Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
Задание 13 марта 1996 1. Изменятся ли частное и остаток, если делимое и де- литель увеличить в три раза? 2. Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? 3. На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? 4. На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. 5. Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? 6. У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости? Занятие 20 марта 1996 1. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности рав- на 25.Найдите уменьшаемое. 2. Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно ме- нять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равно- мерно.) 3. Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? 4. Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна це- ликом? 26 Вечерняя математическая школа и собеседования 5. На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпус- кая концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? 6. Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили вы- гнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школь- ников останется, если это решение выполнить? Собеседование 27 марта 1996 года Вариант 1 1. Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). 2. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? 3. Найдите положительное целое число n, если известно, что (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4 158. 4. Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3 , cd = 4, de = 5. Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см 2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. 6. Как замостить плоскость одинаковыми плитками, име- ющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 6)? (Нари- суйте подробную схему укладки плит.) Рис. 6 Рис. 7 7. Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков Вечерняя математическая школа и собеседования 27 получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. 8. В треугольнике ABC угол B равен 20 ∘ , а угол C ра- вен 40 ∘ . Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точ- ку E, для которой угол AEB равен 80 ∘ .) Вариант 2 1. Найдите наименьшее целое число, большее 10 100, ко- торое является точным квадратом (квадратом другого цело- го числа). 2. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? 3. Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4 095 и что n | целое положительное число. Найдите его. 4. Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3 , bc = 2, cd = 4, de = 5. Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м 2 . Найдите пе- риметр исходного прямоугольника. 6. Как замостить плоскость одинаковыми плитками, име- ющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нари- суйте подробную схему укладки плит.) 7. Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих ку- сочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Ука- жите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) 8. В треугольнике ABC угол B равен 40 ∘ , а угол C ра- вен 20 ∘ , разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 ∘ .) Собеседование 3 апреля 1996 года Вариант 1 1. Какое число (одно и то же) надо прибавить к числи- телю и знаменателю дроби 11 41 , чтобы она превратилась в 3 8 ? 28 Вечерняя математическая школа и собеседования 2. (а) Найдите минимальное пятизначное число, деляще- еся на 123. (б) Сколько существует пятизначных чисел, де- лящихся на 123? (Пятизначные числа | это числа от 10 000 до 99 999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоуголь- ника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон пря- моугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоуголь- ник у него был? 4. Вычислите произведение, приведя подобные члены: (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ). 5. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE паралле- лен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, ес- ли углы B и C треугольника равны соответственно 45 ∘ и 60 ∘ 6. Как замостить плоскость одинаковыми плитками, по- казанными на рис. 8? Плитки нельзя переворачивать другой стороной. (Нарисуйте подробную схему укладки плиток.) Рис. 8 Рис. 9 7. (а) Найдите положительное число (не обязательно це- лое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном полу- чаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Вариант 2 1. Какое число (одно и то же) надо прибавить к числи- телю и знаменателю дроби 36 91 , чтобы она превратилась в 4 9 ? 2. (а) Найдите минимальное пятизначное число, деляще- еся на 213. (б) Сколько существует пятизначных чисел, де- лящихся на 213? (Пятизначные числа | это числа от 10 000 до 99 999.) Вечерняя математическая школа и собеседования 29 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоуголь- ника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон пря- моугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоуголь- ник у него был? 4. Вычислите произведение, приведя подобные члены: (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ). 5. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE парал- лелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 ∘ и 25 ∘ 6. Как замостить плоскость одинаковыми плитками, по- казанными на рис. 9? Плитки нельзя переворачивать другой стороной. (Нарисуйте подробную схему укладки плиток.) 7. (а) Найдите положительное число (не обязательно це- лое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном полу- чаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Собеседование 6 апреля 1996 года 1. Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы | это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). 2. В четырёхугольнике ABCD продолжения противопо- ложных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 ∘ ; про- должения противоположных сторон BC и AD также пере- секаются под углом в 20 ∘ , Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 ∘ 3. Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-ме- тровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов повора- чивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком рас- стоянии от места старта это произойдёт? 30 Вечерняя математическая школа и собеседования 4. Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте тра- екторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? 5. Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них рав- на 2. Каким может быть среднее по величине число? * * * 6. Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров пе- риметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). 7. Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг дру- гу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом. Собеседование 10 апреля 1996 1. В каких пределах могут находиться сумма a + b, раз- ность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? 2. На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. 3. Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоро- стью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интерва- лами прибывают гонцы в Б? 4. Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точ- ки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров Вечерняя математическая школа и собеседования 31 по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? 5. Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек вы- полнило не менее 30% своей доли | таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто вы- полнил не менее 70% своей доли | таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хо- тя бы треть работы? * * * 6. Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встре- тил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) 7. Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (ка- ждый из четырёх квадратиков каждой грани | в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе на- ходящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое макси- мальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано? Собеседование 13 апреля 1996 года 1. На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вы- черкнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , ка- ждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: 1 1 · 199 + 1 3 · 197 + 1 5 · 195 + . . . + 1 197 · 3 + 1 199 · 1 = = 1 100 (︂ 1 + 1 3 + 1 5 + . . . + 1 199 )︂ 3. В выражении (a+b−c)(d−e−f)(g−h+i)(k+l+m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколь- кими из них будет стоять знак минус? 32 Вечерняя математическая школа и собеседования 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 ∘ . Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который раз- решается перекатывать через рёбра (при перекатывании ре- бро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернул- ся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на ис- ходных местах). Собеседование 17 апреля 1996 года 1. (а) Докажите, что сумма дробей 1/1000 + 1/1001 + + 1/1002 + . . . + 1/1999 + 1/2000 не меньше 1/2. (б) Тот же вопрос для суммы 1/1000+1/1001+1/1002+. . .+1/1995+ + 1/1996 2. Найдите самое большое натуральное число, при деле- нии которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. 3. Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + + b) = (c − d)/(c + d) 4. В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE , BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 ∘ Найдите угол FED. 5. На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. По- том покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы од- ной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8 -угольник? 13-угольник? Вечерняя математическая школа и собеседования 33 * * * 6. Восстановите пример: * * * * * * * ** * * * **8** * * * * * * * * * * 0 7. Может ли получиться 14-угольник в задаче 5? Собеседование 20 апреля 1996 1. Собака преследует зайца, который находится на рас- стоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц | 9, но 3 прыжка соба- ки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? 2. Известно, что положительные числа x и y таковы, что x 4 = 37 , y 3 = 15 . Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуе- мые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинако- вых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к дру- гу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря | число вершин ше- стиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? 34 Вечерняя математическая школа и собеседования * * * 6. По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: впра- во { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в ис- ходное положение, и если да, то через сколько раз? 7. По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1? Собеседование 26 апреля 1996 года (физика) 1. Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? 2. Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы на- вернуть её на винт, головка которого вмурована в стену | по часовой стрелке или против? 3. Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? 4. При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка дви- жется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее | приёмная или подающая? 5. Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария | слева направо или справа налево? 6. В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. 7. Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина | подсолнечным маслом (до той же высо- ты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? 8. Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого пра- вого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл ле- вый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Вечерняя математическая школа и собеседования 35 9. В каких из 8 случаев перепиливания тяжёлого бревна на двух опорах (рис. 10) пилу будет зажимать? A A A A 6 ? 6 ? A A A A 6 ? 6 ? Рис. 10 10. Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи при- поднимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, при- липающей к снегу, а концы | мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается? Задачи 1996 { 1997 года Звёздочками отделены дополнительные задачи. Часть из них была в листочках, остальные выдавались школьникам в индивидуальном порядке после проверки всех обязательных задач и никак не регистрировались. Числовая ось 1. Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. 2. Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. 3. Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. |