Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
Какова её координата теперь? 4. При каких x точка с координатой x 2 находится правее точки с координатой x? 5. Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. 6. Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 | целое число. 7. . . . x/2 | целое число. 8. . . . 2x | целое число. 9. . . . x − 2 6 2x. 10. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. 11. . . . чётное число верных. 12. Чтобы не получить двойку по устному счёту, перво- классник Вася пользуется для сложения двумя линейками, приложенными друг к другу (рис. 11). Как он это делает? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 11 Задачи 1996 { 1997 года 37 * * * 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. 15. Линейку повернули на 180 ∘ и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x 2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в деся- тичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отме- чены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с коорди- натой 1/3? Абсолютная величина Абсолютной величиной (или модулем) числа x называет- ся само x, если x > 0, и число −x, если x < 0. Обозначение: |x|. (Например, |2| = | − 2| = 2.) 1. Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? 2. Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. 3. Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? 4. Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. 38 Задачи 1996 { 1997 года 5. Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6 3. 6. Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. 7. Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти коор- динату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) 8. Решить уравнение 2 |x − 1| = 3|x − 7|. 9. Почему в задачах 7 и 8 ответ одинаковый? * * * 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a 6 b, −a 6 b и |a| 6 b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| 6 |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| 6 3, |x − 4| 6 5. Доказать, что |x| 6 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9 , 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Задачи 1996 { 1997 года 39 18. Известно, что |x + 2y| 6 4, |x + y| 6 3. Какие значения может принимать x? 19. На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школь- ников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наи- большее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. 20. Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? 21. По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя за- писали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой. Целая часть Целой частью числа x называется наибольшее целое чи- сло, не превосходящее x. Обозначение: [x]. (Например, [2] = = 2 , [3,1] = 3, [−2] = −2, [−3,1] = −4.) Дробной частью числа x называется разность x−[x]. Обо- значение: {x} Таким образом, x = [x] + {x}, причём 0 6 {x} < 1 для любого числа x. 1. Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть ко- торых чётна. 2. Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. 3. Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? 4. Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? 5. Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? 6. Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? 7. Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3] 40 Задачи 1996 { 1997 года * * * 8. Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, . . . , 6 , Вася придумал формулу день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? 9. Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? 10. Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положитель- ных целых x, y, z. 11. Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). 12. Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны исполь- зовать арифметические операции и знак целой части). 13. Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1 n ] + [x + 2 n ] + . . . + [x + n−1 n ] = [nx]. 14. Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? 15. Найти сумму [ √ 1] + [ √ 2] + [ √ 3] + . . . + [ √ 10000]. 16. Доказать, что [ 35 23 ] + [2 · 35 23 ] + [3 · 35 23 ] + . . . + [22 · 35 23 ] = = [ 23 35 ] + [2 · 23 35 ] + [3 · 23 35 ] + . . . + [34 · 23 35 ]. Тождества 1. Проиллюстрировать формулу (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a , квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сто- ронами a и b. 2. Проиллюстрировать формулу a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две ча- сти, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Задачи 1996 { 1997 года 41 3. Доказать, что (a+b) 2 − (a − b) 2 = 4ab . Как выглядит соответствующая картинка? 4. Если к произведению двух целых чисел, отличающих- ся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5 2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. 5. Простое число после увеличения на 1 становится точ- ным квадратом. Найти все такие числа. 6. Доказать, что число 999 991 составное (т. е. не про- стое). 7. Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежу- точных вычислений). 8. В выражении (a+b−c)(d−e−f)(g−h+i)(k+l+m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколь- кими из них будет стоять знак минус? * * * 9. В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под ка- ждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16 − 9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. 10. Написать формулу для (a + b) 3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. 11. В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», ко- торые указывали значения x 2 /4 для 0, 1, 2, 3, . . . Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? 12. Перемножить (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 )(1 + x 8 )(1 + x 16 ). 13. Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чи- сел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1 3 + 1 3 = 2 ). 42 Задачи 1996 { 1997 года 14. Доказать, что при положительном целом n число n 2 + n не может быть точным квадратом. 15. Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к про- изведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. 16. Назовём целое число хорошим, если оно представимо в ви- де суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2 2 + 1 2 , а 3 | нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. 17. (Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. 18. Доказать, что сумма 1 1 + 1 2 + . . . + 1 n + 1 1 · 2 + 1 1 · 3 + . . . + + 1 1 · n + . . . + 1 (n − 1)n + 1 1 · 2 · 3 + . . . + 1 1 · 2 · 3 . . . n (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n. Координаты на плоскости Нарисовать на плоскости точки ⟨x, y⟩, для которых 1. x = y; 2. x > y; 3. x = 1; 4. xy = 0; 5. x + y = 0; 6. x + y = 1; 7. x 2 = y 2 ; 8. |x| = |y|; 9. [x] = [y]; 10. {x} = {y}; 11. |x − 1| < 1/3; 12. x 2 + y 2 = 0 ; 13. y = 2x; 14. (x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; 15. (x − y)(x + y)(y − 2x) > 0; 16. x 2 + y 2 = 2xy ; Задачи 1996 { 1997 года 43 17. max(x, y) 6 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чи- сел x и y); 18. max(x, y) > 2; 19. точка 1 лежит на числовой оси между точками x и y ; 20. x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; 21. x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. * * * 22. Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩ . Какова его площадь? 23. Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? 24. Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 ∘ вокруг точ- ки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. 25. Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично отно- сительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. 26. Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x 2 = y+y 2 ; (б) x + x 3 = y + y 3 ; (в) x + |x| = y + |y|. Четные и нечётные числа 1. Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чёт- ных или нечётных? 2. Можно ли так расставить знаки в выражении ±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? 3. Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 4. Заполнить «таблицу сложения» Ч Н Ч Ч Н (например, в левой верхней клетке стоит буква Ч, которая означает, что сумма двух чётных чисел чётна). Как выглядит аналогичная таблица для умножения? 44 Задачи 1996 { 1997 года 5. При каких n сумма 1 + 2 + 3 + . . . + n чётна? 6. При каких n сумма 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? * * * 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл ока- зался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. 10. По окружности написано несколько чисел. Среди произве- дений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. 11. На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. 12. (Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в цен- тральной клетке стоит шашка. 13. Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаме- трально противоположны. 14. Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11 -угольника (не проходя через его вершины)? 15. Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? 16. Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. 17. Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 ∘ (а в проме- жутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Задачи 1996 { 1997 года 45 18. На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. 19. За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. До- казать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. 20. Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? 21. Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую се- кунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. 22. На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заме- нить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? 23. По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули. 24. (Лемма Шпернера) Треугольник КГБ (рис. 12) разрезан на меньшие, вершины которых окрашены в красный, голубой и белый цвета. При этом известно, что вершина К | красная, Г | голубая и Б | белая. Кроме того, известно, что вершины на стороне ГБ либо голубые, либо белые, на стороне КБ | либо красные, либо белые, на стороне ГК | либо голубые, либо красные. Доказать, что хотя бы один из маленьких треугольников имеет вершины всех трёх цветов и что таких трёхцветных треугольников нечётное число. r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Г К Б Рис. 12 Графики движений 1. На графике (рис. 13) изображено движение автобу- са, сделавшего по пути остановку. Когда автобус ехал бы- 46 Задачи 1996 { 1997 года стрее | до или после остановки? 2. Движение одной машины изображено точками, вто- рой | сплошной линией (рис. 14). Что происходило на до- роге? - 6 время координата Рис. 13 - 6 - 6 - 6 - 6 Рис. 14 3. На каких графиках (рис. 15) машина ускоряется (уве- личивает скорость), а на каких | замедляется? - 6 - 6 - 6 - 6 Рис. 15 4. На графиках (рис. 16) показана зависимость высоты воды в бочке от времени. Вода вливается в бочку с постоян- ной скоростью. Нарисовать примерную форму бочки. - 6 - 6 - 6 - 6 Рис. 16 Задачи 1996 { 1997 года 47 5. Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? 6. Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя ско- рость? 7. Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина за- полняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько вре- мени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? 8. Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Ско- рость пешехода также постоянна.) 9. Человек приехал на станцию на час раньше обычно- го и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обыч- ного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) * * * 10. Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? 11. Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 12. Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 13. Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 |