Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
18. Чему равно число В + Г − Р для многогранного бублика? 19. Мы хотим раскрасить грани многогранника в два цвета так, чтобы соседние грани были разного цвета. Для каких из известных вам многогранников это возможно, а для каких нет? Когда вооб- ще это возможно? (Критерий придумать просто, строго доказать труднее.) 20. Мы хотим раскрасить вершины многогранника с треуголь- ными гранями в три цвета так, чтобы соседние вершины (концы любого ребра) были разного цвета. Для каких из известных вам многогранников это возможно, а для каких нет? Когда вообще это возможно? (Критерий придумать просто, строго доказать труднее.) 21. Гористый остров в море имеет несколько вершин (во все стороны спуск), котловин (во все стороны подъём) и перевалов (в одном направлении спуск, в другом подъём). Как выглядят верши- ны, котловины и перевалы на карте, где проведены «горизонтали» (линии равной высоты)? Для числа вершин, котловин и перевалов Задачи 1999 { 2000 года 205 есть формула, аналогичная формуле Эйлера. Что это за формула? Как вывести из неё формулу Эйлера? Выпуклые функции Функция f, определённая на промежутке (отрезке, ин- тервале, луче, всей прямой) и принимающая действительные значения, называется выпуклой вниз, если её график на лю- бом отрезке [a, b], входящем в область определения, лежит не выше хорды (a, f(a)) { (b, f(b)). Аналогично определяет- ся понятие выпуклости вверх. 1. Какие из изображённых на графиках функций (см. рис. 26) являются выпуклыми вниз (вверх)? Рис. 26 2. Разбить области определения функций из предыдущей задачи на участки так, чтобы на каждом участке функция была выпукла вверх или вниз. 3. Функция f выпукла вниз. Доказать, что для любых чи- сел a и b из её области определения выполнено неравенство f((a + b)/2) 6 (f(a) + f(b))/2. (Указание: каков геометри- ческий смысл этого неравенства?) 4. (Продолжение) Тот же вопрос для неравенства f (︀ 1 3 a + 2 3 b )︀ 6 1 3 f(a) + 2 3 f(b). 5. (Продолжение) Сформулировать и доказать аналогич- ное утверждение для f(αx + βy) при α, β > 0 и α + β = 1. 206 Задачи 1999 { 2000 года 6. (Продолжение) Доказать, что неравенство предыду- щей задачи можно считать (эквивалентным) определением выпуклости. 7. ⋆ Доказать, что всякая выпуклая (вниз или вверх) функ- ция, определённая на интервале, непрерывна во всех точках этого интервала. Верно ли аналогичное утверждение для от- резка? 8. Будем называть (средней) скоростью изменения функ- ции f на отрезке [a, b] отношение (f(b)−f(a))/(b−a). (Гео- метрический смысл: угловой коэффициент хорды.) Пусть функ- ция f выпукла вниз и определена в точках a, b, c, причём a 6 b 6 c. Показать, что скорость изменения f на отрез- ке [a, b] не больше скорости изменения f на отрезке [b, c]. (Указание: скорость изменения на отрезке [a, c] находится между ними.) 9. Показать, что утверждение предыдущей задачи можно считать (эквивалентным) определением выпуклости. 10. Доказать, что функция x ↦→ x 2 выпукла вниз. (Ука- зание: удобно воспользоваться предыдущей задачей.) 11. ⋆ (а) Функция f выпукла вниз и всюду положительна. Можно ли утверждать, что функция x ↦→ (f(x)) 2 выпукла вниз? (б) Можно ли утверждать, что эта функция выпукла вверх, если f выпукла вверх? 12. ⋆ Доказать, что композиция двух выпуклых вниз [вверх] возрастающих функций выпукла вниз [вверх]. 13. В последовательности a 0 , a 1 , a 2 , a 3 каждый член (кроме крайних) не больше среднего арифметического двух соседей. Доказать, что a 2 6 2 3 a 3 + 1 3 a 0 14. В последовательности a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n каждый член (кроме крайних) не больше среднего арифметического двух соседей. Доказать, что если крайние члены равны нулю, то все промежуточные отрицательны или равны нулю. 15. ⋆ Функция f определена на некотором промежутке, и при этом f((x + y)/2) 6 1 2 (f(x) + f(y)) для любых x и y. До- казать, что (а) f( 1 3 x + 2 3 y) 6 1 3 f(x) + 2 3 f(y) ; (б) f(αx+βy) 6 6 αf(x) + βf(y) при любых рациональных α, β > 0, для Задачи 1999 { 2000 года 207 которых α + β = 1. (в) Показать, что если f к тому же непрерывна, то она выпукла вниз. (Для разрывных функ- ций это может быть неверно; довольно экзотический пример строится с помощью так называемого «базиса Гамеля».) 16. Доказать, что если выпуклая вниз функция диффе- ренцируема, то её производная является неубывающей функ- цией. (Указание: если a < b, то f ′ (a) и f ′ (b) разделены средней скоростью изменения функции на [a, b].) 17. Доказать, что если функция f дифференцируема и f ′ является неубывающей функцией, то f выпукла вниз. (Ука- зание: по теореме Лагранжа средняя скорость изменения есть производная в промежуточной точке.) 18. Доказать, что для дважды дифференцируемых функ- ций выпуклость вниз [вверх] равносильна неотрицательности [неположительности] второй производной. (Мнемоническое правило: если в график можно залить воду, вторая произ- водная имеет знак плюс, если нельзя | минус.) 19. На каких отрезках выпуклы вниз и вверх функции (а) e x ; (б) x n ; (в) ln x; (г) sin x; (д) tg x? Нарисовать их графики. 20. Показать, что график дифференцируемой выпуклой вниз функции лежит выше любой касательной к нему. (Ука- зание: касательная в точке (a, f(a)) к графику функции f имеет угловой коэффициент f ′ (a) .) 21. Показать, что требование предыдущей задачи (график лежит выше касательной) можно считать (равносильным) определением выпуклости для дифференцируемых функций. 22. Доказать с помощью предыдущих задач неравенства e x > 1 + x и ln x 6 x − 1. 23. Известно, что в любой окрестности точки a график дважды дифференцируемой функции f лежит по обе стороны от касательной. (Такие точки называют точками перегиба.) Доказать, что f ′′ (a) = 0 24. Функция f выпукла вниз. Доказать, что f(︀ 1 3 x + 1 3 y + + 1 3 z )︀ 6 1 3 f(x) + 1 3 f(y) + 1 3 f(z) для любых точек x, y, z. 25. ⋆ Обобщить утверждение предыдущей задачи на слу- 208 Задачи 1999 { 2000 года чай n точек и не обязательно равных коэффициентов. Линейные операторы Отображение ϕ векторного пространства V в векторное пространство W называется линейным, если 1) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) для любых векторов x, y ∈ V; 2) ϕ(λx) = λϕ(x) для любого вектора x ∈ V и для лю- бого числа λ. Линейные отображения называют также линейными опера- торами. 1. (а) Доказать, что линейное отображение переводит ну- левой вектор в нулевой. (б) Может ли линейное отображе- ние перевести линейно независимые векторы в зависимые? (в) Может ли линейное отображение перевести линейно за- висимые векторы в независимые? 2. (а) Ядром линейного оператора называют множество всех векторов, которые он отображает в нуль. Доказать, что ядро оператора ϕ: V → W является подпространством про- странства V. Оно обозначается Ker ϕ. (б) Доказать, что опе- ратор ϕ имеет нулевое ядро тогда и только тогда, когда он является вложением (переводит разные векторы в разные). (в) Образом линейного оператора ϕ: V → W называется множество всех его значений. Доказать, что образ является подпространством пространства W. 3. (а) Доказать, что сумма двух линейных операторов ϕ, ψ : V → W является линейным оператором. (б) Пусть ϕ : U → V и ψ: V → W | линейные операторы. Дока- зать, что их композиция ψϕ: U → W, определяемая фор- мулой ψϕ(x) = ψ(ϕ(x)), является линейным оператором. Что можно сказать про ядро и образ этого оператора? (Его называют также произведением операторов ψ и ϕ.) 4. (а) Линейный оператор ϕ: V → W, являющийся вза- имно однозначным соответствием между V и W, называют изоморфизмом. Доказать, что обратное отображение также является изоморфизмом. (б) Доказать, что при изоморфиз- ме базис переходит в базис. (Следствие: пространства имеют Задачи 1999 { 2000 года 209 одинаковую размерность.) (в) Два пространства, между ко- торыми можно установить изоморфизм, называют изоморф- ными. Доказать, что пространства одинаковой размерности изоморфны. (Указание: выбираем базисы и сохраняем коор- динаты.) 5. (а) Пусть ϕ: V→W | некоторый линейный опера- тор, w 1 , . . . , w k | базис пространства Im ϕ, а v 1 , . . . , v l | базис пространства Ker ϕ. Доказать, что векторы v 1 , . . . , v l вместе с любыми прообразами векторов w 1 , . . . , w k образуют базис пространства V. (б) Вывести отсюда, что dim Ker ϕ + + dim Im ϕ = dim V. 6. Рассмотрим оператор D дифференцирования в про- странстве многочленов степени не больше n. Каковы его ядро и образ? Тот же вопрос для его степени D k (k-кратного дифференцирования). Элементами пространства R n являются наборы из n чи- сел, которые записывают как строки (x 1 , . . . , x n ) или как столбцы ⎛ ⎜ ⎝ x 1 x n ⎞ ⎟ ⎠ . При n = 1 элементы R n | это числа, при n = 2 | точки координатной плоскости, при n = 3 | точки пространства и т. п. 7. (а) Найти общий вид линейного оператора из R в R 2 и из R 2 в R. (Указание: такие операторы задаются парой чи- сел.) (б) Линейный оператор ϕ: R 2 → R 2 отображает векто- ры (︂1 0 )︂ и (︂0 1 )︂ в векторы (︂a b )︂ и (︂ c d )︂ . В этом случае таблица (︂a c b d )︂ называется матрицей оператора ϕ. Найти образ про- извольного вектора (︂x y )︂ для оператора с такой матрицей. 8. (а) Доказать, что поворот координатной плоскости во- круг нуля на произвольный угол ϕ является линейным опе- ратором, и найти его матрицу. (б) Доказать, что симметрия координатной плоскости относительно прямой, проходящей через нуль, является линейным оператором. Найти его ма- трицу для симметрий относительно осей координат и пря- 210 Задачи 1999 { 2000 года мой y = x. 9. Отождествляя R 2 с комплексной плоскостью, найти матрицу оператора z ↦→ (a + bi)z, где a + bi | фиксирован- ное комплексное число. 10. Операторы ϕ, ψ: R 2 → R 2 имеют матрицы (︂a b c d )︂ и (︂p q r s )︂ соответственно. Найти матрицу их композиции ϕψ. 11. ⋆ Как получить формулы для косинуса и синуса сум- мы, используя предыдущие задачи? 12. При каких a, b, c, d оператор с матрицей (︂a b c d )︂ явля- ется обратимым? Найти формулу для обратной матрицы (ма- трицы обратного оператора). 13. (а) Оператор ϕ: R 2 → R 2 имеет матрицу (︂1 1 0 1 )︂ Найти матрицу оператора ϕ n (композиции, или произведе- ния, n экземпляров оператора ϕ). (б) Тот же вопрос для оператора с матрицей (︂0 1 1 0 )︂ . (в) Тот же вопрос для опе- ратора с матрицей (︂0 1 1 1 )︂ . (Указание: в ответ входят числа Фибоначчи.) 14. ⋆ Существует ли оператор ϕ: R 2 → R 2 , для которого ϕ 2 = 0 , но ϕ ̸= 0? 15. ⋆ Существует ли оператор ϕ: R 2 → R 2 , для которого ϕ 3 = 0 , но ϕ 2 ̸= 0 ? 16. ⋆ Описать все операторы ϕ: R 2 → R 2 , для которых ϕ 2 = ϕ 17. Доказать, что при линейном отображении координат- ной плоскости в себя прямые переходят в прямые. 18. ⋆ Имеется линейка-рейсшина, позволяющая проводить прямую через данные две точки, а также проводить пря- мую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой. (а) Можно ли с её помощью разделить отрезок на три равные части? (б) Можно ли с её помощью разделить угол пополам? 19. ⋆ Взаимно однозначное отображение плоскости на себя Задачи 1999 { 2000 года 211 переводит прямые в прямые и оставляет на месте начало ко- ординат. Доказать, что оно является линейным оператором. 20. ⋆ Доказать, что образ окружности при линейном пре- образовании координатной плоскости имеет ось симметрии. Метрические пространства Пусть M | некоторое множество, элементы которого бу- дем называть точками. Говорят, что M является метриче- ским пространством, если для каждой пары точек x, y ∈ M определено расстояние ρ(x, y), причём: 1) ρ(x, x) = 0 и ρ(x, y) > 0 при x ̸= y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) при всех x, y; 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) при всех x, y, z (неравенство треугольника). 1. Доказать, что R n становится метрическим простран- ством, если положить (а) ρ(⟨x 1 , . . . , x n ⟩, ⟨y 1 , . . . , y n ⟩) = max i=1,...,n ( |x i − y i |); (б) ρ(⟨x 1 , . . . , x n ⟩, ⟨y 1 , . . . , y n ⟩)= |x 1 − y 1 | + . . . + |x n − y n |. 2. ⋆ Та же задача для евклидова расстояния ρ( ⟨x 1 , . . . , x n ⟩, ⟨y 1 , . . . , y n ⟩)= √︁ |x 1 −y 1 | 2 + . . . + |x n −y n | 2 3. ⋆ При каких p > 0 формула ρ( ⟨x 1 , . . . , x n ⟩, ⟨y 1 , . . . , y n ⟩)= (︀ |x 1 −y 1 | p +. . .+ |x n −y n | p )︀ 1/p задаёт расстояние в R n ? 4. ⋆ (а) Образуют ли метрическое пространство прямые (в трёхмерном пространстве), проходящие через данную точ- ку, если расстоянием считать угол между прямыми (меньший из двух, не превосходящий π/2)? (б) Тот же вопрос для плоскостей, проходящих через данную точку. Открытым шаром радиуса r > 0 с центром в точке x ме- трического пространства M называется множество всех то- чек y, для которых ρ(x, y) < r. (Неравенство ρ(x, y) 6 r задаёт замкнутый шар.) 5. (а) Два открытых шара радиуса 1/2 в некотором ме- трическом пространстве пересекаются. Можно ли утверждать, 212 Задачи 1999 { 2000 года что расстояние между их центрами меньше 1? (б) Верно ли обратное? 6. Два шара, радиусы которых отличаются в два раза, пе- ресекаются. Доказать, что если увеличить их радиусы втрое (не меняя центров), то один из шаров будет лежать в другом. 7. ⋆ Может ли шар большего радиуса лежать внутри шара меньшего радиуса и не совпадать с ним? 8. Доказать, что функция ρ(x, y), равная нулю при x = y и единице при x ̸= y, превращает любое множество M в метрическое пространство. (Такая метрика называется дис- кретной.) 9. Пусть M | произвольное метрическое пространство с метрикой ρ. Показать, что функция ρ ′ (x, y) = min(ρ(x, y), 1) также является метрикой (расстоянием). 10. Пусть M | множество всех многоугольников на плос- кости. Будет ли функция ρ(T 1 , T 2 ) , равная площади симме- трической разности T 1 и T 2 , метрикой на этом множестве? 11. Определим расстояние между двумя последователь- ностями из n нулей и единиц как число мест, в которых они отличаются. Например, ρ(00111, 10101) = 2. (а) Доказать, что эта функция задаёт метрику на множестве B n после- довательностей нулей и единиц длины n. Она называется метрикой Хэмминга. (б) Сколько элементов содержит (за- мкнутый) шар радиуса 1 в метрике Хэмминга? (в) Тот же вопрос для шара радиуса 2. 12. ⋆ Можно ли указать 100 последовательностей нулей и единиц длины 10, любые две из которых отличались бы по крайней мере в трёх позициях? 13. ⋆ Рассмотрим множество бесконечных последователь- ностей натуральных чисел и определим на нём расстояние ρ( ⟨x 0 , x 1 , . . . ⟩, ⟨y 0 , y 1 , . . . ⟩) как 2 −n , где n | номер первой позиции, в которой последовательности различаются. Дока- зать, что получается метрическое пространство (называемое пространством Бэра). (Если рассматривать только последо- Задачи 1999 { 2000 года 213 вательности нулей и единиц, получаемое пространство назы- вают пространством Кантора.) 14. Пусть X | произвольное множество. Рассмотрим мно- жество всех ограниченных функций с действительными зна- чениями, определённых на множестве X. Будет ли функция ρ(f, g) = sup x |f(x) − g(x)| метрикой? 15. Как определить метрику на произведении n метри- ческих пространств M 1 , . . . , M n по аналогии с различными метриками на R n ? Операторы, матрицы, ранг 1. Пусть U, V | векторные пространства и u 1 , . . . , u n | базис в U. (а) Показать, что линейный оператор ϕ: U → V однозначно определяется своими значениями на u 1 , . . . , u n (если два оператора совпадают на u 1 , . . . , u n , то они равны). (б) Показать, что значения ϕ(u 1 ), . . . , ϕ(u n ) могут быть вы- браны произвольно: для любых векторов v 1 , . . . , v n ∈ V най- дётся (единственный) линейный оператор, переводящий u i в v i при всех i = 1, . . . , n. Пусть ϕ: U → V | линейный оператор. Фиксируем ба- зисы u 1 , . . . , u n и v 1 , . . . , v m в пространствах U и V. Разло- жим векторы ϕ(u 1 ), . . . , ϕ(u n ) по базису v 1 , . . . , v m и со- ставим таблицу из m строк и n столбцов (i-ый столбец со- держит коэффициенты в разложении вектора ϕ(u i ) по бази- су v 1 , . . . , v m ). Эта таблица размера m × n называется ма- трицей оператора ϕ в базисах u 1 , . . . , u n и v 1 , . . . , v m 2. Запишем сказанное в виде формулы: если ||a lk || | матрица оператора A в базисах u 1 , . . . , u n и v 1 , . . . , v m , то ϕ(u k ) = X l a lk v l В каких пределах меняется индекс суммирования l и где в обозначении матричного элемента a lk стоит номер строки, а где | номер столбца? 214 Задачи 1999 { 2000 года 3. Написать формулу для координат y 1 , . . . , y m вектора ϕ(u) в базисе v 1 , . . . , v m , если вектор u имеет координаты x 1 , . . . , x n в базисе u 1 , . . . , u n , а оператор ϕ имеет матрицу ||a ij || в этих базисах. 4. Показать, что линейные отображения данного про- странства U в данное пространство V сами образуют вектор- ное пространство. Какова его размерность, если dim U = n и dim V = m? 5. Пусть даны три векторных пространства U, V, W, в ка- ждом из которых фиксирован базис, и два линейных операто- ра ϕ: U → V и ψ: V → W. Написать формулу для матрицы оператора ψϕ, выражающую её через матрицы операторов ψ и ϕ в соответствующих базисах. Операция с матрицами, задаваемая этой формулой, назы- вается произведением матриц. 6. (а) Как должны соотноситься размеры матриц, чтобы их можно было перемножить? (Напоминаем, что мы пишем слева матрицу оператора, который применяется вторым.) (б) Бу- дет ли произведение матриц ассоциативно? (в) Будет ли про- изведение матриц коммутативно? 7. ⋆ (а) Показать, что произведение двух матриц, имею- щих вид (︂a −b b a )︂ , снова является матрицей такого вида. (б) Показать, что произведение двух матриц, имеющих вид (︂a 5b b a )︂ , снова является матрицей такого вида. 8. Указать единичную матрицу E размера n × n, для которой EA = A и BE = B для любых матриц A и B соот- ветствующих размеров. Из матрицы A размера m × n можно получить ма- трицу A T размера n × m с помощью транспонирования: (A T ) ij = A ji (симметрия относительно главной диагонали, при которой строки становятся столбцами и наоборот). 9. Закончить (и доказать) утверждение: (AB) T = . . . 10. ⋆ (а) Обычный способ умножения матриц 2 × 2 требу- ет 8 умножений (и некоторого количества сложений). При- думать способ обойтись 7 умножениями (и произвольным |