Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
12. Степень делимого равна 100, степень делителя рав- на 43. Какими могут быть степени частного и остатка? Задачи 1998 { 1999 года 175 13. Как изменятся частное и остаток, если делимое и делитель умножить на (x − 1)? 14. ⋆ Доказать, что деление многочленов с остатком всегда выполнимо, и притом единственным образом. 15. Какой остаток получится, если делить x 1000 − 1 на x 17 − 1 ? 16. Многочлен P(x) даёт остаток x + 7 при делении на x 2 − 1 . Какой остаток даст он при делении на x + 1? 17. При каких n и k многочлен x n − 1 делится на мно- гочлен x k − 1 без остатка? 18. Найти остаток от деления (x 2 + x + 1) 100 на x 2 + 1 19. Найти остаток от деления x 57 на x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 20. Придумать многочлен, который при делении на x 2 +1 даёт остаток x+1, а при делении на x 2 +2 даёт остаток x−1. 21. (а) Все коэффициенты делимого и делителя | це- лые. Можно ли утверждать, что все коэффициенты частно- го и остатка | целые? (б) Все коэффициенты делимого и делителя | рациональные. Можно ли утверждать, что все коэффициенты частного и остатка | рациональные? 22. При делении многочлена P(x) на x 2 − 1 был полу- чен остаток x + 1, а при делении многочлена Q(x) | оста- ток x − 1. Какой остаток будет при делении многочленов P(x) + Q(x) и P(x)Q(x) при делении на x 2 − 1 ? 23. ⋆ При делении многочлена P(x) на x 2 + 1 получился остаток a+bx (здесь a и b | некоторые числа); при делении Q(x) получился остаток c + dx. Какой остаток будет при делении на x 2 + 1 многочленов P(x)+Q(x) и P(x)Q(x)? Что напоминают вам эти формулы? 24. ⋆ Делится ли многочлен x 100 + 3x 70 − 5 на многочлен x 5 + x 3 − 2 без остатка? Корни и множители 1. Доказать, что остаток при делении многочлена P(x) на двучлен x − a (где a | некоторое число), равен P(a). 2. ⋆ Как вычислить значение многочлена степени n с за- данными коэффициентами в заданной точке x, сделав не бо- лее n операций умножения? 176 Задачи 1998 { 1999 года 3. Доказать, что многочлен P(x) делится нацело на дву- член x − a (здесь a | некоторое число) в том и только том случае, когда a | корень многочлена P, то есть когда P(a) = 0 4. Известно, что числа a и b являются корнями много- члена P(x), причём a ̸= b. Доказать, что P(x) делится на (x − a)(x − b) 5. Доказать, что многочлен степени n не может иметь более n различных корней. 6. Известно, что многочлен P(x) даёт при делении на (x − 1) остаток 3, а при делении на (x + 1) | остаток 5. Найти остаток от деления P(x) на (x 2 − 1) 7. Найти числа a и b, если известно, что многочлен x 100 + + x 99 + ax + b делится на x 2 − 1 8. (а) График многочлена P(x) симметричен относитель- но оси ординат. Доказать, что многочлен P(x) не содер- жит нечётных степеней (коэффициенты при них равны 0). (б) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для многочленов, не содержащих чётных степеней. 9. Какое максимальное число точек пересечения могут иметь графики y = P(x) и y = Q(x), если степени много- членов P и Q равны соответственно p и q? 10. ⋆ Какое максимальное число точек пересечения могут иметь графики y = P(x) и x = Q(y), если степени много- членов P и Q равны соответственно p и q? 11. Найти многочлен степени 3, если известно, что он имеет корни 1 и 2, а старший коэффициент и свободный член равны 1. 12. ⋆ Доказать, что не существует (не равного тождествен- но нулю) многочлена от двух переменных P(x, y), для кото- рого P(t, sin t) = 0 при всех t. 13. Доказать, что через любые три точки с различны- ми абсциссами проходит единственный график квадратного трёхчлена (функции вида y = ax 2 +bx+c ; возможно, a = 0). 14. ⋆ Многочлен с действительными коэффициентами име- ет комплексный корень 1 + i. Доказать, что он делится на многочлен x 2 − 2x + 2 Задачи 1998 { 1999 года 177 15. Доказать, что многочлены x 5 + 5x + 2 и x 5 + 3x − 3 не имеют общих корней. 16. ⋆ Многочлены x 4 + 4x 3 − x 2 − 2x − 5 и x 4 + 5x 3 + 3x 2 − − 4x − 10 имеют общий корень. Найти его. Говорят, что число a является для многочлена P(x) кор- нем кратности не менее k, если P(x) делится на (x − a) k Максимальное такое k называют кратностью корня. 17. Доказать, что если для многочлена P(x) число α является корнем кратности не менее 2, а число β является корнем (α ̸= β), то P(x) делится без остатка на (x−α) 2 (x−β) (Решение этой и следующей задач упрощается, если пользо- ваться однозначностью разложения на множители для мно- гочленов, но можно без этого обойтись.) 18. ⋆ Доказать, что если для многочлена P(x) число α является корнем кратности не менее k, а число β является корнем кратности не менее l (α ̸= β), то P(x) делится на (x − α) k (x − β) l 19. ⋆ Доказать, что число корней многочлена, если ка- ждый считать столько раз, какова его кратность, не превос- ходит степени многочлена. 20. Многочлен P(x) = x 2 + px + q имеет два различных корня α и β. (а) Выразить p и q через эти корни (формулы Виета для квадратного трёхчлена). (б) Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа α 2 и β 2 21. Многочлен P(x) = x 3 +px 2 +qx+r имеет три различ- ных корня α, β и γ. (а) Выразить p, q и r через эти корни (формулы Виета). (б) Выразить α 2 + β 2 + γ 2 через p, q и r. (в) Составить кубическое уравнение, корнями которого были бы числа α 2 , β 2 и γ 2 22. Прямая пересекает график y = x 3 в трёх точках. Две из них имеют абсциссы a и b. Найти абсциссу третьей точки. (Как сделать это с помощью формул Виета?) 23. ⋆ Кубическое уравнение x 3 +px 2 +qx+r = 0 с целыми коэффициентами имеет три корня α, β и γ. Доказать, что число α n + β n + γ n | целое при любом n = 1, 2, 3, . . . 24. ⋆ Как выглядят формулы Виета для многочленов выс- ших степеней? 178 Задачи 1998 { 1999 года 25. ⋆ Как выглядят формулы Виета для многочленов с кратными корнями? 26. ⋆ Найти сумму и произведение всех комплексных кор- ней уравнения z n = 1 с помощью формул Виета. 27. Доказать, что произведение расстояний от точки до вершин правильного n-угольника не изменится, если повер- нуть n-угольник вокруг центра. 28. ⋆ Вычислить произведение cos 0·cos(π/n)·cos(2π/n)·. . .·cos((n−1)π/n)·cos((nπ)/n). 29. Остатки от деления многочлена P(x) на (x−a), (x−b) и (x − c) равны соответственно a 2 , b 2 и c 2 . Найти остаток от деления этого многочлена на (x − a)(x − b)(x − c). 30. Доказать, что любой многочлен степени не выше 3 однозначно представляется в виде a + b(x − 1) + c(x − 1) 2 + + d(x − 1) 3 31. Доказать, что любой многочлен степени не выше 3 од- нозначно представляется в виде a+b(x−1)+c(x−1)(x−2)+ + d(x − 1)(x − 2)(x − 3) 32. (а) Указать многочлен P(x), для которого P(1) = = P(2) = P(3) = 0 и P(4) = 1. Какова наименьшая возмож- ная степень такого многочлена? (б) Доказать, что для любых чисел a, b, c, d можно найти многочлен степени не выше 3, для которого P(0) = a, P(1) = b, P(2) = c и P(3) = d. 33. Пусть x 1 , . . . , x n | различные числа. Доказать, что для любых чисел y 1 , . . . , y n существует единственный мно- гочлен P(x) степени меньше n, для которого P(x 1 ) = y 1 , P(x 2 ) = y 2 , . . . , P(x n ) = y n Многочлены и целые числа 1. Многочлен P(x) с целыми коэффициентами имеет це- лый корень a. Доказать, что его свободный член делится на a 2. ⋆ Многочлен P(x) с целыми коэффициентами имеет два целых корня a и b. Доказать, что его свободный член де- лится на ab. Задачи 1998 { 1999 года 179 3. Существует ли многочлен P(x) с целыми коэффициен- тами, для которого P(7) = 5, а P(11) = 7? 4. Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1, не имеет рациональ- ных, но не целых корней. 5. (а) Доказать, что квадратный корень из целого числа либо целый, либо иррациональный. (б) Тот же вопрос для корня произвольной целой положительной степени. 6. Решить уравнение x 3 + 6x 2 + 11x + 6 = 0 . (Указание: оно имеет целый корень.) 7. Несократимая дробь α = p/q является корнем мно- гочлена P(x) с целыми коэффициентами. Доказать, что p является делителем его свободного члена, а q | делителем старшего коэффициента. 8. ⋆ (Продолжение) Доказать, что многочлен P(x) в этом случае можно представить в виде P(x) = (qx − p)R(x), где R(x) | многочлен с целыми коэффициентами. 9. (а) Указать многочлен с целыми коэффициентами, ко- торый имеет корень √ 2+ √ 3 . (б) Доказать, что число √ 2+ √ 3 иррационально. 10. ⋆ Доказать, что число √ 2 + 3 √ 2 иррационально. 11. Доказать, что если число 2 + √ 3 является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то число 2− √ 3 также является его корнем, и многочлен P(x) делится без остатка на многочлен x 2 − 4x + 1 12. ⋆ Доказать, что если число 3 √ 2 является корнем много- члена с целыми коэффициентами, то этот многочлен делится без остатка на многочлен x 3 − 2 13. (а) Известно, что многочлен P(x) принимает целые значения при всех целых x. Можно ли утверждать, что он имеет целые коэффициенты? (б) При каких a, b и c ква- дратный трёхчлен ax 2 + bx + c принимает целые значения при всех целых x? 14. ⋆ (а) Дано целое k > 0. Указать многочлен P(x) наи- меньшей степени, для которого P(1)=P(2)= . . . =P(k−1)=0, а P(k) = 1. (б) Как связан этот многочлен (будем обозначать его P k (x) ) с биномиальными коэффициентами? (в) Доказать, 180 Задачи 1998 { 1999 года что многочлен P k (x) принимает целые значения во всех це- лых точках. (г) Пусть Q(x) | произвольный многочлен, ко- торый принимает целые значения во всех целых точках. До- казать, что его можно представить в виде c 0 +c 1 P 1 (x)+. . .+c k P k (x) при некотором k и некоторых целых c 1 , . . . , c k Многочлены и комплексные числа 1. Указать многочлен с действительными коэффициента- ми, имеющий комплексный корень 3 + 4i. 2. Доказать, что если комплексное число z является кор- нем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряжённое число z также является его корнем, причём той же кратности. 3. (а) Найти многочлен второй степени с корнями 2 + i и 3 − i (коэффициенты могут быть комплексными). (б) Най- ти многочлен с действительными коэффициентами, имеющий два указанных корня (и, возможно, другие корни). 4. Верна ли формула для корней квадратного уравнения, если коэффициенты являются комплексными числами? Основная теорема алгебры утверждает, что всякий мно- гочлен с комплексными коэффициентами, не являющийся константой, разлагается на линейные множители. 5. Доказать, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение множителей пер- вой или второй степени с действительными коэффициен- тами. 6. Указать это разложение для многочленов x 4 + 1 и x 6 − x 7. Доказать, что многочлен нечётной степени с веще- ственными коэффициентами имеет вещественный корень. 8. Найти многочлен наименьшей степени с вещественны- ми коэффициентами, имеющий корни 1 − i, 3 + i и 2. 9. ⋆ Доказать, что если многочлен с целыми коэффициен- тами имеет корень a+bi (a и b | целые), то его свободный член делится на a 2 + b 2 10. Доказать, что значение квадратного трёхчлена (с ком- плексными коэффициентами) в центре правильного треуголь- Задачи 1998 { 1999 года 181 ника на комплексной плоскости равно среднему арифмети- ческому его значений в вершинах треугольника. 11. ⋆ Сформулировать и доказать аналогичное утвержде- ние для многочленов произвольной степени. 12. ⋆ Многочлен P(x) с действительными коэффициентами неотрицателен при всех действительных значениях x. Дока- зать, что его можно представить в виде суммы квадратов не- скольких многочленов с действительными коэффициентами. Контрольная работа 1. (Лемма Гаусса) В произведении двух многочленов с целыми коэффициентами все коэффициенты делятся на про- стое число p. Доказать, что все коэффициенты одного из исходных многочленов тоже делятся на p. 2. Многочлен x 3 + 2x 2 + 3x + 5 имеет корни x 1 , x 2 , x 3 Найти коэффициенты многочлена третьей степени со стар- шим коэффициентом 1 и корнями x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 1 + x 3 3. (а) Доказать, что существует единственный многочлен P n (x) , для которого cos nx = P n (cosx) при всех x. (б) Найти его старший коэффициент и свободный член. 4. Разложить на множители многочлены (а) x 3 +x 2 +x+1 ; (б) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 5. Многочлен с целыми коэффициентами равен единице в трех различных целых точках. Доказать, что он не имеет целых корней. 6. Найти все рациональные корни многочлена 6x 5 − x 4 − − 6x 3 + 5x 2 − 13x − 12 7. Какие многочлены представимы в виде P(x)(x 2 − 1) + + Q(x)(x 2 + x) ? 8. (а) Любой действительный корень многочлена P явля- ется корнем многочлена Q. Следует ли из этого, что P де- лит Q? (б) Любой комплексный корень многочлена P явля- ется корнем многочлена Q. Следует ли из этого, что P делит Q ? 182 Задачи 1998 { 1999 года Перестановки Перестановкой чисел 1, 2, . . . , n называется взаимно од- нозначное отображение множества {1, 2, . . . , n} на себя. Пе- рестановки записывают в виде таблиц; например, переста- новка 1 ↦→ 3, 2 ↦→ 4, 3 ↦→ 1, 4 ↦→ 2 записывается как σ = (︂1 2 3 4 3 4 1 2 )︂ ; В верхней строке числа обычно распо- лагают в порядке возрастания; под ними пишутся их образы, так что произвольная перестановка σ чисел 1, 2, . . . , n запи- шется как σ = (︂ 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) )︂ Произведение перестановок определяется как компози- ция отображений: (στ)(i) = σ(τ(i)). Перестановки σ и τ ком- мутируют, если στ = τσ. Единичная перестановка (обозна- чается id) | это тождественное отображение, при котором все элементы остаются на месте. Обратная к перестановке σ перестановка определяется соотношением σσ −1 = σ −1 σ = id. 1. Найти произведение (︂1 2 3 4 5 4 5 2 1 3 )︂ ∘ (︂1 2 3 4 5 3 5 4 1 2 )︂ 2. Указать две некоммутирующие перестановки. 3. (а) Сколько существует перестановок чисел 1, 2, . . . , 5? Сколько из них оставляют число 1 на месте? (б) Сколько из них переводят 1 в 5? (в) Для скольких из них σ(1) < σ(2)? (г) Для скольких из них σ(1) < σ(2) < σ(3)? 4. ⋆ (Продолжение) Для скольких их них выполнено ра- венство (а) σ 2 = id? (б) σ = σ −1 ? (в) σ 2 = σ −1 ? 5. ⋆ Пусть имеется некоторая последовательность поворо- тов граней кубика Рубика. Доказать, что, повторяя ее доста- точно много раз, мы рано или поздно вернёмся к исходному положению. 6. ⋆ Программа кодирует текст на русском языке, заменяя (взаимно-однозначно) каждую букву на некоторую другую. Вася говорит, что не нуждается в программе декодирования, поскольку вместо этого можно применить программу коди- рования несколько раз. Прав ли он? Задачи 1998 { 1999 года 183 7. ⋆ Доказать, что любая перестановка имеет конечный по- рядок: применяя её много раз, мы когда-нибудь получим то- ждественную перестановку. 8. Найти все возможные порядки перестановок множества из 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 элементов (порядок | это минимальное число применений перестановки, которое даёт тождествен- ную перестановку). Перестановку, при которой a 1 ↦ → a 2 ↦ → a 3 ↦ → . . . ↦→ ↦ →a k−1 ↦ →a k ↦ →a 1 (а остальные элементы остаются на месте), называют циклом длины k и обозначают (a 1 , a 2 , . . . , a k ) Циклы длины 2 называют транспозициями. 9. Пусть σ = (123), τ = (34). Чему равно τστ −1 ? 10. Два цикла (a 1 , a 2 , . . . , a k ) и (b 1 , b 2 , . . . , b m ) ком- мутируют, если они не пересекаются (среди a 1 , . . . , a k и b 1 , . . . , b m нет общих элементов). Указать другой пример коммутирующих циклов. 11. ⋆ Описать все случаи, в которых циклы коммутируют. 12. (а) Доказать, что каждая перестановка представима в виде произведения попарно непересекающихся циклов, при- чем единственным (с точностью до порядка циклов) обра- зом. (б) Найти это разложение для перестановок из задачи 1. (в) Как, используя это, решить задачу 7? 13. Сколько различных перестановок встречается среди степеней перестановки (12345)(678)? 14. Доказать, что порядок любой перестановки n элемен- тов делит n!. Может ли он быть равен (n!)? 15. ⋆ Сколько существует перестановок чисел 1, . . . , 8, ко- торые представляются в виде произведения непересекающих- ся циклов длины 5 и длины 3? 16. ⋆ На книжной полке в беспорядке стоит собрание сочи- нений из n томов. За один шаг разрешается обменять любые два тома местами. Доказать, что за n − 1 шагов всегда мож- но восстановить порядок. Можно ли это сделать (и сколько шагов может потребоваться), если разрешается менять места- ми только соседние (стоящие рядом на полке) тома? только тома с соседними (отличающимися на 1) номерами? 184 Задачи 1998 { 1999 года 17. ⋆ (Продолжение) Доказать, что начав с какой-то рас- становки книг, можно вернуться к исходному положению лишь после чётного числа обменов. 18. Доказать, что каждая перестановка представима в ви- де произведения транспозиций. 19. (Продолжение) Доказать, что в предыдущей задаче можно обойтись только транспозициями (1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n) 20. (а) Доказать, что произведение нечётного числа транс- позиций не может быть единичной перестановкой. (б) Дока- зать, что все перестановки делятся на два типа: одни пред- ставимы в виде произведения чётного числа транспозиций, но не в виде произведения нечётного числа транспозиций (они называются чётными), другие | наоборот (они называются нечётными). 21. Назовём беспорядком в перестановке σ пару (i, j), для которой i < j, но σ(i) > σ(j). Доказать, что чётность перестановки определяется чётностью числа беспорядков. 22. ⋆ Что произойдёт с многочленом (x 2 − x 1 )(x 3 − x 2 ) . . . (x n − x 1 ) . . . (x n − x n−1 ) (произведение (x j − x i ) по всем j > i), если в нём поменять местами x 1 и x 2 ? сделать циклическую замену x 1 →x 2 → . . . → → x n → x 1 |