Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
все равны нулю? 16. В квадратной матрице 2 × 2 столбцы образуют орто- нормированный базис в R 2 (относительно стандартного ска- лярного произведения). Доказать, что её строки также обра- зуют ортонормированный базис в R 2 17. ⋆ (Продолжение) Доказать аналогичное утверждение для матриц n × n. 18. ⋆ Доказать, что сумма квадратов длин проекций векто- ров ортонормированного базиса на k-мерное подпространство равна k. 19. Рассмотрим на пространстве многочленов степени меньше n скалярное произведение (P, Q) = R 1 0 P(x)Q(x) dx Показать, что существует единственный (с точностью до умножения на константы) ортогональный базис P 0 , . . . , P n−1 , состоящий из многочленов степеней 0, . . . , n − 1 (по одному каждой степени). Указать этот базис при n = 3. 20. ⋆ (Продолжение) Показать, что многочлен P k имеет k различных корней на отрезке [0, 1]. 21. ⋆ (Продолжение) Показать, что многочлен P k есть k-ая производная многочлена x k (1 − x) k 22. ⋆ (Продолжение) Показать, что корни α 1 , . . . , α k мно- гочлена P k обладают таким свойством: любой многочлен сте- пени меньше 2k, обращающийся в нуль в точках α 1 , . . . , α k , имеет нулевой интеграл (по отрезку [0, 1]). 23. Показать, что всякая линейная функция f: E → R, определённая на конечномерном евклидовом пространстве E, имеет вид x ↦→ (x, e) для некоторого вектора e ∈ E. 24. Рассмотрим на R 2 скалярное произведение с матрицей (︂2 1 1 1 )︂ , то есть заданное формулой ( ⟨x 1 , x 2 ⟩, ⟨y 1 , y 2 ⟩) = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 Указать какой-либо ортонормированный базис для этого про- странства. Задачи 1999 { 2000 года 241 25. ⋆ (Продолжение) Можно ли найти базис, который был бы ортогональным одновременно для скалярного произведе- ния предыдущей задачи и для стандартного скалярного про- изведения в R 2 ? 26. Найти расстояние в пространстве R n (со стандартным скалярным произведением) от точки ⟨c 1 , . . . , c n ⟩ до подпро- странства, заданного уравнением a 1 x 1 + . . . + a n x n = 0 (от- носительно неизвестных x 1 , . . . , x n ). Гомоморфизмы групп Пусть G и H | группы. Отображение ϕ: G → H называ- ется гомоморфизмом, если ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) для всех g 1 , g 2 ∈ G 1. Какие из следующих отображений ϕ: G → H являют- ся гомоморфизмами: (а) ϕ(g) = e для всех g ∈ G (G и H | произвольные группы); (б) G = H, ϕ(g) = g −1 (G | про- извольная группа); (в) G = H = Z, ϕ(x) = 2x (Z | группа целых чисел по сложению); (г) G = H = Z, ϕ(x) = x + 1; (д) G = H, ϕ(g) = g · g (G | произвольная группа; точка обозначает операцию в группе G)? 2. Описать все гомоморфизмы Z → Z. 3. (Следствия из аксиом) Доказать, что (а) при гомомор- физме ϕ: G → H единица группы G переходит в единицу группы H; (б) при гомоморфизме обратный элемент перехо- дит в обратный: ϕ(g −1 ) = (ϕ(g)) −1 4. Рассмотрим группу остатков от деления на n с опе- рацией сложения (обозначение: Z/nZ). (а) Сколько суще- ствует гомоморфизмов Z/nZ → Z? (б) Сколько существует гомоморфизмов Z → Z/nZ? 5. ⋆ Указать все гомоморфизмы Z/nZ в группу ненулевых комплексных чисел по умножению. 6. ⋆ Элемент g группы G имеет порядок k. Каким может быть порядок его образа ϕ(g) при гомоморфизме ϕ: G → H? 7. ⋆ Найти все гомоморфизмы S 3 (группа перестановок трёх элементов) в Z/2Z. 8. ⋆ Указать гомоморфизм S n в Z/2Z (помимо тривиаль- ного, переводящего все элементы в единицу). 242 Задачи 1999 { 2000 года 9. ⋆ Указать нетривиальный гомоморфизм S 4 в S 3 10. ⋆ Указать нетривиальный гомоморфизм аддитивной группы R (действительные числа по сложению) в единич- ную окружность на комплексной плоскости (комплексные числа, модуль которых равен 1, операция | умножение). Взаимно однозначный гомоморфизм ϕ: G → H называют изоморфизмом, а группы G и H | изоморфными. 11. Показать, что в этом случае обратное отображение также является гомоморфизмом. 12. Доказать, что любые две двухэлементные группы изо- морфны. 13. ⋆ Сколько существует неизоморфных групп из n эле- ментов, если (а) n = 3? (б) n = 4? 14. ⋆ Доказать, что если p | простое число, то любые две группы из p элементов изоморфны. 15. Указать изоморфизм между группой действительных чисел по сложению и группой положительных действитель- ных чисел по умножению. 16. Группа симметрий треугольника состоит из всех дви- жений плоскости, переводящих треугольник в себя. Дока- зать, что эта группа изоморфна группе S 3 (перестановки трёхэлементного множества). 17. ⋆ Доказать, что группа вращений куба (сохраняющих ориентацию | отражения не допускаются) изоморфна груп- пе S 4 . (Указание: посмотрите, как вращения действуют на большие диагонали куба). 18. Изоморфны ли группы Z/6Z и S 3 ? 19. Изоморфны ли (аддитивные) группы Z и Q? 20. ⋆ (а) Доказать, что группы вращений икосаэдра и до- декаэдра изоморфны. (б) Доказать, что эти группы изоморф- ны группе A 5 (чётные перестановки 5 элементов). 21. Доказать, что циклические группы одного порядка изоморфны. 22. ⋆ Сколько существует различных изоморфизмов между двумя циклическими группами порядка n? 23. Доказать, что любая подгруппа группы Z изоморф- на Z или состоит только из нуля. Задачи 1999 { 2000 года 243 Отображение группы G в себя, являющееся изоморфиз- мом, называется автоморфизмом группы G. 24. Найти все автоморфизмы группы Z. 25. Описать все автоморфизмы группы Q рациональных чисел по сложению. 26. ⋆ Доказать, что для любого элемента g группы G ото- бражение h ↦→ ghg −1 является автоморфизмом группы G. (Такие автоморфизмы называют внутренними.) 27. ⋆ (Продолжение) Привести пример автоморфизма, не являющегося внутренним. 28. Пусть G | конечная группа порядка n. (а) Доказать, что для любого элемента g ∈ G отображение f g : h ↦ → gh является перестановкой элементов G и тем самым может рас- сматриваться как элемент группы перестановок S n . (б) До- казать, что отображение ϕ: G → S n , при котором g ↦→ f g , является гомоморфизмом. 29. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос, если f g : h ↦ → ghg −1 30. (Теорема Кэли) Доказать, что всякая конечная груп- па изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок. Прямым произведением групп G и H называется мно- жество пар {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H} с операцией (g 1 , h 1 ) ·(g 2 , h 2 ) = = (g 1 g 2 , h 1 h 2 ) (обозначение: G × H). 31. (а) Доказать, что прямое произведение групп явля- ется группой. (б) Каков порядок этой группы? (в) Чему ра- вен порядок элемента (g, h), если порядки элементов g и h равны m и n соответственно? (г) Указать в группе G × H подгруппы, изоморфные G и H соответственно. 32. Будут ли изоморфны группы (а) Z/2Z×Z/3Z и Z/6Z; (б) Z/2Z × Z/2Z и Z/4Z? 33. При каких m и n группа Z/mZ × Z/nZ изоморф- на Z/mnZ? 34. ⋆ Доказать, что любая подгруппа группы Z × Z либо изоморфна всей группе, либо изоморфна Z, либо состоит из одного элемента. 35. Будет ли группа Z × Z изоморфна Z? 36. Тот же вопрос для аддитивных групп Q × Q и Q. 244 Задачи 1999 { 2000 года Удивительным образом аддитивные группы R и R × R изоморфны, но указать этот изоморфизм явно не удаётся (он строится с помощью «трансфинитной индукции»). 37. ⋆ Доказать, что группы Z n = Z × Z × . . . × Z (n со- множителей) при различных n не изоморфны. 38. ⋆ Закончить и доказать утверждение: группа C * не- нулевых комплексных чисел по умножению изоморфна пря- мому произведению группы положительных действительных чисел по умножению и . . . Компактные метрические пространства Метрическое пространство называют вполне ограничен- ным, если для любого ε > 0 существует конечное покрытие этого пространства шарами радиуса ε. 1. Будет ли такое свойство равносильно полной ограни- ченности: ни для какого ε > 0 не существует бесконечно- го множества точек, попарные расстояния между которыми больше ε? 2. Пусть M | вполне ограниченное пространство. Дока- зать, что найдётся такое c, что расстояние между любыми двумя точками не превосходит c. 3. Доказать, что во вполне ограниченном пространстве всякая последовательность имеет фундаментальную подпос- ледовательность. 4. ⋆ (Продолжение) Верно ли обратное? Пространство называют компактным, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. 5. (а) Доказать, что отрезок компактен. (б) Доказать, что квадрат компактен. 6. ⋆ Компактны ли канторовское и бэровское простран- ства? 7. Пусть x | точка компактного пространства M. Пока- зать, что шар достаточно большого радиуса с центром в M совпадает с M. 8. Подмножество A метрического пространства M, рас- сматриваемое как метрическое пространство с индуцирован- Задачи 1999 { 2000 года 245 ной метрикой, компактно. Показать, что оно замкнуто (в пространстве M). 9. Доказать, что замкнутое подмножество компактного пространства компактно (как метрическое пространство с индуцированной метрикой). 10. Семейство множеств называют центрированным, если пересечение конечного числа любых множеств этого семей- ства непусто. Показать, что в компактном пространстве лю- бое центрированное семейство множеств имеет общую точку. 11. Доказать, что в компактном пространстве любая по- следовательность имеет предельную точку (и сходящуюся подпоследовательность). Как мы вскоре увидим, это свойство равносильно ком- пактности метрического пространства. 12. Доказать, что если в пространстве любая последова- тельность имеет сходящуюся подпоследовательность, то оно полно. 13. Доказать, что если в пространстве любая последова- тельность имеет сходящуюся подпоследовательность, то оно вполне ограничено. 14. (Лемма Лебега) Пусть в пространстве M любая по- следовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Доказать, что для любого покрытия M открытыми множе- ствами найдётся такое ε > 0, что любой шар радиуса ε це- ликом содержится в одном из множеств покрытия. 15. Вывести из предыдущих задач, что три свойства рав- носильны: (1) пространство компактно; (2) пространство пол- но и вполне ограничено; (3) всякая последовательность его точек имеет сходящуюся подпоследовательность. 16. Доказать, что произведение двух компактных про- странств компактно. 17. Какие подмножества R n компактны (с индуцирован- ной метрикой)? 18. Доказать, что непрерывная функция на компактном пространстве (с действительными значениями) ограничена и достигает максимума и минимума. 246 Задачи 1999 { 2000 года 19. ⋆ Доказать, что образ компакта при непрерывном ото- бражении | компакт. (Как вывести отсюда утверждение предыдущей задачи?) 20. ⋆ Даны два компактных непересекающихся подмноже- ства A и B (в произвольном пространстве). Доказать, что найдётся такое ε > 0, что расстояние между любой точкой множества A и любой точкой множества B не меньше ε. 21. ⋆ Верно ли это утверждение, если множества A и B лишь замкнуты? если одно из них замкнуто, а второе ком- пактно? Пусть A и B | метрические пространства. Функция f : A → B называется равномерно непрерывной, если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что любые две точки пространства A, отстоящие менее чем на δ, отображаются в точки, отстоящие менее чем на ε. 22. Показать, что непрерывная функция, определённая на компактном пространстве, равномерно непрерывна. Интегралы: вычисление 1. Доказать формулу интегрирования по частям: Z u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − Z u ′ (x)v(x)dx. Если u ′ (x) dx обозначить через du, а v ′ (x) dx | через dv, то можно написать R u dv = uv − R v du. 2. Объяснить с помощью интегрирования по частям сле- дующее вычисление (указав функции u и v): R x sin x dx = = − R x d( cos x) = −x cos x + R cos x dx = −x cos x + sin x + C. 3. Найти первообразные функций (а) xe x ; (б) x ln x. 4. ⋆ (а) x arctg x; (б) x 2 cos(3x). 5. ⋆ Найти ln(1000!) с точностью 10%. 6. ⋆ Вычислить первообразную функции e ax sin(bx). 7. ⋆ Гамма-функция определяется следующим равенством: Γ (a) = R + ∞ 0 x a e −x dx (несобственный интеграл по полупря- мой определяется как предел интегралов по [0, N] при N → → +∞). Выразить Γ(a + 1) через Γ(a). Почему гамма-функ- цию считают обобщением факториала? Задачи 1999 { 2000 года 247 8. ⋆ Доказать, что для дважды непрерывно дифференци- руемой функции f имеет место формула Тейлора с остаточ- ным членом в интегральной форме: f(a + h) = f(a) + f ′ (a)h + Z h 0 (h − t)f ′′ (a + t) dt. 9. ⋆ Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для старших производных. 10. ⋆ Доказать, что существует предел при a → +∞ инте- грала R a 1 ( sin x/x) dx. (Аналогичная задача для рядов реша- ется с помощью преобразования Абеля, которое аналогично интегрированию по частям.) 11. ⋆ Доказать, что если f | непрерывно дифференциру- емая функция на прямой, то R 1 0 f(t) sin(nt) dt стремится к 0 при n → ∞. 12. ⋆ (Продолжение) Доказать, что это верно и для про- извольной непрерывной на [0, 1] функции. 13. ⋆ (Продолжение) Показать, что для бесконечно диф- ференцируемой функции с периодом 1 интеграл из задачи 11 есть o(1/n k ) при любом k. 14. Пусть F | первообразная функции f. Найти перво- образную функции x ↦→ f(ax + b), где a и b | некоторые числа. 15. Найти первообразные функций (а) (4x−7) 8 ; (б) 1 25+x 2 ; (в) sin 2 (3x) ; (г) sin(5x) cos(18x). 16. ⋆ Пусть функция имеет вид P(sin x, cos x), где P | многочлен от двух переменных. Доказать, что её первообраз- ная имеет вид Q(sin x, cos x)+ax, где Q | также многочлен от двух переменных. Когда a равно нулю? 17. Доказать теорему о замене переменной в неопреде- лённом интеграле: если F | первообразная функции f, а ϕ | дифференцируемая функция, то t ↦→ F(ϕ(t)) есть пер- вообразная функции t ↦→ f(ϕ(t))ϕ ′ (t) 18. Объяснить с помощью теоремы о замене переменной 248 Задачи 1999 { 2000 года (указав, что играет роль F, f, ϕ) следующее вычисление: Z √︀ a 2 − x 2 dx = Z √︀ a 2 − a 2 sin 2 t a cos t dt = a 2 Z cos 2 t dt = = a 2 t 2 + a 2 sin 2t 4 + C = a 2 2 arcsin(x/a) + x 2 √︀ a 2 − x 2 + C. 19. Вычислить с помощью замены переменной первообраз- ную функции 1/ √ a 2 − x 2 (ответ мы знали и раньше). 20. ⋆ Вычислить первообразные функций (а) √ a 2 + x 2 ; (б) 1/ √ a 2 +x 2 . (Указание: использовать функции ch t = (e t + + e −t )/2 и sh t = (e t − e −t )/2 ). 21. Объяснить с помощью теоремы о замене переменной следующее вычисление: Z x 2 sin(x 3 ) dx = 1 3 Z sin(x 3 ) d(x 3 ) = = 1 3 Z sin t dt = − 1 3 cos t + C = − 1 3 cos(x 3 ) + C. 22. Найти первообразные функций (а) xe −x 2 ; (б) x/(1 + + x 4 ) ; (в) sin 2 2x cos 2x; (г) √ 1 + t/t ; (д) 1/(t √ 1 + t 2 ) ; 23. Дать точную формулировку и доказательство теоре- мы о замене переменной в определённом интеграле: интеграл R b a f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt равен . . . , если . . . 24. ⋆ Найти интеграл R 1/(1 + x 2 ) 2 dx 25. ⋆ Обозначим через J n первообразную функции 1/(1 + + x 2 ) n . Доказать следующую рекуррентную формулу: J n+1 = 1 2n (︃ x (1 + x 2 ) n + (2n − 1)J n )︃ Интегрируя рациональную дробь (отношение многочле- нов), полезно разложить её в линейную комбинацию много- члена и простейших дробей вида 1/(x − a) k (если допускать комплексные a) или вида 1/(x − a) k , 1/(x 2 + px + q) k и x/(x 2 + px + q) k Задачи 1999 { 2000 года 249 26. ⋆ Доказать, что такое представление всегда возможно. 27. Найти первообразные функций (а) 1/((x + 1)(x + 2)); (б) (x 5 + 1)/(x 3 − 1) ; (в) 1/(x 4 + 1) 28. ⋆ Доказать теорему о замене переменной для опре- делённого интеграла: если ϕ(t) дифференцируема и строго возрастает на отрезке [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, обрат- ная к ней функция дифференцируема на [a, b], и функция f интегрируема на [a, b], то Z b a f(x) dx = Z β α f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt. (отметим, что первообразной у функции f может не быть). 29. Вычислить интеграл R e x sin x dx, вспомнив формулу e ix = cos x + i sin x. 30. Вычислить интеграл R 1/(x 2 + 1) по аналогии с инте- гралом R 1/(x 2 − 1) , вспомнив, что x 2 + 1 = (x + i)(x − i) Определители Пусть V | векторное пространство размерности n. Функ- ция d: V n → R, ставящая в соответствие n векторам из V некоторое число, называется внешним произведением, если выполнены следующие условия: 1) d линейна по каждому из своих аргументов (полили- нейность); 2) d меняет знак при перестановке любых двух своих ар- гументов (кососимметричность). 1. Указать все такие функции (двух аргументов) в R 2 2. Доказать, что если среди векторов есть одинаковые, то их внешнее произведение равно нулю. 3. ⋆ (Продолжение) Показать, что требование предыдущей задачи равносильно кососимметричности (для полилинейных функций). 4. Пусть функция d является внешним произведением и d(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . ) = a . Чему равно (а) d(x 1 + x 2 , x 2 − − x 3 , x 3 , x 4 , . . . ) ? (б) d(x 1 + x 2 , x 2 − x 1 , x 3 , x 4 , . . . ) ? 250 Задачи 1999 { 2000 года 5. Фиксируем базис в пространстве V размерности n. По- казать, что полилинейная функция на V k однозначно восста- навливается по своим значениям на наборах базисных векто- ров, причём эти n k значений можно выбрать произвольно. 6. ⋆ Полилинейные кососиммметрические функции вида V k |