Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
25. Существует ли (не обязательно ограниченная) фигу- ра, имеющая ровно два центра симметрии? 26. Какое максимальное число осей симметрии может иметь семиугольник? 27. Доказать, что если фигура имеет конечное число осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке, и углы между соседними равны. 28. Доказать, что фигура, имеющая три оси симметрии, не проходящие через одну точку, не может быть ограничен- ной. 29. Доказать, что всякое преобразование плоскости, со- храняющее расстояние, является наложением (для любой точ- Задачи 1997 { 1998 года 99 ки A существует точка B, переходящая в неё при этом пре- образовании). 30. Деревни А и Б расположены по разные стороны пря- мой железной дороги. Где надо построить платформу за- данной длины, чтобы суммарное расстояние от А и Б до платформы было наименьшим? (Расстоянием до платформы считается расстояние до ее ближайшей точки.) Сколько ре- шений имеет задача? 31. Имеется много одинаковых плиток, имеющих форму неправильного выпуклого четырёхугольника. Доказать, что ими можно замостить плоскость. (Плитки разрешается пере- ворачивать.) 32. Даны две параллельные прямые и точка между ни- ми. Построить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся обеих прямых. 33. Доказать, что для данного многоугольника с чётным числом сторон можно построить бесконечно много других, у которых будут те же середины сторон, но что многоуголь- ник с нечётным числом сторон определяется их серединами однозначно. 34. Доказать, что композиция двух поворотов на 90 ∘ пред- ставляет собой центральную симметрию, и что её центр обра- зует с центрами поворотов прямоугольный равнобедренный треугольник. 35. На двух сторонах треугольника вовне его построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий их центры, виден из середины третьей стороны треугольника под пря- мым углом. 36. Доказать, что композиция трёх осевых симметрий, оси которых | биссектрисы треугольника ABC, есть осевая сим- метрия. Найти её ось. 37. Четырёхугольник вписан в окружность. Из середины каждой из его сторон опущена высота на противоположную сторону. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. 38. На прямой выбраны четыре точки A, B, C, D, иду- щие в указанном порядке, причём AB = CD. Доказать, что 100 Задачи 1997 { 1998 года AP + PD > BP + PC для любой точки P на плоскости. 39. На плоскости бывают центральная и осевая симме- трии, в пространстве аналогичных им видов симметрий три. Как вы думаете, что это за симметрии? 40. Через точку O внутри треугольника требуется прове- сти прямую, отрезок которой внутри треугольника делится точкой O пополам. Сколько решений имеет задача? (Ответ зависит от точки O. Требуется нарисовать, для каких точек задача имеет то или иное число решений.) 41. Провести через заданную точку внутри угла прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади. 42. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти точку X , для которой сумма расстояний AX+BX+CX минимальна. (Ответ: из этой точки все стороны верны под углом 120 ∘ .) 43. Вписать квадрат в заданный параллелограмм. 44. Через заданную точку внутри окружности провести хорду заданной длины. 45. Символ «инь-янь» выглядит так: на горизонтальном отрезке AC как на диаметре строится круг с центром в B; к верхнему полукругу добавляется (нижний) полукруг с диа- метром AB и отнимается верхний полукруг с диаметром BC. Как разделить полученную фигуру на 7 равных частей? Многочлены Многочлены получаются из чисел и переменных, если их складывать, вычитать и умножать. Раскрывая скобки, ка- ждый многочлен можно преобразовать в сумму одночленов (произведений чисел и переменных), после чего привести по- добные члены (отличающиеся лишь числовыми коэффици- ентами). 1. Какие коэффициенты будут при ab 9 и a 8 b 2 в много- члене (a + b) 10 после раскрытия скобок и приведения по- добных? 2. Найти коэффициент при ab 2 c 3 в многочлене (a + b + + c) 6 3. Найти наибольший коэффициент многочлена (a+b) 10 4. (Продолжение) Найти сумму всех его коэффициентов. Задачи 1997 { 1998 года 101 5. Разложить на множители a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , a 4 − b 4 , a 5 − b 5 , a 6 − b 6 6. Разложить на множители a 3 + b 3 , a 4 + b 4 , a 5 + b 5 , a 6 + b 6 7. Разложить на множители (x + y) 10 − z 12 8. Перемножить (1 − x)(1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x 19 ) 9. Найти (1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x 19 ) при x = 3. 10. Доказать, что x 2 + x + 1 > 0 при любом x. 11. Доказать, что x 2 + xy + y 2 = 0 , только если x = 0 и y = 0 * * * 12. Найти наибольший коэффициент в многочлене (a + 2b) 10 13. (Продолжение) Найти сумму всех его коэффициентов. 14. Найти сумму всех коэффициентов многочлена (a+b−c) 10 15. (Продолжение) Найти сумму коэффициентов при одночле- нах, не содержащих a. 16. (Продолжение) Найти сумму коэффициентов при одночле- нах, содержащих b. 17. Перемножить (1 − x) 2 (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + . . . + 20x 19 ) 18. Найти (1 + 2x + 3 2 + 4x 3 + . . . + 20x 19 ) при x = 2. 19. Может ли x 2 + 5xy + 7y 2 быть отрицательным? 20. Может ли 2x 2 + 5xy + 3y 2 быть отрицательным? 21. Доказать, что многочлен x 2 y 2 + x 2 − 2xy + 1 положителен при любых x и y. Может ли он быть меньше 0,001? 22. Доказать, что если x+y+z = 0, то x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0 23. (Продолжение) Разложить на множители многочлен x 3 + + y 3 + z 3 − 3xyz 24. Доказать, что если x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz , то либо все чи- сла x, y и z равны, либо их сумма равна нулю. 25. Разложить на множители многочлен x 5 + x + 1 26. Можно ли разложить на множители многочлен x 2 + y 2 − 1 (ни один из множителей не должен быть константой)? 27. Может ли в произведении двух многочленов быть меньше одночленов, чем в каждом из них? (Подобные члены считаются за один.) 102 Задачи 1997 { 1998 года Вычисления с корнями 1. Вычислить (1 + √ 2) 3 . (Ответ должен быть в форме a + b √ 2 с целыми a и b.) 2. Тот же вопрос для (1 − √ 2) 3 3. Число (1 + √ 3) 3 + (1 − √ 3) 3 | целое. Найти его. 4. Тот же вопрос для (1 + √ 3) 3 · (1 − √ 3) 3 5. Вычислить (2 − √ 3) 7 · (2 + √ 3) 7 6. Даны два числа α и β. Известно, что сумма α+β и про- изведение αβ | целые числа. Доказать, что число α n + β n будет целым при всех n = 1, 2, 3, . . . 7. Доказать, что число (2 + √ 3) 7 + (2 − √ 3) 7 | целое, и найти его. 8. Найти рациональные числа a и b, при которых 1/( √ 2− − 1) = a + b √ 2 9. Найти рациональные числа a и b, при которых 1/(5 + + 2 √ 3) = a + b √ 3 10. Найти рациональные a и b, при которых 1/( √ 5 − − √ 2) = a √ 2 + b √ 5 * * * 11. Доказать, что любое число представимо в виде a + b √ 2 (с рациональными a и b) не более чем одним способом. 12. Найти рациональные a, b, c, d, для которых 1/(1 + √ 2 + + √ 3) = a + b √ 2 + c √ 3 + d √ 6 13. Найти рациональные a, b, c, при которых 1/(1 + 3 √ 2) = a + + b 3 √ 2 + c 3 √ 4 14. Найти α 2 , α 4 , α 8 при α = √ 2 − 1 . (Ответ должен быть в форме a + b √ 2 с целыми a и b.) 15. Доказать, что при некотором целом n ̸= 0 число n √ 2 от- стоит от ближайшего целого числа не более чем на 0,01. 16. Известно, что (1 + √ 2) k = m + n √ 2 для целых m и n. Доказать, что m 2 − 2n 2 = ±1 17. Доказать, что уравнение m 2 − 2n 2 = 1 имеет бесконечно много решений в целых числах. 18. Доказать, что уравнение m 2 − 3n 2 = 1 имеет бесконечно много решений в целых числах. 19. Число √︀ 3 + 2 √ 2 − √︀ 3 − 2 √ 2 | целое. Найти его. Задачи 1997 { 1998 года 103 Комплексные числа Комплексные числа | формальные записи вида a + bi, где a и b | вещественные, а i называют мнимой единицей, полагая i 2 = −1 . Эти числа можно складывать и умножать (раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые). 1. Вычислить (2+3i)+(7−i), (2+3i)(7−i), (1+i)(1−i), (2 − 3i)(3 + 2i) и 2(4 + 3i) − 3(2 − i). 2. Вычислить (−i) 2 , i 10 3. Вычислить (1 + i) 10 и (1 − i) 10 4. Вычислить (1 + i) 101 5. Найти два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2. 6. Найти x, для которого x(1 + i) = 1. (Здесь и далее буква x обозначает комплексное число.) 7. Найти x, при котором x(2 + 3i) = 3 − 2i. 8. Найти x, при котором x(1 + i) = 3 + 4i. * * * 9. Найти x, при котором x(2 + 3i) = 5 + 4i. (Указание: можно искать x в виде a + bi и составить систему из двух уравнений с неизвестными a и b.) 10. Найти сумму 1 + i + i 2 + i 3 + . . . + i 100 11. Вычислить ( √ 3 + i) 30 12. Найти x, для которого x 2 = 2 ; найти x, для которого x 2 = = −2 ; найти x, для которого x 2 = 2i 13. Найти x, для которого x 2 = 1 + i 14. Найти x, для которого x 2 + 2x + 2 = 0 15. Найти все x = a + bi, для которых x 3 = 1 Сопряжённые числа. Деление. Обычные числа называют вещественными, или действи- тельными, чтобы отличить от комплексных. Действительные числа a и b называют действительной и мнимой частями комплексного числа z = a + bi. Обозначение: a = Re z, b = Im z. Сопряжённым к числу z = a + bi называется чи- сло z = a − bi (здесь a и b | вещественные числа). 1. Вычислить действительную и мнимую части суммы и произведения чисел a + bi и c + di. 104 Задачи 1997 { 1998 года 2. Доказать, что для любого z сумма z+z и произведение zz действительны (имеют нулевую мнимую часть). 3. Доказать, что z + w = z + w и что zw = z · w. 4. Вычислить (1 + i)/(1 − i) и (8 + i)/(1 + 2i). (Можно либо решать систему уравнений, либо домножить числитель и знаменатель на сопряжённое число.) 5. Найти общую формулу для частного (a + bi)/(c + di). 6. Для каких z найдётся такое w, что zw = 1? 7. Доказать, что если zw = 0, то z = 0 или w = 0. 8. Доказать, что если z 2 = w 2 , то z = w или z = −w. 9. Найти все комплексные числа, для которых z 2 = 2i 10. Доказать, что z/w = z/w. * * * 11. Доказать тождество (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac − bd) 2 + + (ad + bc) 2 12. Некоторые целые числа (например, 2 = 1 2 + 1 2 и 13 = 2 2 + +3 2 ) представимы в виде суммы двух точных квадратов, некоторые (например, 7) | нет. Доказать, что если два числа представимы в таком виде, то и их произведение обладает этим свойством. 13. (Продолжение) Доказать, что число 2a представимо в таком виде тогда и только тогда, когда представимо число a. 14. Доказать, что если сумма и произведение двух комплекс- ных чисел вещественны, то эти числа либо оба вещественны, либо сопряжены. 15. Найти все комплексные числа z, для которых z 2 + z + 1 = 0 16. Найти все комплексные числа z, для которых z 3 = 1 Комплексная плоскость Комплексное число z = a + bi рассматривают как точку на плоскости с координатами (a, b). Ось абсцисс называют действительной осью; на ней лежат действительные числа. Ось ординат называют мнимой осью; на ней лежат чисто мнимые комплексные числа. 1. Какое преобразование плоскости переводит z в 2z? 2. . . . переводит z в z + 1? 3. . . . переводит z в z? 4. . . . переводит z в −z? Задачи 1997 { 1998 года 105 5. . . . переводит z в −z? 6. . . . переводит z в iz? 7. Где находятся точки z, для которых z + z = 1? 8. Где находятся точки z, для которых zz = 1? Модулем комплексного числа z называется длина отрез- ка 0z (расстояние от начала координат до z); аргументом этого числа называется угол, образуемый отрезком 0z с осью абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки. (Обозначе- ния: |z| для модуля, arg z для аргумента.) 9. Доказать, что |z| 2 = zz 10. Написать формулу для расстояния между числами z и w. 11. Где находятся числа z, для которых (а) |z| = 1? (б) |z − 1| = 1? (в) |z| = |z + 1|? 12. Доказать, что |zw| = |z| · |w| для любых комплексных чисел z и w. 13. Найти действительную и мнимую части числа z, ес- ли |z| = 2 и arg z = 60 ∘ . Найти действительную и мнимую части чисел z 2 и z 3 14. Написать формулы для действительной и мнимой ча- сти числа с модулем r и аргументом α. * * * 15. Для данного z найти w, при котором точки 0, z, iz и w лежат в вершинах квадрата. 16. Доказать, что точки 0, 1/z и z лежат на одной прямой. 17. Доказать, что точки z, для которых z + z = zz, лежат на окружности, и найти её центр и радиус. 18. Доказать, что точки, для которых число z/(z − 1) является чисто мнимым, лежат на окружности, и найти её центр и радиус. 19. Известно, что |z − 3| 6 2, |z + 4i| 6 3. Найти все такие z. 20. Найти комплексное число α, при котором преобразование z ↦ → αz есть поворот на 45 ∘ . Чему равен квадрат этого числа? 21. Доказать, что преобразование z ↦→ (1 + i)z увеличивает все расстояния в одно и то же число раз. В какое? 22. Как найти четвёртую вершину параллелограмма на ком- плексной плоскости, если три его вершины равны u, v и w? (Ука- зать все возможности.) 106 Задачи 1997 { 1998 года 23. Где находится точка пересечения медиан треугольника, вер- шинами которого являются точки u, v и w комплексной плоскости? 24. Записать формулу для преобразования комплексной плос- кости, являющегося симметрией относительно прямой Re z = Im z. Умножение и повороты 1. Доказать, что для любого комплексного a преобразо- вание z ↦→ az увеличивает все расстояния в одно и то же число раз. В какое? 2. Что можно сказать про это преобразование, если чи- сло a действительно? . . . если |a| = 1? 3. При каком числе a это преобразование будет поворо- том на 30 ∘ вокруг начала координат? 4. Доказать, что преобразование z ↦→ az есть композиция гомотетии с коэффициентом |a| и поворота на угол arg a. 5. Доказать, что преобразование поворота на угла α за- даётся формулой z ↦→ z(cos α + i sin α) 6. Куда переходит точка z = 1 при повороте на угол α, а затем на угол β? Получить формулы для cos(α + β) и sin(α + β). 7. Доказать, что при умножении комплексных чисел мо- дули перемножаются, а аргументы складываются. 8. Как найти модуль и аргумент частного z/w, зная мо- дули и аргументы комплексных числе x и w? 9. Написать формулы для cos(α − β) и sin(α − β). 10. Получить формулы для cos 2α, sin 2α, cos 3α и sin 3α с помощью комплексных чисел, возведя (cos α+i sin α) в куб. 11. Доказать, что комплексные числа z, для которых z 3 = 1 , являются вершинами правильного треугольника. 12. Доказать, что для любого целого n > 2 и для любого комплексного a корни уравнения z n = a являются верши- нами правильного n-угольника. * * * 13. При каких a и b преобразование z ↦→ az + b является поворотом на 45 ∘ вокруг точки 1 = 1 + 0i? 14. Числа 0 и z являются вершинами правильного треугольника. Где может находиться третья его вершина? Задачи 1997 { 1998 года 107 15. Числа 0 и z являются вершинами квадрата. Где могут на- ходиться две другие его вершины? 16. Найти все корни уравнения z 5 = 1 (в ответе могут остаться квадратные корни, но не должно быть синусов и косинусов). 17. Доказать, что сумма всех n корней уравнения z n = 1 равна нулю. 18. Найти произведение всех n корней уравнения z n = 1 19. Доказать, что все корни уравнения z n = 1 являются сте- пенями некоторого из них. (Корень с таким свойством называется первообразным корнем.) 20. Сколько существует первообразных корней степени 12 из единицы? 21. Тот же вопрос для корней степени 1001. 22. При каких a и b преобразование z ↦→ az + b является поворотом? переносом? осевой симметрией? 23. При каких a и b преобразование z ↦→ az+b является осевой симметрией? Комплексные числа и геометрия 1. Точки x, y, z комплексной плоскости лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда отношение . . . веще- ственно. Вставить пропущенное отношение и доказать. 2. Доказать, что множество всех чисел z, для которых (z − 1)/(z − 2) | чисто мнимое, есть окружность, диаметром которой является отрезок с концами 1 и 2 3. Доказать, что треугольник с вершинами 0, 1, z подобен треугольнику с вершинами 0, 1, 1/z. 4. Доказать, что треугольник с вершинами 0, z, w подобен треугольнику с вершинами 0, 1/z, 1/w. 5. Доказать, что точки z, w, 1/z, 1/w лежат на одной ок- ружности. 6. Доказать, что точка 1/z пробегает окружность, ког- да z движется по прямой Re z = 1. 7. Доказать, что при отображении z ↦→ 1/z окружности, проходящие через начало координат, переходят в прямые. * * * 8. Точки x, y, z, w комплексной плоскости лежат на одной пря- мой или окружности тогда и только тогда, когда отношение . . . 108 Задачи 1997 { 1998 года вещественно. Вставить пропущенное отношение и доказать. 9. Четырёхугольник имеет вершины A, B, C, D, рассматривае- мые как точки комплексной плоскости. Через AB обозначим комп- лексное число, равное разности B − A. Доказать, что AB · CD − − BC · DA = AC · BD 10. (Продолжение) Вывести отсюда, что произведение диагона- лей четырёхугольника не больше суммы произведений его противо- положных сторон. 11. (Продолжение) Когда это неравенство обращается в равен- ство? 12. Определим две операции на комплексных числах: (z, w) = = Re zw и [z, w] = Im zw. Как изменятся (z, w) и [z, w], если пе- реставить z и w местами? 13. (Продолжение) Доказать, что (z, w) равняется произведе- нию длин отрезков 0z и 0w на косинус угла между ними. 14. (Продолжение) Доказать, что площадь треугольника 0zw равна (1/2)|[z, w]|. 15. (Продолжение) Сформулировать простое правило, позволя- ющее определить, когда [z, w] положительно, отрицательно и равно нулю. (Указание: ответ содержит слова «по часовой стрелке».) Окружности и преобразования Инверсией относительно окружности с центром O и ра- диусом r называется преобразование, при котором точка X переходит в точку X ′ , лежащую на луче OX, для которой OX · OX ′ = r 2 1. Какие точки остаются на месте при инверсии? Какие точки никуда не переходят? В какие точки никакая точка не переходит? Что будет, если применить преобразование инвер- сии дважды? 2. Куда переходит точка z при инверсии с центром 0 и ра- диусом r? (Ответ включает операцию сопряжения комплекс- ных чисел.) 3. Доказать, что при инверсии с центром в точке O пря- мые, не проходящие через O, переходят в окружности, про- ходящие через O, и наоборот. (Эта задача по существу уже была.) Задачи 1997 { 1998 года 109 4. Доказать, что при инверсии с центром в O окружно- сти, не проходящие через O, превращаются в окружности, не проходящие через O. 5. Доказать, что при инверсии любая окружность или прямая переходит в окружность или прямую. 6. Доказать, что при преобразовании z ↦→ 1/z любая ок- ружность или прямая переходит в окружность или прямую. 7. Доказать, что при преобразовании z ↦→ (z − a)/(z − b) образ любой прямой или окружности (множество, составлен- ное из образов всех её точек) есть прямая или окружность. 8. (Продолжение) Доказать, что при этом преобразова- нии прообраз любой прямой или окружности (множество то- чек, которые попадают на эту прямую или окружность после преобразования) есть прямая или окружность. 9. Используя задачу 8, доказать, что при любых ком- плексных a и b множество тех z, для которых (z−a)/(z−b) | чисто мнимое, есть окружность. 10. На плоскости даны две точки A и B. Доказать, что точки, лежащие втрое дальше от A, чем от B, образуют окружность. Как доказать это с использованием задачи 8? * * * 11. Найти дробно-линейное преобразование, то есть преобразо- вание вида z ↦→ (az+b)/(cz+d), где a, b, c, d | комплексные чи- сла, при котором полуплоскость Im z > 0 переходит в круг |z| < 1. 12. Решить задачу 6, используя сформулированные выше ус- ловия, при которых четыре комплексных числа лежат на одной окружности. 13. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование есть композиция поворотов, сдвигов и преобразований вида z ↦→ 1/z. 14. Указать дробно-линейное преобразование, при котором еди- ничный круг |z| < 1 остаётся на месте, но центр его смещается. 15. Доказать, что при инверсии касающиеся окружности пере- ходят в касающиеся, и вообще угол, под которым пересекаются две окружности или прямые, не меняется. |