Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы

• Название: Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
• Дата: 13.06.2022
• Размер: 1.26 Mb.
• Имя файла: shen.pdf
• Тип: Лекции; #588593
• страница: 11 из 26

1. Доказать, что |z + w| 6 |z| + |w|. При каких условиях это неравенство обращается в равенство?
2. Проверить ассоциативность умножения комплексных чисел, то есть равенство (uv)w = u(vw).
3. Разложить на множители многочлены z
2
+1
и z
2
+2z+2
(Множители могут иметь комплексные коэффициенты.)
4. Какая кривая является образом прямой Re z = 1 при отображении z ↦→ iz
2
?
5. Записать cos 2x, cos 3x, cos 4x как многочлены от cos x.
Нарисовать примерные графики этих многочленов на отрезке от −1 до 1.
6. Доказать, что при любом целом положительном n мож- но записать cos nx как многочлен от cos x.
7. Найти формулу для сумм cos x + cos 2x + . . . + cos nx и sin x + sin 2x + . . . + sin nx.
8. Доказать, что при любом x сумма cos x+cos(x+120
∘
)+
+
cos(x + 240
∘
)
равна 0.
9. (Продолжение) Та же задача для суммы cos x+cos(x+
+ 72
∘
) +
cos(x + 144
∘
) +
cos(x − 72
∘
) +
cos(x − 144
∘
)
10. Доказать, что если точки a, b, c являются вершинами равностороннего треугольника, то a
2
+b
2
+c
2
= ab+ac+bc

11. (Продолжение) Верно ли обратное?
12. Какие значения может принимать аргумент числа z,

если |z − 2i| 6 1?
13. Доказать, что уравнение zz+az+az+c = 0, где a |
комплексное число, а c | действительное, задаёт пустое множество (т. е. не имеет решений), точку или окружность.

Как определить по a и c, что именно?
14. Дан правильный многоугольник и точка. Доказать,
что сумма квадратов расстояний от заданной точки до вер- шин многоугольника определяется расстоянием от заданной точки до центра многоугольника (центра описанной около него окружности).
15. Найти все числа z, для которых z
57
= z
111
= 1

Задачи 1997 { 1998 года
111 16. Доказать, что если 1/z
1
+ 1/z
2
+ . . . + 1/z n
= 0
для комплексных чисел z
1
, . . . , z n
, то найдутся такие положи- тельные числа α
1
, . . . , α
n
, что α
1
z
1
+ . . . + α
n z
n
= 0 17. На сторонах треугольника с вершинами в точках u,
v
, w построены равносторонние треугольники. Найти фор- мулы для их центров (в виде выражений, содержащих ком- плексные числа u, v, w). Доказать, что эти центры образуют равносторонний треугольник.
18. Доказать, что всякое преобразование подобия (пре- образование, меняющее все расстояния в одно и то же чи- сло раз, называемое коэффициентом подобия), сохраняющее ориентацию, имеет вид z ↦→ az + b.
19. Доказать, что всякое преобразование подобия, меня- ющее ориентацию, имеет вид z ↦→ az + b.
20. Доказать, что всякое преобразование подобия с коэф- фициентом, отличным от 1, имеет ровно одну неподвижную точку.
21. Доказать, что число (3/5)+(4/5)i не является корнем n
-ой степени из 1 ни при каком целом положительном n.
22. Доказать, что острый угол прямоугольного треуголь- ника со сторонами 3, 4, 5 измеряется иррациональным числом градусов.
23. Гауссовым числом называется комплексное число ви- да a + bi, где a и b | целые числа. Говорят, что одно гауссово число делится на другое, если их частное | также гауссово число. Нарисовать все кратные чисел 1, i, 1 + i,
3 + 4i
24. (Продолжение) Гауссово число называется простым,
если оно не разлагается в произведение двух множителей,
отличных от ±1 и ±i (эта оговорка необходима, иначе про- стых чисел бы не было). Найти все простые гауссовы числа a + bi
, для которых |a|, |b| 6 10.
25. Комплексное число z лежит на единичной окружно- сти: |z| = 1. Доказать, что можно найти такое целое поло- жительное n, что |z n
− 1
| < 0,0001.

112
Задачи 1997 { 1998 года
Контрольная работа
Вариант 1 1. Нарисовать точки (комплексные числа) z, для которых
Re(z − 1) = Im(z − 2).
2. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь- ника имеет концы в точках 1 + i и 4 + 2i. Указать (две)
точки, в которых может находиться вершина прямого угла этого треугольника.
3. Нарисовать точки, для которых arg z
z+1
= 60
∘
4. Нарисовать точки z, для которых |(1 + i)z − 3| 6 1.
5. Решить уравнение (x + iy)
5
= (x − iy)
(x, y | дей- ствительные числа).
6. Известно, что z + 1/z = 2 cos 1
∘
. Найти z
60
+ (1/z
60
)
7. Найти максимум величины |z|, если |(z + 1)/z| = a
(здесь a | фиксированное положительное действительное число).
Вариант 2 1. Нарисовать комплексные числа z, для которых Re iz =
=
Im(1 + i)z.
2. Две вершины правильного треугольника находятся в точках 2 и i. Указать (две) точки, где может находиться его третья вершина.
3. Нарисовать точки z, для которых arg(z(z+1)) = 120
∘

4. Где находятся точки z, для которых расстояние между точками 3z и 1 + iz не больше 2?
5. Где находятся точки z, для которых |z − i| = |3 − z|?
6. Точка z обходит окружность радиуса 1 с центром в ну- ле, делая оборот против часовой стрелки. Найти траекторию точек 2z, iz, z, z
2
, 1/z
2
, 1/(z + 2), z + 1/z.
7. Точка z движется по окружности с центром в 5i радиу- са 3. Найти центр и радиус окружности, по которой движется точка 1/z.
8. Вставить пропущенное выражение в утверждение: «раз- личные точки u, v и w являются вершинами прямоугольного треугольника с острым углом u тогда и только тогда, когда число . . . вещественно».

Задачи 1997 { 1998 года
113 9. Даны три ненулевых комплексных числа. Может ли так случиться, что отношение любых двух из них будет иметь отрицательную действительную часть?
10. Тот же вопрос для четырёх чисел.
Вариант 3 1. Нарисовать комплексные числа z, для которых Re z >
>
Re(iz).
2. Нарисовать точки z, для которых 0 < arg z−1
z+1
< 90
∘
3. Точка z движется по единичной окружности с центром в нуле против часовой стрелки. Описать движение точек z
3
,
z
2
+ 1/z
2
, 2/(1 + z), 3/(2 + z),
√
z
4. Указать все значения z, при которых точки 1, z, z
2
являются тремя (различными) вершинами квадрата. (Будьте внимательны | имеется много возможностей!)
5. Известно, что числа z
1
, . . . , z
10000
удовлетворяют не- равенству |z − 2| < 1. Доказать, что частное каких-либо двух их них (а) имеет модуль между 0,99 и 1,01; (б) имеет аргу- мент между −1
∘
и 1
∘
; (в) имеет одновременно модуль между
0,9
и 1,1 и аргумент между −10
∘
и 10
∘
Множества и операции
Множества состоят из элементов. Обозначения: x ∈ A
читается «x есть элемент множества A»; через {a, b, . . . , c}
обозначается множество, состоящее из элементов a, b, . . . , c.
(Порядок не учитывается, каждый элемент считается по од- ному разу, так что {5, 7, 11} = {7, 11, 5} = {11, 11, 5, 7, 5}.)
Пустое множество не содержит элементов и обозначается ∅.
Два множества равны, если содержат одни и те же эле- менты (все элементы первого являются элементами второго и наоборот). Множество A называют подмножеством множе- ства B, если все элементы A являются элементами B (запись:
A
⊂ B
).

1. Сколько различных подмножеств имеет множество из пяти элементов?
2. Закончить фразу: «множество A не является подмно- жеством множества B, если существует . . . ».

114
Задачи 1997 { 1998 года
3. Указать все пары «подмножество { множество» среди следующих семи множеств: целые числа, делящиеся на 2,

на 3, на 6, на 4, на 9, на 12, на 18. Сколько таких пар?
Пусть даны два множества A и B. Их пересечение A ∩ B
состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам;
объединение A∪B | из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств. Разность A\B состоит из элементов A,
не принадлежащих B; симметрическая разность A △ B | из элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A и B.
4. Заполнить таблицу x
∈ A x ∈ B x ∈ A∩B x ∈ A∪B x ∈ A
\B x ∈ A△B
нет нет нет да да нет да да
5. Дополнить следующую фразу: «множество решений уравнения f
2
(x) + g
2
(x) = 0
является . . . множеств реше- ний уравнения f(x) = 0 и g(x) = 0» (значения f(x) и g(x) |
действительные числа).
6. Какие два множества задачи 3 в пересечении дают третье множество из той же задачи? Сколько решений имеет эта задача? (Все три множества должны быть разными.)
7. Записать выражение для A △ B, использующее опера- ции ∪, ∩ и \.
8. Какие из равенств (а) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C;
(б) A∩(B\C) = (A∩B)\C; (в) A∪(B\A) = B; (г) A∪(B∩
∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
; (д) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

верны для всех A, B и C?
9. Упростить выражение A △ (B △ A).
10. Доказать, что (A △ B) △ C = A △ (B △ C) для любых трёх множеств A, B и C
11. Доказать, что A △ C ⊂ (A △ B) ∪ (B △ C) для любых трёх множеств A, B и C.
* * *
12. Дополнить фразу: «множество решений уравнения . . . есть

Задачи 1997 { 1998 года
115
объединение множеств решений уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0».
13. Написать выражение для множества, состоящего из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из трёх множеств A, B и C.
14. Доказать, что A
1
△ A
7
⊂ (A
1
△ A
2
)
∪ (A
2
△ A
3
)
∪ . . . ∪
∪ (A
6
△ A
7
)
15. Доказать, что значение выражения A
1
△A
2
△A
3
△. . .△A
n не зависит от расстановки в нём скобок.

16. Какие из четырёх операций ∪, ∩, \, △ можно выразить через три оставшиеся?
17. (Продолжение) Указать все случаи, в которых одну из четы- рёх указанных операций можно выразить через две других операции из того же списка. Сколько таких случаев?
18. Сколько различных выражений можно составить из букв A
и B с помощью операций ∩, ∪, \? Тот же вопрос для случая трёх букв A, B, C. Тот же вопрос для n букв. (Два выражения считаются одинаковыми, если они обозначают одно и то же множество при всех значениях переменных. Например, выражения A ∩ (B \ C) и
(A
∩ B)
\ C одинаковы.)
19. Множество из 3 элементов имеет 8 подмножеств. Изобра- зить их в виде 8 точек плоскости с соблюдением такого правила:
для любых двух подмножеств A и B точки A, B, A ∩ B и A ∪ B
являются вершинами параллелограмма (возможно, вырождающего- ся в отрезок или точку). Нарисовать аналогичную картинку для 4
элементов вместо 3.
20. Какое максимальное число подмножеств 4-элементного мно- жества можно выбрать, если требуется, чтобы ни одно из выбран- ных множеств не было бы подмножеством другого?
21. (Продолжение) Тот же вопрос для 100-элементного мно- жества.
22. Какие из равенств задачи 8 верны хотя бы в одну сторону

(левая часть всегда есть подмножество правой или наоборот)?
Число элементов
Число элементов в множестве A (если оно конечно) обо- значают |A|.
1. Сколько чисел от 1 до 1000 делится на 2? Сколько чисел от 1 до 1000 делится на 3? Сколько чисел от 1 до 1000

делится или на 2, или на 3?

116
Задачи 1997 { 1998 года
2. Доказать, что (а) |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B| для любых конечных множеств A, B; (б) max(m, n) = m+n−min(m, n)
для любых двух чисел m и n; (в) S(A ∪ B) = S(A) + S(B) −
− S(A
∩ B)
для любых двух фигур A, B на плоскости (здесь
S(F)
| площадь фигуры F); (г) НОК(m, n)=mn/НОД(m, n)
для любых двух целых положительных чисел m и n (здесь
НОК | наименьшее общее кратное, НОД | наибольший об- щий делитель).
3. Выбрали четыре множества, каждое из которых со- держит 40 элементов, а их объединение содержит не более
100
элементов. Доказать, что пересечение каких-то двух из них имеет не менее 10 элементов. Как сформулировать ана- логичную задачу для площадей?
4. Объединение 10 фигур имеет площадь S. Доказать, что можно выбрать из них 7 так, чтобы их объединение имело площадь не менее (7/10)S. Как сформулировать аналогич- ную задачу для числа элементов?
5. Доказать «формулу включений и исключений» для трёх множеств A, B, C:
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|.
* * *
6. Сформулировать и доказать аналогичные формулы для боль- шего числа множеств.
7. Сформулировать и доказать аналогичные формулы для мак- симума трёх чисел, для площади объединения трёх фигур и для наибольшего кратного трех чисел.
8. Формулу включений и исключений можно доказать с помо- щью тождества (1−a)(1−b)(1−c) = 1−a−b−c+ab+ac+bc−abc.
Как? (То же самое рассуждение годится и для большего числа мно- жеств.)
Вариации на тему Бернулли
1. Указать натуральное n, для которого 1,01
n
> 10.
(Сколько лет надо ждать, чтобы вклад в банке удесятерил- ся, если платят 1% годовых?)

Задачи 1997 { 1998 года
117 2. Каждый год 1% радиоактивного вещества (оставшего- ся к началу года) распадается. Доказать, что через 30 лет останется более 70% вещества.
3. Указать натуральное n, при котором 0,99
n
6 1/10.
4. Указать натуральное n, при котором n
√
10 6 1,01.
5. Указать натуральное n, при котором n
√
0,1
> 0,99.
6. Доказать, что при неотрицательном целом n и при h
> 0 выполнено неравенство (1 + h)
n

> 1 + nh. Какие из предыдущих задач можно решить, сославшись на это не- равенство?
7. Доказать, что при целом неотрицательном n и при
0 6 h 6 1 выполнено неравенство (1 − h)
n
> 1 − nh.
8. Доказать, что 1,01 2n
> n
2
/10 4
9. Доказать, что при некотором целом n > 0 число 1,01
n будет больше числа 1000n.
10. При каких натуральных n выполнено неравенство
2
n
> n
?
11. Тот же вопрос для неравенства 2
n
> n
2
* * *
12. Каждый год 1% радиоактивного вещества (от оставшегося к началу года) распадается. Доказать, что через 30 лет останется менее 80% вещества.
13. Доказать, что при целом неотрицательном n и при 0 6 h 6 1
выполнено неравенство (1 − h)
n
6 1 − nh + n
2
h
2 14. Известно, что a
1
, . . . , a n
> 0
и что a
1
+a
2
+. . .+a n
= 1/10
Доказать, что
(1 − a
1
)(1 − a
2
) . . . (1 − a n
)
> 9/10.
15. (Продолжение) Доказать, что
(1 + a
1
)(1 + a
2
) . . . (1 + a n
)
> 11/10.
16. (Продолжение) Доказать, что
(1 + a
1
)(1 + a
2
)
· . . . · (1 + a n
)
6 10/9.
17. Известно, что a
1
, a
2
, . . . , a
100
> 0
и что
(1 + a
1
)(1 + a
2
)
· . . . · (1 + a
100
)
6 100.

118
Задачи 1997 { 1998 года
Доказать, что найдётся такое i, что a i
6 1/i.
18. Доказать, что
1
· 3 · 5 · . . . · 99 2
· 4 · 6 · . . . · 100
<
1 10 19. Все числа бесконечной последовательности a
0
, a
1
, a
2
, . . .
положительны и не превосходят 100. Доказать, что найдётся та- кое k, что a k+1
/a k
< 1,001 20. Доказать, что при некотором целом n > 0 выполнено нера- венство n
100
/2
n
< 1/1000
Неравенства, оценки, суммы
1. Сколько знаков в десятичной записи числа 2 40
?
2. При каком натуральном n значение дроби 10
n
/n!

бу- дет наибольшим?
3. Указать целое положительное n, при котором 2
n
/n! <
< 1/1000 4. Не пользуясь калькулятором, найти 3 знака после за- пятой в числах
√
1,001
и
√
0,999 5. Описанный около круга квадрат разрезали на 1000 ×
× 1000
равных квадратиков и отобрали те из квадратиков,
которые не выходят за пределы круга. Доказать, что пло- щадь полученной фигуры составляет не менее 99% от пло- щади всего круга.
6. Найти значение (3 100
+4 100
)/(2 100
+5 100
)
с точностью до пяти десятичных знаков после запятой.
7. Из 50-значного числа извлекли квадратный корень, по- том ещё раз, потом опять | и так сделали 50 раз. Доказать,
что полученное число записывается как единица, после ко- торой стоит запятая и как минимум 10 нулей.
8. В последовательности 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждый следу- ющий член равен сумме двух предыдущих. Доказать, что n-й член не меньше (3/2)
n
9. Выяснить, существует ли натуральное n, при котором выполняется неравенство
1 +
1 2
+
1 3
+ . . . +
1
n
> 100.

Задачи 1997 { 1998 года
119
(Указание: может ли 1/100 + 1/101 + . . . + 1/n быть боль- ше 1/2?)
10. (Продолжение) Тот же вопрос для неравенства
1 + 0,99 + 0,99 2
+ 0,99 3
+ . . . + 0,99
n
> 100.
11. (Продолжение) Тот же вопрос для неравенства
1 1
· 2
+
1 2
· 3
+ . . . +
1
(n − 1)n
> 100.
12. (Продолжение) Тот же вопрос для неравенства
1 +
1 2
2
+
1 3
2
+ . . . +
1
n
2
> 100.
13. (Продолжение) Тот же вопрос для неравенства
1 +
1
√
2
+
1
√
3
+ . . . +
1
√
n
> 100.
* * *
14. Пусть a n
| число знаков в десятичной записи числа 3
n
Доказать, что дроби a
1000
/1000
и a
2000
/2000
отличаются не более чем на 1/100.
15. Не пользуясь калькулятором, найти 4 знака после запятой в числах
√
1,001
и
√
0,999 16. Найти 1000 знаков после запятой в числе (
√
37 + 6)
1000 17. Можно ли поместить в квадрат несколько непересекающих- ся кругов так, чтобы их суммарная площадь составляла бы более
99

% площади всего квадрата?
18. Последовательность строится так: два первых её члена |
произвольные положительные числа, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих. Найти отношение 10-го члена к 9-му с точностью до двух десятичных знаков после запятой.
19. Последовательность строится так: первое число равно 1, а каждое следующее число y получается из предыдущего x по фор- муле y = (x + (2/x))/2. Доказать, что её 5-й член отличается от
√
2
менее чем на одну миллионную.

120
Задачи 1997 { 1998 года
20. Доказать, что
(︂
1 +
1
n
)︂
n
6 1 +
1 1!
+
1 2!
+ . . . +
1
n!
21. (Продолжение) Показать, что левая часть этого неравенства увеличивается с ростом n.
22. Последовательность чисел строится так: первое число рав- но 1, каждое следующее число y получается из предыдущего x по формуле y = x + 1/x
2

. Найдётся ли в этой последовательности член, больший 100?
23. Последовательность чисел x
1
, x
2
, . . .
строится по правилу x
1
= 1
, x n+1
= x n
+ 1/x n
. Доказать, что x n
2
> n.
24. (Продолжение) Доказать, что x
100
> 14 25. (Продолжение) Найти целую часть x
100 26. Выяснить, существует ли натуральное n, при котором вы- полняется неравенство
1 +
1 2
√
2
+
1 3
√
3
+ . . . +
1
n
√
n
> 100.
27. Доказать что при любом n сумма sin 1 + sin
2 2
+
sin 3 3
+ . . . +
sin n n
не превосходит 10. (Углы измеряются в радианах.)
Малые изменения
1. Два положительных числа изменили | каждое не бо- лее чем на 1% от его прежнего значения. Могла ли их сумма измениться более чем на 10%? более чем на 2%? Те же во- просы для их разности и для их произведения.
2. Число x изменили не более чем на 0,01. Доказать, что его синус (то есть синус угла в x радиан) изменился не более чем на 0,01.