Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
13. Последовательность Фибоначчи. (Явная формула для чисел Фибоначчи: поиск геометрических последовательнос- тей среди всех фибоначчиевых.) 14. Парабола. (Парабола как предел эллипсов и как гео- метрическое место точек. Фокальное (оптическое) свойство; уравнение параболы. Задача: на доске нарисовали параболу y = x 2 и стёрли оси координат | восстановить оси и еди- ничный отрезок.) 15. Checkers. (О задачах, связанных с игрой «checkers», где фишки перепрыгивают друг через друга. [Рассказывал на английском языке наш гость из США J. Bem.]) Популярные лекции по математике 271 1998 { 1999 год 1. Малая теорема Ферма и теорема Вильсона. (Малая те- орема Ферма: если p простое, то a p ≡ a( mod p). Теорема Вильсона: если p простое, то (p − 1)! + 1 делится на p.) 2. Теорема Брианшона. (Если шестиугольник описан око- ло окружности, то три его большие диагонали (соединяющие вершины через три) будут пересекаться в одной точке. До- казательство с помощью гиперболоида.) 3. Производящие функции. (Понятие о производящих функциях. Уравнение на производящую функции для чисел Фибоначчи и явная формула для чисел Фибоначчи.) 4. Теорема Кантора { Бернштейна. (Если A равномощно подмножеству B, а B равномощно подмножеству A, то A и B равномощны.) 5. Описание всех пифагоровых троек. (Общие формулы для «несократимых» пифагоровых троек: (b 2 − a 2 , 2a, a 2 + + b 2 ) , где a и b взаимно просты и имеют разную чётность.) 6. Системы линейных уравнений. (Если неизвестных боль- ше, чем уравнений, то у системы есть ненулевое решение. Доказательство с приведением к ступенчатому виду.) 7. Основная теорема алгебры. (Всякий многочлен с ком- плексными коэффициентами степени больше 1 (то есть не константа) имеет хотя бы один корень. (Следствие: имеет линейный множитель. Следствие: разлагается на линейные множители.) Доказательство: «дама с собачкой» | подсчёт индекса кривой.) 8. Кососимметрические формы в R 2 и R 3 . (Кососимме- трическая форма зависит только от значения на n базисных векторах; формулы для ориентированной площади и объ- ёма.) 9. Векторное произведение и его свойства. (Определе- ние векторного произведения с помощью кососимметической формы. Билинейность, геометрические свойства, запись в ко- ординатах.) 10. Индукция и фундированные множества. (Когда в упо- рядоченном множестве можно применять индукцию? Приме- 272 Популярные лекции по математике ры решения задач.) 11. Основная теорема о симметрических многочленах. (Любой симметрический многочлен есть линейная комбина- ция произведений элементарных симметрических многочле- нов. Доказательство с индукцией по старшему члену.) 12. Конечные поля. Мультипликативная группа конечно- го поля. (Если F | конечное поле, то мультипликативная группа F * | циклическая.) 13. Вложенные параллелепипеды. (Сумма измерений вну- треннего параллелепипеда меньше суммы измерений внешне- го. Три доказательства.) 1999 { 2000 год 1. Принцип Дирихле и линейная алгебра. (Равносиль- ность условий Ker ϕ = 0 и Im ϕ = V для линейного опе- ратора ϕ: V → V. Дискретная задача о теплопроводности, распределение токов и задача об удалении/добавлении со- противления в электрическую цепь.) 2. Кватернионы. (Матричная модель кватернионов. Нор- ма, обратимость. Кватернионы образуют тело.) 3. Производящие функции, продолжение. (Подсчёт числа счастливых билетов с помощью производящих функций.) 4. Полуцелые прямоугольники. (Если прямоугольник раз- бит на несколько меньших, и у каждого из них одна из сторон целая, то этим свойством обладает и исходный прямоуголь- ник. Различные доказательства.) 5. Алгебраические числа. (Алгебраические числа (кор- ни многочленов с целыми коэффициентами) образуют поле. Минимальный многочлен алгебраического числа.) 6. Теорема Дирихле. (Простых чисел в прогрессиях 4k+1, 4k + 3 бесконечно много.) 7. Проективная плоскость и квадрики. (Квадрики на про- ективной плоскости. Сведение уравнения четвёртой степени к кубическому с помощью пучка квадрик.) 8. Игра «Рубль и два». (Двое играют в такую игру: один загадывает монету достоинством в один рубль или в два, а другой отгадывает. Если второй угадывает, он получает Популярные лекции по математике 273 монету, если нет, платит первому некоторую сумму. Какой должна быть эта сумма (чтобы игра была честной)? [Эту задачу решили (и рассказывали решение) сами школьники.]) 9. Теорема Лиувилля. (Приближение действительных чи- сел рациональными. Число P ∞ n=0 1 10 n! трансцендентно.) Литература [1] Гервер М. Л., Константинов Н. Н., Кушниренко А. Г. За- дачи по алгебре и анализу, предлагавшиеся учащимся 9 и 10 классов. В сб.: Обучение в математических шко- лах. М.: 1965. [2] Константинов Н. Н. Введение в математический анализ (курс задач для IX { X классов). В сб.: Углублённое изу- чение алгебры и анализа. Составители С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев, М.: Просвещение, 1977, с. 6{76. [3] Давидович Б. М., Пушкарь П. Е., Чеканов Ю. В. Мате- матический анализ в математических классах пятьдесят седьмой школы. М.: МЦНМО, Черо, 1998. Издательство Московского Центра непрерывного математического образования Вёрстка: М. Ушаков, В. Шувалов Лицензия ИД Ђ01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 16.05.2000. Формат 84 × 108/32. Печать офсетная. Печ. л. 8,5 Тираж 1000 экз. Заказ 4900 МЦНМО 121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11 Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ. 140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554-21-86 |