Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
(Продолжение) Можно ли утверждать, что найдёт- ся промежуток в три минуты, за который пешеход прошёл более 300 м? 3. (Теорема о конечном приращении) Функция f диффе- ренцируема во всех точках интервала I, и её производная не превосходит (по модулю) некоторого числа c. Доказать, что для любых точек x и y этого интервала выполнено неравен- ство |f(y) − f(x)| 6 c|y − x| 164 Задачи 1998 { 1999 года («если мгновенная скорость не превосходит c, то и средняя скорость не превосходит c»). 4. Доказать, что если две функции определены на ин- тервале и имеют одну и ту же производную (f ′ (x) = g ′ (x) для любой точки x этого интервала), то они отличаются на константу: f(x) = g(x) + C для некоторого числа C и для всех x. 5. Функция f определена на всей прямой, причём |f(y) − − f(x) | 6 (y − x) 2 при всех x, y. Что можно сказать про эту функцию? 6. ⋆ Функция f определена и дифференцируема на всей прямой, при этом f ′ (x) = f(x) при всех x. Доказать, что f(x) = ce x при некотором c и при всех x. Точка a называется точкой локального максимума функ- ции f, если найдётся некоторая окрестность точки x, в ко- торой функция f определена и все её значения не превосхо- дят f(a). Если все они (кроме значения в точке a) строго меньше f(a), то говорят о строгом локальном максимуме. 7. Доказать, что у любой функции не более чем счётное число точек строгого локального максимума. 8. ⋆ (Продолжение) Для точек локального максимума (не обязательно строгого) этого сказать нельзя: у постоянной функции всякая точка будет точкой локального максимума. Доказать, что множество значений любой функции во всех её точках локального максимума не более чем счётно. 9. (Принцип Ферма) Доказать, что если функция диффе- ренцируема в точке локального максимума, то её производ- ная в этой точке равна нулю. 10. (Теорема Ролля) Функция f определена и непрерыв- на на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех точках ин- тервала (a, b), причём f(a) = f(b). Доказать, что найдётся точка c ∈ (a, b), для которой f ′ (c) = 0 11. (Теорема Лагранжа) Функция f определена и непре- рывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех точках интервала (a, b), причём f(a) = f(b). Доказать, что найдётся точка c ∈ (a, b), для которой f ′ (c) = (f(b) − f(a))/(b − a) Задачи 1998 { 1999 года 165 (Существует точка, в которой мгновенная скорость равна средней, а касательная параллельна секущей.) 12. ⋆ Верен ли аналог теоремы Лагранжа для движения по плоскости? Тот же вопрос для теоремы о конечном при- ращении. 13. Вывести теорему о конечном приращении из теоремы Лагранжа. 14. Функция f определена и дифференцируема на интер- вале I. Доказать, что f является неубывающей (т. е. f(x) 6 6 f(y) при x 6 y) тогда и только тогда, когда f ′ (x) > 0 для всех x ∈ I. 15. (Продолжение) Верно ли аналогичное утверждение про (строго) возрастающие функции и функции с всюду по- ложительной производной? 16. Известно, что функции f и g определены и непрерыв- ны на отрезке [0, 1] и дифференцируемы внутри него, причём f ′ (x) 6 g ′ (x) для всех x ∈ [0, 1] и f(0) = g(0). Доказать, что f(1) 6 g(1). 17. ⋆ Функция f определена и дифференцируема на всей прямой, при этом |f ′ (x) | 6 |x| и f(0) = 1. Какие значения может принимать f(10)? 18. ⋆ Функция f определена и дифференцируема на всей прямой, при этом |f ′ (x) | 6 |f(x)| и f(0) = 1. Какие значения может принимать f(10)? 19. (а) Функция f определена в окрестности нуля и диф- ференцируема в нуле, причём f(0) = 0 и f ′ (0) = 0 . Доказать, что f(x) = o(x) при x → 0. (б) Функция f определена и диф- ференцируема в окрестности нуля, дважды дифференцируе- ма в нуле, причём f(0) = 0, f ′ (0) = 0 и f ′′ (x) = 0 . Доказать, что f(x) = o(x 2 ) при x → 0. (в) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для старших производных. 20. Используя предыдущую задачу, доказать, что sin x = = x − x 3 /6 + o(x 4 ) при x → 0. 21. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пе- ано) Если функция f определена и дифференцируема n − 1 166 Задачи 1998 { 1999 года раз в окрестности точки a и имеет n-ю производную в a, то f(a + h) = f(a) + f ′ (a)h + (f ′′ (a)/2!)h 2 + . . . + + (f (n) (a)/n!)h n + o(h n ) при h → 0. 22. (Достаточное условие максимума) Функция f диф- ференцируема на интервале I, её производная равна 0 в точ- ке a ∈ I, положительна слева от a и отрицательна справа от a. Доказать, что в этом случае максимум функции на ин- тервале I достигается в точке a. 23. Найти минимальное значение функции x ↦→ x ln x на интервале (0, 1). 24. ⋆ Известно, что a, b > 0, a b = b a и a ̸= b. Доказать, что одно из чисел a и b меньше e, а другое | больше. Дока- зать, что для любого числа a ∈ (1, e) найдётся единственное b > e , при котором a b = b a 25. Функция f дифференцируема в окрестности точки a, дважды дифференцируема в a, причём f ′ (a) = 0 и f ′′ (a) > 0 Доказать, что точка a является точкой строгого локального минимума. 26. ⋆ (Теорема Коши) Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b) и f(a) ̸= f(b) . Тогда найдётся такая точка c ∈ (a, b), что g(b) − g(a) f(b) − f(a) = g ′ (c) f ′ (c) (отношение средних скоростей равно отношению мгновен- ных) или f ′ (c) = g ′ (c) = 0 27. ⋆ (Правило Лопиталя раскрытия неопределённости ви- да 0/0) Функции f и g определены и дифференцируемы в окрестности некоторой точки a, причём f(a) = g(a) = 0. Пусть g ′ (x) ̸= 0 при x ̸= a и существует предел f ′ (x)/g ′ (x) при x → a, равный некоторому числу c. Доказать, что пре- дел f(x)/g(x) при x → a также существует и равен c. Задачи 1998 { 1999 года 167 28. Функция f определена и дважды дифференцируема на интервале I, содержащем 0, причём f(0) = f ′ (0) = 0 , а |f ′′ (x) | 6 M при всех x ∈ I. Доказать, что |f(x)| 6 (M/2)x 2 29. (Продолжение) Сформулировать аналогичное утвер- ждение для старших производных. 30. (Формула Тейлора) Функция f определена и n+1 раз дифференцируема в окрестности точки a, причём её (n+1)-я производная (во всех точках этой окрестности) не превосхо- дит по модулю числа M. Доказать, что погрешность прибли- жённой формулы f(a+h) ≈ f(a)+f ′ (a)h+(f ′′ (a)/2!)h 2 +. . .+(f (n) (a)/n!)h n не превосходит (M/(n + 1)!)h n+1 (если точка a + h лежит в упомянутой окрестности). 31. (Продолжение) Доказать, что sin x = x − x 3 /3! + + x 5 /5! − . . . и cos x = 1 − x 2 /2! + x 4 /4! − . . . при всех x. 32. (Продолжение) Используя формулу Тейлора, дока- зать, что e x = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + . . . при всех x. 33. ⋆ Доказать, что ln(1+x) = x−x 2 /2+x 3 /3−x 4 /4 + . . . , если |x| < 1. (При x = 1 это тоже верно, как мы видели; при остальных x ряд расходится.) 34. ⋆ (Бином Ньютона с произвольным показателем) До- казать, что (1 + x) α = 1 + αx + α(α − 1) 2! x 2 + α(α − 1)(α − 2) 3! x 3 + . . . для любого (не обязательно целого) α, если |x| < 1. 35. ⋆ Функция f дифференцируема n раз на всей прямой и её n-я производная всюду равна нулю. Что можно сказать о функции f? 36. ⋆ Функция f дифференцируема на всей прямой; урав- нение f(x) = 0 имеет k решений. Доказать, что уравнение f ′ (x) = 0 имеет по крайней мере k − 1 решение. 37. ⋆ («Малочлены») Многочлен от одной переменной име- ет не более 100 ненулевых коэффициентов (но может вклю- чать сколь угодно большие степени). Доказать, что он имеет не более 1000 корней. 168 Задачи 1998 { 1999 года 38. ⋆ Доказать, что n-я производная функции x ↦→ e −1/x (рассматриваемой для положительных x) имеет предел 0 при x → 0. Контрольная работа 1. Даны два ряда с неотрицательными членами P a n и P b n . Верно ли, что (а) если оба они расходятся, то и ряд P min(a n , b n ) расходится; (б) если оба они сходятся, то и ряд P max(a n , b n ) сходится? 2. Тот же вопрос для рядов с монотонно убывающими членами. 3. Доказать, что для любого многоугольника на плос- кости существует прямая, делящая его на многоугольники равных площади и периметра. 4. В каких случаях будет непрерывна функция, опреде- ленная на множестве M = {1/n | n ∈ N}? 5. Верно ли, что всякая равномерно непрерывная на ин- тервале функция ограничена на нём? А на прямой? Найти пределы функций: 6. cos 5x/ cos 7x при x → π/2; 7. (x + 7) 3/2 − (x + 5) 3/2 при x → +∞. 8. x(ctg x) при x → 0. 9. Используя известные свойства показательной функции (a x+y = a x a y , a 0 = 1 , a 1 = a , непрерывность, монотон- ность), доказать, что (a x ) y = a xy при всех a > 0 и при всех x, y ∈ R. Многочлены с одной переменной Если многочлен содержит только одну переменную, его обычно записывают в порядке убывания степеней: a n x n + + a n−1 x n−1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 . Числа a n , . . . , a 0 назы- вают коэффициентами многочлена; при этом (если a n ̸= 0 ) число n называют степенью многочлена, a n | старшим ко- эффициентом, a 0 | свободным членом. 1. (а) Многочлен P(x) имеет степень 5, а многочлен Q(x) имеет степень 7. Что можно сказать про степени многочленов Задачи 1998 { 1999 года 169 P(x) + Q(x) и P(x)Q(x)? (б) Тот же вопрос, если степени обоих многочленов равны 7. 2. (а) Многочлены P(x) и Q(x) имеют старшие коэффи- циенты 5 и 7. Что можно сказать про старшие коэффициенты многочленов P(x) + Q(x) и P(x)Q(x)? (б) Многочлены P(x) и Q(x) имеют свободные члены 5 и 7. Что можно сказать про свободные члены многочленов P(x) + Q(x) и P(x)Q(x)? 3. Каждый из многочленов P(x) и Q(x) содержит по два (ненулевых) члена. Сколько ненулевых членов может быть в их произведении? Указать все варианты. Многочлен с одной переменной x обозначают P(x), Q(x) и т. п. Если подставить вместо переменной число a, то по- лучится число, которое обозначают P(a), Q(a) и т. п. Если P(a) = 0 , то a называют корнем многочлена P. 4. ⋆ (а) Число P(0) | свободный член многочлена P. За- писать аналогичным образом сумму коэффициентов много- члена P. (б) Сумма коэффициентов многочлена P(x) рав- на 5, а сумма коэффициентов многочлена Q(x) равна 7. Что можно сказать про сумму коэффициентов многочленов P(x) + Q(x) и P(x)Q(x)? 5. Произвольный многочлен P(x) умножили на x−1. Мо- гут ли у получившегося многочлена все коэффициенты быть положительны? 6. ⋆ У многочлена P(x) сумма коэффициентов при чёт- ных степенях равна сумме коэффициентов при нечётных сте- пенях. Многочлен Q(x) также обладает таким свойством. Можно ли утверждать, что это свойство выполнено для мно- гочленов P(x)+Q(x) и P(x)Q(x)? А если про коэффициенты многочлена Q ничего не известно? 7. ⋆ (а) Найти многочлен второй степени, имеющий корни 1 и 2. (б) Найти многочлен третьей степени, имеющий корни 1 , 2 и 3. 8. Числа a и b таковы, что многочлен P(x) = x 3 + ax 2 + + bx + 1 имеет корень 2. Найти один из корней многочлена x 3 + bx 2 + ax + 1 9. Доказать, что корни квадратного уравнения ax 2 +bx+ 170 Задачи 1998 { 1999 года + c = 0 при a ̸= 0 и c ̸= 0 можно найти по формуле x 12 = 2c −b ± √ b 2 − 4ac Применима ли эта формула, если одно из чисел a и c равно нулю? 10. ⋆ (а) Найти многочлен P(x), для которого P(n + 1) − − P(n) = n при всех n. Как с его помощью вычислить сумму 1 + 2 + 3 + . . . + n ? (б) Найти многочлен P(x), для которого P(x + 1) − P(x) = x 2 . (в) Вычислить сумму 1 2 + 2 2 + 3 2 + + . . . + n 2 11. Обозначим через P(Q(x)) многочлен, который полу- чится, если в P(x) вместо x подставить Q(x). (Например, ес- ли P(x) = x 2 , а Q(x) = x+1, то P(Q(x)) = (x+1) 2 = x 2 +2x+1 , а Q(P(x)) = x 2 + 1 . Каковы степени многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)), если степени многочленов P(x) и Q(x) равны m и n соответственно? 12. Многочлены P(x) и Q(x) имеют целые коэффици- енты, причём каждый из них имеет хотя бы один нечётный коэффициент. Доказать, что у произведения P(x)Q(x) также есть хотя бы один нечётный коэффициент. 13. ⋆ Найти коэффициенты при x 2 , x и 1 (свободный член) многочлена (. . . ((x − 2) 2 − 2) 2 − . . . − 2) 2 (10 скобок). 14. Доказать, что в произведении (1 − x + x 2 − x 3 + . . . + + x 10 )(1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x 10 ) после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется нечётных сте- пеней x. 15. Все коэффициенты многочлена | целые числа в диа- пазоне от −9 до 9. Доказать, что он не может иметь корня, большего 10. 16. ⋆ Многочлен P(x) принимает только неотрицательные значения. Доказать, что его степень чётна. Задачи 1998 { 1999 года 171 17. ⋆ Для произвольного многочлена P(x) рассмотрим по- следовательность P(0), P(1), P(2), . . . его значений в целых точках. P(x). Составим последовательность разностей, на- писав под каждыми двумя числами их разность (получится последовательность P(1) − P(0), P(2) − P(1), . . . ). Аналогич- ным образом составим последовательность вторых разностей и т. п. Доказать, что рано или поздно получится последова- тельность из одних нулей. 18. ⋆ (а) Доказать тождество P(x)−2P(x+1)+P(x+2) = 0. для любого многочлена P(x) первой степени. (б) Доказать тождество P(x) − 3P(x + 1) + 3P(x + 2) − P(x + 3) = 0 для любого многочлена P(x) степени не выше 2. (в) Сформули- ровать и доказать аналогичное тождество для многочленов больших степеней. Рациональные функции 1. Упростить выражение (x − b)(x − c) (a − b)(a − c) + (x − a)(x − c) (b − a)(b − c) + (x − a)(x − b) (c − a)(c − b) 2. Найти числа a и b, при которых (для всех x) 1 x 2 − 1 = a x − 1 + b x + 1 3. Найти числа a, b и c, при которых 1 x(x + 1)(x + 2) = a x + b x + 1 + c x + 2 4. ⋆ Найти числа a, b, c, d, при которых 1 x 2 − 3x + 2 = a x + b + c x + d 5. ⋆ Существуют ли числа a, b, c, d, при которых 1 x 2 + 1 = a x + b + c x + d 172 Задачи 1998 { 1999 года для всех x? 6. ⋆ Существуют ли числа a, b, c, d, e, f, при которых 1 x 3 + 1 = a x + b + c x + d + e x + f для всех x? 7. Найти сумму 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . . . + 1 99 · 100 8. Найти сумму 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + . . . + 1 98 · 99 · 100 9. Из числа x получают новое число f(x) по формуле f(x) = x/(x − 1) . Доказать, что двукратное применение этого правила возвращает к исходному числу: f(f(x)) = x. 10. Проверить, что при любом значении t точка с коор- динатами (2t/(t 2 +1), (t 2 −1)/(t 2 +1)) лежит на окружности единичного радиуса с центром в нуле. 11. ⋆ Как с помощью этих формул искать пифагоровы тре- угольники (прямоугольные треугольники с целыми сторона- ми) и рациональные точки на окружности? 12. ⋆ Какие тригонометрические формулы соответствуют утверждению задачи 10? Каков геометрический смысл пара- метра t? 13. Нарисовать график функции y = 1/x. (Он называется гиперболой.) 14. Нарисовать график функции y = 1/x 2 15. Нарисовать график функции y = 1/(x(x − 1)). 16. Нарисовать график функции y = x/(x − 1). 17. Нарисовать график функции y = 1/(x 2 + 1) 18. Нарисовать график функции y = 1/(x 2 − 1) 19. Нарисовать график функции y = (x 2 + 1)/x 20. Графики y = 1/x и y 2 − x 2 = 1 получаются друг из друга композицией поворота и гомотетии. Найти угол пово- рота и коэффициент гомотетии. Задачи 1998 { 1999 года 173 Функции вида f(x) = (ax + b)/(cx + d) (здесь a, b, c, и d | некоторые числа) называют дробно-линейными. 21. Доказать, что графики любых двух дробно-линейных функций подобны. В каком случае коэффициент подобия ра- вен 1? 22. Найти касательную к гиперболе y = 1/x, проходя- щую через точку ⟨2, 1/2⟩ (касательная | прямая, имеющая с гиперболой только одну общую точку). 23. ⋆ Имеет ли график y = x + 1/x оси симметрии? 24. ⋆ Описать все дробно-линейные функции, для которых f(f(x)) = x 25. ⋆ Существуют ли дробно-линейные функции f, для ко- торых f(f(f(x))) = x, за исключением функции f(x) = x? 26. Двойное отношение четырёх точек p, q, r, s на число- вой оси определяется как r − p r − q : s − p s − q (а) Как изменится двойное отношение, если переставить ка- кие-то две точки? (б) Доказать, что дробно-линейная функ- ция сохраняет двойное отношение: если f(x) = (ax+b)/(cx+ + d) , то двойное отношение точек p, q, r, s равно двойному отношению точек f(p), f(q), f(r), f(s) (в) На плоскости выбе- рем две прямые, на каждой произвольно фиксировано начало отсчёта и единица измерения. Выберем точку O, не лежащую на этих прямых, и для каждой точки X на первой прямой рассмотрим её проекцию Y на вторую прямую (точки O, X, Y лежат на одной прямой). Доказать, что координата точки Y является дробно-линейной функцией координаты точки X. (г) Из двух предыдущих утверждений вытекает, что двой- ное отношение четырёх точек на прямой сохраняется при центральной проекции. Как доказать это геометрически? Деление с остатком Рассмотрим рациональные дроби с одной переменной, то есть отношения многочленов P(x)/Q(x). Как и обычные дро- би, они делятся на «правильные» и «неправильные». Правиль- 174 Задачи 1998 { 1999 года ными считаются те, у которых степень числителя меньше степени знаменателя, неправильными | остальные. Неправильную дробь можно преобразовать в сумму мно- гочлена и правильной дроби. Например, x 2 x − 1 = x 2 − 1 x − 1 + 1 x − 1 = x + 1 + 1 x − 1 1. Выполнить такое преобразование для дроби x 2 /(x−2) 2. . . . для дроби x 3 /(x − 1) 3. . . . для дроби x 4 /(x − 1) 4. . . . для дроби x 4 /(x + 1) 5. . . . для дроби x 4 /(x + 2) 6. . . . для дроби x 3 /(x 2 − 1) 7. . . . для дроби x 3 /(x 2 + x) 8. . . . для дроби x 3 /(2x + 3) 9. . . . для дроби x 10 /(x + 2) 10. . . . для дроби x 10 /(x 2 + 2) 11. Записать решения задач 1 { 10 в виде «деления угол- ком», следуя такому образцу: x 2 x − 2 x 2 − 2x x + 2 2x 2x − 4 4 Если дробь P(x)/D(x) представлена в виде суммы мно- гочлена и правильной дроби, P(x) D(x) = Q(x) + R(x) D(x) , то Q(x) называют частным от деления P(x) на D(x), а R(x) | остатком. При этом выполняются такие свойства: во-первых, P(x) = D(x)Q(x) + R(x) ; во-вторых, степень R(x) меньше степени D(x) или R(x) = 0. |