 3. 2. Доказать, что число a 3 −a при любом целом a делится на 3. 3. Доказать, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87. 50 Задачи 1996 { 1997 года 4. Делится ли число 12345678910 на 8? 5. Найти трёхзначный и семизначный делители числа 103103103 6. Указать верные среди следующих утверждений: (а) ес- ли a делится на c, а b не делится на c, то a + b не делится на c; (б) если a делится на c, а b не делится на c, то ab делится на c; (в) если a и b не делятся на c, то a + b не де- лится на c; (г) если a и b не делятся на c, то ab не делится на c; (д) если ab делится на c, то хотя бы одно из чисел a и b делится на c. 7. Известно, что a, b, c, d | положительные целые чи- сла, что ab = cd и что a делится на c. Доказать, что d делится на b. 8. Известно, что a + 2 и 13 − b делятся на 11. Доказать, что a + b делится на 11. 9. Сколько чисел от 1 до 1000 не делятся на 2? не де- лятся на 3? не делятся ни на 2, ни на 3? 10. Найти все пары целых чисел x и y, для которых (а) x 2 − y 2 = 9 ; (б) x 2 − y 2 = 12 11. Найти все целые числа от 1 до 50, у которых ко- личество целых положительных делителей (считая единицу и само число) нечётно. Пример: число 4 имеет 3 делителя (1, 2, 4) и потому подходит. * * * 12. Можно ли разрезать шахматную доску 8×8 на прямоуголь- ники 3 × 1? 13. Известно, что a 2 делится на a − b. Доказать, что и b 2 делится на a − b. 14. Числа a и b целые, причём 2a + 3b делится на 7. Доказать, что a + 5b также делится на 7. 15. Целые числа x, y таковы, что 29x = 41y. Доказать, что число x + y делится на 10. 16. Найти все пары целых чисел x и y, для которых xy − x + + 4y = 16 17. Доказать, что произведение любых четырёх последователь- ных натуральных чисел делится на 24. Задачи 1996 { 1997 года 51 18. Число a чётно, но не делится на 4. Доказать, что количество чётных делителей числа a равно количеству нечётных делителей числа a. (Например, при a = 10 есть два чётных делителя 2 и 10 и два нечётных делителя 1 и 5.) 19. Доказать, что любое шестизначное число вида abcabc (три первые цифры совпадают с тремя последними) делится на 7, 11 и 13 20. Доказать, что при любом целом a > 1 число a 100 −1 делится на a − 1. 21. Доказать, что при любом целом a > 1 число a 99 +1 делится на a + 1. 22. Миша придумал теорему: число нечётных делителей числа есть делитель числа чётных делителей этого числа, причём част- ное равно число чётных делителей числа, не имеющих нечётных делителей, больших 1. Правильна ли эта теорема? 23. Число m не делится ни на 2, ни на 3. Доказать, что m 2 − 1 делится на 24. 24. Найти 4 целых положительных числа с таким свойством: любое число делит произведение остальных, увеличенное на 1. Мож- но ли найти 5 чисел с таким свойством? а 6? Остатки 1. Отметить на числовой оси целые числа, которые при делении на 7 дают остаток 2. (На рисунке должны поме- ститься числа от −20 до 20.) 2. Число 100*** (звёздочками обозначены три неизвест- ные цифры) делится на 547. Найти одно из таких чисел. 3. Книги на столе пытались связывать в пачки по 2, по 3, по 4 и по 5 книг, и каждый раз оставалась одна лишняя. Сколько книг было на столе? (Известно, что их было не больше 100.) 4. Квадрат целого положительного числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Что это за цифра? (Ука- зать все возможности.) 5. Доказать, что для любого целого a число 10a даёт при делении на 9 тот же остаток, что и само a. 6. Число a даёт остаток 5 при делении на 9, число b даёт остаток 7 при делении на 9. Можно ли по этим дан- 52 Задачи 1996 { 1997 года ным определить, какой остаток дают числа a + b и ab при делении на 9? 7. Найти остаток от деления 6 100 на 7. 8. Число a даёт остаток 6 при делении на 12. Может ли оно давать остаток 12 при делении на 20? 9. Доказать, что число и его сумма цифр дают одинако- вые остатки при делении на 9. 10. Какие остатки может давать точный квадрат при де- лении на 4? 11. Доказать, что уравнение x 2 = 2y 2 не имеет решений в целых числах (кроме x = y = 0). * * * 12. Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Почему? Для каких ещё степеней это верно? 13. Найти число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 | остаток 2, при делении на 4 | остаток 3, при делении на 5 | остаток 4, при делении на 6 | остаток 5 и при делении на 7 даёт остаток 6. 14. Квадрат целого положительного числа оканчивается на те же две цифры, что и само число. Что это за цифры? (Указать все возможности.) 15. Какое наибольшее число различных целых чисел можно вы- брать, если требуется, чтобы сумма и разность любых двух из них не делились на 15? 16. Существуют ли целые x, y, для которых x 2 + y 2 = 99 ? 17. Сформулировать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11. 18. Верен ли такой признак делимости на 27: число делится на 27 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 27? 19. Целое положительное число увеличили на 1. Могла ли сум- ма его цифр возрасти на 8? Уменьшиться на 8? Уменьшиться на 10? 20. Последняя цифра точного квадрата равна 6. Доказать, что его предпоследняя цифра чётна. 21. Остаток от деления простого числа на 30 | простое число. Почему? Подсчет количеств 1. Если каждый двадцатый математик | шизофреник, а Задачи 1996 { 1997 года 53 каждый тридцатый шизофреник | математик, то кого боль- ше: шизофреников или математиков? Во сколько раз? 2. На окружности нарисовано 10 черных точек и одна белая. Чего больше: треугольников c вершинами в этих точ- ках, все вершины которых черные, или четырёхугольников с тремя чёрными и одной белой вершиной? 3. В классе 20 школьников, которые решали задачи до- машнего задания. Оказалось, что каждый школьник решил ровно 15 задач, а каждую задачу решили ровно 10 школь- ников. Сколько задач было задано? 4. Сколько разных слов (не обязательно осмысленных) можно составить, переставляя буквы в слове ôïë? 5. Тот же вопрос для слова âïâ. 6. Сколькими способами можно разменять 100 рублей мо- нетами по 10, 20 и 50 рублей? 7. В выпуклом 6-угольнике провели все диагонали. Сколь- ко их? Во скольких точках они пересекаются, если никакие три диагонали не проходят через одну точку? 8. Найти коэффициент при abc после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (a + b + c) 3 9. На плоскости проведено 5 прямых, никакие две не па- раллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых? Зависит ли от- вет от расположения прямых? 10. (Продолжение) На сколько частей эти прямые делят плоскость? Зависит ли ответ от расположения прямых? 11. В произведении abc можно двумя способами рас- ставить скобки, указывающие порядок действий: (ab)c или a(bc) . Для произведения abcd таких способов уже пять: ((ab)c)d , (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d)) и a(b(cd)). Сколь- кими способами можно расставить скобки в произведении abcde ? (Порядок сомножителей сохраняется.) * * * 12. Сколько разных слов (не обязательно осмысленных) можно составить, переставляя буквы в слове íáûá? Тот же вопрос для слова íáíá. 54 Задачи 1996 { 1997 года 13. Сколькими способами можно представить 10 в виде сум- мы четырёх положительных слагаемых? (Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются за одно.) 14. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение x+y = 10? Тот же вопрос для уравнения x+y+z = 10. Правило произведения 1. Автобусные билеты имеют шестизначные номера, от 000000 до 999999. Сколько всего различных номеров? номе- ров, все цифры которых нечетны? 2. (Продолжение) Сколько номеров, в которых любые две соседние цифры различны? 3. (Продолжение) Сколько номеров, все цифры которых различны? 4. (Продолжение) Сколько номеров, у которых есть хоть одна чётная цифра? 5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове ëïòôåö? 6. Забор состоит из 20 досок, каждую из них надо покра- сить в один из трёх цветов, причём соседние доски должны быть покрашены в разные цвета. Сколькими способами это можно сделать? 7. На пятидесятитысячной банкноте есть номер: две рус- ские буквы и 7 цифр. Какое максимальная сумма денег мо- жет быть выпущена в обращение такими банкнотами, если все номера должны быть разными? 8. Экзаменационный билет содержит вопрос по алгебре, по геометрии, и задачу. Вопросов по алгебре | 20, по геоме- трии | 30, задач | 100. Сколько различных билетов можно составить? 9. Сколькими способами можно расставить на шахмат- ной доске 8 одинаковых ладей так, чтобы они не били друг друга? * * * 10. Сколько есть шестизначных автобусных номеров, содержа- щих цифру 7? Задачи 1996 { 1997 года 55 11. Сколькими способами можно покрасить квадрат 2×2, соста- вленный из 4 квадратиков, если каждый квадратик надо покрасить в один из n цветов, и соседние (имеющие общую сторону) квадра- тики должны быть покрашены по-разному? 12. Найти сумму всех пятизначных чисел, составленных из не- чётных цифр. 13. Найти сумму всех пятизначных чисел, составленных из раз- личных нечётных цифр. 14. Сколько существует шестизначных чисел, не содержащих цифр 0 и 9? 15. Сколько существует шестизначных чисел, содержащих циф- ру 9, но не содержащих цифры 0? 16. Сколькими способами можно разбить 14 человек на 7 пар? 17. На шахматную доску 8 × 8 ставят слонов так, чтобы они не били друг друга. Доказать, что число таких расстановок есть точный квадрат. Подсчёты с кратностью и без 1. Сколькими способами можно выбрать дежурного и дневального из числа 10 зазевавшихся школьников? 2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из числа 10 зазевавшихся школьников? 3. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из числа 10 зазевавшихся школьников? 4. Каждая из n команд сыграла с каждой по одному разу. Сколько всего было игр? 5. Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике? 6. Таня, Дима, Лёша и 4 школьника становятся в очередь. Сколькими способами они могут встать? В скольких из них Таня стоит до Лёши? 7. (Продолжение) До Лёши и Димы? 8. (Продолжение) До Лёши, но после Димы? 9. (Продолжение) В скольких из них Дима стоит рядом с Лёшей (до или после него)? 10. Сколько различных слов можно получить, переста- вляя буквы в слове ïôïòïðø? Тот же вопрос для слова íáôåíáôéëá. 11. Автобусные билеты имеют шестизначные номера, от 000000 до 999999. Сколько существует номеров, в которых 56 Задачи 1996 { 1997 года все цифры различны и идут в возрастающем порядке? * * * 12. Сколько различных слов можно получить, переставляя бу- квы в слове óá÷÷áôåå÷? в слове íåôáíáôåíáôéëá? 13. Сколько десятизначных чисел, в которые цифры 1, 2, 3, . . . , 8 входят по разу, а цифра 9 | дважды? 14. Диск разделён на 10 секторов, которые надо покрасить в 10 цветов. Сколькими способами это можно сделать? (Раскраски, отличающиеся поворотом диска, считаются за одну.) 15. Есть десять бусинок разных цветов, из которых составляют ожерелье (нанизывая на кольцевую нитку). Сколько разных ожере- лий можно составить? (Два ожерелья считаются различными, если их нельзя перепутать, как ни переворачивай.) 16. Игральный кубик имеет 6 граней с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сколько различных игральных кубиков существует, если считать различными два кубика, которые нельзя спутать, как ни перевора- чивай? 17. Диск разделён на 17 секторов, каждый из которых нужно раскрасить в один из n цветов, причём не все сектора должны иметь один цвет. Сколькими способами это можно сделать? 18. (Продолжение) Вывести из предыдущей задачи, что n 17 − n всегда делится на 17, и вообще при простом p (и любом n) число n p − n делится на p (малая теорема Ферма) 19. Автобусные билеты имеют шестизначные номера, от 000000 до 999999. Сколько существует номеров, в которых все цифры идут в неубывающем порядке (соседние цифры могут совпадать)? 20. 10 человек собрались играть в футбол, для чего им нужно разделиться на 2 команды (по 5 человек в каждой). Сколькими способами это можно сделать? Общая мера Два отрезка соизмеримы, если они имеют общую меру | третий отрезок, который укладывается в каждом из них це- лое число раз. 1. Доказать, что прямоугольник, стороны которого соиз- меримы, можно разрезать на квадраты. 2. Лёша дал такое определение: два отрезка соизмеримы, если существует третий, в котором каждый из двух укла- Задачи 1996 { 1997 года 57 дывается целое число раз. Равносильно ли это определение обычному? 3. Доказать, что отрезки a и b соизмеримы в том и только том случае, когда a и a + 2b соизмеримы. 4. От прямоугольника отрезают квадраты со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, столько раз, сколь- ко можно (мы будем называть это «операцией Евклида»). К оставшемуся прямоугольнику снова применяют операцию Ев- клида и так далее. Сколько и каких квадратов получится, если начать с прямоугольника со сторонами 75 и 21? 5. (Продолжение) Применяя операцию Евклида, прямо- угольник разрезали на большой квадрат, два квадрата по- меньше и два совсем маленьких. Найти отношение сторон исходного прямоугольника. 6. Доказать, что если стороны прямоугольника соизме- римы, то применяя операцию Евклида, мы в конце концов разрежем его на квадраты. 7. Доказать, что если применение операции Евклида раз- резает прямоугольник на некоторое (конечное) число ква- дратов, то стороны прямоугольника соизмеримы, и сторона самого маленького квадрата является их общей мерой. 8. (Продолжение) Доказать, что сторона самого малень- кого квадрата является наибольшей общей мерой и любая другая общая мера укладывается в ней целое число раз. Результаты задач 6 и 7 позволяют дать эквивалентное определение соизмеримости: стороны прямоугольника несо- измеримы, если к нему можно применять операцию Евклида бесконечное число раз. 9. Говорят, что стороны прямоугольника находятся в от- ношении «золотого сечения», если после отрезания от него квадрата получается прямоугольник, подобный исходному (имеющий то же отношение сторон). Найти отношение зо- лотого сечения. 10. Доказать, что отношение золотого сечения иррацио- нально, то есть не выражается дробью с целыми числителем и знаменателем. 58 Задачи 1996 { 1997 года 11. Применяя операцию Евклида к некоторому прямо- угольнику, получили один большой квадрат, два квадрата поменьше, два еще меньших, два совсем маленьких и так да- лее (на каждом следующем шаге получалось два квадрата и процесс никогда не кончился). Найти отношение сторон исходного прямоугольника. 12. Сколько квадратов разных размеров будет получать- ся, если применять операцию Евклида к прямоугольнику с отношением сторон √ 3 : 1 ? 13. Используя предыдущие задачи, доказать, что числа √ 2 , √ 3 и √ 5 иррациональны. * * * 14. Доказать, что отрезки a и b соизмеримы в том и только том случае, когда 2a + 3b и 5a + 7b соизмеримы. 15. Применяя операцию Евклида к некоторому прямоугольни- ку, получили 10 квадратов разного размера и два совсем малень- ких квадрата. Найти отношение сторон исходного прямоугольника и выяснить, больше или меньше оно золотого сечения. |