Лекции по математике 269 Литература 274 Предисловие в этой книге собраны материалы по курсу математики в одном из классов московской Пятьдесят седьмой школы
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
→ R (здесь k не обязательно равно n) образуют век- торное пространство. Какова его размерность? 7. Доказать, что два различных внешних произведения n векторов в n-мерном пространстве отличаются постоянным множителем. 8. Доказать, что в n-мерном пространстве существует не- нулевое внешнее произведение. (Указание: тут важно, что произведение нечётного числа транспозиций не может быть тождественной перестановкой.) 9. В каком случае (не являющееся тождественно нуле- вым) внешнее произведение обращается в нуль на n векто- рах? Говоря о внешнем произведении n векторов в простран- стве R n , мы будем полагать, что произведение стандартных базисных векторов e 1 , . . . , e n равно 1. (Здесь e i | вектор, у которого на i-м месте стоит единица, а остальные | нули.) Векторы a 1 , . . . , a n ∈ R n можно считать столбцами ма- трицы n × n; их внешнее произведение (нормированное, см. выше) называют определителем матрицы и обозначают det(a 1 , . . . , a n ) или a 1 ∧ . . . ∧ a n 10. Выписать формулу для определителя матрицы разме- ра 2 × 2. 11. Тот же вопрос для матриц 3 × 3. 12. Числа x 1 , . . . , x n образуют решение системы линей- ных уравнений x 1 a 1 + . . . + x n a n = b (где a 1 , . . . , a n , b ∈ ∈ R n ). Доказать правило Крамера: x i det(a 1 , . . . , a n ) = = det(a 1 , . . . , b, . . . , a n ) , где в правой части вектор b стоит на i-м месте (вместо a i ). Остаётся ли это правило верным, если система имеет не одно решение? 13. Найти площадь треугольника (или параллелограмма), если известны координаты его вершин. Задачи 1999 { 2000 года 251 14. ⋆ Найти объём тетраэдра (или параллелепипеда), если известны координаты его вершин. (Указание: как разрезать куб на 6 равных тетраэдров?) 15. ⋆ Каков геометрический смысл внешнего произведения в R 2 или в R 3 ? (Ответ: «ориентированный объём».) 16. ⋆ Какова наименьшая площадь треугольника, все вер- шины которого имеют целые координаты? Каков наимень- ший объём тетраэдра, все вершины которого имеют целые координаты? 17. ⋆ Доказать, что если все вершины куба имеют целые координаты, то его сторона | целое число. (Аналогичное утверждение для плоскости неверно.) 18. ⋆ Указать аналог векторного произведения для трёх векторов в R 4 19. Пусть A: R n → R n | линейный оператор. Рассмо- трим два внешних произведения в R n | стандартное (обо- значаемое v 1 ∧ . . . ∧ v n ), а также Av 1 ∧ . . . ∧ Aw n . Как мы знаем (задача 7), они отличаются множителем. Показать, что этот множитель равен определителю матрицы оператора A в стандартном базисе. 20. (Продолжение) Вывести отсюда, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. 21. Доказать формулу для определителя (n × n)-матри- цы: det ||a ij || = X σ ∈S n sgn σ · a 1σ(1) · . . . · a nσ(n) (здесь сумма берётся по всем перестановкам σ множества {1, 2, . . . , n}, а sgn σ равно 1 для чётных перестановок и (−1) для нечётных). 22. Доказать, что определитель верхнетреугольной мат- рицы L = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ l 1 a 12 a 1n 0 l 2 a 2n 0 0 l n ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ равен l 1 l 2 . . . l n 252 Задачи 1999 { 2000 года 23. Доказать, что определитель матрицы не меняется при транспонировании. 24. Что произойдёт с определителем, если из столбца ма- трицы вычесть другой столбец этой матрицы? переставить столбцы матрицы? сделать те же действия со строками? 25. Используя предыдущую задачу, найти определитель det ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 0 0 1 0 1 −1 0 1 0 0 −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 26. ⋆ Найти определитель Вандермонда det ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 x 1 x 2 x n x 2 1 x 2 2 x 2 n x n−1 1 x n−1 2 x n−1 n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (Указание: когда этот многочлен обращается в нуль?) 27. Используя предыдущую задачу, показать, что мно- гочлен степени меньше n однозначно определяется своими значениями в любых n точках. 28. Доказать, что если матрица размера (m+n)×(m+n) разбита на квадраты m × m, n × n и прямоугольники m × n и n × m, причём один из прямоугольников | нулевой, то её определитель равен произведению определителей квадратов m × m и n × n. 29. Пусть A: V → V | линейный оператор в n-мерном пространстве, в котором задано внешнее произведение. По- казать, что выражение Av 1 ∧ . . . ∧ Av n (как функция векто- ров v 1 , . . . , v n ) также является внешним произведением. Со- гласно задаче 7, это внешнее произведение пропорциональ- но исходному; коэффициент пропорциональности называют определителем оператора A. 30. Показать, что определитель оператора определён кор- ректно (не зависит от выбора внешнего произведения). Чему Задачи 1999 { 2000 года 253 равен определитель композиции операторов? У каких опера- торов определитель отличен от нуля? Чему равен определи- тель обратного оператора? 31. Показать, что определитель оператора равен опреде- лителю его матрицы (в любом базисе). 32. ⋆ Объяснить геометрический смысл определителя опе- ратора. (Ответ: коэффициент изменения объёма.) Обозначим через A ij матрицу размера (n − 1) × (n − 1), полученную из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. 33. Доказать формулу разложения определителя по i-й строке: det A = (−1) i+1 a i1 det A i1 + . . . + (−1) i+n a in det A in , а также аналогичную формулу разложения по i-му столбцу. 34. Для данной матрицы A рассмотрим матрицу B, для которой b ij = (−1) i+j det A ji . Вычислить произведения AB и BA. 35. Написать формулу, выражающую элементы обратной матрицы через элементы исходной. 36. ⋆ Доказать, что многочлены P(x) = p n x n + . . . + p 0 и Q(x) = q m x m + . . . + q 0 (где p n ̸= 0 и q m ̸= 0 ) имеют об- щий корень в поле комплексных чисел тогда и только тогда, когда найдутся ненулевые многочлены s(x) и t(x) степеней меньше m и n соответственно, для которых s(x)P(x)+t(x)Q(x) = = 0 37. ⋆ (Продолжение) Сформулировать условия на s и t как систему линейных уравнений. Указать требование на ко- эффициенты многочленов P и Q (обращение в нуль некото- рого определителя), при котором P и Q имеют общий корень в C. Доказать, что этот определитель (называемый резуль- тантом P и Q) равен p m n q n m Q i,j (x i − y j ) , где x 1 , . . . , x n | корни многочлена P, а y 1 , . . . , y m | корни многочлена Q. 38. ⋆ (Продолжение) При каком условии многочлен t 3 + + pt + q имеет кратный корень? 254 Задачи 1999 { 2000 года 39. ⋆ Найти определитель матрицы размера n × n: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ x y 0 0 0 x y 0 y 0 0 x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 40. ⋆ Вычислить определитель матрицы размера 2n × 2n: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 0 0 b 0 a b 0 0 b a 0 b 0 0 a ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на двух диагоналях стоят числа a и b, остальные | нули). Вектор x называется собственным вектором оператора A : V → V, если Ax пропорционально x, то есть Ax = λx для некоторого числа λ. Это число λ называется собствен- ным значением, соответствующим собственному вектору x. 41. ⋆ Собственные векторы x 1 , . . . , x k оператора A имеют различные собственные значения λ 1 , . . . , λ k . Показать, что векторы x 1 , . . . , x k линейно независимы. 42. ⋆ Имеется оператор A в n-мерном пространстве. Ис- пользуя определители, указать многочлен степени n, корня- ми которого являются собственные значения оператора A и только они. (Отсюда следует, что у оператора в n-мерном пространстве может быть не более n собственных значений.) 43. ⋆ Оператор A в n-мерном пространстве имеет n раз- личных собственных значений. Показать, что их произведе- ние равно определителю матрицы оператора A. 44. ⋆ (Продолжение) Показать, что их сумма равна сумме диагональных элементов матрицы оператора A. 45. ⋆ Показать, что любой оператор в R 3 имеет хотя бы один собственный вектор. Множества меры 0 Множество A ⊂ R имеет меру 0, если для всякого ε > 0 существует покрытие множества A конечным или счётным Задачи 1999 { 2000 года 255 числом интервалов, сумма длин которых не превосходит ε. (Заметим, что общего определения меры у нас нет, так что слова «мера 0» надо воспринимать как идиому.) 1. (а) Доказать, что подмножество множества меры 0 так- же имеет меру 0. (б) Доказать, что всякое конечное или счёт- ное множество имеет меру 0. (в) Доказать, что объединение конечного или счётного числа множеств меры 0 также имеет меру 0. 2. Доказать, что отрезок ненулевой длины не является множеством меры 0. (Указание: воспользоваться компактно- стью отрезка.) 3. Изменится ли определение множества меры 0, если разрешать только конечные объединения интервалов? 4. Выбросим из отрезка интервал, являющийся его сред- ней третью; с каждым из двух оставшихся отрезков посту- пим точно так же; затем сделаем то же самое с каждым из четырёх оставшихся отрезков и так далее. Точки, которые не будут выброшены ни на каком шаге, образуют канторово множество. (а) Привести пример точки канторова множества, не имеющей вида m/3 n при целых m и n. (б) Показать, что канторово множество замкнуто. (в) Показать, что канторово множество несчётно. (г) Показать, что канторово множество имеет меру 0. 5. ⋆ Рассмотрим множество чисел на отрезке [0, 1], в де- сятичном разложении которых нет цифры 7. Имеет ли оно меру 0? 6. ⋆ Пусть A | множество меры 0. Показать, что мно- жество квадратов всех чисел из множества A также имеет меру 0. 7. ⋆ Число α ∈ [0, 1] будем называть хорошим, если доля единиц среди первых N членов его двоичной записи стре- мится к 1/2 при N → ∞. Показать, что почти все числа отрезка [0, 1] хорошие (множество плохих чисел имеет ме- ру 0). 8. ⋆ Пусть f: R → R | непрерывно дифференцируемая функция, а E | множество нулей функции f ′ . Показать, что множество f(E) имеет меру 0. 256 Задачи 1999 { 2000 года 9. ⋆ Множества A и B имеют меру 0. Можно ли утвер- ждать, что множество A + B, состоящее из всех сумм вида a + b , где a ∈ A, b ∈ B, имеет меру 0? 10. ⋆ Функция f непрерывна на отрезке [0, 1], множество A ⊂ [0, 1] имеет меру 0. Можно ли утверждать, что мно- жество f(A) имеет меру 0? 11. ⋆ (а) Показать, что окружность можно представить в виде счётного объединения непересекающихся множеств, любые два из которых отличаются поворотом. (б) Могут ли эти множества иметь меру 0? 12. Дать определение множества меры 0 для подмно- жеств плоскости. Зависит ли оно от выбора системы коорди- нат? 13. ⋆ Пусть A ⊂ R 2 | множество меры 0. Рассмотрим те значения x, при которых x-сечение A x множества A (мно- жество тех y, при которых ⟨x, y⟩ ∈ A) нельзя покрыть ин- тервалами с суммой длин не больше 1. Показать, что такие x образуют множество меры 0. 14. ⋆ (Продолжение) Показать, что множество тех x, при которых A x не является множеством меры 0, является мно- жеством меры 0. Факторгруппы С каждым гомоморфизмом ϕ: G → H связаны две под- группы. Ядро гомоморфизма обозначается Ker ϕ и состоит из всех элементов g ∈ G, для которых ϕ(g) = e. Образ го- моморфизма обозначается Im ϕ и состоит из элементов ϕ(g) для всех g ∈ G. 1. Доказать, что ядро гомоморфизма ϕ: G → H является подгруппой группы G, а образ | подгруппой в H. 2. Доказать, что гомоморфизм ϕ: G → H является изо- морфизмом тогда и только тогда, когда Im ϕ = H и Ker ϕ = = {e}. 3. Группа G конечна, ϕ: G → H | гомоморфизм. Дока- зать, что |G| = | Ker ϕ| · | Im ϕ|. (Здесь |X| | число элементов множества X.) Задачи 1999 { 2000 года 257 4. ⋆ Любая ли подгруппа группы G является ядром неко- торого гомоморфизма? 5. ⋆ Пусть ϕ 1 : G → H 1 и ϕ 2 : G → H 2 | гомоморфиз- мы, причём Ker ϕ 1 = Ker ϕ 2 . Доказать, что группы Im ϕ 1 и Im ϕ 2 изоморфны. 6. Пусть ϕ: G → H | гомоморфизм. Показать, что его ядро обладает таким свойством: если g 1 g 2 ∈ Ker ϕ, то и g 2 g 1 ∈ Ker ϕ. Подгруппа H группы G называется нормальной (часто используется обозначение H ▷ G), если g −1 hg ∈ H для лю- бых g ∈ G, h ∈ H. 7. Доказать, что нормальность равносильна свойству, ука- занному в задаче 6. Пусть H | подгруппа группы G. Множества вида gH (произведение фиксированного элемента g ∈ G на все эле- менты подгруппы H называют левыми смежными классами G по H; множества вида Hg | правыми. 8. (а) Доказать, что левые смежные классы задают разби- ение группы G (любой элемент принадлежит ровно одному классу). (б) Доказать, что это разбиение совпадает с анало- гичным для правых смежных классов тогда и только когда, когда H | нормальная подгруппа. Очевидно, в абелевой группе любая подгруппа нормаль- на. 9. Указать подгруппу в S 3 , не являющуюся нормальной. 10. ⋆ Доказать, что если порядок подгруппы H равен по- ловине порядка группы G, то H нормальна. 11. Закончить и доказать утверждение: элементы g 1 и g 2 принадлежат одному и тому же смежному классу по под- группе Ker ϕ, если при гомоморфизме ϕ . . . 12. Доказать, что ядро гомоморфизма | нормальная под- группа. 13. Пусть H | подгруппа группы G. Определим опера- цию умножения на множестве левых смежных классов сле- дующим образом: g 1 H · g 2 H = g 1 g 2 H . (а) Почему это опре- деление может не быть корректным? (б) Доказать, что ес- ли H нормальна (т. е. левые смежные классы совпадают с 258 Задачи 1999 { 2000 года правыми), то это определение корректно, и множество смеж- ных классов с такой операцией является группой. Эта группа называется факторгруппой группы G по под- группе H и обозначается G/H. 14. Объяснить смысл обозначения Z/nZ для группы вы- четов по модулю n. 15. ⋆ Доказать, что факторгруппа R/Z изоморфна группе комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения. 16. ⋆ Объяснить, почему факторгруппу R × R по подгруп- пе Z × Z называют тором. (Тор | результат склеивания цилиндра в бублик.) 17. (Теорема о гомоморфизме) Пусть ϕ: G → H | го- моморфизм. Доказать, что группа Im ϕ изоморфна фактор- группе G/ Ker ϕ. Словами: «гомоморфный образ группы // изоморфен фак- торгруппе // по ядру гомоморфизма». 18. Что даёт эта теорема для рассмотренных ранее при- меров гомоморфизмов? 19. ⋆ В группе движений плоскости рассмотрим подгруп- пу параллельных переносов и подгруппу вращений (вокруг данной точки). Будут ли эти подгруппы нормальными? Если да, каковы будут факторгруппы? 20. ⋆ Найти факторгруппу группы комплексных чисел, мо- дуль которых равен единице (с операцией умножения) по её подгруппе, составленных из корней степени n из единицы. 21. ⋆ Доказать, что всякая конечная абелева группа изо- морфна факторгруппе группы Z n (при некотором n) по не- которой её подгруппе. 22. ⋆ Доказать, что всякая конечная абелева группа изо- морфна прямой сумме циклических. 23. ⋆ Построить группу F и два её элемента f 1 и f 2 с таким свойством: для любой группы G и любых двух элементов g 1 , g 2 ∈ G существует единственный гомоморфизм F → G, переводящий f 1 в g 1 и f 2 в g 2 . (Такая группа называется свободной группой с образующими f 1 и f 2 .) Задачи 1999 { 2000 года 259 24. ⋆ (а) Описать все замкнутые подгруппы группы R. (б) Описать все замкнутые подгруппы группы R × R. Вероятности Пусть задано конечное множество, и каждому его эле- менту приписано неотрицательное число, причём сумма этих чисел равна 1. Такое множество называют вероятностным пространством (конечным), его элементы называют исхода- ми, а приписанные им числа | вероятностями исходов. Пример (n-кратное бросание честной монеты). Исхода- ми являются последовательности из n нулей и единиц (ор- лов и решек); все исходы равновероятны (имеют вероятность 1/2 n ). Событием называют множество исходов; вероятностью со- бытия называют сумму вероятностей составляющих его исхо- дов. Если все исходы равновероятны, то вероятность события есть отношение числа «благоприятных» исходов (входящих в событие) к общему числу исходов. Вероятность события A обозначают Pr[A]. 1. Найти вероятность того, что при n-кратном бросании честной монеты (а) не выпадет ни одного орла; (б) выпадет не более одного орла; (в) выпадет хотя бы один орёл; (г) вы- падет ровно два орла; (д) выпадет нечётное число орлов. 2. Какое событие при 100-кратном бросании честной мо- неты более вероятно: выпадение 49 орлов или 50 орлов? Во сколько раз? 3. Каково вероятностное пространство для n-кратного бросания «честной» игральной кости (на гранях написаны чи- сла от 1 до 6)? Что вероятнее: при шести бросаниях получить хотя бы одну шестёрку или не получить ни одной шестёрки? 4. Игральную кость бросили два раза и результаты сло- жили. Какое значение суммы наиболее вероятно? 5. Игральную кость бросили n раз. (а) Какова вероят- ность выпадения ровно k шестёрок? (б) При каком k эта вероятность максимальна? 6. Колоду из N карт, на которых написаны числа 1, . . . , N, тасуют в случайном порядке. (а) Каково соответствующее 260 Задачи 1999 { 2000 года вероятностное пространство? (б) Какова вероятность того, что число 1 будет стоять на первом месте? (в) Какова ве- роятность того, что число 3 будет идти раньше числа 2, но после числа 1? 7. ⋆ (Продолжение) Какова вероятность того, что ни одна карта не будет стоять на прежнем месте (карта с числом i не будет стоять на i-м месте)? 8. В лотерее надо указать 6 чисел от 1 до 49, при розы- грыше также выбирают случайно 6 чисел от 1 до 49. Какова вероятность (а) угадать все шесть чисел? (б) не угадать ни одного числа из шести? (в) угадать ровно 5 чисел из шести? 9. Даны вероятности событий A, B и «A и B» (произошли оба события A и B). Найти вероятность события «A или B» |