Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
n при целых m и n)? 35. ⋆ Можно ли построить взаимно однозначное соответ- ствие между точками прямой и плоскости, если требуется, чтобы расстояния между соответствующими парами точек отличались не более чем в 10 раз? 36. ⋆ Существует ли взаимно однозначное соответствие f : N → N, при котором f(5n + 1) = 3f(n) + 1 для всех n? 37. ⋆ Доказать, что всякая функция f: Q → Q может быть представлена в виде суммы f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) , где каждая из трёх функций f 1 , f 2 , f 3 является взаимно одно- значным соответствием Q → Q. 38. ⋆ Установить взаимно однозначное соответствие между Q и Q \ {0}, сохраняющее порядок. Как вы думаете, можно ли сделать то же самое для R и R \ {0}? 39. ⋆ Доказать, что нельзя изобразить на карте участок местности (считаем Землю шаром) так, чтобы расстояния между точками на карте были в одно и то же число раз мень- ше расстояний между соответствующими точками на местно- сти. (Два варианта: расстояния на местности могут измерять- ся по прямой или по поверхности сферы; в обоих случаях это невозможно.) Контрольная работа (21 сентября 1998 года) 1. Сколько существует различных взаимно однозначных соответствий между двумя множествами из n элементов. (Два соответствия различны, если одному и тому же элементу ста- вят в соответствие разные.) 2. Доказать, что всякое счётное множество можно раз- бить на три непересекающихся счётных множества. 3. Разбить отрезок на счётное число равномощных друг другу частей. 4. Счётно ли множество бесконечных последовательно- стей нулей и единиц, в которых число нулей конечно? 5. Доказать, что множество всех бесконечных последо- вательностей нулей и единиц равномощно множеству всех бесконечных последовательностей натуральных чисел. Задачи 1998 { 1999 года 133 6. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех лучей и множеством всех окружностей по- ложительного радиуса (на плоскости). 7. Доказать, что всякое множество непересекающихся кру- гов на плоскости счётно. 8. Любое ли множество непересекающихся букв Т счёт- но? Последовательности Последовательность a 0 , a 1 , a 2 , . . . называется ограничен- ной сверху, если существует её верхняя грань | такое чи- сло c, что все члены последовательности не превосходят c. Символическая запись этого условия (∃c означает «существу- ет c», ∀i означает «для всех i»): ∃c ∀i (a i 6 c). 1. Сформулировать определение ограниченной снизу по- следовательности. Сформулировать определение последо- вательности, не ограниченной сверху (не используя слова «не»). Говоря об ограниченной последовательности, имеют в ви- ду последовательность, ограниченную и сверху, и снизу. 2. Может ли ограниченная последовательность не иметь ни наибольшего, ни наименьшего члена? (Наибольший (наи- меньший) член | тот, который является верхней (нижней) гранью.) 3. Является ли последовательность a n = 10 n /n! ограни- ченной? 4. Тот же вопрос для последовательности a n = 1,01 n 5. . . . a n = n 2 /2 n 6. . . . a n = n √ n! 7. . . . a n = √ 3 + a n−1 , где a 0 = 0 8. ⋆ . . . a n = (︀1 + 1 n )︀ n 2 9. ⋆ . . . a n = (︀1 + 1 n 2 )︀ n 10. ⋆ . . . a n = (︀1 + 1 n )︀ n 134 Задачи 1998 { 1999 года 11. Ограничена ли последовательность, заданная форму- лами a 0 = 1 , a n+1 = a n + 1/a n ? 12. Доказать, что сумма и произведение ограниченных последовательностей ограничены: если последовательности a n и b n ограничены, то и последовательности c n = a n + b n и d n = a n b n ограничены. Верны ли аналогичные утвержде- ния для разности и частного? Будем называть множество M «ловушкой» для последо- вательности a 0 , a 1 , . . . , если все члены этой последователь- ности, начиная с некоторого номера, лежат в M. Будем на- зывать множество M «кормушкой» для этой последователь- ности, если оно содержит бесконечно много членов последо- вательности. 13. Может ли ловушка не быть кормушкой? может ли кормушка не быть ловушкой? Можно ли утверждать, что один из отрезков [0, 1] и [1, 2] является ловушкой, если из- вестно, что отрезок [0, 2] является ловушкой? Можно ли утверждать, что один из отрезков [0, 1] и [1, 2] является кор- мушкой, если известно, что отрезок [0, 2] является кормуш- кой? 14. Володя считает, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует отрезок, являющийся её ловушкой. Прав ли он? Символическая запись: множество M является ловушкой для последовательности a 0 , a 1 , . . . , если ∃N (∀n > N) (a n ∈ M). 15. (а) Записать аналогичным образом определение кор- мушки. (б) Закончить фразу: «множество M не является ло- вушкой для последовательности в том и только том случае, когда . . . » (не используя слов «не существует» или «не для всех»). 16. Существует ли последовательность, для которой лю- бой интервал является кормушкой? для которой любой ин- тервал является ловушкой? 17. Доказать, что для любой ограниченной последова- тельности существует отрезок длины 1, который является её Задачи 1998 { 1999 года 135 кормушкой. 18. Доказать, что для всякой ограниченной монотонной последовательности существует отрезок длины 1, являющий- ся её ловушкой. Если из последовательности выбросить некоторые члены, сохранив порядок оставшихся, получится её подпоследова- тельность. 19. Доказать, что у любой бесконечной последователь- ности есть монотонная (невозрастающая или неубывающая) бесконечная подпоследовательность. 20. ⋆ Доказать, что у всякой последовательности длины n 2 +1 существует монотонная подпоследовательность длины n + 1 , но у последовательности длины n 2 может не быть монотонной подпоследовательности длины n + 1. 21. Существует ли такая последовательность целых чи- сел, что любая другая последовательность целых чисел явля- ется её подпоследовательностью? 22. ⋆ Существует ли такая последовательность целых чи- сел, что любое целое положительное число представимо в виде разности двух членов этой последовательности, причём единственным способом? 23. Последовательность x 0 , x 1 , . . . такова, что |x n+1 − − x n | 6 1/2 n при всех n. Может ли эта последовательность не быть ограниченной? Тот же вопрос, если |x n+1 −x n | 6 1/n. 24. Закончить определение: последовательность точек на плоскости называется ограниченной, если . . . 25. ⋆ Квадратная таблица 100 × 100 заполнена числами. За один шаг можно изменить знак у всех чисел одной строки или у всех чисел одного столбца. Доказать, что с помощью нескольких таких операций можно добиться, чтобы суммы чисел во всех строках и суммы чисел во всех столбцах были неотрицательными. Пределы Говорят, что последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . имеет пре- дел 0 (стремится к нулю, сходится к нулю, является бес- конечно малой), если для любого положительного числа ε 136 Задачи 1998 { 1999 года интервал (−ε, ε) является ловушкой. Обозначение: a n → 0 (или lim n →∞ a n = 0 ). 1. Записать это определение символически: ( ∀ε > 0) ∃N . . . 2. Продолжить фразу: «Последовательность a 0 , a 1 , . . . не стремится к нулю, если . . . », не используя слова «не». 3. Доказать, что последовательность a n = 1/n стремится к нулю, указав, как находить N по ε (см. задачу 1). 4. Доказать, что последовательность a n = 1/n 2 стремит- ся к 0. 5. Тот же вопрос для последовательности a n = 1/2 n 6. . . . a n = 0,99 n 7. . . . a n = n/2 n 8. . . . a n = n 10 /2 n 9. . . . a n = 2 n /n! 10. . . . a n = √ n + 1 − √ n 11. . . . a n = ( sin n)/n. 12. Может ли сходящаяся к 0 последовательность пере- стать сходиться к 0, если переставить её члены? 13. Последовательности a 0 , a 1 , . . . и b 0 , b 1 , . . . стремят- ся к 0. Доказать, что их сумма и разность, заданные форму- лами c i = a i ± b i , также стремятся к нулю. 14. Последовательность a 0 , a 1 , . . . стремится к 0, а по- следовательность b 0 , b 1 , . . . ограничена. Доказать, что про- изведение c i = a i b i стремится к нулю. 15. Известно, что последовательность неотрицательных чисел стремится к нулю. Доказать, что последовательность квадратных корней из них также стремится к нулю. 16. Закончить определение предела последовательности: «последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . имеет предел a, если для любого ε > 0 . . . ». Обозначение: lim n →∞ x n = a или x n → a. Последовательность, имеющая предел, называется сходя- щейся (к этому пределу). 17. Доказать, что у последовательности может быть толь- ко один предел. Задачи 1998 { 1999 года 137 18. Найти предел последовательности a n = (n − 1)/n 19. Доказать, что последовательность 1, −1, 1, −1, . . . не имеет предела. 20. Найти предел последовательности n √ 2 21. ⋆ Найти предел последовательности n √ n 22. Найти предел последовательности, заданной соотно- шением x n+1 = √ 3x n , если x 0 > 0 23. Сходящаяся последовательность имеет бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. Доказать, что её предел равен 0. 24. Доказать, что если последовательность x n имеет не- нулевой предел и все её члены отличны от нуля, то после- довательность y n = 1/x n ограничена. 25. Закончить фразу: «Последовательность x 0 , x 1 , . . . име- ет предел a тогда и только тогда, когда её можно предста- вить в виде x i = a + y i , где . . . ». 26. Может ли сходящаяся последовательность перестать быть сходящейся, если изменить конечное число её членов? 27. Может ли сходящаяся последовательность начать схо- диться к другому пределу, если изменить все её члены с не- чётными номерами? 28. Может ли сходящаяся последовательность иметь рас- ходящуюся (т. е. не сходящуюся) подпоследовательность? 29. Доказать, что сходящаяся последовательность всегда ограничена. 30. Доказать теорему о двух милиционерах: если a n 6 6 b n 6 c n при всех n и последовательности a 0 , a 1 , . . . и c 0 , c 1 , . . . (милиционеры) имеют один и тот же предел (от- деление) то последовательность b 0 , b 1 , . . . также сходится к этому пределу. 31. ⋆ Сходится ли последовательность 10 n /2( n 2 ) к нулю? 32. Сходится ли последовательность x n = sin n? 33. Сходится ли последовательность x n = sin(1/n)? 34. Сходится ли последовательность x n = cos(1/n)? 35. Сходится ли последовательность x n = (1/n) sin n? 36. ⋆ Сходится ли последовательность x n = n sin(1/n)? 138 Задачи 1998 { 1999 года 37. ⋆ Может ли сходящаяся последовательность не иметь ни наибольшего, ни наименьшего членов? 38. Последовательность состоит из положительных чле- нов, при этом сумма любого числа её членов не превосхо- дит 1. Доказать, что она стремится к 0. 39. Найти предел последовательности a n = (1 + 1/n 2 ) n 40. ⋆ Найти предел последовательности, заданной соотно- шением x n+1 = √ 3 + x n , если x 0 > 0 41. ⋆ Найти предел последовательности x n = √ n 2 + n−n 42. ⋆ Доказать, что последовательность, для которой x 0 = = 1 и x n+1 = (x n + 3/x n )/2 , сходится. 43. ⋆ Первые два члена x 0 и x 1 последовательности поло- жительны, а каждый следующий равен сумме двух предыду- щих: x n+2 = x n + x n+1 . Доказать, что последовательность отношений y n = x n+1 /x n имеет предел. Аксиома полноты и её следствия Число c называют верхней гранью числового множества X , если все элементы этого множества не превосходят c. Символическая запись: (∀x ∈ A)(x 6 c). Аналогично опре- деляется нижняя грань. 1. Какие числа являются верхними и нижними гранями множества {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . }? Следующее свойство действительных чисел мы принима- ем без доказательства: Аксиома полноты. Пусть L и R | два числовых множе- ства, причём любой элемент первого не превосходит любого элемента второго (l 6 r для всех l ∈ L и r ∈ R). Тогда су- ществует число c, разделяющее L и R, то есть являющееся верхней гранью L и нижней гранью R. 2. Пусть L и R | множества действительных чисел, для которых l < r при всех l ∈ L и r ∈ R. Можно ли утверждать, что найдётся c, при котором l < c < r для всех l ∈ L и r ∈ R? 3. ⋆ Утверждение, аналогичное аксиоме полноты, мож- но сформулировать для любого упорядоченного множества. Верно ли оно для (а) целых чисел; (б) рациональных чисел; Задачи 1998 { 1999 года 139 (в) бесконечных последовательностей нулей и единиц (упо- рядоченных лексикографически: одна последовательность мень- ше другой, если до некоторого позиции они совпадают, а в этой позиции у первой стоит нуль, а у второй | единица). 4. (Существование точной верхней грани) Пусть L | ограниченное сверху множество. Доказать, что среди всех его верхних граней существует наименьшая. Она называется точной верхней гранью и обозначается sup L (supremum). По аналогичным причинам любое ограниченное снизу множество R имеет точную нижнюю грань inf R (infimum). 5. ⋆ Часто аксиома полноты формулируется так: любое ог- раниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Доказать, что эта формулировка равносильна приведённой выше. 6. Доказать, что всякая монотонная ограниченная после- довательность имеет предел. (Указание: верхняя грань мно- жества значений ограниченной возрастающей последователь- ности является её пределом.) Многие из (молчаливо) принятых нами без обоснования утверждений можно вывести из аксиомы полноты. 7. ⋆ (Аксиома Архимеда) Доказать, что множество нату- ральных чисел не ограничено сверху: для всякого числа су- ществует большее его натуральное. (Указание: множество N натуральных чисел вместе с каждым числом содержит на единицу большее; такое множество не может иметь точной верхней грани.) 8. ⋆ Доказать, что существует √ 2 , то есть действительное число α > 0, для которого α 2 = 2 . (Указание: рассмотрим множество положительных рациональных чисел, квадрат ко- торых меньше 2, и возьмём его точную верхнюю грань.) 9. (Лемма о вложенных отрезках) Доказать, что любая последовательность вложенных отрезков [a 0 , b 0 ] ⊃ [a 1 , b 1 ] ⊃ [a 2 , b 2 ] ⊃ . . . (каждый следующий отрезок есть часть предыдущего) имеет общую точку (принадлежащую всем отрезкам). 140 Задачи 1998 { 1999 года 10. Доказать, что множество действительных чисел не- счётно: для любой последовательности действительных чи- сел x 0 , x 1 , x 2 , . . . можно указать число, не совпадающее ни с одним из x i 11. ⋆ Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . такова, что |x i+1 − − x i | 6 1/i 2 . Доказать, что она сходится. Последовательность называется фундаментальной, если она имеет отрезки-ловушки сколь угодно малой длины: для всякого ε > 0 существует отрезок длины не более ε, являю- щийся её ловушкой. 12. Более традиционно такое определение фундаменталь- ной последовательности: ( ∀ε > 0) ∃N (∀k, l > N) ( |x k − x l | 6 ε). Показать, что это определение равносильно только что при- ведённому. 13. (а) Доказать, что всякая сходящаяся последователь- ность фундаментальна. (б) Доказать, что всякая фундамен- тальная последовательность ограничена. (в) Доказать, что если фундаментальная последовательность имеет сходящую- ся подпоследовательность, то она и сама сходится (к тому же пределу). (Как мы увидим, из аксиомы полноты следует, что всякая фундаментальная последовательность сходится.) 14. Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . такова, что |x i+1 − − x i | 6 1/i 2 . Доказать, что она фундаментальна. 15. Используя аксиому полноты, показать, что всякая фундаментальная последовательность сходится. 16. Доказать, что всякая ограниченная последователь- ность имеет фундаментальную (и, следовательно, сходящу- юся) подпоследовательность. 17. ⋆ Дать определения сходящейся и фундаментальной последовательности точек плоскости. Всякая ли фундамен- тальная последовательность на плоскости сходится? 18. ⋆ Сформулировать и доказать аналог леммы о вложен- ных отрезках на плоскости. 19. ⋆ Говорят, что последовательность интервалов I 1 , I 2 , I 3 , . . . образует покрытие множества M, если всякая точка Задачи 1998 { 1999 года 141 этого множества входит в (хотя бы) один из интервалов I n (а) Можно ли указать покрытие интервала бесконечной по- следовательностью других интервалов, в котором ни один из интервалов нельзя выбросить (оставив покрытие покры- тием)? (б) Тот же вопрос для покрытия отрезка бесконечной последовательностью интервалов. 20. Точка a называется предельной точкой последова- тельности x 0 , x 1 , x 2 , . . . , если любой интервал, содержащий a , содержит бесконечно много членов этой последователь- ности. (а) Записать это определение с помощью кванторов. (б) Доказать, что число a является предельной точкой по- следовательности тогда и только тогда, когда некоторая её подпоследовательность сходится к a. (в) Доказать, что вся- кая ограниченная последовательность имеет предельную точ- ку. 21. ⋆ Существует ли последовательность, предельными точ- ками которой являются числа 1, 1/2, 1/3, . . . (и только они)? 22. ⋆ (а) Имеется множество отрезков, любые два из ко- торых имеют общую точку. Можно ли утверждать, что су- ществует точка, принадлежащая всем отрезкам? (б) Тот же вопрос для интервалов на прямой. (в) Тот же вопрос для кругов на плоскости. (г) Тот же вопрос для прямоуголь- ников на плоскости (стороны параллельны осям координат; прямоугольник рассматривается вместе со внутренностью). 23. ⋆ На плоскости имеется конечное множество кругов, причём любые три круга из этого множества имеют общую точку. Следует ли из этого, что существует точка, принад- лежащая всем кругам? 24. ⋆ (Продолжение) Тот же вопрос для бесконечного мно- жества кругов. Разные задачи о пределах 1. Последовательность x n сходится к a; последователь- ность y n сходится к b. Доказать, что последовательности x n + y n и x n − y n сходятся к a + b и a − b соответственно. 2. Последовательность x n сходится к a, последователь- ность y n сходится к b. Доказать, что последовательность 142 Задачи 1998 { 1999 года x n y n сходится к ab. (Указание: удобно записать x n и y n как a + α n и b + β n .) 3. Последовательность x n сходится к a ̸= 0. Доказать, что почти все её члены (все, кроме конечного числа) отлич- ны от 0 и что последовательность y n = 1/x n сходится к 1/a 4. Последовательность x n сходится к a; последователь- ность y n сходится к b, причём b ̸= 0. Доказать, что после- довательность x n /y n сходится к a/b. 5. Найти предел последовательности (2n 2 +n+3)/(3n 2 − −n−2) . (Указание: это легко сделать почти без вычислений, пользуясь предыдущими задачами.) 6. Что можно сказать о сходимости последовательностей x n + y n и x n y n , если (а) одна из последовательностей x n и y n |