Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
то a = 0? 3. Элемент x кольца R называется обратимым, если суще- ствует элемент y ∈ R, для которого x · y = 1. Доказать, что обратимые элементы кольца образуют группу относительно операции умножения. Какие элементы обратимы в приведён- ных выше примерах? (В большинстве случаев это совсем про- сто, несколько более трудных можно пока пропустить.) 4. Какие элементы обратимы в кольце формальных сте- пенных рядов (бесконечных выражений вида a 0 + a 1 x + + a 2 x 2 + . . . с естественными операциями сложения и умно- жения)? 228 Задачи 1999 { 2000 года Кольцо, в котором все ненулевые элементы обратимы (и в котором 0 ̸= 1), называется полем. 5. Какие из рассмотренных в задаче 1 колец являются полями? 6. Построить поля из двух, трёх и четырёх элементов (вы- писав таблицы сложения и умножения). 7. Привести пример поля, в котором сумма 1 + 1 + . . . + 1 (n единиц) при некотором n > 0 равна нулю. Минимальное число n с таким свойством называется ха- рактеристикой поля. (Если все суммы такого вида отличны от нуля, то говорят, что поле имеет характеристику 0.) 8. Показать, что характеристика поля | простое число. 9. Показать, что число элементов конечного поля делится на его характеристику. 10. ⋆ Существует ли поле из 10 элементов? 11. ⋆ Существует ли поле из 8 элементов? 12. ⋆ Показать, что (a + b) p = a p + b p в поле характери- стики p и вывести отсюда, что a p ≡ a( mod p) для любого целого a и простого p. Говорят, что в кольце R есть делители нуля, если произ- ведение двух ненулевых элементов может быть равно нулю. 13. В каких кольцах задачи 1 есть делители нуля? Дока- зать, что в поле нет делителей нуля. Кольцо без делителей нуля называют целостным (или об- ластью целостности). 14. Доказать, что в целостном кольце допустимо сокра- щение на ненулевой элемент: если ac = bc и c ̸= 0, то a = b. 15. ⋆ Доказать, что конечное целостное кольцо является полем. 16. (а) Показать, что если x 2 = 1 в кольце без делителей нуля, то x = ±1. (б) Каков может быть элемент x целостного кольца, если x 2 = x ? 17. ⋆ Показать, что многочлен степени n с коэффициен- тами в целостном кольце имеет в этом кольце не более n корней. Задачи 1999 { 2000 года 229 Полные метрические пространства Последовательность точек метрического пространства на- зывается фундаментальной, если для любого ε > 0 существу- ет шар радиуса ε, содержащий все члены последовательно- сти, кроме конечного числа. 1. (а) Показать, что всякая сходящаяся последователь- ность фундаментальна, но обратное неверно (для некоторых пространств). (б) Продолжить (эквивалентное) определение: последовательность фундаментальна, если для всякого ε > 0 найдётся такой номер N, что . . . Метрическое пространство, в котором любая фундамен- тальная последовательность сходится, называется полным. 2. Показать, что пространство R n (с любой из рассмо- тренных метрик на нём) полно. 3. ⋆ Полно ли пространство ограниченных функций (на данном множестве X; расстояние | точная верхняя грань модуля разности)? 4. ⋆ Полно ли бэровское пространство (последовательно- стей натуральных чисел)? 5. (а) Показать, что если подмножество A метрического пространства полно в индуцированной метрике, то оно за- мкнуто. (б) Показать, что замкнутое подмножество полно- го пространства полно (в индуцированной метрике). (Таким образом, для подмножеств полных пространств полнота рав- носильна замкнутости.) 6. Доказать, что произведение двух полных пространств (с любой из упомянутых выше метрик) полно. 7. ⋆ Полно ли пространство C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] (расстояние | точная верхняя грань модуля разности)? 8. Пусть D 0 ⊃ D 1 ⊃ D 2 ⊃ . . . | последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Доказать, что если пространство полно, то эти шары имеют общую точку. 9. (Продолжение) Показать, что шары можно заменить произвольными замкнутыми множествами, надо лишь требо- 230 Задачи 1999 { 2000 года вать, чтобы их диаметры стремились к нулю. (Диаметр мно- жества в метрическом пространстве | точная верхняя грань расстояний между его точками.) 10. ⋆ (Продолжение) Показать, что стремление радиусов к нулю существенно: в полном пространстве может суще- ствовать последовательность вложенных замкнутых шаров, не имеющих общей точки. 11. ⋆ На одном множестве есть две метрики, причём они эквивалентны (задают одни и те же открытые множества и сходящиеся последовательности). Может ли пространство быть полно с одной метрикой и не полно с другой? Подмножество A метрического пространства называется нигде не плотным, если любой шар в M содержит меньший шар, не пересекающийся с A. 12. Будет ли равносильным этому такое определение ни- где не плотного множества: «замыкание не имеет внутренних точек»? 13. ⋆ (Теорема Бэра) Показать, что в полном пространстве счётное число нигде не плотных множеств не может покры- вать всего пространства. (Указание: построить по очереди вложенные шары, уклоняющиеся от этих множеств.) Счётные объединения нигде не плотных множеств назы- ваются множествами первой категории. Теорема Бэра утвер- ждает, что в полном пространстве такое множество не может покрывать всего пространства. 14. ⋆ Показать, что в полном пространстве дополнение к множеству первой категории всюду плотно. 15. ⋆ Вывести из теоремы Бэра, что множество иррацио- нальных чисел не может быть представлено в виде объеди- нения счётного числа замкнутых подмножеств прямой. 16. ⋆ Отображение f полного пространства M в себя явля- ется сжимающим: ρ(f(x), f(y)) 6 cρ(x, y) для некоторой константы c < 1 и для всех x, y ∈ M. Доказать, что су- ществует единственная точка a, для которой f(a) = a (не- подвижная точка отображения f). 17. ⋆ Доказать, что уравнение cos x = 2x + c имеет един- ственное решение при любом c. Задачи 1999 { 2000 года 231 18. ⋆ Доказать, что всякое преобразование плоскости, явля- ющееся подобием с коэффициентом k ̸= 1, имеет единствен- ную неподвижную точку. 19. ⋆ На плоскости дано n прямых l 1 , . . . , l n , не все из которых параллельны. На прямой l 1 берут точку, ортого- нально проектируют её на l 2 , затем на l 3 , . . . , l n и наконец снова на l 1 . Показать, что при подходящем выборе точки на l 1 цикл замкнётся и что такой выбор единствен. 20. ⋆ Пространство X не является полным. Показать, что его можно пополнить, добавив некоторое количество новых точек и сохранив расстояния между старыми, получив пол- ное пространство X ′ , в котором исходное пространство X бу- дет всюду плотным. Операторы и уравнения 1. Указать все линейные операторы ϕ: R 2 → R 2 , со- храняющие ось абсцисс (т. е. переводящие её в себя) и ось ординат. 2. Указать бесконечное семейство линейных операторов R 2 → R 2 , сохраняющих гиперболу xy = 1. (Требуется ука- зать матрицы этих операторов в стандартном базисе.) 3. Тот же вопрос для окружности x 2 + y 2 = 1 4. Тот же вопрос для гиперболы x 2 − y 2 = 1 5. Тот же вопрос для эллипса x 2 + 2y 2 = 1 Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора ϕ: E → E, если порождённая им прямая пере- ходит в себя, то есть если ϕ(x) = λx для некоторого числа λ , называемого собственным значением. 6. Указать собственные векторы и собственные значения для оператора Фибоначчи, имеющего матрицу F = (︂0 1 1 1 )︂ 7. ⋆ (Продолжение) Найти матрицу оператора F n в базисе из собственных векторов и в стандартном базисе. Как полу- чить отсюда формулу для чисел Фибоначчи? 8. Указать (неединичный) линейный оператор с целочи- сленной матрицей, сохраняющий гиперболу x 2 − 2y 2 = 1 Найти матрицу обратного к нему оператора. 232 Задачи 1999 { 2000 года 9. Показать, что уравнение x 2 −2y 2 = 1 имеет бесконечно много решений в целых числах. 10. ⋆ Найти общую формулу для решений этого уравне- ния. (Указание: все они получаются из одного повторным применением линейного оператора.) 11. ⋆ Сколько решений имеет в целых числах уравнение x 2 − 2y 2 = −1 ? 12. ⋆ Сколько решений имеют в целых числах уравнения x 2 − 3y 2 = 1 и x 2 − 3y 2 = −1 ? 13. Пусть (x, y) | решение уравнения x 2 + x = 2y 2 Показать, что пара (3x + 4y + 1, 2x + 3y + 1) также является решением этого уравнения. 14. ⋆ Показать, что уравнение x 2 +x = 2y 2 имеет бесконеч- но много решений в целых числах, и найти общую формулу для его решений. 15. ⋆ Тот же вопрос для уравнения x 2 + x + 1 = 3y 2 16. ⋆ Найти все натуральные числа. являющиеся одновре- менно точными квадратами и разностями кубов двух после- довательных целых чисел. (Указание: использовать преды- дущую задачу, в которой x ≡ 1(mod 3).) 17. ⋆ Пусть (x, y, z) | тройка целых положительных чи- сел, являющаяся решением уравнения x 2 + y 2 + 1 = xyz . Как изменить x, не меняя y и z, чтобы получить другое решение того же уравнения? 18. ⋆ (Продолжение) Показать, что это уравнение имеет решения в целых положительных числах только при z = 3. 19. ⋆ (Продолжение) Найти 10 решений этого уравнения и указать общую формулу для его решений. Евклидовы пространства Скалярным произведением двух векторов a и b на плос- кости (или в пространстве) называется произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Оно обозначает- ся (a, b). 1. Проверить, что скалярное произведение билинейно, то есть (a + b, c) = (a, c)+(b, c), (λa, b) = λ(a, b), (c, a + b) = = (c, a) + (c, b) , (b, λa) = λ(b, a). Задачи 1999 { 2000 года 233 2. Получится ли билинейная функция, если произведе- ние длин векторов умножать не на косинус, а на синус угла между ними? 3. Написать формулу, выражающую скалярное произве- дение через координаты векторов. 4. (а) Даны три вектора a, b, c единичной длины. Дока- зать, что (a, b)+(a, c)+(b, c) > −3/2. (б) Доказать, что сум- ма косинусов трёх углов треугольника не превосходит 3/2. 5. ⋆ Доказать, что сумма косинусов двугранных углов про- извольного тетраэдра не превосходит 2. Скалярным произведением в произвольном векторном пространстве V называется билинейная функция (a, b) двух векторов a и b с числовыми значениями, которая симметрич- на (то есть (a, b) = (b, a) при всех a и b) и положительно определена (то есть (a, a) всегда неотрицательно и обраща- ется в нуль только при a = 0). Пространство, в котором введено скалярное произведе- ние, называют евклидовым. 6. Какие векторы евклидова пространства называют пер- пендикулярными? Как определить длину вектора в евклидо- вом пространстве? Как формулируется и доказывается тео- рема Пифагора для произвольного евклидова пространства? Длина вектора x обозначается через ||x||; ортогональность векторов x и y записывают так: x ⊥ y. 7. Указать несколько различных скалярных произведений на плоскости. 8. Указать какое-либо скалярное произведение в R n 9. Задаёт ли формула (f, g) = R 1 0 f(x)g(x) dx скалярное произведение на пространстве непрерывных на отрезке [0, 1] функций? 10. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос для пространства ин- тегрируемых на отрезке [0, 1] функций. 11. ⋆ (а) Показать, что в пространстве R 2 любая билиней- ная форма имеет вид B( ⟨x 1 , x 2 ⟩, ⟨y 1 , y 2 ⟩) = ax 1 y 1 + bx 1 y 2 + cx 2 y 1 + dx 2 y 2 234 Задачи 1999 { 2000 года (б) При каких a, b, c, d эта форма будет симметричной? (в) При каких a, b, c, d эта форма будет положительно опре- делённой? 12. В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Как сформулировать и дока- зать это утверждение для произвольного евклидова про- странства? 13. Векторы a и b евклидова пространства E таковы, что (a, c) = (b, c) для любого вектора c ∈ E. Можно ли утверж- дать, что a = b? 14. Дан некоторый вектор a евклидова пространства E. (а) Доказать, что любой вектор x этого пространства одно- значно представляется в виде x = y + z, где вектор y про- порционален a, а z перпендикулярен a. (Вектор y называют проекцией вектора x на прямую, порождённую вектором a.) (б) Показать, что ||y|| 6 ||x|| (проекция вектора не длиннее его самого). Расстояние между двумя векторами a, b евклидова про- странства E определяется как длина их разности, то есть как ||a − b|| = √︀(a − b, a − b). 15. Даны два вектора a, b евклидова пространства E. При каком значении λ вектор λa будет ближе всего к вектору b? 16. Доказать неравенство Коши (которое называют также неравенством Коши { Буняковского { Шварца): |(a, b)| 6 ||a|| · ||b||. 17. Показать, что (для данных двух векторов a и b) функция λ ↦→ ||b − λa|| 2 является квадратным трёхчленом, дискриминант которого неположителен, и вывести отсюда неравенство Коши. 18. Как, используя неравенство Коши, определить угол между векторами евклидова пространства? 19. ⋆ Измеряя неизвестное сопротивление, физик сделал n измерений и получил значения токов I k и напряжений U k при k = 1, . . . , n. Если отношения U k /I k различны (в силу ошибок измерения), по методу наименьших квадратов ищут Задачи 1999 { 2000 года 235 такое значение R, при котором сумма квадратов отклонений (U 1 − RI 1 ) 2 + . . . + (U n − RI n ) 2 минимальна. Чему равно это R? Как это связано с задачей 15? 20. (а) Доказать, что ||a + b|| 6 ||a|| + ||b|| для любых двух векторов a и b. Когда это неравенство обращается в равенство? (б) Показать, что определённое выше расстояние ρ(a, b) = ||a − b|| удовлетворяет неравенству треугольника (так что любое евклидово пространство становится метри- ческим). 21. Доказать, что a 1 b 1 + . . . + a n b n 6 √︁ a 2 1 + . . . + a 2 n · √︁ b 2 1 + . . . + b 2 n для любых чисел a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n 22. Сумма квадратов 100 чисел не превосходит 1. Каково максимально возможное значение суммы этих чисел? 23. ⋆ Оценить сверху значение интеграла R b a f(x) dx , если известно значение R b a f 2 (x) dx 24. ⋆ Вектор x евклидова пространства E не лежит в под- пространстве F ⊂ E. В F выбрали точки f 0 , f 1 , . . . , для ко- торых ρ(x, f i ) стремится к ρ(x, F), то есть к точной нижней грани расстояний от x до всевозможных точек подпростран- ства F. (а) Показать, что последовательность f 0 , f 1 , . . . фун- даментальна. (б) Пусть вектор f является пределом этой по- следовательности. Показать, что он является ближайшей к x точкой в подпространстве F. (в) Показать, что вектор x − f ортогонален любому вектору подпространства F. 25. ⋆ Рассмотрим бесконечные последовательности x 0 , x 1 , x 2 , . . . , для которых ряд x 2 0 +x 2 1 +x 2 2 +. . . сходится. Доказать, что они образуют векторное пространство и что формула ( ⟨x 0 , x 1 , . . . ⟩, ⟨y 0 , y 1 , . . . ⟩) = x 0 y 0 + x 1 y 1 + . . . задаёт в нём скалярное произведение. Будет ли это простран- ство полным (в соответствующей метрике)? 236 Задачи 1999 { 2000 года Формула Ньютона { Лейбница 1. Функция f непрерывна на интервале (a, b), содержа- щем точку d. Доказать, что функция F, заданная формулой F(x) = R x d f(t) dt , дифференцируема на (a, b) и F ′ = f . Как зависит F от выбора точки d ∈ (a, b)? Если F ′ = f , то функцию F называют первообразной функ- ции f или её неопределённым интегралом. 2. Известна одна из первообразных функции f. Указать все её первообразные, если (а) функция f определена на ин- тервале; (б) функция f определена на объединении двух не- пересекающихся интервалов. 3. (Формула Ньютона { Лейбница) Функция F непрерыв- но дифференцируема на интервале, содержащем точки a, b. Доказать, что Z b a F ′ (x) dx = F(b) − F(a). 4. ⋆ Доказать формулу Ньютона { Лейбница в несколько более общем случае: функция F дифференцируема на интер- вале, содержащем точки a и b, причём F ′ интегрируема на отрезке [a, b]. 5. Найти первообразную функции f(x) = √ 1 − x 2 на ин- тервале (−1, 1). 6. Найти R b a x n dx при n = 1, 2, 3, . . . 7. Найти R b a (1/x 2 ) dx (считая a и b числами одного и того же знака). 8. Найти R b a (1/x) dx (считая a и b числами одного зна- ка). 9. Найти первообразные функций (а) x ↦→ e x ; (б) x ↦→ a x 10. Найти первообразные функций (а) x ↦→ √ x ; (б) x ↦→ ↦ → √ x − 1 ; (в) x ↦→ 1/ √ x 11. ⋆ Найти первообразную функции x ↦→ x √ x − 1 12. Найти первообразные функций (а) x ↦→ sin x; (б) x ↦→ ↦ → cos x; (в) x ↦→ sin 2x; 13. ⋆ Найти первообразную функции x ↦→ 1/ sin 2 x Задачи 1999 { 2000 года 237 14. Найти первообразные функций (а) x ↦→ 1/(1 + x); (б) x ↦→ 1/(1 − x). 15. Найти первообразную функции x ↦→ 1/(1 − x 2 ) 16. ⋆ Найти первообразную функции x ↦→ 1/(1 + x 2 ) 17. ⋆ Найти первообразную функции x ↦→ 1/ √ 1 − x 2 18. Доказать, что ln n < 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n < ln n + 1. 19. Доказать, что 1 + 1 4 + 1 9 + . . . + 1 n 2 < 2 − 1 n 20. Найти предел при n → ∞ суммы 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2n 21. ⋆ Найти сумму ряда 1−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+. . . 22. Найти предел (1 7 +2 7 +3 7 +. . .+n 7 )/n 8 при n → ∞. 23. Считая известной формулу для площади круга, по- лучить формулы для объёма конуса и шара. 24. Получить формулу для площади поверхности шара. 25. ⋆ (а) Чему равен объём четырёхмерного шара ради- уса R? (б) Чему равна «трёхмерная площадь» поверхности четырёхмерного шара радиуса R? Момент инерции при вращении точки вокруг оси равен mr 2 , где m | масса точки, r | расстояние до оси. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. 26. Получить формулу для моментов инерции (а) одно- родного стержня (ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его конец); (б) однородного диска (ось вра- щения перпендикулярна диску и проходит через его центр). 27. ⋆ (Продолжение) Та же задача для (а) однородной сферы (ось проходит через центр); (б) однородного шара (ось проходит через центр). 238 Задачи 1999 { 2000 года 28. ⋆ Непрерывное отображение γ: [a, b] → R 2 называют параметрически заданной кривой (значению параметра t ∈ ∈ [a, b] соответствует точка γ(t) на плоскости). (а) Опреде- лить длину кривой как точную верхнюю грань длин вписан- ных в неё ломаных. (б) Может ли длина кривой быть беско- нечной? (в) Показать, что длина непрерывно дифференциру- емой кривой равна R b a |γ ′ (t) | dt (дать точную формулировку и доказательство). 29. ⋆ Из деревни A в деревню Б, находящуюся на рассто- янии 10 км, вышел лыжник со скоростью 5 км/ч. При этом его скорость убывает пропорционально расстоянию до Б (чем ближе к концу пути, тем медленнее он идёт). Через сколько часов он пройдёт 90% пути? 99% пути? 30. ⋆ Резиновый шнур длиной 1, закреплённый с одного конца, начинают тянуть за другой конец со скоростью v. Одновременно вдоль шнура начинает ползти муравей со ско- ростью w (отправляясь от неподвижного конца). Доползёт ли он до другого конца шнура, если w < v? если w = v? Базисы в евклидовых пространствах 1. Доказать, что попарно ортогональные ненулевые век- торы линейно независимы. 2. Векторы e 1 , . . . , e k евклидова пространства E ортого- нальны, но не образуют базиса. Показать, что найдётся не- нулевой вектор, ортогональный им всем. 3. Доказать, что в любом конечномерном евклидовом про- странстве можно найти базис, состоящий из попарно ортого- нальных векторов единичной длины (его называют ортонор- мированным базисом). 4. Доказать, что коэффициенты в разложении вектора x по ортонормированному базису e 1 , . . . , e n равны соответ- ственно (x, e 1 ), . . . , (x, e n ) 5. ⋆ Дано n+1 векторов, образующих друг с другом тупые углы (все скалярные произведения (e i , e j ) отрицательны). Показать, что любые n из них линейно независимы. 6. В евклидовом пространстве E выбрано конечномерное подпространство F. Доказать, что всякий вектор x ∈ E одно- Задачи 1999 { 2000 года 239 значно представляется в виде суммы x = y + z, где вектор y принадлежит подпространству F, а вектор z ему ортогона- лен (то есть ортогонален любому вектору из F). (Указание: выбрать базис в F и искать координаты вектора y в этом базисе.) Вектор y называется проекцией вектора x на подпро- странство F. 7. Показать, что проекция вектора x на подпростран- ство F является ближайшей к x точкой из F. 8. ⋆ На плоскости даны n точек ⟨x 1 , y 1 ⟩, . . . , ⟨x n , y n ⟩ . Най- ти прямую y = ax + b, для которой сумма квадратов откло- нений (y i − (ax i + b)) 2 была бы минимальной. 9. Пусть F | подпространство евклидова пространства E. Рассмотрим множество F ⊥ , состоящее из векторов, ортого- нальных подпространству F (то есть ортогональных всем век- торам из F). Показать, что F ⊥ является подпространством и найти его размерность, если известны dim E и dim F. Подпространство F ⊥ называется ортогональным дополне- нием к подпространству F. 10. Доказать, что (F ⊥ ) ⊥ = F , если F | подпространство конечномерного пространства E. 11. ⋆ (Продолжение) Показать, что в предыдущей задаче достаточно предполагать F конечномерным. 12. Векторы e 1 , . . . , e k попарно ортогональны и имеют единичную длину. Доказать, что (x, e 1 ) 2 + . . . + (x, e k ) 2 6 (x, x) для любого вектора x. 13. Доказать, что функции 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, sin x, sin 2x, . . . , sin nx ортогональны в пространстве не- прерывных функций на [0, 2π] со скалярным произведением (f, g) = R 2π 0 f(x)g(x) dx 14. Известно, что a 1 cosx + . . . + a 10 cos 10x = 0 при всех x. Доказать, что все коэффициенты a 1 , . . . , a 10 равны нулю. |