Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
и x, y > 0. При каких x и y оно достигается? 6. Записать периодическую десятичную дробь 0,3737. . . в виде несократимой обыкновенной дроби (частного двух це- лых чисел). 7. Синим цветом на числовой оси отмечены целые числа, которые при делении на 40 дают остаток 7, а красным | те, что дают остаток 17 при делении на 24. Каково наименьшее расстояние между красными и синими точками? 8. Найти остаток от деления записанного в шестнадцати- ричной системе счисления числа 1234567 на тринадцать. 9. Какое максимальное число попарно не параллельных прямых можно провести на плоскости, если требуется, чтобы угол между любыми двумя был больше 3,5 ∘ ? Задачи 1996 { 1997 года 79 10. Сколько есть последовательностей длины 6 из цифр 0, 1, 2 , в которых нет идущих подряд двух одинаковых цифр? * * * 11. Что больше: 101 100 или 2 · 10 200 ? 12. С последовательностью из десяти нулей и единиц разреша- ется делать две вещи: (1) менять в ней первый член; (2) менять член, стоящий после первой единицы. Доказать, что с помощью этих двух операций из любой последовательности можно получить любую. 13. Доказать, что для любого целого n > 10 квадрат можно разрезать на n квадратов. 14. Сколько есть последовательностей длины 6 из цифр 0, 1, 2, в которых никакие два нуля не идут подряд? 15. В ряд стоят 50 стаканов, из них половина (на чётных ме- стах) | вверх дном. За один ход разрешается перевернуть группу из любого числа подряд идущих стаканов. Доказать, что нельзя поставить все стаканы вниз дном, сделав менее 25 ходов. 16. Найти сумму [ √ 1] + [ √ 2] + [ √ 3] + . . . + [ √ 400] . (Квадратные скобки обозначают целую часть.) Вариант 2 1. Нарисовать все такие ⟨x, y⟩, для которых (а) [x] = [2y]; (б) [x] = 2[y]. 2. Найти остаток при делении суммы 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + + 100 2 на 7. 3. Подряд написали все числа от 1 до 1000. Сколько всего цифр понадобилось? Сколько раз при этом встретилась цифра 7? 4. Известно, что a + b + c = 7, а a 2 + b 2 + c 2 = 17 (а) Найти ab + bc + ac. (б) Можно ли найти две различ- ные тройки a, b, c (отличающиеся порядком различными не считаются) с такими свойствами? 5. Всякое ли натуральное число можно представить как разность квадратов двух целых чисел? 6. На какую максимальную величину квадрат числа мо- жет быть меньше самого числа? 7. Найти площадь фигуры, ограниченной на координат- ной плоскости прямыми x + y = −3, x − 2y = 6 и y = 7. 80 Задачи 1996 { 1997 года 8. Сколько существует чисел от 0 до 99999, сумма цифр которых (а) не превосходит 7; (б) не превосходит 22? 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове КАТАЛОГ, если требуется, чтобы буква К находилась между двумя буквами А (расстояние между которыми может быть любым)? 10. Два одинаковых стакана заполнены растворами спир- та в воде на 2/3 | в одном концентрация спирта 60%, в другом 40%. Разрешается переливать любое количество жид- кости из одного стакана в другой (после чего она перемеши- вается). Можно ли после конечного числа переливаний до- биться, чтобы во втором стакане концентрация спирта стала больше, чем в первом? 11. Имеется 6 килограммов сахара общей ценой 40000, 4 килограмма гречки общей ценой 27000 и 5 килограммов риса общей ценой 33000. Какова наибольшая стоимость про- дуктов, которые можно унести в мешке, выдерживающем 12 килограммов? 12. Написано 10 чисел, сумма любых трех из них больше семи. Может ли случиться так, что (а) сумма любых семи из них меньше шестнадцати? (б) сумма любых пяти из них меньше двенадцати? 13. В магическом квадрате 3 × 3 сумма цифр в каждой строке, в каждом столбце и по любой из двух диагоналей равна 15. Доказать, что число в центральной клетке равно 5 14. На доске написаны числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Разре- шается взять любые 6 из них и увеличить на 1. Так можно делать многократно. Можно ли добиться, чтобы все числа стали равными? 15. Клетки доски 8 × 8 раскрашены в четыре цвета, при- чём в любом квадрата 2 × 2 все четыре цвета встречаются по разу. Доказать, что все четыре угловые клетки (а) любо- го прямоугольника 2 × 8; (б) всей доски имеют различные цвета. Задачи 1997 { 1998 года В этом году листки по-прежнему делились на «обязатель- ную часть» и «дополнительные задачи» (отделены звёздоч- кой). Листок «Слабо?» в основном составлен из трудных за- дач предыдущих листков. В конце главы приведены задачи экзамена, который, в отличие от предыдущего года, был уст- ным. Осевая симметрия Точка A ′ называется симметричной точке A относитель- но прямой l (называемой осью симметрии), если отрезок AA ′ перпендикулярен этой прямой и делится ей пополам. Каждая точка прямой l считается симметричной самой себе. 1. Точки A и A ′ симметричны относительно прямой l, точка X лежит на этой прямой. Доказать, что отрезки XA и XA ′ равны и образуют равные углы с прямой l. 2. Точка A лежит внутри острого угла α с вершиной в точке O, точки A ′ и A ′′ симметричны ей относительно сторон угла. Найти угол A ′ OA ′′ 3. Точка A симметрична точке B относительно прямой l, точка B симметрична точке C относительно прямой m, нако- нец, точка C симметрична точке A относительно прямой n. Доказать, что прямые l, m и n либо пересекаются в одной точке, либо параллельны друг другу. 4. Доказать, что симметрия сохраняет расстояния: если точки A ′ и B ′ симметричны A и B относительно некоторой прямой, то расстояния AB и A ′ B ′ равны. 5. Доказать, что симметрия сохраняет прямые: если точки A , B и C лежат на одной прямой, то симметричные им точки A ′ , B ′ и C ′ также лежат на одной прямой. 6. Даны две точки A и B, не лежащие на прямой l. Найти на прямой l точку X, для которой сумма AX и BX минималь- на. (Точки A и B могут лежать по разные стороны от l или по одну сторону.) 7. (Продолжение) Найти точку X, для которой разность расстояний AX и BX максимальна по абсолютной величине. 82 Задачи 1997 { 1998 года Всегда ли такая точка существует? 8. Луч света, отражающийся по закону «угол падения ра- вен углу отражения», выпускают внутри угла в 1 ∘ с зер- кальными стенками. Сколько раз он отразится от стенок? (Указать все возможности.) * * * 9. Даны две параллельные прямые l и m. Выбрав точку A про- извольно, построим точку B, симметричную A относительно пря- мой l, а затем точку C, симметричную B относительно прямой m. Доказать, что расстояние AC не зависит от выбора точки A. 10. Внутри острого угла выбрана точка A. Построить точки B и C, лежащие на сторонах этого угла (по одной на стороне), для которых периметр треугольника ABC минимален. 11. Картонный треугольник, все стороны которого различны, перекатывают по плоскости (отражая симметрично относительно сторон). Доказать, что можно добиться, чтобы стороны треугольни- ка оказались параллельны своему начальному положению, но тре- угольник оказался бы в другом месте плоскости. 12. В остроугольном треугольнике найти три точки на сторонах, являющиеся вершинами треугольника с минимальным периметром. 13. Даны две прямые, пересекающиеся под углом 25 ∘ , и неко- торая точка A, которая отражается симметрично относительно этих прямых (сколько угодно раз и в любом порядке). Отметим все точ- ки, которые могут получиться таким образом. Сколько их будет? (Ответ зависит от положения точки A. Указать все возможности.) 14. Что получится в предыдущей задаче для других углов меж- ду прямыми? 15. Шар отражается от стенок прямоугольного бильярда по за- кону «угол падения равен углу отражения». Фиксированы две точки A и B внутри бильярда. Сколькими способами шар может попасть из A в B, испытав 1 отражение? 2 отражения? n отражений? (Для простоты можно забыть про случаи, когда шар попадает в угол.) 16. Доказать, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его впи- санной окружности, проведенными параллельно сторонам, равны. 17. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M. Доказать, что MA + MB > CA + CB. 18. По разные стороны от прямой l даны точки A и B. Постро- ить точку O на прямой l так, чтобы лучи OA и OB образовывали Задачи 1997 { 1998 года 83 равные углы с прямой l. Центральная симметрия Точки A и A ′ называются симметричными относительно точки O (называемой центром симметрии), если точка O является серединой отрезка AA ′ 1. Доказать, что если точки A ′ и B ′ симметричны точкам A и B относительно некоторой точки O, то отрезки AB и A ′ B ′ равны и параллельны. 2. Доказать, что если три точки лежат на одной прямой, то и симметричные им (относительного некоторого центра) точки также лежат на одной прямой. 3. Фиксированы две точки L и M. Взяв произвольную точку A, мы строим точку B, симметричную ей относитель- но L, а затем точку C, симметричную B относительно M. Доказать, что расстояние AC не зависит от выбора точки A. 4. Дан угол и точка внутри него. Провести через точ- ку прямую, отрезок которой между сторонами угла делится этой точкой пополам. (Другими словами: найти на сторонах данного угла точки, симметричные друг другу относительно данного центра.) 5. Даны три точки A, B и C. Построить точку, кото- рая после трех последовательных симметрий с центрами в A, B , C (в указанном порядке) возвращается в исходное поло- жение. 6. Доказать, что точки, симметричные точкам заданной окружности относительно заданного центра, лежат на окруж- ности. 7. Через точку пересечения двух окружностей провести прямую, на которой эти окружности отсекают равные хорды. 8. Двое по очереди кладут монеты на прямоугольный стол, причем они не должны накрывать друг друга и падать со стола. Сдвигать уже лежащие монеты нельзя. Кто не мо- жет сделать ход, проигрывает. Как должен играть первый, чтобы выиграть? 9. Дан параллелограмм ABCD (вершины указаны по ча- совой стрелке) и точка X. Через точки A, B, C и D проведе- 84 Задачи 1997 { 1998 года ны прямые, параллельные CX, DX, AX и BX (соответствен- но). Доказать, что эти четыре прямые пересекаются в одной точке. * * * 10. На плоскости бывают центральная и осевая симметрии, в пространстве аналогичных им видов симметрий три. Как вы дума- ете, что это за симметрии? 11. На прямой выбраны четыре точки A, B, C, D, идущие в ука- занном порядке, причём AB = CD. Доказать, что AP +PD > BP + + PC для любой точки P на плоскости. 12. Через точку O внутри треугольника требуется провести пря- мую, отрезок которой внутри треугольника делится точкой O по- полам. Сколько решений имеет задача? (Ответ зависит от точки O. Требуется нарисовать, для каких точек задача имеет то или иное число решений.) 13. Провести через заданную точку внутри угла прямую, отсе- кающую от него треугольник наименьшей площади. 14. Четырёхугольник вписан в окружность. Из середины каж- дой из его сторон опущена высота на противоположную сторону. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Повороты Симметрию можно рассматривать как поворот на 180 ∘ Можно рассматривать повороты на меньшие углы: поворот вокруг точки O (называемой центром поворота) на угол α переводит точку X в точку X ′ , для которой OX = OX ′ и ∠X ′ OX = α , причём вращение происходит против часовой стрелки («в положительном направлении», как говорят). По- ворот на тот же угол по часовой стрелке называют «поворо- том на −α». В соответствии с этим определением повороты на +180 ∘ и на −180 ∘ представляют собой центральную симметрию. 1. Доказать, что поворот сохраняет расстояния: если точ- ки A ′ и B ′ получаются из точек A и B поворотом на неко- торый угол α вокруг некоторой точки O, то AB = A ′ B ′ 2. (Продолжение) Доказать, что прямые AB и A ′ B ′ пе- ресекаются под углом α. Задачи 1997 { 1998 года 85 3. Доказать, что точки, лежавшие на одной прямой (ок- ружности), после поворота (вокруг данной точки на данный угол) остаются лежать на одной прямой (окружности). 4. Дана точка и две прямые. Построить равносторонний треугольник, одна из вершин которого находится в данной точке, а две другие лежат на данных прямых. Сколько ре- шений может иметь эта задача? 5. Отрезок AC разбит на две части точкой B, и на от- резках AB и BC как на сторонах построены равносторонние треугольники APB и BQC (по одну сторону от AC). Дока- зать, что середины отрезков AQ и PC образуют с точкой B равносторонний треугольник. 6. Внутри квадрата ABCD (вершины перечислены по ча- совой стрелке) взята точка M и проведены отрезки AM, BM , CM и DM. В треугольниках AMB, BMC, CMD и DMA проведены высоты из точек A, B, C и D соответствен- но. Доказать, что они (или их продолжения) пересекаются в одной точке. 7. На сторонах AB и BC ромба ABCD, в котором угол B равен 120 ∘ , взяты точки M и N, причём MB = NC. До- казать, что треугольник MND равносторонний. * * * 8. Через заданную точку внутри окружности провести хорду заданной длины. 9. Вписать квадрат в заданный параллелограмм. 10. Символ «инь-янь» выглядит так: на горизонтальном отрез- ке AC как на диаметре строится круг с центром в B; к верхнему полукругу добавляется (нижний) полукруг с диаметром AB и от- нимается верхний полукруг с диаметром BC. Как разделить полу- ченную фигуру на 7 равных частей? 11. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти точку X, для которой сумма расстояний AX + BX + CX минимальна. (Ответ: из этой точки все стороны верны под углом 120 ∘ .) Параллельный перенос Направленным отрезком называют отрезок, у которого один из концов объявлен «началом»; − → AB обозначает напра- 86 Задачи 1997 { 1998 года вленный отрезок с началом A и концом B. Два направленных отрезка − → AB и − → CD считаются равны- ми, если они равны по длине, направлены в одну сторону и параллельны (или лежат на одной прямой). 1. Даны четыре точки A, B, C и D. Доказать, что − → AB = = − → CD в том и только том случае, когда − → AC = − → BD 2. (Продолжение) . . . и в том и только случае, когда середины отрезков AD и BC совпадают. 3. Доказать, что если (для данных шести точек A, B, C, A ′ , B ′ , C ′ ) − → AB = −− → A ′ B ′ и − → BC = −− → B ′ C ′ , то и − → AC = −−− → A ′ C ′ Пусть задан направленный отрезок − → AB . Параллельный перенос на − → AB переводит произвольную точку X в точку X ′ , для которой −− → XX ′ = − → AB 4. Доказать, что параллельный перенос (вслед за поворо- тами и симметриями) сохраняет расстояния, переводит пря- мые в прямые и окружности в окружности. 5. Даны две точки A и B и две прямые c и d. Найти на прямых c и d точки C и D, для которых ABCD являет- ся параллелограммом (вершины которого идут в указанном порядке). Сколько решений может иметь эта задача? 6. Деревни А и Б разделены рекой (берега | параллель- ные прямые). Где надо построить мост (перпендикулярно берегам), чтобы общий путь от А до Б через мост был наи- меньшим? 7. Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Дока- зать, что можно построить четырёхугольник, стороны кото- рого равны AM, BM, CM и DM, а диагонали равны сто- ронам исходного прямоугольника. * * * 8. Деревни А и Б расположены по разные стороны прямой же- лезной дороги. Где надо построить платформу заданной длины, чтобы суммарное расстояние от А и Б до платформы было наи- меньшим? (Расстоянием до платформы считается расстояние до ее ближайшей точки.) Сколько решений имеет задача? 9. Имеется много одинаковых плиток, имеющих форму непра- вильного выпуклого четырёхугольника. Доказать, что ими можно замостить плоскость. (Плитки разрешается переворачивать.) Задачи 1997 { 1998 года 87 10. Даны две параллельные прямые и точка между ними. По- строить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся обеих прямых. 11. Фигура на клетчатой бумаге имеет площадь N. Доказать, что её можно сдвинуть параллельно себе так, чтобы она покрыла (а) не менее N вершин клеток; (б) не более N вершин клеток. (Клетки имеют единичные стороны.) Композиции преобразований Пусть F и G | два преобразования (например, симме- трии, повороты и т. п.). Их композицией называется преобра- зование, которое получается, если сначала применить F, а потом G. Это преобразование обозначается G ∘ F (обратите внимание, что преобразования выполняются справа налево). Аналогично определяется композиция трёх и более преобра- зований. 1. Какое преобразование является композицией двух осе- вых симметрий, оси которых пересекаются? 2. Какое преобразование является композицией двух осе- вых симметрий, оси которых параллельны? 3. Какое преобразование является композицией поворо- тов на 40 ∘ и 60 ∘ с одним и тем же центром? Какое преобра- зование является композицией поворотов на 100 ∘ и 150 ∘ с одним и тем же центром? 4. Какое преобразование является композицией двух цен- тральных симметрий? 5. Какое преобразование является композицией централь- ной симметрии и параллельного переноса? 6. Какое преобразование является композицией трёх цен- тральных симметрий? четырёх центральных симметрий? 7. Доказать, что композиция двух поворотов (возможно, с разными центрами) есть поворот, угол которого равен сум- ме углов каждого из поворотов (с точностью до кратных 360 ∘ ) или перенос, если эта сумма равна нулю. (Указание: представьте каждый поворот как композицию двух осевых симметрий; свобода в выборе осей позволяет взять в каче- стве одной оси прямую, соединяющую центры поворотов.) 88 Задачи 1997 { 1998 года 8. Композиция некоторых трёх поворотов на угол 120 ∘ (каждый) является тождественным преобразованием (остав- ляет все точки на месте). Доказать, что центры поворотов лежат в вершинах равностороннего треугольника. 9. На сторонах треугольника вне его построены равносто- ронние треугольники. Доказать, что композиция поворотов на 120 ∘ вокруг центров этих треугольников (в надлежащем порядке) является тождественным преобразованием. (И, как показывает предыдущая задача, их центры образуют равно- сторонний треугольник!) |