Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
каком случае эти пределы совпадают? 19. ⋆ Доказать, что монотонная функция, определённая на всей прямой, непрерывна везде, за исключением не более чем счётного числа точек. 20. Дать определение предела f(x) при x → +∞. Найти предел lim x →+∞ x 100 /2 x 154 Задачи 1998 { 1999 года 21. ⋆ Доказать, что lim x →+∞ (1+1/x) x существует и равен числу e (пределу последовательности (1 + 1/n) n ). 22. Найти предел √ x 2 + x − x при x → +∞. 23. Найти предел sin x/x при x → +∞. 24. ⋆ Найти предел (log 2 x)/x при x → +∞. 25. ⋆ Найти предел (1 + x/3) 1/x при x → 0. 26. ⋆ Найти предел x log 2 x при x → 0. 27. ⋆ Найти предел x √ 2 при x → +∞. 28. ⋆ Найти предел x √ x при x → +∞. 29. ⋆ Найти предел (cos x) 1/x 2 при x → 0. 30. ⋆ Функция f определена и непрерывна на всей прямой. Можно ли утверждать, что lim x →+∞ f(x) = 0 , если известно, что последовательность f(x), f(x + 1), f(x + 2), . . . сходится к 0 для любого x ? 31. ⋆ Тот же вопрос, если для любого x > 0 последова- тельность f(x), f(2x), f(3x), . . . сходится к 0. Асимптотические обозначения Пусть f и g | две функции, определённые в окрест- ности точки a. Говорят, что f(x) = O(g(x)) при x → a, если найдётся такое число c, что |f(x)| 6 c|g(x)| при всех x , достаточно близких к a. (Читается: «эф от икс есть о большое от же от икс».) Говорят, что f(x) = o(g(x)), если для всякого ε > 0 найдётся окрестность точки a, в которой |f(x)| 6 ε|g(x)|. (Читается: «эф от икс есть о малое от же от икс».) 1. Записать эти определения формально: f(x)=O(g(x)) ⇔ ⇔ ∃c(∃δ > 0) . . . ; f(x) = o(g(x)) ⇔ . . . Смысл этих определений: f(x)=O(g(x)) значит, что вбли- зи a значение f(x) не сильно больше g(x) (превосходит g(x) не более чем в ограниченное число раз); f(x) = o(g(x)) озна- чает, что вблизи a значение f(x) бесконечно мало по срав- нению с g(x). Используя эти обозначения, можно сказать, что функ- ция f непрерывна в точке a, если f(x) = f(a) + o(1) при x → a. Задачи 1998 { 1999 года 155 2. Какие из следующих утверждений верны: (а) sin x = = O(x) при x → 0; (б) sin x = o(x) при x → 0; (в) cos x = = O(x) при x → 0; (г) cos x = O(1) при x → 0; (д) cos x = = 1+o(x) при x → 0; (е) sin x = O(x) при x → 1; (ж) sin x = = o(x) при x → 1; (з) sin x = o(x) при x → +∞; (и) x 2 = = O(2 x ) при x → +∞. (к) 1/x = O(sin x) при x → +∞. 3. ⋆ Гражданин пошёл в сберкассу платить за квартиру, но вместо этого положил деньги на счёт с 5% годовых. Можно ли утверждать, что его долг (включая пеню в 1% исходной суммы за каждый день просрочки) будет о-малым от суммы на счёте при стремлении времени к бесконечности? 4. ⋆ Можно ли утверждать, что f(x) = o(h(x)) при x → a, если (а) f(x) = o(g(x)) и g(x) = o(h(x)) при x → a; (б) f(x) = O(g(x)) и g(x) = O(h(x)) при x → a; (в) f(x) = = o(g(x)) и g(x) = O(h(x)) при x → a; (г) f(x) = O(g(x)) и g(x) = o(h(x)) при x → a? 5. Известно, что f(x) = O(x 4 ) и g(x) = o(x 3 ) при x → 0. Что можно сказать про f(x) + g(x), f(x)g(x) и f(g(x))? 6. ⋆ Известно, что f(x) = O(x 4 ) и g(x) = O(1) при x → 0. Что можно сказать про f(g(x)) и g(f(x))? 7. Доказать, что 1/(1 + x) = 1 − x + O(x 2 ) при x → 0. 8. . . . 1/(1 + x) = 1 − x + x 2 − x 3 + O(x 4 ) при x → 0. 9. . . . √ 1 + x = 1 + x/2 + O(x 2 ) 10. Найти аналогичную формулу для √ 9 + x 11. Найти разложение функции f(x) = 1/(1 − 2x + x 2 ) по степеням x при x → 0 вплоть до членов четвёртого поряд- ка, то есть найти значения коэффициентов a, b, c, d, e, для которых 1 1 − 2x + x 2 = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 + o(x 4 ) при x → 0. 12. Доказать, что разложение по степеням x однозначно: если f(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a k x k + o(x k ) = = b 0 + b 1 x + . . . + b k x k + o(x k ) 156 Задачи 1998 { 1999 года при x → 0, то a i = b i при всех i = 0, . . . , k 13. Доказать, что √ x + 1 − √ x = 1/(2 √ x) + o(1/x) при x → +∞. 14. . . . sin x = x + o(x) при x → 0. 15. . . . sin x − tg x = O(x 3 ) при x → 0. 16. . . . sin x = x + O(x 3 ) при x → 0. 17. . . . cos x = 1 − x 2 /2 + O(x 4 ) при x → 0. 18. . . . ctg x = 1/x + o(1) при x → 0 19. Показать, что максимальное отклонение дуги дли- ной x единичной окружности от стягивающей её хорды есть O(x 2 ) при x → 0. 20. ⋆ Предполагая, что формула √ 1 + x = 1 + x/2 + ax 2 + + O(x 3 ) (при x → 0) верна для некоторой константы a, найти значение a. 21. ⋆ (Продолжение) Доказать, что при этом a формула действительно верна. 22. ⋆ Указать a и b, при которых формула √ 1 + x = 1 + + x/2 + ax 2 + bx 3 + O(x 4 ) верна (при x → 0). 23. ⋆ Разложить sin x в окрестности точки π/3 по степеням (x − π/3) вплоть до четвёртой (другими словами, разложить sin(π/3 + x) по степеням x с точностью до o(x 4 ) ). 24. ⋆ Указать a, при котором 3 √ 1 + x = 1 + ax + O(x 2 ) Во многих задачах полезны разложения (при x → 0) sin x = x−x 3 /3!+x 5 /5!−. . . и cos x = 1−x 2 /2!+x 4 /4!−. . . (которые можно оборвать в любом месте); как мы увидим дальше, их легко получить по формуле Тейлора или из ряда e ix = cos x + i sin x. 25. ⋆ Найти разложение вплоть до x 4 для tg x= sin x/ cos x. 26. ⋆ (Продолжение) для sin(sin x) вплоть до x 4 27. ⋆ (Продолжение) для arcsin x вплоть до x 4 . (Можно предполагать, что такое разложение существует | это будет следовать из общих теорем.) 28. ⋆ Разложить по степеням x (с точностью o(x 2 ) ) (а) рас- стояние от точки (0, 2) до точки (0, x); (б) расстояние от точ- ки (−1, 1) до точки (0, x); (в) длину ломаной (−1, 1) { (0, x) { Задачи 1998 { 1999 года 157 { (2, 2); (г) длину ломаной (−1, 1) { (0, x) { (1, 2). Как объ- яснить, почему в одних случаях коэффициент при x равен нулю, а в других | нет? 29. ⋆ Треугольник имеет стороны a, b, c. Одну из сторон удлинили на x; пусть S(x) | площадь получившегося тре- угольника со сторонами a, b, c + x. Разложить S(x) по сте- пеням x с точностью o(x). В каком случае коэффициент при x равен 0? 30. ⋆ Пусть X | некоторая фигура на плоскости. Рас- смотрим ε-окрестность X (состоящую из тех точек, которые отстоят не более чем на ε от некоторой точки множества X). Разложить площадь этой окрестности по степеням ε для раз- личных фигур, в том числе круга, отрезка, окружности, ква- драта, круга с круглой дыркой, круга с двумя круглыми дырками, участка гладкой кривой и др. В каких случаях получающиеся формулы точны при малых ε? 31. ⋆ Показать, что для некоторых a и b верна форму- ла 1 + 1/2 2 + 1/3 2 + . . . + 1/n 2 = a + b/n + O(1/n 2 ) и найти b. (Найти a гораздо сложнее | как мы увидим, оно равно π 2 /6 .) 32. ⋆ Последовательность x 0 , x 1 , x 2 , . . . определена соот- ношением x n+1 = sin x n ; при этом x 0 = 1 . Показать, что x n = O(1/ √ n) 33. ⋆ Уравнение tg x = x имеет бесконечно много решений; перенумеруем неотрицательные его решения в порядке воз- растания: x 0 = 0, x 1 , x 2 , . . . Тогда можно написать формулу x n = nπ + a + b/n + c/n 2 + d/n 3 + o(1/n 3 ) . Найти a, b, c, d. 34. ⋆ (а) при анализе алгоритма выяснилось, что время его работы T(n) на входах длины n (определённое для це- лых положительных n) удовлетворяет соотношению T(n) = = T ([n/2])+T ([n/3])+O(n) (квадратные скобки обозначают целую часть). Показать, что T(n) = O(n). (б) Что можно сказать о T(n), если T(n) = 2T([n/2]) + O(n)? 35. ⋆ В окрестности точки (1, 1) кривая x 5 + x + y 5 + y = 4 совпадает с графиком некоторой функции y = f(x); при этом f(1 + h) = 1 + ah + bh 2 + o(h) для некоторых a и b. Считая это известным, найти a и b. 158 Задачи 1998 { 1999 года 36. ⋆ При каком n предел (sin tg(x) − tg sin(x))/x n при x → 0 существует и отличен от 0? 37. ⋆ Найти предел sin tg x − tg sin x arcsin arctg x − arctg arcsin x при x → 0. Пределы с экспонентой При любом a > 0 функция x ↦→ a x определена и непре- рывна при всех x; при этом a x+y = a x a y и a 0 = 1 . При a > 1 эта функция возрастает, при a < 1 | убывает (при a = 1 она постоянна). Число e определяется как предел последовательности (1+ + 1/n) n ; значение e x обозначается также exp x. Обратная к x ↦ → a x функция обозначается log a x (логарифм по основа- нию a); она определена (и непрерывна) при a > 0 и a ̸= 1. Логарифм по основанию e называется натуральным и обо- значается ln. 1. ⋆ Показательную функцию x ↦→ a x можно построить так: сначала определить её для целых x, затем для рацио- нальных (a m/n = n √ a m ), а затем (по непрерывности или по монотонности) для всех действительных x. Провести это построение подробно и доказать для построенной функции указанные в начале листка свойства. 2. Доказать, что предел (1 + 1/x) x при x → +∞ равен e. 3. Найти предел (1 + x) 1/x при x → 0. 4. Найти предел (1 + 2x) 1/x при x → 0. 5. Найти предел (1 − x) 1/x при x → 0. 6. Найти предел (1 + x 2 ) 1/x при x → 0. 7. Найти предел (1 + x) 1/x 2 при x → 0. 8. ⋆ Найти предел (1 + sin x) 1/x при x → 0. 9. ⋆ Найти предел (cos x) 1/x 2 при x → 0. 10. Доказать, что lim x →0 ln(1 + x) x = 1 Задачи 1998 { 1999 года 159 (другими словами, ln(1 + x) = x + o(x) при x → 0). 11. Доказать, что lim y →0 e y − 1 y = 1 (другими словами, e y = 1 + y + o(y) при y → 0). 12. ⋆ Предполагая, что e x = 1+x+ax 2 +o(x 2 ) при x → 0, найти a. (Указание: e 2x = e x e x .) 13. ⋆ Доказать, что при x → 0 exp x = 1 + x + x 2 /2 + . . . + x n /n! + O(x n+1 ) (exp x определяется как сумма ряда 1 + x + x 2 /2 + . . . + + x n /n! + . . . ). 14. ⋆ (Продолжение) Считая, что ln(1 + x) = ax + bx 2 + + o(x 2 ) , найти a и b. 15. Найти предел (2 x − 1)/x при x → 0. 16. Найти предел log 2 (1 + x)/x при x → 0. 17. Найти предел (exp(a + h) − exp(a))/h при h → 0 (и постоянном a). 18. Найти предел (ln(a + h) − ln(a))/h при h → 0 (и постоянном a). 19. Доказать, что если a n → a, b n → b и a > 0, то a b n n → a b . (Указание: логарифм и экспонента непрерывны.) 20. Найти предел a x /x n при x → +∞ (где a > 1, n > 0). 21. Найти предел x ln x при x → 0. 22. ⋆ Доказать, что для некоторого γ имеет место равен- ство 1 + 1 2 + . . . + 1 n = ln n + γ + o(1). 23. ⋆ (Продолжение) Доказать, что 1 + 1 2 + . . . + 1 n = ln n + γ + a n + O(1/n 2 ) для подходящего a и найти это a. 24. ⋆ Найти предел при n → ∞ суммы 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2n 160 Задачи 1998 { 1999 года 25. ⋆ Найти сумму ряда 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . 26. ⋆ Доказать, что ln(n!) = n ln n + o(n ln n). 27. ⋆ Доказать более точную оценку: ln(n!)=n ln n+O(n). 28. ⋆ Доказать ещё более точную оценку: ln(n!) = n ln n− − n + O( ln n). 29. ⋆ Доказать ещё более точную оценку: ln(n!) = n ln n− − n + (1/2) ln n + c + o(1). Другими словами, n! = (n/e) n √ Cn(1 + o(1)). Можно доказать, что C = 2π (формула Стирлинга), а идя дальше, разложить o(1) по степеням 1/n. 30. ⋆ Числа a 1 , a 2 , . . . положительны и меньше 1. Дока- зать, что следующие три свойства равносильны: (1) ряд a 1 + +a 2 +. . . расходится; (2) произведение (1+a 1 ) ·(1+a 2 ) ·. . .× × (1 + a n ) стремится к бесконечности при n → ∞; (3) про- изведение (1 − a 1 )(1 − a 2 ) . . . (1 − a n ) стремится к нулю при n → ∞. 31. ⋆ (Продолжение) Вывести отсюда, что гармонический ряд P (1/i) расходится. 32. ⋆ (Продолжение) Доказать, что ряд 1/2 + 1/3 + 1/5 + + 1/7 + . . . (обратные к простым числам) расходится. Производная Производной функции f в точке a называется предел от- ношения (f(x) − f(a))/(x − a) при x → a. Если он суще- ствует, функция называется дифференцируемой в точке a. Производная функции f в точке a обозначается f ′ (a) 1. Найти производные (в произвольной точке a) функ- ций: (а) x ↦→ 2x; (б) x ↦→ x 2 ; (в) x ↦→ 1/x; (г) x ↦→ √ x ; (д) x ↦→ x n для целых положительных n; (е) x ↦→ x n для любых целых n; (ж) x ↦→ sin x; (з) x ↦→ cos x; (и) x ↦→ e x ; (к) x ↦→ ln x. Задачи 1998 { 1999 года 161 2. Доказать, что функция f имеет производную A в точ- ке a тогда и только тогда, когда f(a+h) = f(a)+Ah+o(h) при h → 0. 3. Доказать, что всякая дифференцируемая в точке a функция непрерывна в a, но обратное неверно. Замечание. Определению f ′ (a) можно придать смысл, ес- ли точка a принадлежит области определения функции f и является для неё предельной точкой. Однако обычно пред- полагают, что f определена в некоторой окрестности точки a (на интервале, содержащем a). 4. Доказать правила дифференцирования суммы функций и произведения функций: (а) (f + g) ′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a) ; (б) (fg) ′ (a) = f ′ (a)g(a) + f(a)g ′ (a) . (Удобно использовать задачу 2.) 5. (Производная сложной функции) Пусть функция f оп- ределена в окрестности точки a и дифференцируема в a; пусть функция g определена в окрестности точки b = f(a) и дифференцируема в b. Тогда функция h(x) = g(f(x)) опре- делена в окрестности точки a, дифференцируема в точке a и h ′ (a) = g ′ (f(a))f ′ (a) . (Указание: использовать задачу 2.) 6. (а) Функция f определена в окрестности точки a и дифференцируема в точке a, причём f(a) ̸= 0. Найти произ- водную функции x ↦→ 1/f(x). (Можно воспользоваться пре- дыдущей задачей.) (б) Найти производную частного x ↦→ ↦ → g(x)/f(x) в точке a, если функции f и g определены в окрестности a и дифференцируемы в a, причём f(a) ̸= 0. 7. Найти производные функций: (а) x ↦→ (x + 1) 4 = x 4 + + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 ; (б) x ↦→ sin 2x = 2 sin x cos x (двумя способами); (в) x ↦→ tg x; (г) x ↦→ sin(sin x)); (д) x ↦→ a x (для любого a > 0); (е) x ↦→ log a x (для любого a > 0, кроме 1); (ж) x ↦→ exp(2 ln x); (з) x ↦→ x α (α | произвольное число; функция рассматривается при x > 0); (и) x ↦→ x x (x > 0). 8. Функция f определена, непрерывна и строго монотонна на некотором интервале. Доказать, что если она дифферен- цируема в точке a этого интервала и f ′ (a) ̸= 0 , то обратная функция g дифференцируема в точке f(a), и найти g ′ (f(a)) 9. ⋆ (Продолжение) Что можно сказать о g ′ (f(a)) , если 162 Задачи 1998 { 1999 года f ′ (a) = 0 ? 10. Найти производные функций (а) x ↦→ arcsin x; (б) x↦→ ↦ → arccos x; (в) x ↦→ arctg x. 11. ⋆ Найти производную функции x ↦→ arcsin(cos x). 12. Второй производной функции f называется производ- ная её производной, то есть производная функции f ′ : x ↦ → ↦ → f ′ (x) . Написать формулу для второй производной про- изведения h(x) = f(x)g(x), то есть выразить h ′′ (a) через значения функций f и g и их производных в точке a. 13. ⋆ (Продолжение) Написать аналогичную формулу для h (5) (a) (пятой производной). 14. ⋆ Найти вторую производную функции h(x) = f(g(x)) (считая известными значения функций f и g и их производ- ных). 15. ⋆ Найти вторую производную обратной функции, счи- тая известными значения самой функции, а также её первой и второй производной. 16. ⋆ Указать какую-либо функцию f, не равную нулю то- ждественно, для которой (а) f ′ (x) = (x + 3) 2 ; (б) f ′ (x) = = (5x + 3) 2 ; (в) f ′ (x) = f(x) ; (г) f ′ (x) = −f(x) ; (д) f ′′ (x) = = −f(x) 17. Что получится, если n раз продифференцировать («дифференцировать» означает «брать производную») много- член степени n? 18. Доказать, что для многочлена P степени n справед- лива формула Тейлора: P(a + h) = P(a) + P ′ (a)h + P ′′ (a) 2! h 2 + . . . + P (n) (a) n! h n (Указание: P(a + h) при фиксированном a есть многочлен от h.) 19. Объяснить смысл описания производной как «мгно- венной скорости изменения функции», как «отношения бес- конечно малого приращения функции к приращению аргу- мента» и как «тангенса угла наклона касательной» (которая в свою очередь описывается как «предельное положение се- кущей»). Задачи 1998 { 1999 года 163 20. Найти уравнение касательной к эллипсу x 2 + 2y 2 = 3 в точке (1, 1). 21. ⋆ (Продолжение) Две перпендикулярные касательные к этому эллипсу пересекаются в точке X. Доказать, что рас- стояние от X до начала координат не зависит от выбора ка- сательных (и равно 3/ √ 2 ). 22. ⋆ (а) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны. Сформулировать и доказать анало- гичное утверждение для касательных к параболе, проведён- ных из одной точки. (б) Квадрат касательной к окружности равен произведению отрезков секущих. Сформулировать ана- логичное утверждение для параболы. 23. ⋆ Две параболы y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 и y = a 2 x 2 + + b 2 x + c 2 пересекаются в точках A и B и имеют общую касательную, касающуюся парабол в точках C и D. Дока- зать, что прямая AB делит отрезок CD пополам. 24. ⋆ Для площади круга радиуса r есть формула S(r) = = πr 2 ; производная S ′ (r) = 2πr даёт формулу для дли- ны окружности. Для объёма шара радиуса r есть формула V(r) = (4/3)πr 3 ; производная V ′ (r) = 4πr 2 даёт формулу для площади сферы. Объяснить наблюдаемое явление. Теоремы о производной 1. Пешеход шёл 8 минут с переменной скоростью и про- шёл более 800 м. Можно ли утверждать, что найдется про- межуток длиной в минуту, за который пешеход прошёл бо- лее 100 м? 2. ⋆ |