Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
.) (б) Как, используя этот способ, умножить матрицы 4 × 4, сделав 49 умножений (вместо 64 по обычной формуле)? 11. Пусть ϕ: U → V | линейный оператор, являющийся изоморфизмом линейных пространств (в частности, dim U = = dim V). Показать, что его матрица F (при любом выборе базисов в U и V) будет обратимой: найдётся такая матри- ца G, что FG = GF = E, где E | единичная матрица. 12. (а) Квадратная матрица A имеет левую обратную: BA = E . Показать, что матрица B является и правой обрат- ной: AB = E. (б) Показать, что любая правая обратная будет и левой обратной. 13. ⋆ Верны ли аналогичные утверждения для неквадрат- ных матриц? Обратную к A матрицу обозначают A −1 14. Доказать, что произведение двух обратимых матриц A и B является обратимой матрицей. Как найти (AB) −1 , зная A −1 и B −1 ? 15. Произведение двух матриц размера n × n обратимо. Можно ли утверждать, что оба сомножителя обратимы? 16. Какие матрицы размера m × n можно представить в виде произведения матрицы размера m × 1 и матрицы 1 × n? 17. (а) Что произойдёт с матрицей оператора ϕ: U → V, если переставить в базисе u 1 , . . . , u n пространства U вектора с номерами i и j? (б) Тот же вопрос для перестановки двух векторов в базисе пространства V. (в) Тот же вопрос, если вектор u i заменить на u i + λu j , где λ | некоторое число. (г) Тот же вопрос для замены v i → v i + λv j 18. (а) Дан произвольный оператор ϕ: U → V. Пока- зать, что можно выбрать базисы в пространствах U и V, при которых матрица оператора имеет такой вид: ϕ 11 = = . . . = ϕ ss = 1 при некотором s 6 min(dim U, dim V), а все остальные элементы матрицы равны нулю. (б) Показать, что число s однозначно определяется оператором ϕ (не зави- 216 Задачи 1999 { 2000 года сит от выбора базисов, в которых матрица имеет указанный вид). 19. Элементарными преобразованиями матрицы называ- ют перестановку строк, умножение строки на ненулевое чи- сло, прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число, а также аналогичные действия со столб- цами. (а) Можно ли указать последовательность элементар- ных преобразований, переводящих матрицу (︂1 2 3 4 )︂ в матри- цу (︂1 0 0 1 )︂ ? (б) Можно ли указать последовательность эле- ментарных преобразований, переводящих матрицу (︂1 2 3 4 )︂ в матрицу (︂1 0 0 0 )︂ ? 20. Показать, что элементарное преобразование матри- цы представляет собой её умножение на некоторую матрицу слева или справа. Описать эти матрицы (называемые элемен- тарными). 21. Показать, что всякая обратимая матрица может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. 22. Обосновать следующий способ нахождения обратной матрицы к данной матрице A: выполняют элементарные пре- образования над строками матрицы A, приводя её к единич- ной (почему это возможно?) и одновременно делают те же операции над строками единичной матрицы; то, что полу- чится, и будет A −1 23. ⋆ (Продолжение) Можно ли при вычислении обратной матрицы способом предыдущей задачи использовать попере- менно элементарные преобразования строк и столбцов? 24. Показать, что любую матрицу можно привести эле- ментарными преобразованиями к указанному в задаче 18 виду. 25. ⋆ Сколько существует неэквивалентных матриц разме- ра m × n, если считать эквивалентными матрицы, получа- емые друг из друга элементарными преобразованиями? (За- метим, что обратное к элементарному преобразованию также Задачи 1999 { 2000 года 217 элементарно.) 26. ⋆ На плоскости расположены три точки, не лежащие на одной прямой: неподвижная точка O и две подвижные точки A и B. За один шаг разрешается сдвинуть точку A па- раллельно прямой OB или точку B параллельно прямой OA. Описать все конфигурации, которые можно получить из дан- ной такими действиями. 27. Пусть ϕ: U → V | линейный оператор, а F | его матрица (в некоторых базисах). Показать, что размерность пространства Im ϕ равна максимальному числу линейно не- зависимых столбцов матрицы A. Это число называют рангом оператора ϕ (и матрицы A). 28. Доказать, что ранг композиции операторов (и произ- ведения матриц) не больше наименьшего из рангов сомножи- телей, а ранг суммы операторов (матриц) не больше суммы рангов слагаемых. 29. Показать, что ранг матрицы не меняется при элемен- тарных преобразованиях, выполняемых над её строками и столбцами. 30. Используя предыдущую задачу и задачу 24, показать, что у любой матрицы максимальное число линейно незави- симых столбцов («столбцовый ранг») равно максимальному число линейно независимых строк («строчный ранг»). 31. Показать, что ранг матрицы не меняется при транс- понировании. 32. ⋆ Какие матрицы размера m × n представимы в виде произведения матриц размеров m × k и k × n? (Числа m, n и k фиксированы.) 33. ⋆ Используя предыдущую задачу, решить задачу 31. 34. ⋆ Показать, что ранг матрицы равен минимальному чи- слу слагаемых в её разложении в сумму матриц ранга 1. 35. Доказать, что система уравнений ax + by = c, dx + ey = f имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы 218 Задачи 1999 { 2000 года (︂a b d e )︂ этой системы равен рангу её расширенной матрицы (︂a b c d e f )︂ . (Это простое наблюдение легко обобщается на системы с любым числом уравнений и неизвестных и назы- вается теоремой Кронекера { Капелли.) 36. ⋆ Показать, что ранг произвольной матрицы A равен размеру наибольшей обратимой квадратной матрицы, кото- рую можно получить из A вычёркиванием некоторых строк и столбцов. Сходимость, открытые и замкнутые множества 1. Дать определение предела и предельной точки после- довательности элементов произвольного метрического прост- ранства. Доказать, что точка a является предельной точкой последовательности x 0 , x 1 , . . . тогда и только тогда, когда эта последовательность имеет подпоследовательность, схо- дящуюся к a. 2. Какие последовательности будут сходящимися (а) в пространстве R n ? (б) в произведении пространств? (в) в про- странстве с дискретной метрикой? 3. Доказать, что если последовательность функций f 0 , f 1 , f 2 , . . . сходится к функции f в пространстве ограниченных функций на X, то для любой точки x последовательность чисел f 0 (x), f 1 (x), . . . сходится к числу f(x). Показать, что обратное неверно. Если точка x множества U содержится в U вместе с не- которым открытым шаром с центром в x (другими словами, если U содержит все достаточно близкие к x точки), точку x называют внутренней точкой множества U, а множество U называют окрестностью точки x. 4. Доказать, что открытый шар является окрестностью любой своей точки (все его точки | внутренние). Множество, все точки которого являются внутренними, называют открытым. 5. (а) Доказать, что пересечение конечного числа откры- тых множеств открыто. (б) Доказать, что объединение лю- Задачи 1999 { 2000 года 219 бого числа открытых множеств открыто. (в) Показать, что требование конечности в пункте (а) существенно. 6. Доказать, что множество открыто тогда и только то- гда, когда оно есть объединение некоторого семейства от- крытых шаров. 7. Доказать, что открытое множество на плоскости есть объединение счётного числа открытых шаров (кругов). 8. Доказать, что открытое множество на прямой есть объ- единение счётного числа непересекающихся интервалов (т. е. открытых шаров). 9. Доказать, что множество всех внутренних точек лю- бого множества A будет открытым множеством. (Легко ви- деть, что оно будет наибольшим открытым подмножеством множества A.) Оно называется внутренностью множества A и иногда обозначается Int(A). 10. (а) Можно ли утверждать, что Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ ∩ Int(B) (для произвольных множеств A и B в произвольном метрическом пространстве)? (б) Тот же вопрос для равен- ства Int(A ∪ B) = Int(A) ∪ Int(B). Точка x называется точкой касания множества A, если любая её окрестность пересекается с A. (В частности, так будет, если x ∈ A.) 11. Продолжить эквивалентные определения: x является точкой касания множества A, если (а) для всякого ε > 0 ; (б) x не является внутренней . . . ; (в) существует по- следовательность точек A, . . . Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки касания. 12. Доказать, что замкнутый шар замкнут. 13. Доказать, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто. 14. Доказать, что объединение конечного числа и пере- сечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. 15. Доказать, что для любого множества A множество всех его точек касания замкнуто. Это множество является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все эле- менты A, и называется замыканием множества A. 220 Задачи 1999 { 2000 года 16. ⋆ Как получить замыкание множества A, комбинируя операции взятия внутренности и перехода к дополнению? 17. Какие множества открыты и какие замкнуты в про- странстве с дискретной метрикой? 18. Ранее мы определили в R n несколько метрик. Будут ли одинаковы классы открытых множеств в этих метриках? 19. Замкнутое множество на прямой содержит все раци- ональные точки. Что это за множество? 20. ⋆ Метрику в пространстве изменили, но так, что класс открытых множеств не изменился. Могла ли сходящаяся по- следовательность перестать сходиться (к той же точке)? Вер- но ли обратное утверждение (если сходимость не изменилась, то и класс открытых множеств остался тем же)? 21. ⋆ Доказать, что множество непрерывных функций за- мкнуто в пространстве ограниченных функций на отрезке. 22. Доказать, что на прямой не существует множеств, ко- торые были бы открытыми и замкнутыми одновременно (не считая пустого множества и всей прямой). Пространства с таким свойством называют связными. 23. Доказать, что плоскость (с обычным расстоянием) связна. Пусть A | произвольное подмножество метрического пространства M. Индуцированная из M метрика (ограниче- ние функции расстояния) превращает A в метрическое про- странство, называемое подпространством пространства M. 24. (а) Числовую прямую можно считать подпростран- ством координатной плоскости. Будут ли интервал (0, 1) и отрезок [0, 1] открыты как подмножества прямой? как под- множества плоскости? будут ли они замкнуты (в том и в дру- гом пространстве)? (б) Доказать, что в пространстве A ⊂ M с индуцированной из M метрикой открытыми будут пересе- чения с A открытых в M множеств и только они. (в) Что можно сказать о замкнутых в A множествах? Подмножество A метрического пространства M называ- ется плотным (или всюду плотным) в M, если его замыкание совпадает с M. Задачи 1999 { 2000 года 221 25. Можно ли переформулировать это определение так: «если любое открытое множество содержит точку из A»? 26. ⋆ Доказать, что множество ломаных (кусочно-линей- ных функций) плотно в пространстве C[a, b] непрерывных на отрезке [a, b] функций. Расстояние от точки x метрического пространства до мно- жества A ⊂ M определим как точную нижнюю грань всех расстояний ρ(x, a) при a ∈ A. Обозначение: ρ(x, A). 27. Какие точки имеют нулевое расстояние до данного множества A? 28. Верны ли такие обобщения неравенства треугольника: (а) ρ(x, A)6ρ(x, y)+ρ(y, A)? (б) ρ(x, y)6ρ(x, A)+ρ(y, A)? (Здесь x и y | точки метрического множества, A | неко- торое его подмножество.) 29. ⋆ В метрическом пространстве выбраны два непересе- кающихся замкнутых множества K, L. Показать, что найдут- ся непересекающиеся открытые множества U, V, для кото- рых K ⊂ U и L ⊂ V. (Это свойство топологи называют нор- мальностью метрических пространств.) Интеграл Интеграл от функции f, заданной на отрезке [a, b] | это площадь под графиком функции (рис. 27). Рис. 27 Рис. 28 1. (а) Объяснить, почему (при a < b < c) R c a f(x) dx = = R b a f(x) dx+ R c b f(x) dx . (б) Как надо определить R b a f(x) dx при b = a и при b < a, чтобы сохранить это свойство? 2. (а) Объяснить (для f, g > 0) геометрический смысл ра- венства R b a (f(x) + g(x)) dx = R b a f(x) dx + R b a g(x) dx . (Указа- ние: принцип Кавальери утверждает, что две фигуры имеют 222 Задачи 1999 { 2000 года равные площади, если любая вертикальная прямая пересека- ет их по отрезкам равной длины.) (б) Как надо определить интеграл для меняющих знак функций (рис. 28), чтобы со- хранить это свойство? 3. ⋆ Известно, что R 2 1 f(x) dx=3 . Чему равен R 20 10 f (︀ x 10 )︀ dx ? Дадим формальное определение интеграла. Пусть функ- ция f ограничена на отрезке [a, b]. Набор точек a = x 0 < < x 1 < . . . < x n = b будем называть разбиением отрез- ка [a, b]. Для каждого разбиения рассмотрим верхнюю ин- тегральную сумму P (x i+1 − x i ) sup {f(x)|x ∈ [x i , x i+1 ] } и аналогичную нижнюю интегральную сумму. 4. Доказать, что (а) при добавлении новых точек верхняя интегральная сумма не увеличивается, а нижняя не уменьша- ется; (б) любая нижняя сумма не превосходит любой верх- ней; (в) нижние интегральные суммы ограничены сверху, а верхние | снизу, причём точная верхняя грань первых не больше точной нижней грани вторых. Если эти грани совпадают, то функция f называется ин- тегрируемой на отрезке [a, b], а их общее значение | инте- гралом. 5. Привести пример неинтегрируемой (но ограниченной) функции. 6. Доказать, что любая монотонная на отрезке функция интегрируема. 7. Доказать, что любая непрерывная на отрезке функция интегрируема. 8. Используя определение интеграла, найти R 1 0 x dx 9. ⋆ Та же задача для R 1 0 a x dx 10. ⋆ Та же задача для R 1 0 x 2 dx 11. ⋆ Та же задача для R 1 0 x n dx при произвольном нату- ральном n. (Указание: удобно взять в качестве точек разби- ения геометрическую прогрессию 1, q, q 2 , . . . при q < 1.) 12. ⋆ Та же задача для R π/2 0 cos x dx. 13. Доказать, что сумма интегрируемых функций инте- грируема (и интеграл равен сумме интегралов). Задачи 1999 { 2000 года 223 14. ⋆ Доказать, что произведение двух интегрируемых (ог- раниченных) функций интегрируемо. 15. Интеграл неотрицательной непрерывной функции ра- вен нулю. Доказать, что она тождественно равна нулю. Доказать (уточнив формулировки), что 16. R b a f(x)dx + R c b f(x)dx = R c a f(x)dx ; 17. если f 6 g, то R b a f(x) dx 6 R b a g(x) dx ; 18. ⃒ ⃒ ⃒ R b a f(x) dx ⃒ ⃒ ⃒ 6 R b a |f(x)| dx. 19. Функция f интегрируема и периодична с периодом T. Доказать, что её интеграл по отрезку длиной T не зависит от выбора начала отрезка. 20. ⋆ (а) Пусть на каждом из отрезков [x i , x i+1 ] некото- рого разбиения разбиения выбрано по точке y i . Сумма R = = P i f(y i )(x i+1 −x i ) называется римановой суммой (она за- висит от функции, разбиения и набора точек). Пусть f инте- грируема и имеет интеграл I. Доказать, что римановы суммы стремятся к I, когда максимальная длина отрезка разбиения стремится к нулю. (б) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 21. ⋆ Доказать, что ограниченная функция с конечным чи- слом точек разрыва интегрируема. 22. ⋆ Может ли всюду разрывная функция быть интегри- руемой? 23. ⋆ Доказать, что функция интегрируема тогда и только тогда, когда её можно заключить между двумя непрерывны- ми функциями со сколь угодно малой разностью интегралов. 24. ⋆ Существует ли неотрицательная интегрируемая функ- ция с интегралом 0, отличная от нуля на несчётном мно- жестве? Непрерывность в метрических пространствах 1. Дать определение непрерывности функции f: A → B в точке a ∈ A в терминах сходящихся последовательно- стей и на ε-δ-языке и доказать их эквивалентность. (Здесь A и B | произвольные метрические пространства; a | неко- торая точка из A.) 224 Задачи 1999 { 2000 года 2. (а) Показать, что функция f: A → B непрерывна во всех точках пространства A тогда и только тогда когда про- образ f −1 (U) любого открытого множества U ⊂ B открыт в A. (б) Верно ли аналогичное утверждение для замкнутых множеств? 3. ⋆ Пусть M | метрическое пространство с дискретной метрикой. (а) Какие функции на M будут непрерывными? (б) Какие функции на [0, 1] ∪ [2, 3] со значениями в M будут непрерывными? 4. (а) Показать, что функция расстояния ρ(x, y), опре- делённая на парах точек метрического пространства M, не- прерывна как функция M × M → R. (б) Показать, что для произвольного множества A в метрическом пространстве M функция x ↦→ ρ(x, A) является непрерывным отображени- ем M в R. 5. Сформулировать и доказать утверждения о непрерыв- ности суммы, разности, произведения и частного непрерыв- ных функций, а также композиции непрерывных функций. 6. Показать, что функция x y , определённая на [0, +∞)× × R, непрерывна на этом пространстве. 7. ⋆ Дано метрическое пространство M. Какие его подмно- жества являются множествами нулей непрерывных функций (на M с действительными значениями)? 8. Показать, что для непрерывных функций с действи- тельными значениями, определённых на связном метриче- ском пространстве, справедлива теорема о промежуточном значении: если такая функция принимает значения a и b, то принимает и все промежуточные значения. 9. ⋆ Доказать, что образ связного пространства при непре- рывном отображении связен. Пусть A и B | метрические пространства, f: A → B | произвольная функция. Говорят, что функция f имеет ε-ко- лебание в точке a ∈ A, если в любой окрестности точки a найдутся точки x и y, для которых расстояние между f(x) и f(y) больше ε. 10. ⋆ (а) Показать, что для данного ε (и данной функ- ции f) множество всех точек ε-колебания замкнуто. (б) По- Задачи 1999 { 2000 года 225 казать, что точка a является точкой разрыва функции f то- гда и только тогда, когда f имеет ε-колебание в a для неко- торого положительного ε. (в) Показать, что множество то- чек разрыва любой функции можно представить как счётное объединение замкнутых множеств. Интегралы в природе Смысл интеграла R b a f(x) dx можно объяснить так: мы разбиваем отрезок [a, b] на части, в i-ой части выбираем точ- ку x i и вычисляем сумму P f(x i ) ∆x i , где ∆x i есть длина i -ой части. Когда части становятся бесконечно малыми, сум- ма P превращается в интеграл R , а ∆x i | в dx. 1. Площадь под графиком y = f(x) от x = a до x = b записывается как R b a f(x) dx . Пояснить на рисунке, чему со- ответствует «бесконечно малый» член суммы f(x) dx. 2. Точка движется по координатной прямой, имея в мо- мент t скорость v(t). Записать в виде интеграла перемещение (изменение координаты) с момента t 1 до момента t 2 3. Тот же вопрос для пройденного пути. 4. Точка движется по отрезку [a, b] слева направо (от a к b), при этом известна зависимость её скорости v(x) от координаты x. Найти (записать в виде интеграла) время её движения от a до b. 5. ⋆ Точка движется по координатной плоскости, имея в момент t вектор скорости (v 1 (t), v 2 (t)) . Записать её пере- мещение (изменение координат) и пройденный путь (длину траектории). 6. Участок графика y = f(x) от x = a до x = b вращают вокруг оси OX. Записать в виде интеграла объём получен- ного тела вращения. 7. Найти площадь фигуры, содержащей начало коорди- нат, если выходящий из начала координат под углом ϕ луч пересекается с ней по отрезку длиной r(ϕ). 8. Найти длину участка графика функции y = f(x) от x = = a до x = b. 9. Найти общую силу давления на прямоугольную стенку бассейна (высота L, ширина w, бассейн наполнен доверху), 226 Задачи 1999 { 2000 года если на глубине l давление равно ρgl. 10. ⋆ Найти давление на глубине L, если плотность жид- кости зависит от глубины и равна ρ(l) на глубине l ∈ [0, L]. 11. ⋆ (Продолжение) Найти общую силу давления на пря- моугольную стенку L × w. (Указание: повторный интеграл в ответе не обязателен.) 12. ⋆ Точка обходит против часовой стрелки замкнутую кривую на плоскости, имея в момент времени t координа- ты (x(t), y(t)). Показать, что площадь, ограничиваемая этой кривой, равна R b a x(t)y ′ (t) dt = − R b a x ′ (t)y(t) dt , где a | момент начала обхода, b | момент конца обхода. Кольца и поля Множество R с операциями сложения (+) и умножения (·) называется коммутативным кольцом с единицей, если 1) R является коммутативной группой по сложению (нейт- ральный элемент называется «нулём» и обозначается 0); 2) умножение ассоциативно, коммутативно и имеет ней- тральный элемент 1 ∈ R (это значит, что 1 · x = x для всех x ∈ R); 3) выполнено свойство дистрибутивности: a · (b + c) = = a · b + a · c для всех a, b, c ∈ R. Для краткости мы будем говорить «кольцо» вместо полного названия «коммутативное кольцо с единицей». 1. Являются ли кольцами следующие множества (с есте- ственными операциями, если они не указаны явно): (а) мно- жество натуральных чисел; (б) множество целых чисел; (в) множество чётных целых чисел; (г) множество ра- циональных чисел; (д) множество иррациональных чисел; (е) множество действительных чисел; (ж) множество ком- плексных чисел; (з) векторы на плоскости (сумма, скалярное произведение); (и) векторы в пространстве (сумма, вектор- ное произведение); (к) пары действительных чисел с покоор- динатным сложением и умножением; (л) пары действитель- ных чисел (сложение покоординатное, умножение задаётся Задачи 1999 { 2000 года 227 формулой (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)); (м) пары действительных чисел (сложение покоординатное, умноже- ние задаётся формулой (a, b) · (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)); (н) пары целых чисел (сложение покоординатное, умноже- ние задаётся формулой (a, b) · (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)); (о) пары действительных чисел (сложение покоординатное, умножение задаётся формулой (a, b)·(c, d) = (ac−2bd, ad+bc)); (п) многочлены от x с действительными коэффициентами (обозначение: R[x]); (р) многочлены от x и y с действи- тельными коэффициентами (обозначение: R[x, y]); (с) мно- гочлены от x с целыми коэффициентами (обозначение: Z[x]); (т) функции на отрезке [0, 1] с действительными значения- ми (сложение и умножение | поточечные); (у) непрерыв- ные функции на отрезке [0, 1] с действительными значениями (сложение и умножение | поточечные; обозначение C[0, 1]); (ф) остатки по модулю n (обозначение Z/nZ)? (х) подмно- жества некоторого множества U (сложение | симметриче- ская разность, умножение | пересечение). 2. (Следствия из аксиом) Какие из следующих утвержде- ний верны для любого кольца R: (а) 0 · x = 0 для любого x ∈ R ; (б) 0 ̸= 1; (в) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 для любых a и b (объяснить, какой смысл имеют числа 2 и 3 в разных местах этого равенства); (г) 2·2 = 4; (д) (1+x+. . .+ + x n ) = (1 − x n+1 )/(1 − x) для любого x; (е) если ab = 0, то a = 0 или b = 0; (ж) 1 + 1 + 1 ̸= 0; (з) если a + a = 0, |