Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
3. (Продолжение) Верны ли аналогичные утверждения для косинуса и для тангенса? 4. Три стороны правильного треугольника изменили не более чем на 1% каждую. Доказать, что его площадь изме- нилась не более чем на 3%. Задачи 1997 { 1998 года 121 5. Число x изменили не более чем на 0,1. Могло ли зна- чение x 2 измениться более чем на 10? Тот же вопрос для значения √ x 6. Доказать, что при |x| < 0,001 погрешность приближён- ной формулы (1 + x) 2 ≈ 1 + 2x не превосходит 1% от |x|. (Погрешностью приближённой формулы называется разница между левой и правой частями.) 7. (Продолжение) Та же задача для приближённой фор- мулы 1/(1 − x) ≈ 1 + x. 8. (Продолжение) Доказать, что при |x| < 0,001 погреш- ность приближённой формулы 1/(1 − x) ≈ 1 + x + x 2 не превосходит 1% от x 2 * * * 9. Три стороны правильного треугольника изменили не более чем на 1% каждую. Доказать, что радиус вписанной окружности изменился не более чем на 10%. 10. Три стороны правильного треугольника изменили не более чем на 1% каждую. Доказать, что радиус описанной окружности изменился не более чем на 10%. 11. Три стороны треугольника изменили не более чем на 1% каждую. Могла ли его площадь измениться более чем на 3%? 12. Число x изменили не более чем на 0,01. Могло ли значение sin x 2 измениться более чем на 1? 13. Доказать, что при |x| < 0,001 погрешность приближённой формулы √ 1 + x ≈ 1 + x/2 не превосходит 1% от x. 14. Придумать приближённую формулу для 3 √ 1 + x (для ма- лых x) и оценить её погрешность при |x| < 0,001. 15. Показать, что при больших x есть приближённая формула √ x + 1 − √ x ≈ 1/(2 √ x) : при x > 1000 погрешность не превосходит 1 % от правой части формулы. 16. Доказать, что при x от 0 до π/2 выполнены неравенства sin x 6 x 6 tg x. Вывести из этого, что при |x| < 0,01 погрешность приближённой формулы sin x ≈ x не превосходит 1% от x. (Углы измеряются в радианах.) 17. (Продолжение) Доказать, что при |x| < 0,001 погрешность приближённой формулы cos x ≈ 1 − x 2 /2 не превосходит 1% от x 2 (Углы измеряются в радианах.) 122 Задачи 1997 { 1998 года Математический анализ: разные задачи 1. Точки прямой раскрашены в два цвета: чёрный и белый (есть и те, и другие). Доказать, что есть две точки разного цвета на расстоянии меньше 0,01. 2. Все члены последовательности x 1 , x 2 , . . . лежат на отрезке [0, 1]. Доказать, что можно найти отрезок длиной 1/1000 , содержащий бесконечно много членов последова- тельности. 3. Последовательность x 1 , x 2 , . . . называется невозраста- ющей, если x 1 > x 2 > . . . , и неубывающей, если x 1 6 x 2 6 . . . Показать, что из любой бесконечной последовательности мож- но выбросить часть членов так, чтобы осталась бесконечная неубывающая или невозрастающая последовательность. 4. Существует ли последовательность с таким свойством: любой интервал (a, b) (где a < b) содержит бесконечно мно- го членов этой последовательности? 5. Может ли последовательность не иметь ни наибольше- го, ни наименьшего члена? 6. Доказать, что из 11 бесконечных десятичных дробей можно всегда выбрать две, которые совпадают в бесконечном числе разрядов. 7. Все члены последовательности x 1 , x 2 , . . . лежат на от- резке [0, 1]. Доказать, что можно выбросить часть членов так, чтобы осталась бесконечная последовательность y 1 , y 2 , . . . , для которого |y 2 − y 1 | 6 1/2, |y 3 − y 2 | 6 1/4 и вообще |y i+1 − y i | 6 1/2 i 8. На плоскости выбрано 100 различных точек. Доказать, что можно провести прямую таким образом, чтобы на ней не лежало ни одной точки, по одну сторону было 43 точки, а по другую | 57 точек. 9. Найти коэффициенты a и b, если известно, что прямая y = ax+b проходит через точку (1, 1) и имеет единственную общую точку с параболой y = x 2 . Нарисовать прямую и параболу на одном чертеже. 10. Найти коэффициенты a и b, если известно, что пря- мая y = ax + b проходит через точку (2, 1/2) и имеет един- Задачи 1997 { 1998 года 123 ственную общую точку с гиперболой y = 1/x. Нарисовать прямую и гиперболу на одном чертеже. * * * 11. Будем (в этой задаче) обозначать сумму цифр натурального числа a через s(a). Пусть даны два натуральных числа a и b, причём a < b и s(a) < s(b). Показать, что на отрезке от a до b можно найти натуральное число с любой наперёд заданной суммой цифр в интервале от s(a) до s(b). 12. Даны последовательности натуральных чисел a 1 , a 2 , . . . ; b 1 , b 2 , . . . ; c 1 , c 2 , . . . Доказать, что можно найти два номера i и j, для которых i < j, и при этом a i 6 a j , b i 6 b j и c i 6 c j 13. Функция f ставит в соответствие каждому действительному числу x некоторое действительное число f(x), причём |f(y)−f(x)| 6 6 (y − x) 2 для всех x и y. Что можно сказать о функции f? 14. Часть плоскости, находящаяся между графиком гиперболы y = 1/x и осью абсцисс, разделена на куски вертикальными пря- мыми с абсциссами 1, a, a 2 , a 3 , . . . (где a > 1 | некоторое число). Доказать, что площади всех кусков равны. 15. (Продолжение) Будет ли часть плоскости, ограниченная графиком гиперболы y = 1/x, осью абсцисс и прямой x = 1, иметь конечную или бесконечную площадь? 16. (Продолжение) Используя предыдущую задачу, доказать, что сумма 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/n может быть больше 1000. 17. (Продолжение) Сформулировать и решить аналогичные за- дачи для кривой y = 1/(x √ x) 18. Пусть S 1 | площадь фигуры, ограниченной графиком y = = x 2 , осью абсцисс и прямой x = 1. Пусть S 2 | площадь фигуры, ограниченной графиком y = √ x , осью абсцисс и прямой x = 1. Найти S 1 + S 2 19. Доказать, что не всякое целое положительное число, боль- шее 1000, можно представить в виде 2 x + 3 y + 4 z + 5 u + 6 v + w , где x, y, z, u, v | целые положительные числа, а w | целое положи- тельное число, меньшее 1000. Задачи устного экзамена Экзамен проводился по следующей схеме. Каждый школь- ник в начале экзамена получал 4 задачи из некоторого на- бора. Любую задачу можно было рассказать (один раз), по- лучив за её решение плюс или минус, либо отказаться от 124 Задачи 1997 { 1998 года задачи, получив за неё ноль. В любом случае задача заме- нялась на новую; таким образом, в течение всего экзамена у школьника было 4 нерешённых задачи. Часть задач была взята из листочков первых двух лет. Кроме того, предлагались следующие задачи: 1. Композиция n симметрий равна композиции m симме- трий. Что можно сказать про m и n? 2. Точки A и B находятся в противоположных четвертях перекрестка двух дорог. Найти кратчайший маршрут из A в B, если дороги можно переходить только перпендикулярно. 3. В угол α между двумя зеркалами влетел солнечный луч и не попал в вершину. Доказать, что он вылетит обратно. При каких α он вылетит в противоположном направлении? 4. Доказать, что существует бесконечно много натураль- ных чисел, не представимых в виде суммы трех квадратов натуральных чисел. 5. Доказать, что существует бесконечно много натураль- ных чисел, не представимых в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. 6. Доказать, что существует бесконечно много натураль- ных чисел, не представимых в виде суммы трех кубов нату- ральных чисел. 7. Доказать, что существует бесконечно много натураль- ных чисел, не представимых в виде суммы двух кубов нату- ральных чисел. 8. Найти целые m и n, не равные нулю, такие, что |m + + n √ 5 | < 0,001. 9. Найти целые m и n, не равные нулю, такие, что |m + + n √ 7 | < 0,001. 10. Найти сумму k-х степеней всех корней n-й степени из единицы. 11. Найти сумму 1 + 2 · 2 + 3 · 2 2 + . . . + (n + 1)2 n 12. При каких z, w ∈ C расстояние между точками z и w больше расстояния между z 2 и w 2 ? Задачи 1997 { 1998 года 125 13. Найти сумму 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + 99 · 100. 14. Найти сумму 1 1 · 3 + 1 2 · 4 + 1 3 · 5 + . . . + 1 98 · 100 15. Найти сумму 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + . . . + 1 (n − 2) · (n − 1) · n 16. Найти все такие z ∈ C, что z, z 2 , z 3 и z 4 образуют квадрат. 17. Какое наибольшее значение может принимать сумма |a−b|+|b−c|+|c−d|+|d−e|+|e−a|, если числа a, b, c, d, e лежат на отрезке [0, 1]? 18. Найти минимум выражения a 2 + (a − b) 2 + (b − c) 2 + + (1 − c) 2 19. Существуют ли такие числа x и y, что sin y − sin x = = (y − x)/57 ? 20. Доказать, что если треугольник не является равносто- ронним, то существует другой треугольник той же площади и меньшего периметра. 21. Доказать, что если треугольник не является равно- сторонним, то существует другой треугольник того же пери- метра и большей площади. 22. Сколько существует троек целых чисел {a, b, c}, для которых 0 6 a 6 b 6 c 6 10? 23. Доказать, что количество троек целых чисел {a, b, c}, для которых 0 6 a 6 b 6 c 6 10, равно количеству троек целых чисел {a, b, c}, для которых 0 < a < b < c < 14. 24. На каждом шаге кузнечик прыгает вправо или влево на 1 см по прямой. Он сделал 17 шагов и сдвинулся вправо на 9 см. Сколькими способами он мог это сделать? 25. Найти максимальное значение произведения ab, если a и b | неотрицательные действительные числа и, кроме того, a + 2b 6 1. 126 Задачи 1997 { 1998 года 26. Все шесть координат вершин треугольника | целые числа, и его площадь равна S. Доказать, что число 2S | целое. 27. По кругу написано несколько чисел, и каждое есть среднее арифметическое двух соседей. Доказать, что все чи- сла равны. 28. Есть 10 целых чисел. Всегда ли из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых делится на 7? 29. Есть 10 целых чисел. Всегда ли из них можно вы- брать 5 чисел, сумма которых делится на 7? 30. Могут ли в последовательности Фибоначчи два числа, стоящие через одно, оба делиться на 17? 31. Доказать, что если число a 2 + b 2 делится на 7, то a 2 + b 2 делится на 49 (a и b | целые числа). 32. Может ли в прямоугольном треугольнике с целыми сторонами гипотенуза быть чётной, а один из катетов | не- чётным? 33. Можно ли построить угол в 7 ∘ , имея угол в 37 ∘ ? 34. На какое максимальное число частей могут делить плоскость 17 окружностей? 35. Какой остаток даёт число 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 57 2 при делении на 7? 36. Бывают ли такие три отрезка, что любые два из них несоизмеримы? 37. Найти число знаков в десятичной записи числа 3 100 с ошибкой не более чем в 10%. 38. Сколько чисел от 1 до 1000 взаимно просто с чи- слом 1001? 39. Найти сумму 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 999. 40. Всегда ли среди 100 целых чисел можно найти две различные группы с одинаковой суммой? 41. Всегда ли среди 100 шестизначных чисел можно най- ти две непересекающиеся группы с одинаковой суммой? 42. Доказать, что в любой строке треугольника Паскаля сумма членов с чётными номерами (считая от начала строки) равна сумме членов с нечётными номерами. Задачи 1997 { 1998 года 127 43. Доказать, что в треугольнике Паскаля есть бесконеч- но много строк, в которых все числа нечётны. 44. Доказать, что любое целое число рублей, более 400, можно заплатить купюрами по 17 рублей и 19 рублей (без сдачи). 45. По кругу стоят 7 чисел, сумма любых трёх подряд идущих больше 5. Доказать, что сумма всех чисел больше 11. 46. Известно, что a 2 + b 2 + c 2 = 9 , a + b + c = 5. Найти ab + bc + ac 47. На окружности помечено 10 точек. Сколькими спосо- бами можно провести 5 непересекающихся хорд с вершинами в этих точках? 48. Окружность радиуса 2π нарисована на клетчатой бу- маге со стороной 1. Какое максимальное число клеток она может пересекать? (Считаются лишь пересечения с внутрен- ностью клетки.) 49. Можно ли провести прямую на клетчатой бумаге, ко- торая проходит ровно через один узел? 50. Можно ли провести прямую на клетчатой бумаге, ко- торая проходит ровно через два узла? 51. Можно ли провести прямую на клетчатой бумаге, ко- торая не подходит ни к одному узлу ближе чем на 1/10 сто- роны клетки? 52. Может ли окружность проходить через 12 точек плос- кости с целыми координатами? Задачи 1998 { 1999 года Начиная с этого года, дополнительные задачи не выно- сились в конец листка, а просто отмечались звёздочками. Среди этих задач есть и весьма трудные, которые решили лишь немногие сильные школьники. Экзамен в этом году был теоретическим (в билете было два вопроса и задачи); в теоретическую часть входили некоторые темы лекций (см. главу «Популярные лекции по математике»). Мы приводим в конце главы примерную программу экзамена. Взаимно-однозначные соответствия. Счётные множества Если между элементами (конечных) множеств A и B мож- но установить взаимно однозначное соответствие (каждому элементу одного соответствует ровно один элемент другого), то множества содержат равное число элементов. 1. На окружности выбрано 100 точек. Доказать, что чи- сло 57-угольников с вершинами в выбранных точках равно количеству 43-угольников с вершинами в выбранных точках. 2. Доказать, что количество последовательностей из ну- лей и единиц длины 100, в которых число единиц нечётно, равно количеству последовательностей из нулей и единиц длины 100, в которых число единиц чётно. Какому тожде- ству для биномиальных коэффициентов соответствует это утверждение? 3. Для каждого целого положительного числа n подсчи- таем число его целых положительных делителей. Доказать, что это число нечётно тогда и только тогда, когда n | точ- ный квадрат. 4. ⋆ Координатная плоскость разбита на клетки размера 1× × 1 (углы клеток имеют целые координаты). (а) Доказать, что число путей (по сторонам клеток) длины 18 из точ- ки (1, 0) в точку (10, 9), имеющих хотя бы одну общую точ- ку с диагональю y = x, равно числу всех путей длины 18 из точки (1, 0) в точку (9, 10). (б) Найти число путей дли- ны 18 из точки (1, 0) в точку (10, 9), проходящих целиком Задачи 1998 { 1999 года 129 в области y < x. (в) Найти количество различных после- довательностей из 10 нулей и 10 единиц, в которых любой начальный отрезок содержит не меньше нулей, чем единиц. Какую долю составляют они среди всех последовательностей из 10 нулей и 10 единиц? 5. Доказать, что число способов разрезать n-угольник на треугольники, проведя непересекающиеся диагонали, равно числу способов расстановок скобок в произведении n − 1 сомножителей (без изменения их порядка). Например, пяти- угольник можно разрезать на треугольники пятью способа- ми, и в произведении abcd есть пять расстановок скобок: (ab)(cd) , (a(bc))d, ((ab)c)d, a((bc)d), a(b(cd)). (Указа- ние: сомножители можно писать на сторонах, а произведе- ния | на диагоналях.) 6. ⋆ Найти формулу для числа способов в задаче 5. Взаимно однозначное соответствие можно устанавливать и между бесконечными множествами. Если для данных двух множеств это возможно, множества называют равномощными (имеющими равную мощность). 7. Установить взаимно однозначное соответствие (а) меж- ду множеством целых чисел и множеством чётных целых чи- сел; (б) между множеством целых чисел и множеством нео- трицательных целых чисел; (в) между множеством простых чисел и множеством составных натуральных чисел; (г) меж- ду множеством целых чисел и множеством точек на плоско- сти, обе координаты которых целые. 8. Установить взаимно однозначное соответствие (а) меж- ду отрезками разной длины (например, [0, 1] и [2, 4] на чи- словой оси); (б) между интервалом (0, 1) и лучом (1, +∞) на числовой оси; (в) между интервалом (0, 1) и всей число- вой осью R; (г) между окружностью и границей квадрата; (д) между кругом и квадратом (внутренности включаются). 9. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех бесконечных последовательностей нулей и единиц и множеством всех подмножеств натурального ряда. 10. Установить взаимно однозначное соответствие меж- ду множеством всех бесконечных последовательностей нулей 130 Задачи 1998 { 1999 года и единиц и множеством всех бесконечных последовательно- стей, составленных из цифр 0, 1, 2, 3. 11. ⋆ Тот же вопрос, если вместо цифр 0, 1, 2, 3 рассматри- вать цифры 0, 1, 2. 12. ⋆ Указать многочлен P(x, y), устанавливающий взаим- но однозначное соответствие между множеством пар неотри- цательных целых чисел и множеством неотрицательных це- лых чисел. Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел (другими, словами, если его элементы можно перенумеровать). 13. Доказать, что любые два счётных множества равно- мощны. 14. Доказать, что любое бесконечное множество содер- жит счётное подмножество. 15. Доказать, что всякое бесконечное подмножество счёт- ного множества счётно. 16. Доказать, что объединение двух непересекающихся счётных множеств счётно. 17. Доказать, что объединение любых двух счётных мно- жеств счётно. 18. Доказать, что объединение конечного или счётного числа конечных или счётных множеств конечно или счётно. 19. Доказать, что (а) множество всех пар (m, n) нату- ральных чисел (точек на плоскости, обе координаты кото- рых натуральные) счётно; (б) множество рациональных чи- сел (отношений целых чисел) счётно; (в) множество всех пе- риодических десятичных дробей счётно; (г) множество всех конечных последовательностей нулей и единиц счётно; (д) мно- жество всех конечных последовательностей, элементами ко- торых являются целые числа, счётно. 20. Число корней многочлена степени n не превосхо- дит n. Используя этот факт, доказать, что множество ал- гебраических чисел, то есть чисел, являющихся корнями не- нулевых многочленов с целыми коэффициентами, счётно. 21. Доказать, что если A бесконечно, а B конечно или счётно, то A ∪ B равномощно A. Задачи 1998 { 1999 года 131 22. Установить взаимно однозначное соответствие между интервалом (0, 1) и полуинтервалом [0, 1). 23. Доказать, что интервал (на числовой оси), отрезок, вся числовая ось и окружность равномощны. 24. Доказать, что множество всех точек плоскости рав- номощно множеству всех прямых на плоскости. 25. Доказать, что открытый круг (круг без границы) рав- номощен кругу с границей. 26. Доказать, что множество всех точек плоскости рав- номощно множеству всех точек квадрата. 27. Доказать, что множество иррациональных чисел рав- номощно множеству всех действительных чисел. 28. Доказать, что [0, 1] ∪ [2, 3] равномощно [0, 1]. 29. (Определение бесконечности по Дедекинду) Дока- зать, что множество бесконечно тогда и только тогда, ко- гда оно равномощно своей части (не совпадающей со всем множеством). 30. ⋆ Выбрано некоторое множество интервалов на пря- мой, причём известно, что любые два интервала из этого множества не имеют общих точек. Доказать, что это мно- жество конечно или счётно. 31. ⋆ На плоскости нарисовано некоторое множество не- пересекающихся восьмёрок (они не имеют общих точек, но одна может целиком лежать внутри другой). Доказать, что это множество конечно или счётно. 32. ⋆ Доказать, что множество точек плоскости, у которых координата x целая, равномощно прямой. 33. ⋆ Доказать, что множество всех бесконечных после- довательностей нулей и единиц несчётно, найдя способ для любого счётного множества последовательностей α 1 , α 2 , . . . указать последовательность, отличающуюся от всех α i 34. ⋆ (а) Построить взаимно однозначное соответствие между интервалом (0, 1) и лучом (1, +∞), сохраняющее по- рядок (большие числа соответствуют большим). (б) Можно ли сделать это для множеств (0, 1) и [0, 1)? (в) для мно- жеств Z (целые числа) и Q (рациональные числа)? (г) для множеств Q и (0, 1) ∩ Q? (д) для множества рациональных |