Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
(Продолжение) Как обобщить это утверждение на матрицы большего размера? 36. ⋆ Доказать, что строки матрицы ⎛ ⎝ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ⎞ ⎠ линейно независимы, если среди положительных чисел a, b, c и среди произвольных действительных чисел x, y, z нет оди- наковых. 37. ⋆ Доказать, что максимальное число линейно незави- симых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов. (Следовательно, если в матрице n×n строки независимы, то и столбцы независимы, и наоборот.) Задачи 1998 { 1999 года 195 Базисы и размерности Векторы x 1 , . . . , x n образуют базис в пространстве V, ес- ли они линейно независимы и порождают V (через них ли- нейно выражается любой вектор пространства). 1. Доказать, что в этом случае любой вектор единствен- ным образом представим как линейная комбинация базис- ных. 2. Доказать, что базис можно эквивалентно определить как (а) максимальную линейно независимую систему векто- ров (становящуюся линейно зависимой при добавлении лю- бого вектора); (б) минимальную систему, порождающую всё пространство (если удалить любой вектор, линейная оболоч- ка перестанет совпадать со всем V). 3. Указать базис в пространстве (а) R n , элементами ко- торого являются наборы чисел длины n (с покоординатным сложением и умножением на число); (б) многочленов степе- ни не выше n; (в) наборов чисел длины n, у которых сумма равна нулю; (г) многочленов степени не выше n, имеющих корень 1. Любые два базиса одного пространства имеют поровну элементов Это утверждение удобно доказывать в такой форме: если вектора y 1 , . . . , y k выражаются через x 1 , . . . , x n и k > n, то эти k векторов линейно зависимы. 4. Доказать это утверждение, используя такой факт: од- нородная система линейных уравнений имеет ненулевое ре- шение, если неизвестных больше, чем уравнений. Другой вариант доказательства: если в выражениях век- торов y 1 , . . . , y k через x 1 , . . . , x n не встречается x 1 , можно воспользоваться индукцией по n. Если же x 1 встречается, скажем, в выражении для y 1 , то вектора y 2 −c 2 y 1 , . . . , y k −c k y 1 при подходящих c 2 , . . . , c k выражаются через x 2 , . . . , x n , и снова можно воспользоваться предположением индукции. 5. ⋆ Провести это рассуждение полностью. Ещё один вариант состоит в применении «леммы Штейни- ца о замене»: если векторы y 1 , . . . , y i линейно независимы и 196 Задачи 1998 { 1999 года выражаются через x 1 , . . . , x k , то можно заменить какие-то i векторов среди x 1 , . . . , x k на y 1 , . . . , y i , не изменив линейной оболочки. 6. ⋆ Доказать это утверждение (индукция по i) и вывести из него утверждение об одинаковом числе элементов в любых двух базисах. 7. Пространство V имеет базис из n элементов. Доказать, что любые n + 1 векторов в нём линейно зависимы. 8. Доказать, что для произвольного векторного простран- ства V выполнено одно из двух условий: (1) V имеет конеч- ный базис, и все его базисы имеют равное число элементов; (2) в V можно указать бесконечную систему линейно неза- висимых векторов. В первом случае число векторов в базисе называется раз- мерностью пространства V (обозначается dim V). Во втором случае пространство называют бесконечномерным. 9. Доказать, что размерность можно эквивалентно опре- делить как максимальное число линейно независимых векто- ров или как минимальное число векторов, линейная оболоч- ка которых есть всё пространство. 10. Рассмотрим пространство «фибоначчиевых последо- вательностей», в котором каждый член равен сумме двух предыдущих. Какова его размерность? Указать какой-либо базис в этом пространств (приведя явные формулы для обра- зующих этот базис последовательностей) 11. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос для пространства последовательностей, в которых (а) x n+2 = 2x n+1 − x n ; (б) x n+2 = 2x n+1 − 2x n ; (в) x n+3 = 2x n+2 − x n+1 + 2x n 12. «Магическим квадратом» называют квадратную та- блицу, заполненную числами, в которой суммы по всем столб- цам, всем строкам и двум диагоналям равны. Магические квадраты данного размера образуют векторное пространство. Найти размерность этого пространства и указать базис для квадратов 2 × 2 и 3 × 3. 13. ⋆ Найти размерность пространства магических квадра- тов размера n × n. Задачи 1998 { 1999 года 197 14. ⋆ Доказать, что пространство непрерывных функций на прямой, имеющих период 1, бесконечномерно. Пусть V | векторное пространство. Подмножество W ⊂ ⊂ V называется подпространством пространства V, если вме- сте с любыми двумя векторами x, y оно содержит их сум- му x+y, и вместе с любым вектором x содержит векторы λx для всех чисел λ. (В этом случае W можно рассматривать как векторное пространство с теми же операциями сложения и умножения на число.) 15. Какие подпространства бывают в (обычном) трёхмер- ном пространстве? 16. Существует ли подпространство в R 3 , содержащее векторы ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, 5, 6⟩, но не содержащее вектор ⟨7, 8, 9⟩? 17. Доказать, что для любых чисел a 1 , . . . , a n множество решений линейного однородного уравнения a 1 x 1 + a 2 x 2 + +. . .+a n x n = 0 образует подпространство пространства R n Какова размерность этого подпространства? 18. Рассмотрим в пространстве многочленов степени не выше n подпространство, образованное многочленами P, для которых P(1) = 0 и P ′ (1) = 0 . Какова размерность этого подпространства? 19. Рассмотрим в пространстве многочленов степени не выше 10 подпространство, состоящее из многочленов P, де- лящихся без остатка на многочлен x 5 + x + 1 . Какова раз- мерность этого подпространства? 20. (а) Образуют ли периодические функции подпрост- ранство в пространстве всех функций с действительными ар- гументами и значениями? (б) Образуют ли периодические последовательности подпространство в пространстве всех по- следовательностей? 21. Пусть W 1 и W 2 | подпространства некоторого про- странства W. Можно ли утверждать, что (а) их пересече- ние W 1 ∩ W 2 ; (б) их объединение W 1 ∪ W 2 ; (в) их сум- ма W 1 + W 2 , состоящая из всех сумм вида w 1 + w 2 (где w 1 ∈ W 1 и w 2 ∈ W 2 ), будут подпространствами? 22. Пусть W | подпространство конечномерного про- странства V. Доказать, что любой базис в пространстве W 198 Задачи 1998 { 1999 года можно дополнить до базиса в пространстве V. Вывести от- сюда, что dim W 6 dim V и равенство возможно, лишь ес- ли V = W. 23. Какова максимально возможная длина возрастающей цепочки подпространств V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . ⊂ V k (все про- странства различны) в n-мерном пространстве? Указать ка- кую-либо цепочку максимальной длины в R 4 24. Говорят, что пространство V является прямой сум- мой своих подпространств W 1 и W 2 , если их пересечение W 1 ∩W 2 содержит только нулевой вектор, а сумма W 1 + W 2 равна всему V. (а) Доказать, что в этом случае всякий век- тор из V единственным образом представляется в виде суммы w 1 + w 2 (где w 1 ∈ W 1 , w 2 ∈ W 2 ). (б) Доказать, что в этом случае dim V = dim W 1 + dim W 2 25. ⋆ (Продолжение) Определить понятие прямой суммы трёх подпространства и доказать аналогичное утверждение. 26. Доказать, что пространство всех функций с действи- тельными аргументами и значениями есть прямая сумма под- пространства чётных функций и подпространства нечётных функций. (Функция f называется чётной, если f(−x) = f(x) при всех x, и нечётной, если f(−x) = −f(x) при всех x.) 27. Доказать, что для произвольных подпространств W 1 и W 2 пространства W выполнено равенство dim(W 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 − dim(W 1 ∩ W 2 ). 28. ⋆ Как написать аналогичное равенство для трёх под- пространств? 29. ⋆ Пусть A, B, C | три подпространства одного про- странства. Доказать, что dim A + dim(A + B + C) 6 dim(A + B) + dim(A + C). Программа экзамена 1. Малая теорема Ферма. Теорема Вильсона. 2. Теорема Брианшона (доказательство с помощью гипер- болоида). Задачи 1998 { 1999 года 199 3. Формула для чисел Фибоначчи с помощью производя- щих функций. 4. Теорема Кантора { Бернштейна. 5. Описание всех пифагоровых троек. 6. Системы линейных уравнений: если неизвестных боль- ше, чем уравнений, то у системы есть ненулевое решение. 7. Основная теорема алгебры («Дама с собачкой»). 8. Кососимметрические формы в R 2 и R 3 : ориентирован- ная площадь и ориентированный объём. 9. Векторное произведение и его свойства. 10. Индукция и фундированные множества. 11. Основная теорема о симметрических многочленах. 12. Конечные поля. Мультипликативная группа конечно- го поля. 13. Последовательности. Ограниченные последователь- ности. Предел последовательности и его свойства. 14. Аксиома полноты. Теорема о вложенных отрезках, фундаментальные последовательности. 15. Ряды и их сходимость. Абсолютно сходящиеся ряды. 16. Непрерывные функции и их свойства. 17. Предел функции и его свойства. Первый замечатель- ный предел. 18. Асимптотические обозначения. 19. Число e. Экспонента и логарифм, второй замечатель- ный предел. 20. Производная и её свойства. 21. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Формула Тейлора. 22. Многочлены с одной переменной. Основная теорема алгебры и её следствия. 23. Корни многочленов с целыми коэффициентами. 24. Перестановки, разложение на циклы. Чётные и нечёт- ные перестановки. 25. Группы, подгруппы. Теорема Лагранжа. 26. Векторные пространства. Линейная зависимость и не- зависимость. Подпространства. 27. Базисы и размерности векторных пространств. Задачи 1999 { 2000 года Задачи последнего года охватывают, вместе с теорией ин- тегрирования, довольно трудные темы (начала теории групп, колец и полей, метрические пространства и компактность, начала теории вероятностей, основы теории меры), которые принято относить к «высшей математике». Последний листок («Разное») содержит трудные задачи на разные темы. Производная: разные задачи 1. Найти производную функции x ln x − x. 2. Найти производную функции ln((1 + x)/(1 − x)). 3. Найти производную функции ln(x + √ 1 + x 2 ) 4. Найти производную функции 1 3 ln 1 + x √ 1 − x + x 2 + 1 √ 3 arctg x √ 3 2 − x (ответом будет рациональная функция от x). 5. Доказать, что производная чётной функции нечётна и наоборот. 6. Доказать, что производная периодической функции также периодична. Верно ли обратное? 7. Функция f дифференцируема на всей прямой и перио- дична (имеет период, то есть такое число T, что f(x + T) = = f(x) для всех x). Доказать, что f ′ обращается в нуль в бесконечном числе точек. 8. ⋆ Функция f определена и дифференцируема на всей прямой, причём f(x) → 0 при x → ∞. Показать, что произ- водная функции имеет не менее n + 1 нулей, если функция f имеет не менее n нулей. 9. Сформулировать и доказать утверждение, связываю- щее кратность корня многочлена с обращением в нуль его производных. 10. (а) Найти наименьшее значение выражения x + 1/x при x > 0. (б) Тот же вопрос для выражения x + 10/x. (в) Тот же вопрос для выражения x 10 + 1/x Задачи 1999 { 2000 года 201 11. Как решить предыдущую задачу с использованием не- равенства о среднем арифметическом и геометрическом? 12. Найти число решений уравнения x 3 − x = a (в зави- симости от значения параметра a). 13. Какие значения принимает x 3 − 4x при −1 < x < 2? 14. Найти наибольшее значение выражения x e x при x > 0. 15. ⋆ Каково максимально возможное число точек пересе- чения прямой с графиком y = x 5 ? 16. Доказать, что e x > 1 + x при всех x. 17. ⋆ Решить неравенство e x > 1 + x + x 2 /2 18. Доказать, что ln(1 + h) 6 h при всех h > −1. 19. Доказать, что ln(1 + h) > h − h 2 /2 при всех h > 0. 20. Доказать по очереди такие неравенства (при x > 0): cos x 6 1; sin x 6 x; cos x > 1 − x 2 /2 ; sin x > x − x 3 /6 ; cos x 6 1 − x 2 /2 + x 4 /24 . Как продолжить эту последова- тельность? 21. Доказать, что x ln x > x − 1 при x > 1. 22. ⋆ Доказать, что величина (1 + 1/x) x+1 убывает с ро- стом x (при x > 0). 23. ⋆ Доказать, что величина (1 + 1/x) x возрастает с ро- стом x (при x > 0). 24. ⋆ Доказать, что sin x > (2/π)x при 0 < x < π/2. 25. ⋆ Рассмотрим семейство кривых (гипербол) xy = c (каждому значению параметра c соответствует своя кривая). (а) Показать, что при повороте на 45 ∘ эти кривые переходят в кривые семейства x 2 − y 2 = c . (б) Показать, что кривые двух этих семейств, проходящие через одну точку, пересека- ются под прямым углом (касательные перпендикулярны). 26. Неравенство Бернулли (1 + x) n > 1 + nx при неотри- цательном x и целом неотрицательном n очевидно (раскры- ваем скобки). Выяснить, для каких ещё пар (x, n) оно верно (предполагаем, что x > −1, чтобы возведение в степень име- ло смысл). 27. ⋆ Положительные числа p и q таковы, что 1/p + 1/q = = 1 (например, так будет при p = q = 2). Показать, что xy 6 x p /p + y q /q для любых x, y > 0. 202 Задачи 1999 { 2000 года 28. ⋆ Выражение f ′ (x)/f(x) иногда называют «логарифми- ческой производной» функции f в точке x. Чем объясняется такое название? 29. Многочлен P и все его производные положительны в некоторой точке a ∈ R. Доказать, что все действительные корни многочлена P меньше a. 30. ⋆ Верно ли аналогичное утверждение для произволь- ной бесконечно дифференцируемой функции (функции, име- ющей производные всех порядков), определённой на всей действительной прямой? 31. ⋆ Параболы y = x 2 + c и x = y 2 + d при некоторых значениях c и d имеют единственную общую точку (x, y). Показать, что эта точка лежит на гиперболе xy = 1/4. 32. ⋆ По плоскости движется точка; её координаты в мо- мент времени t равны (x(t), y(t)). При этом вектор скорости (x ′ (t), y ′ (t)) в каждый момент времени t перпендикулярен радиус-вектору (x(t), y(t)). Доказать, что точка движется по окружности. 33. ⋆ Тело массы m движется по прямой в силовом поле с потенциалом U (другими словами, U | дифференцируе- мая функция и −U ′ (x) есть сила, действующая в точке x). Тогда по второму закону Ньютона для координаты x(t) те- ла в момент времени t можно написать уравнение: x ′′ (t) = = −U ′ (t)/m . Доказать закон сохранения энергии: величина U(x(t)) + m(x ′ (t)) 2 /2 постоянна. 34. ⋆ На горизонтальной плоскости лежит тело веса P, ко- эффициент трения равен k. Под каким углом к горизонту надо его тянуть, чтобы сдвинуть его было легче всего? Ка- кая сила при этом потребуется? 35. ⋆ Точка (x(t), y(t)) движется по плоскости. Что мож- но сказать о её движении, если вектор скорости (x ′ (t), y ′ (t)) при всех t перпендикулярен вектору ускорения (x ′′ (t), y ′′ (t)) ? 36. ⋆ Функция f непрерывна на отрезке [0, 1] и дважды дифференцируема внутри него, при этом f(0) = f(1) = 0 и f(x) = 1 для некоторой точки x ∈ (0, 1). Доказать, что |f ′′ (y) | > 4 для некоторой точки y ∈ (0, 1). Задачи 1999 { 2000 года 203 37. ⋆ Функция f определена и дифференцируема на интер- вале (1, +∞), причём |f ′ (x) | 6 1/x 2 . (а) Можно ли утвер- ждать, что существует предел f(x) при x → ∞? (б) Тот же вопрос, если |f ′ (x) | 6 1/x. Многогранники 1. Нарисовать многогранник (а) с 5 вершинами и 6 гра- нями; (б) с 5 вершинами и 5 гранями. 2. Бывает ли многогранник, у которого 1998 треугольных граней? 3. (Продолжение) . . . 1997 треугольных граней? 4. Нарисовать правильные многогранники, то есть много- гранники, все грани которых | правильные многоугольники с одинаковым числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. (Их пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр; что означает «эдр» в их названиях?) 5. Нарисовать вид каждого из правильных многогранни- ков из точки, близкой к центру одной из граней и находя- щейся вне многогранника. (Одну грань вскрыли и смотрим через неё внутрь; что мы увидим?) 6. От вершины многогранника отрезали маленькую пи- рамидку. Как изменится число его вершин, рёбер и граней? Что произойдёт с величиной В + Г − Р? 7. В многограннике все грани | треугольники. Как свя- заны число граней и число рёбер? 8. В многограннике в каждой вершине сходятся три ре- бра. Как связаны число вершин и число рёбер? 9. Как меняется величина В + Г − Р, если разрезать мно- гоугольные грани многогранника на треугольники? 10. Футбольный мяч склеен из шестиугольников и пя- тиугольников, в каждой вершине сходятся по три куска. Сколько пятиугольников использовано? Почему это число не зависит от способа склейки? * * * 11. Все грани многогранника | правильные многоугольники с одинаковым числом сторон, но многогранник не правильный. Мо- жет ли так быть? 204 Задачи 1999 { 2000 года 12. Доказать, что в любом выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон. 13. Многогранник (пустой внутри) разрезали на отдельные гра- ни и послали по почте, а потом склеили. Мог ли получиться мно- гогранник другой формы? 14. Найти все «топологически правильные» выпуклые много- гранники (у которых все грани имеют одинаковое число сторон и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер). 15. Существует общая теорема о том, что для всякого выпукло- го многогранника есть двойственный к нему, у которого столько же граней, сколько у исходного вершин, столько же вершин, сколько у исходного граней, и столько же рёбер, сколько у исходного. На- рисовать двойственные для известных вам выпуклых многогранни- ков. Как влияет переход к двойственному многограннику на вели- чину В + Г − Р? 16. Внутри многоугольника с n сторонами взято k точек и про- ведены отрезки, разбивающие его на t меньших многоугольников с вершинами в выбранных точках; число их сторон обозначим через n 1 , n 2 , . . . , n t . Подсчитать сумму всех углов этих многоугольников двумя способами (группируя их по многоугольникам и по верши- нам). Подсчитать число рёбер всех многоугольников. Вывести от- сюда формулу В + Г − Р = 1 для такой картинки. 17. Доказать формулу В + Г − Р = 1 для сети многоугольников, разрезав их на треугольники и удаляя треугольники один за другим. |