Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
сходится, а другая расходится? (б) обе расходятся? 7. (а) Дать определение стремящейся к бесконечности последовательности и доказать, что x 0 , x 1 , . . . стремится к бесконечности (запись: x i → ∞) тогда и только тогда, когда последовательность y i = 1/x i сходится к нулю. (б) Дать определение стремящейся к +∞ последовательности. 8. Известно, что последовательность x n имеет предел. (а) Доказать, что последовательность y n = x n+1 − x n схо- дится к нулю. (б) Верно ли обратное? (в) Что можно сказать про последовательность x n+1 /x n ? 9. Что можно сказать о последовательностях x n + y n , x n − y n , x n y n и x n /y n , если известно, что последователь- ности x n и y n стремятся к +∞? 10. ⋆ Доказать, что 0,99 n сходится к 0, можно так: сна- чала (с помощью аксиомы полноты) установить, что предел существует, а затем | что он равен 0. Провести это рассу- ждение подробно. 11. Последовательность a n состоит из положительных чисел. Предположим, что последовательность отношений со- седних членов a n+1 /a n имеет предел α. Что можно ска- зать о последовательности a n , если известно, что (а) α < 1; (б) α = 1; (в) α > 1? 12. Доказать, что при любом целом положительном c и Задачи 1998 { 1999 года 143 при любом a > 1 последовательность n c /a n сходится к 0 (геометрическая прогрессия растёт быстрее любой степени). 13. Доказать, что при любом a > 0 последовательность a n /n! сходится к 0 (факториал растёт быстрее геометриче- ской прогрессии). 14. Какое из чисел 2 n √ n и n! больше при больших n? 15. Найти предел последовательности n √ n c (здесь c | фиксированное положительное целое число). 16. Найти предел последовательности n √ 2 n + 3 n 17. Найти предел последовательности √ n 2 +n − √ n 2 −n 18. ⋆ Найти предел последовательности 3 √ n 3 + n 2 − n 19. ⋆ Найти предел последовательности 3 √ n 3 + n − n 20. Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . из неотрицатель- ных чисел сходится к числу a. Доказать, что a неотрица- тельно и √ x n → √ a 21. (Продолжение) Тот же вопрос для 3 √ x n 22. Последовательность чисел x 0 , x 1 , . . . сходится к чи- слу a. Доказать, что последовательность sin x 0 , sin x 1 , . . . схо- дится к числу sin a. Верны ли аналогичные утверждения для косинуса и тангенса? 23. Последовательность x n определена так: x 0 = 0 , а x n+1 = √ 6 + x n . Найти её предел (если он есть). 24. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос, если x n+1 = √ 3+x n 25. Последовательность x n определена так: x 0 = 1 , а x n+1 = sin x n . Найти её предел (если он есть). 26. ⋆ Тот же вопрос, если x 0 = 1 , а x n+1 = cos x n 27. Каждый следующий член последовательности на еди- ницу больше трети предыдущего. Доказать, что последова- тельность сходится и найти её предел. 28. Функция f с действительными аргументами и зна- чениями такова, что |f(y) − f(x)| 6 0,99|y − x| для всех x и y. Доказать, что при любом a последовательность a, f(a), f(f(a)) , f(f(f(a))), . . . сходится и что её предел α является неподвижной точкой функции f, то есть f(α) = α. 29. ⋆ Последовательность x n точек отрезка [0, 1] опреде- лена соотношением x n+1 = f(x n ) , где f | функция, график 144 Задачи 1998 { 1999 года которой изображён на рис. 24. При каких x 0 эта последо- вательность имеет предел и чему равен этот предел? (Дать ответ для каждого из двух вариантов рисунка.) 0 0 1 1 0 0 1 1 Рис. 24 30. Первые два члена последовательности равны a и b, а каждый следующий есть среднее арифметическое двух пре- дыдущих. Доказать, что последовательность сходится, и най- ти её предел. 31. ⋆ Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . состоит из поло- жительных чисел, и каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Доказать, что предел x n+1 /x n су- ществует, и найти его. 32. ⋆ Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . определена рекур- рентным соотношением x n+1 = 1 + 1/x n ; при этом x 0 = 2 Доказать, что эта последовательность сходится, и найти её предел. 33. ⋆ Пусть n 0 , n 1 , n 2 , . . . | произвольная последователь- ность целых положительных чисел. Доказать, что последо- вательность n 0 , n 0 + 1 n 1 , n 0 + 1 n 1 + 1 n 2 , n 0 + 1 n 1 + 1 n 2 + 1 n 3 , . . . имеет предел (который называют значением бесконечной цеп- ной дроби). 34. Известно, что последовательность x 0 , x 1 , . . . сходится к 1 и все её члены отличны от 1. Найти предел последова- тельности (x 5 n − 1)/(x n − 1) Задачи 1998 { 1999 года 145 35. (Продолжение) Тот же вопрос для последовательно- сти ( √ x n − 1)/(x n − 1) 36. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос для последовательно- сти (sin x n − sin 1)/(x n − 1) 37. ⋆ Последовательность неотрицательных чисел a 0 , a 1 , a 2 , . . . такова, что a m+n 6 a m + a n для любых m, n > 0. Доказать, что последовательность a n /n имеет предел. 38. ⋆ Последовательность x 1 , x 2 , . . . имеет предел a. До- казать, что последовательность средних арифметических y i = = (x 1 +. . .+x i )/i также имеет предел a. Верно ли обратное? 39. ⋆ Доказать, что последовательности (︀1+ 1 n )︀ n , (︀1+ 1 n )︀ 2n , (︀1 + 1 2n )︀ n и (︀1 + 2 n )︀ n сходятся. Как связаны их пределы? 40. ⋆ (Задача о беспризорниках и каше) По кругу написаны n чисел. За один шаг каждое из чисел заменяют на среднее арифметическое двух его соседей, и так делают бесконечно много раз. Посмотрим на числа, стоящие в фиксированной точке круга в последовательные моменты времени. Можно ли утверждать, что эта последовательность сходится? 41. ⋆ (Продолжение) На гранях куба написаны числа. За один шаг каждое из чисел заменяют на среднее арифмети- ческое его четырёх соседей. Можно ли утверждать, что для любой грани последовательность написанных на ней чисел имеет предел? 42. ⋆ Найти предел последовательности (1 10 + 2 10 + . . . + + n 10 )/n 11 Ряды Сумма бесконечного ряда x 1 + x 2 + . . . + x n + . . . опре- деляется как предел частичных сумм s n = x 1 + . . . + x n . Ес- ли этот предел существует, ряд называют сходящимся; если нет | расходящимся. 1. При каких x сходится ряд 1+x+x 2 + x 3 + . . . ? Какова его сумма? 2. ⋆ При каких x сходится ряд 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + . . . ? Какова его сумма? 146 Задачи 1998 { 1999 года 3. ⋆ При каких x сходится ряд 1+x+2!x 2 +3!x 3 +4!x 4 +. . . ? Какова его сумма? 4. Найти сумму ряда P ∞ n=1 1/(n(n + 1)) = 1/(1 · 2) + + 1/(2 · 3) + . . . 5. Найти сумму ряда P ∞ n=1 1/(n 2 + 8n + 15) 6. Найти сумму ряда P ∞ n=1 1/(n(n + 1)(n + 2)) 7. Указать N, при котором сумма первых N членов ряда P ∞ n=1 1/n 2 отличается от его суммы не более чем на 1/1000. 8. Ряд состоит из положительных членов, но не сходится. Доказать, что найдётся частичная сумма этого ряда, боль- шая 10. 9. (а) Доказать, что ряд 1−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+. . . сходится. (б) Сформулировать и доказать общее утвержде- ние про сходимость знакопеременных рядов с убывающими по модулю членами. 10. Найти сумму ряда 1/1 5 −1/2 5 +1/3 5 −. . . с точностью до 1%. 11. Может ли сходящийся ряд стать расходящимся, ес- ли его члены сгруппировать (сложить) по два? Может ли расходящийся ряд стать при этом сходящимся? 12. Сходящийся ряд состоит из неотрицательных членов. Доказать, что при любой перестановке членов он останется сходящимся и сумма не изменится. 13. Доказать, что члены сходящегося ряда стремятся к нулю. Верно ли обратное? 14. Ряд a 1 +a 2 +. . . состоит из неотрицательных членов, причём a 1 > a 2 > a 3 > . . . . Доказать, что он сходится или расходится одновременно с рядом a 1 + 2a 2 + 4a 4 + 8a 8 + . . . 15. При каких s > 0 ряд 1/1 s +1/2 s +1/3 s + . . . сходит- ся? (Его сумма обозначается обычно ζ(s) и называется дзе- та-функцией Римана.) 16. Сходится ли ряд P (1/n log n)? 17. Сходится ли ряд P (1/n log 2 n) ? 18. ⋆ Сходится ли ряд P (1/n log n log log n)? 19. Ряд x 1 + x 2 + . . . называют абсолютно сходящимся, если ряд из модулей |x 1 |+|x 2 |+|x 3 |+. . . сходится. Доказать, что всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Задачи 1998 { 1999 года 147 20. (Продолжение) Привести пример сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда. 21. ⋆ Доказать, что при перестановке и группировке чле- нов абсолютного сходящегося ряда он остаётся абсолютно сходящимся и сумма его не меняется. 22. ⋆ В произведении двух абсолютно сходящихся рядов (a 1 + a 2 + . . . )(b 1 + b 2 + . . . ) раскрыли скобки (расположив попарные произведения в ка- ком-то порядке). Доказать, что получится абсолютно схо- дящийся ряд и его сумма будет равна произведению сумм исходных рядов. 23. ⋆ Доказать, что если ряд сходится, но не абсолютно, то перестановкой его членов можно получить ряд с любой заданной наперёд суммой. 24. Доказать, что ряд 1+x+x 2 /2!+x 3 /3!+. . . абсолютно сходится при любом x. 25. ⋆ (Продолжение) Обозначим сумму этого ряда через exp(x). Доказать, что exp(x + y) = exp(x) exp(y) при всех x и y. 26. ⋆ Доказать, что exp(1) = lim n →∞ (1 + 1/n) n . (Это чи- сло называется основанием натуральных логарифмов и обо- значается e.) 27. ⋆ Доказать, что exp(x) = e x (а) для положительных целых x; (б) для любых целых x; (в) для любых рациональ- ных x. 28. ⋆ Доказать, что функция exp монотонна, т. е. exp(x) < < exp(y) при x < y (числа x и y могут быть и отрицатель- ными). 29. ⋆ (а) Определить сумму ряда из комплексных чисел. Какие ряды естественно назвать абсолютно сходящимися? Доказать, что они сходятся. (б) Определить exp(z) для ком- плексного z и доказать, что exp(z) при чисто мнимом z лежит на единичной окружности. 30. ⋆ Из ряда P 1/n выбросили все члены, в которых в десятичной записи знаменателя есть цифра 7. Сходится ли полученный ряд? 148 Задачи 1998 { 1999 года 31. ⋆ Известно, что ряды P a 2 n и P b 2 n сходятся. Следует ли отсюда, что ряд P a n b n сходится? 32. ⋆ (а) Известно, что ряд P a n сходится. Следует ли отсюда, что ряд P a 2 n сходится? (б) Известно, что ряд P a 2 n сходится. Следует ли отсюда, что ряд P a n сходится? (в) Из- вестно, что ряд P a 2 n сходится. Следует ли отсюда, что ряд P a 4 n сходится? (г) Известно, что ряд P a n сходится. Сле- дует ли отсюда, что ряд P a 3 n сходится? 33. ⋆ Ряд P a n состоит из положительных членов и расхо- дится. Доказать, что ряд P b n , где b n = a n /(a 1 +. . .+a n ) , также расходится. 34. ⋆ (а) Доказать, что ряд P ( sin nx)/n сходится при лю- бом x. (б) При каких комплексных z сходится ряд P z n /n ? (Как связаны эти вопросы?) Непрерывные функции Функция непрерывна в точке a, если в близких к a точ- ках она принимает близкие к f(a) значения. Формально гово- ря, функция f: M → R, определённая на некотором множе- стве M ⊂ R, непрерывна в точке a ∈ M, если для всякого ε > 0 найдётся δ > 0 с таким свойством: во всякой точ- ке x ∈ M, отстоящей от a менее чем на δ, значение f(x) отличается от f(a) менее чем на ε: ( ∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)[( |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε]. 1. Доказать непрерывность и указать способ отыскивать δ по ε, если: (а) f(x) = 1 и a = 2; (б) f(x) = x и a = 2; (в) f(x) = x 2 и a = 2; (г) f(x) = 1/x и a = 2; (д) f(x) = √ x и a = 2; (е) f(x) = √ x и a = 0; (ж) f(x) = sin x и a = 1. 2. Закончить фразу, не употребляя слова «не»: «функция f разрывна (не является непрерывной) в точке a, если . . . » 3. ⋆ Пусть функция f определена на множестве целых чи- сел: M = Z. В каких случаях она будет непрерывной соглас- но приведённому определению? 4. Доказать, что следующее определение непрерывности эквивалентно исходному: функция f: M → R непрерывна в Задачи 1998 { 1999 года 149 точке a, если для всякой последовательности x 0 , x 1 , . . . то- чек M, сходящейся к a, последовательность f(x 0 ), f(x 1 ), . . . сходится к f(a). 5. (а) В каких точках непрерывна функция Дирихле, рав- ная 1 в иррациональных точках и 0 в рациональных? (б) Тот же вопрос для функции Римана, которая равна 0 в иррацио- нальных точках и равна 1/q в рациональной точке p/q (если дробь p/q несократима). 6. Привести пример функции, определённой на всей пря- мой и (а) разрывной в целых точках и непрерывной в осталь- ных; (б) непрерывной в целых точках и разрывной в осталь- ных. 7. ⋆ Доказать, что для любого счётного множества дей- ствительных чисел можно построить возрастающую функ- цию, разрывную во всех точках этого множества и непре- рывную во всех остальных. 8. ⋆ Может ли определённая на всех прямой возрастающая функция быть разрывной во всех точках? 9. ⋆ Может ли функция быть непрерывной во всех рацио- нальных точках и разрывной во всех иррациональных? 10. Две функции f и g определены на множестве M и не- прерывны в точке a ∈ M. Доказать, что их сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля в точке a) также непрерывны в этой точке. 11. Функция f определена на множестве X ⊂ R, принима- ет значения в множестве Y ⊂ R и непрерывна в точке a ∈ X. Функция g определена на множестве Y и непрерывна в точке b = f(a) . Доказать, что композиция g ∘ f, то есть функция x ↦ → g ∘ f(x) = g(f(x)), непрерывна в точке a. 12. Будет ли функция √︀sin x − (2 + tg x)/((2 − tg x) 2 ) не- прерывной во всех точках своей области определения? 13. Функция f определена и непрерывна на отрезке. До- казать, что f ограничена на этом отрезке. Почему аналогич- ное рассуждение нельзя провести для интервала? 14. (Продолжение) Функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Доказать, что она достигает максимума: найдётся такая точка m ∈ [a, b], что f(x) 6 f(m) для всех 150 Задачи 1998 { 1999 года x ∈ [a, b] 15. ⋆ Утверждение задачи 14 можно получить как след- ствие задачи 13, рассмотрев функцию 1/(f−sup f). Провести это рассуждение подробно. 16. ⋆ Назовём функцию f ограниченной в окрестности точки a, если найдётся интервал, содержащий a, на кото- ром f ограничена. (а) Привести пример функции, опреде- лённой на всей прямой и не ограниченной ни на каком ин- тервале. (б) Доказать, что всякая определённая на отрезке локально ограниченная (ограниченная в окрестности любой точки отрезка) функция ограничена на всём отрезке. 17. Функция f непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков. Доказать, что она имеет ко- рень на этом отрезке. 18. Доказать, что существует корень любой целой поло- жительной степени из любого положительного числа. 19. Доказать, что всякий многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень. 20. ⋆ Доказать, что квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , для которого a+b+c > 0 и a−b+c < 0, имеет (действительный) корень. 21. Доказать, что любое непрерывное отображение отрез- ка в себя имеет неподвижную точку. 22. Доказать, что всякая строго возрастающая непрерыв- ная функция, определённая на отрезке, является взаимно од- нозначным соответствием между двумя отрезками и обратная функция также непрерывна. 23. ⋆ Доказать, что любое монотонное взаимно однознач- ное соответствие между двумя отрезками непрерывно (в обе стороны). 24. ⋆ (а) Дать определение непрерывности для функций, определённых на плоскости. (б) Доказать, что любой много- член на комплексной плоскости непрерывен. (в) Доказать, что для любого многочлена найдётся точка на комплекс- ной плоскости, где его абсолютная величина минимальна. (г) Доказать, что в этой точке многочлен неизбежно равен Задачи 1998 { 1999 года 151 нулю (основная теорема алгебры). 25. Как надо доопределить функцию sin x/x при x = 0, чтобы она стала непрерывной всюду? 26. ⋆ Функция f называется равномерно непрерывной на множестве M, если для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что образы любых двух точек M, отстоящих менее чем на δ, отстоят менее чем на ε. (а) Записать это определение сим- волически. (б) Очевидно, равномерно непрерывная на мно- жестве M функция непрерывна во всех точках множества M . Показать, что обратное утверждение неверно. (в) Будет ли функция x ↦→ x 2 равномерно непрерывной? (г) Тот же вопрос для функции x ↦→ √ x (определённой на множестве неотрицательных чисел). (д) Тот же вопрос для функции x ↦ → sin(x 2 ) . (е) Показать, что всякая непрерывная на отрез- ке функция равномерно непрерывна. 27. Доказать, что если две непрерывные функции опре- делены на всей прямой и совпадают во всех рациональных точках, то они совпадают всюду. 28. ⋆ Функция f определена и непрерывна на всей прямой, при этом f(x + y) = f(x) + f(y). Доказать, что эта функция есть умножение на константу. 29. Показательная функция x ↦→ a x (при любом a > 0) обладает такими свойствами: a 0 = 1 , a 1 = a , a x+y = a x ·a y Кроме того, при a > 1 она монотонно возрастает, при a = 1 постоянна, а при a < 1 убывает. Считая эти свойства из- вестными, доказать, что показательная функция непрерывна (а) в точке 0; (б) во всех точках прямой. 30. ⋆ (Продолжение) (а) Доказать, что указанные в преды- дущей задаче свойства определяют показательную функцию однозначно. (б) Пользуясь лишь этими свойствами, доказать, что 6 x = 2 x 3 x при всех x. 31. ⋆ Дать определение непрерывной на окружности функ- ции. Доказать, что для любой непрерывной на окружности функции найдутся две диаметрально противоположные точ- ки, в которых она принимает равные значения. 32. Доказать, что любой многоугольник можно разделить вертикальной прямой на две равновеликие (равные по пло- 152 Задачи 1998 { 1999 года щади) части. 33. ⋆ На плоскости нарисовано два многоугольника (воз- можно, пересекающихся). Доказать, что найдётся прямая, которая делит каждый из них на две равновеликие части. 34. ⋆ Дать определение непрерывности для функции, опре- делённой на подмножестве плоскости. Доказать, что всякая непрерывная на квадрате функция ограничена и достигает максимума. 35. ⋆ Функция f: R → R непрерывна. Доказать, что урав- нение f(f(x)) = x имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение f(x) = x имеет решение. 36. ⋆ Определённая на отрезке функция называется вы- пуклой вниз, если хорда, соединяющая любые две точки гра- фика, лежит выше графика. Доказать, что всякая выпуклая вниз функция непрерывна. 37. ⋆ Доказать, что если непрерывная на отрезке функция удовлетворяет неравенству f((x + y)/2) 6 (f(x) + f(y))/2, то она выпукла вниз. Пределы функций Пусть функция f определена на множестве M ⊂ R и при- нимает действительные значения. Пусть a | действительное число (принадлежащее M или нет). Говорят, что f(x) имеет предел A при x, стремящемся к a, если для всякого ε > 0 найдётся окрестность точки a, во всех точках которой (кро- ме, быть может, самой точки a) значения функции отлича- ются от A меньше чем на ε: ( ∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)[(x̸=a и |x−a|<δ) ⇒ |f(x)−A|<ε]. Запись: A = lim x →a f(x) 1. Закончить предложение: функция f: M → R непре- рывна в точке a ∈ M тогда и только тогда, когда предел 2. ⋆ Напротив, можно формально определить предел че- рез непрерывность: функция f: M → R имеет предел A в точке a, если она становится непрерывной в точке . . . (за- кончить определение). Задачи 1998 { 1999 года 153 3. Говорят, что точка a является предельной точкой мно- жества M, если сколь угодно близко к a имеются точки множества M, отличные от a. Доказать, что в этом случае предел lim x →a f(x) определён однозначно (если существует): два разных числа не могут быть пределами одновременно. 4. Закончить предложение (и доказать): функция f: M → → R имеет предел A в точке a, если и только если для любой последовательности точек M, сходящейся к a, . . . 5. Сформулировать и доказать утверждения о пределе суммы, разности, произведения и частного. 6. ⋆ Известно, что lim x →a f(x) = b и lim y →b g(y) = c Почему формально нельзя утверждать, что в этом случае lim x →a g(f(x)) = c ? (Считаем, что f и g | функции, опре- делённые на всех действительных аргументах.) 7. Найти предел (sin x)/x при x → 0. 8. . . . (sin x)/x при x → 2. 9. ⋆ . . . (1 − cos x)/x 2 при x → 0. 10. ⋆ . . . ( sin x − tg x)/x 3 при x → 0. 11. ⋆ . . . ( arcsin x)/x при x → 0. 12. . . . (x 10 − a 10 )/(x − a) при x → a. 13. . . . ((2 + 3x) 10 − 2 10 )/x при x → 0. 14. . . . ( √ x − √ a)/(x − a) при x → a. 15. . . . ( 3 √ x − 3 √ a)/(x − a) при x → a. 16. ⋆ . . . ( sin x − sin a)/(x − a) при x → a. 17. ⋆ sin 3x/ sin 5x при x → 0. 18. Дать определение предела функции f «при x, стре- мящемся к a справа». (Иногда это обозначают x → a + 0; аналогично x → a − 0 обозначает, что x стремится к a сле- ва.) Доказать, что монотонная (невозрастающая или неубы- вающая) функция всегда имеет пределы справа и слева. В |