Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс «В») Под редакцией А. Шеня Москва, 2000 МЦНМО ББК 22.1 З15 УДК 51 (023) З15 Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математи- ческого класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс «В») / под редакцией А. Шеня. М.: МЦНМО, 2000. | 272 c. ISBN 5-900916-59-6 Книга содержит учебные материалы, составлявшие со- держание курса «математического анализа» в математиче- ском классе 57 школы (выпуск 2000 года, класс «В»). В неё включены задачи вечерней математической школы и собесе- дований, задачи всех четырёх лет обучения (включая кон- трольные работы и экзамены), а также список тем лекций, читавшихся школьникам. Тексты, составляющие книгу, являются свободно распространяемыми и доступны по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/school/v2000 c ○ А. Шень, составление, 2000 ISBN 5-900916-59-6 c ○ МЦНМО, 2000 Оглавление Предисловие 4 Ученики и учителя 6 Вечерняя математическая школа и собеседования 8 Задачи 1996 { 1997 года 36 Задачи 1997 { 1998 года 81 Задачи 1998 { 1999 года 128 Задачи 1999 { 2000 года 200 Популярные лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие В этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы (выпуск 2000 года, класс «В»). Традиция состоит в том, что в каждом классе курс математики строится по-своему: не только набор задач, но и список тем в разных классах мо- гут быть совершенно разными. Подборки задач такого рода несколько раз публиковались (см., например, [1] и [2]). Не- давно вышедшая книжка [3] содержит обязательную часть курса для класса 1993 года выпуска. Отметим, что все эти материалы относятся к классам с двухлетним или трёхлет- ним сроком обучения (в нашем случае курс рассчитан на 4 года). Преподавание математики в классе делилось на три ча- сти: алгебра (2 часа в неделю), геометрия (2 часа) и занятия по задачам (4 часа), которые по традиции назывались «мате- матическим анализом», хотя в течение первых двух лет задач по анализу практически не было. Занятия по алгебре и геометрии вёл Рафаил Калмано- вич Гордин. На этих занятиях значительная часть времени отводилась на решение задач и их обсуждение в классе. За- нятия по математическому анализу состояли в выдаче зада- ний и индивидуальной проверке решений, рассказываемых школьниками; этим занималась большая группа преподава- телей (см. главу «Ученики и учителя»). В течение года перед набором класса мы вели занятия в Вечерней математической школе; многие (хотя далеко не все) школьники будущего класса бывали на этих занятиях. Задачи Вечерней математической школы (и вступительных собеседований) также приведены в книге. Скажем несколько слов о том, в чём (как нам кажется) выбранные задачи несколько отступают от традиций. Прежде всего, в них заметно меньше доля задач по мате- матическому анализу | два первых года таких задач прак- тически не было. Мы довольно спокойно относились к требованиям логи- Предисловие 5 ческой строгости (полагая, что уровень таких требований должен постепенно расти вместе со школьниками). Как и иностранный язык, математику можно изучать по-разному: либо начинать с грамматики, либо начинать говорить как придётся о чём-то интересном, постепенно привыкая гово- рить правильно. В этой шкале наши задачи несколько сме- щены в сторону второго варианта (по сравнению с традици- онными для математических классов). Мы старались свести к минимуму число понятий, откладывая определения до мо- мента, когда они напрашиваются сами собой, и избегая задач на понимание и применение формальных определений (ти- па «является ли множество целых чисел группой по сложе- нию?»). Излагая теоретический материал, можно разложить ка- кую-либо теорему в последовательность задач | решая эти задачи, школьник перепрыгивает с камешка на камешек и в конце концов доходит до искомого утверждения. Мы ста- рались положить этих камешков «с запасом», чтобы можно было двигаться в нужную сторону по-разному, не боясь осту- питься. Мы не только не избегали повторений, но старались воз- вращаться к одному и тому же материалу несколько раз с пе- рерывами, следуя мудрому примеру Совы из книжки о Винни Пухе и пользуясь каждым удобным случаем вновь вернуться к вещам, которые «спокойно можно объяснить два раза, не опасаясь, что кто-нибудь поймёт, о чём вы говорите». Мы старались не торопиться | в конце концов вопрос не в том, успеют ли школьники изучить что-то, а в том, сохранят ли они интерес до конца школы и продолжат ли они занятия после окончания (хотя, увы, эта цель осталась скорее недостижимой). Хочется поблагодарить всех учителей и сотрудников 57 школы, работавшим с классом, в частности, И. В. Рехтман (классный руководитель), Б. М. Давидовича (завуч матема- тических классов) и С. Л. Менделевича (директор школы). Ученики и учителя Список учеников, принятых в класс: Бедарев Владимир Бурашов Илья Вьюгин Илья Дмитревская Анна Дмитревская Елена Дубовский Дмитрий Жгун Владимир Зарубина Анна Зверков Дмитрий Зоркий Фёдор Коробов Владимир Лущекина Софья Нелькин Михаил Немытов Виктор Новодворский Пётр Панин Александр Полищук Олег Преображенский Максим Сальников Сергей Стальгорова Катя Тарасов Алексей Теннова Наталия Устинов Михаил Феоктистов Владимир Шрамов Павел На уроках математического анализа с классом работали Ахметшин Алексей Богуславская Вера Бурман Юрий Дерягин Дмитрий Доценко Владимир Завьялов Владислав Зубов Михаил Ученики и учителя 7 Зутлер Илья Кондратьев Владимир Маркарян Никита Михайлова Татьяна Панов Пётр Першина Мария Полтерович Иосиф Ромащенко Андрей Рыбников Леонид Рютин Константин Савватеев Алексей Соболь Александр Урюпина Ольга Ушаков Максим Шаповал Александр Шварц Дмитрий Шень Александр Шрамов Константин Шувалов Виктор Эршлер Дмитрий и другие. Лекции школьникам прочитали Анна Дюбина, Вла- димир Фок и Jeremy Bem. В проведении занятияй по физи- ке участвовал Лев Мельниковский, занятий по программи- рованию | Роман Авданин, Константин Белов и Дмитрий Школьник. Наконец, большая группа преподавателей помогала вести занятия Вечерней математической школы. Вечерняя математическая школа и собеседования Вечерняя математическая школа | это кружок по мате- матике, который традиционно работает в пятьдесят седьмой школе для московских школьников 7 и 8 классов. Одна из основных целей этого кружка | найти будущих учеников школы, хотя по традиции независимо от своих успехов на кружке школьники седьмых и восьмых классов сдают всту- пительные экзамены (традиционно называемые «собеседова- ниями») на общих основаниях. Занятия ВМШ (вечерней математической школы) прохо- дят раз в неделю, обычно в трёх { пяти группах (в каждой параллели) по одним и тем же задачам. Приходить может любой школьник, начиная с любого занятия. Обычно занятие происходит так: выдаются листки с задачами; школьник, ре- шивший задачу, поднимает руку, к нему подходит кто-то из преподавателей и слушает решение. Иногда решение разбира- ется у доски. Задачи подбираются более или менее по темам, но с таким расчётом, чтобы пришедший впервые школьник также мог их решать. Как правило, мы включали в задание шесть задач (обыч- но пятая и шестая задача были не совсем математические). Мы приводим также задачи собеседований. Первые два собеседования (27 марта и 3 апреля) были письменными: школьникам предлагалось записать ответы и краткие реше- ния задач. Следующие собеседования уже были устными (и проходили примерно так же, как и занятия кружка). Задачи после звёздочек | дополнительные. Занятие 4 октября 1995 1. Может ли шахматный конь обойти все 9 полей дос- ки 3 × 3? 2. Сравните дроби 1994 1995 и 1995 1996 Вечерняя математическая школа и собеседования 9 3. Как вы думаете, в записи числа 2 1000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? 4. Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У не- го не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед при- ходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать насто- ящую. Что потерял купец? 5. Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? 6. Следующий текст получен из хорошо известного за- меной каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. | Сагдау ра накя, сагдау ра накя? | пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. | Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. | Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. | Сгюдзеном чулагьув, | сгюрюгбуз Лсэтов, пудано- руелщ р юфяезю. | Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. | Ьалщя, ьалщя, | сгюфюзчуз юв, | чя ря уряд ра сугзя. | Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя су- го ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрю- руз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рю- гюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгув- тап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. | Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, | сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. | Нэкя, ьюзбунщ, | юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, | ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. Е 10 Вечерняя математическая школа и собеседования Занятие 11 октября 1995 1. В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? 2. Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70 ∘ ? 3. Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? 4. Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Пер- вый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. 5. В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? 6. Отгадайте закон и продолжите таблицу: 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 Занятие 18 октября 1995 1. У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелё- ных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? 2. У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Вечерняя математическая школа и собеседования 11 3. Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? 4. Прямоугольную шоколадку размером 3×4 разламыва- ют на дольки 1×1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? 5. Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картош- кой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? 6. В комнате стоят три электрические лампочки, в со- седней | три выключателя к ним, причем на каждом напи- сано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой вы- ключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из ком- наты с выключателями не видны. Как определить, какой вы- ключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зай- ти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ. Занятие 25 октября 1995 1. Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 до- рог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? 2. Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? 3. Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? 4. Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные квар- талы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в се- веро-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различ- ных путей существует? 12 Вечерняя математическая школа и собеседования 5. Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? 6. Замените во фразе И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяют- ся на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов. Занятие 1 ноября 1995 1. На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) 2. Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? 3. Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем ве- рёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? 4. На сколько частей делят пространство плоскости, явля- ющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? 5. Почему крышки канализационных люков делают круг- лыми, а не овальными или квадратными? 6. На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развя- зывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел? Занятие 15 ноября 1995 1. В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одина- ково. 2. Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Вечерняя математическая школа и собеседования 13 3. Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам кон- феты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? 4. Докажите, что в любой компании найдутся два че- ловека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) 5. Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? 6. Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёст- кую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно дру- га. Занятие 22 ноября 1995 1. Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщи- на? 2. Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно упла- тить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак | пять копеек, алтын | три копейки; это старинные русские монеты.) 3. На плоскости нарисовано несколько окружностей, лю- бые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фи- гуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. 4. В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое сле- дующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? 5. Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два поло- жения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2 , а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 14 Вечерняя математическая школа и собеседования 3 . Как, имея два таких выключателя и много провода, сде- лать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? 6. На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает | в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмо- тра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)? Занятие 29 ноября 1995 1. Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дро- бей 13 21 и 21 34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). 2. Сократимы ли дроби: 39 57 ; 6 1357 ; 1363 1357 = 1 6 1357 ? 3. При каких n и на что можно сократить дроби n + 6 n ; n + 19 n + 13 ; 5n + 3 3n + 2 ? 4. Найти сумму 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + . . . + 1 99 · 100 (Указание: начните складывать.) 5. Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинако- вой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм са- харного песка? Вечерняя математическая школа и собеседования |