Лекция 1 введение

• Название: Лекция 1 введение
• Дата: 15.06.2022
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: %D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D0%BE%D1%87%D0%.docx
• Тип: Лекция; #593962
• страница: 3 из 10

Рис. 1



где F_τ - касательная составляющая силы, т.е. проекция на направление вектора . Если же сила меняется по величи­не и по направ­лению или перемещение не пря­молинейно, то траек­торию движения раз­бивают на малые уча­стки dr - так, чтобы уча­сток можно было бы счи­тать прямоли­нейным и силу, действующую на нем - по­сто­ян­ной. Тогда работа на этом участке:



а работа на всем пути равна сумме всех элемен­тарных работ:



Для вычисления та­кого интеграла надо знать зависимость F_τ от S. Если эту зави­си­мость представить гра­фически (рис.2), то­гда ра­бота силы по пе­ремещению из S₁ в S₂ численно равна пло­щади заштрихован­ной фи­гуры, ограни­чен­ной кривой F(S), координатной осью S и двумя вертикаль­ными прямыми S₁ и S₂.


Рис.2

Сила не со­вершает работу (А=0), если r=0 или угол между направлением силы и вектором перемещения α = π/2. Если   π/2, то А0; если   π/2 , то А0. При одновременном действии на тело нескольких сил, работа равна ал­гебраи­ческой сумме

работ состав­ляющих сил
.
Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощно­сти. Мощностью, развиваемой силой , называется скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой этой силой за единицу вре­мени:

.

Если в разные моменты времени dt совершаются разные работы, то используют понятие мгновенной мощности:



Для движущихся тел можно получить формулу мгновенной мощности:

,

т.е. мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости.
Важное требование, предъявляемое к любому двигателю - это способность совершать большую работу за единицу времени, т.е. иметь большую мощность. Из полученной формулы следует, что для достижения этой цели необходимо либо увеличить силу тяги, развиваемую двигате­лем (например, автомобиля), либо увеличить его быстроходность. Первый путь свя­зан с увеличением силовых нагрузок на все движущиеся части двигателя, а они имеют ограниченную прочность. Чтобы де­тали смогли выдерживать действие больших нагрузок, нужно увеличивать их раз­меры, делать их более массивными. Поэтому все мощные тихоходные машины не­обычайно громозд­кие. Второй путь позволяет получить большие мощности при малых силовых нагруз­ках на детали двигателя и меньших его размерах. В совре­менное время этот путь наиболее перспективен.

Кинетическая и потенциальная энергии
Полная механическая энергия Е_м складывается из кинетической Е_к и потенциаль­ной Е_п энергии: Е_м = Е_к + Е_п .

Кинетическая энергия Е_к – это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки: Е_к=А_тор.

Соответственно, эта работа чис­ленно равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до т.е. Е_к= А_{разгона}. Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы над телом на малом участке перемещения равна:

С учетом того, что , , и , получаем:

.
Тогда по определению:


Если система состоит из n движущихся точек, то ее полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех тел. Скорость тел зависит от выбора системы осчета, следовательно кинетическая энергия также является величиной относительной.
Кроме контактных взаимодействий существуют без контактные, осуществляемые посредством физических полей. Сила, работа которой по перемещению тела из одной точки пространства в другую точку пространства не зависит от траектории, называется консервативной. Силы, неудовлетворяющие этому условию, назы­вают неконсервативными или диссипативными. Приме­ром таких сил служит сила трения.

Работа консервативных сил по изменению конфигурации системы полностью определяется начальной и конечной конфигурациями и ее можно выразить в следующем виде:

.

где Е_п – некоторая функция состояния системы, зависящая только от координат всех точек системы. Эту функцию называют потенциальной энергией системы.

Рис. 3

На рис.3 изображены две различ­ные траектории движе­ния тела под действием некоторой консервативной силы. Ра­бота, совершаемая дан­ной силой на пути 1А2 равна А_1А2. Работа, совершаемая на пути 2В1, будет отрица­тельной и А_1А2 = - А_2В1.
Поскольку совершаемая работа не зависит от формы траектории, мы можем записать:
А_1А2 +А_2В1 ≡0, или:
,

Из формулы видно, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциальная энергия - ве­ли­чина, зависящая от выбора начального положения, при котором Е_п=0, т.е. она величина относительная.

Конкретный вид зависимости Е_п от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

1). Определим Е_п тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших вы­сотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При паде­нии тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Е_п1- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е_п2 - потенциальная энергия тела на по­верхности земли, кото­рую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим:

E_n =mgh.

График зависи­мости Е_п от h представлен на рис.4. Ясно, что Е_п10 при h0, т.е. над землей и Е_п20 при h0, т.е. ниже уровня земли



Рис. 4

2) Определим потенциальную энергию упруго де­формированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости F_упр = -kx. Знак минус показывает, что сила упру­гости направлена в сторону противоположную деформации. Работа против этой силы затрачивается на увеличение потенциаль­ной энергии пружины:


Рис. 5

Е_п недеформированной пружины считается равной нулю. Сле­довательно:



Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы
Рассмотрим движение тела только вдоль направления х:

Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то

dA_х= - dE_nх или -dE_nх = F_x dx,
или через частные производные: ,

По аналогии для направлений y, z:
;
но , отсюда:

Введем понятие градиента некоторой скалярной величины А:

.

,

тогда



.Закон сохранения и превращения энергии в механике.
Закон сохранения и превращения энергии был сформулирован Майером и.Гельмгольцем.

В замкнутой системе энергия может пе­реходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но об­щее количество энергии остается неизменным. В природе и технике постоян­но имеют место превращения одних видов энергии в другие. Например, в электро­двига­телях электрическая энергия переходит в механическую, в ядерном реакторе ядерная энергия переходит в тепловую, затем в механическую и электромагнитную, при фо­тоэффекте - электромагнитная в электрическую и т.д. Закон сохранения и взаимопревращения энергии является одним из фундаментальных законов природы.

Если в замкнутой системе тел действуют консервативные силы, а внешние силы – стационарны и консервативны, то такая система называется консервативной.

Для такой системы механи­ческая энергия не переходит в другие виды и остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот)
Е= Е_к + Е_п =const
.


Лекция 5.

Динамика вращательного движения
Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть ска­лярная физическая величина равная произведению массы этой точки на квадрат кратчайшего рас­стояния от нее до оси вращения:
I_{мат т}


Рис. 1
Любое твердое тело можно представить как бесконечное множество материальных точек. Тогда момент инерции твердого тела равен:
I_{тв тела} =


Рис. 2
При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится к интегралу:
,

где   r – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения. На основании этой формулы рассчитываются моменты инерции тел различной формы. Например:

1) полый тонкостенный цилиндр или обруч радиуса R, массой m и осью вра­ще­ния, совпадающей с осью симметрии ;

2) сплошной цилиндр или диск радиуса R, массой m и осью вращения, совпа­дающей с осью симметрии ;

3) шар радиуса R, массой m и осью вращения, проходящей через его центр .
Приведенные примеры показывают, что момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, его расположения относительно оси вра­щения, распределения массы по объему тела.


Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих с осью сим­метрии более сложен. В таких случаях применяется теорема Штейнера: мо­мент инерции любого тела относительно произвольной оси ОО равен сумме момента инерции этого тела J_O относительно оси АА , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: (рис. 6.)
.



Рис. 3.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется вектор­ная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора , про­веденного из точки О в точку приложения силы (на рисунке точка А), на век­тор силы:




Рис. 4.
Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и . Его направление совпада­ет с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рис.4.).

Модуль момента силы:
M=F∙r sinα =F∙l , где l - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Если к точке А приложено несколько сил, то результирующий момент сил будет равен векторной сумме моментов всех сил:

Момент силы, действующей на тело относительно неподвижной оси z, есть ска­лярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, опреде­ленно­го относительно произвольной точки О данной оси z (рис.5.)

.

Значение момента M_z не зависит от положения точки О на оси z.


Рис. 5.
При заданном величина и направление M_z зависят от выбора оси z. Это выражение можно сделать более наглядным. Для этого представим радиус-вектор в виде суммы двух составляющих: r_z – параллельной оси z и R- перпендикулярной к оси.


Рис. 6
Тогда:



Первое слагаемое перпендикулярно оси z как результат векторного произведения и не может давать вклад в проекцию момента силы на ось z, поэтому остается:


Здесь - плечо силы относительно оси z.

Теперь представим как сумму трех составляющих: параллельной оси z , параллельной вектору - и тангенциальной составляющей силы (если представить окружность радиуса в плоскости перпендикулярной оси z, то составляющая направлена по касательной к окружности).

Рис. 7.
Тогда:

Но вектор перпендикулярен оси z, следовательно его проекция на ось равна 0, векторы и коллинеарны (параллельны друг другу), следовательно их векторное произведение равно нулю , тогда:
.

Очевидно, что момент характеризует способность силы не сдвинуть тело поступательно, а повернуть тело вокруг оси z. Рассматриваемый поворот может быть вызван только тангенциальной составляющей силы и поворот будет тем больше, чем больше плечо силы .
Момент импульса (количества движения) матери­альной точки А относительно неподвижной точки О есть векторная физическая величина, определяемая векторным произведением двух векторов: радиуса-вектора , прове­денного из точки О в точку А, и импульса материальной точки :

                

.

Направление вектора совпадает с направлением посту­па­тельного движения правого винта при его вращении от к (рис.8.).


Рис. 8.
Модуль вектора:

,

где  - угол между векторами и , l - плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса точки относительно неподвиж­ной оси z называется скалярная величина L_z, равная проек­ции на эту ось вектора мо­мента импульса, определенного относительно произволь­ной точки О данной оси.

Момент импульса системы материальных точек есть векторная сумма мо­ментов импульса всех точек системы. Если число точек системы равно n, тогда:

Можно показать, что скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.
( 1 )

Уравнение (1) есть основной закон вращательного движения системы материальных точек относительно некоторой неподвижной точки О.

Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения ( 1 ), их проекции на ось z, получим:

( 2)
Ранее мы говорили о том, что любое твердое тело можно представить как систему материальных точек. Тогда, если тело закреплено в двух точках, так что может вращаться вокруг неподвижной оси z, проходящей через эти точки, то уравнение (2) есть основной

закон динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело. Это выражение сходно с основным законом динамики поступательного движения .
Найдем выражение для момента импульса L_z твердого тела.

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловые скорости  всех его точек равны.


Рис. 9.
Для i – ой материальной точки , где R_i – радиус окружности, по которой движется точка. Можно доказать, что:



И для твердого тела:

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси z равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

Из последней формулы следует, что основное уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z можно представить в виде:


Если тело абсолютно твердое, то его момент инерции не зависит от времени, тогда:

и или:


Следовательно, момент инерции тела является таким свойством тела, как мера инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси.
По форме оно сходно с уравнени­ем II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движе­нии роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое уско­рение, роль силы - момент силы.

Закон сохранения момента импульса
1. Момент импульса замкнутой системы материальных точек относительно неподвижной точки не меняется с течением времени.

2. Если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса вытекает из такого свойства материи, как изотропность пространства. Изотропность пространства означает, что поворот в нем замкнутой системы как целого не должен отражаться на физических свойствах системы и законах ее движения.

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела.

При элементарном повороте твердого тела вокруг неподвижной оси на угол dφ работа равна:

δА = d

При конечном повороте на угол φ:

А=
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси со скоростью , определяется по формуле:



где I - момент инерции тела.

Лекция 6

Колебательное движение

Основные характеристики гармонического колебания

Колебательным движением называется процесс, повторяющийся с течением времени.

Если колебания повторяются через один и тот же промежуток времени, то они называются периодическими. Промежуток времени Т, через который процесс полностью повторяет­ся, называется пе­риодом колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различа­ют свободные незатухающие (собственные идеальные) колебания, затухающие колебания, вынужденные ко­ле­бания, автоколе­ба­ния.

Если колебания описываются по закону синуса или косинуса, то они называются гармоническими.

или ,

А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из положения равновесия, ₀ - круговая (циклическая) частота, - фаза колебаний в момент времени t,  - начальная фаза колебаний или фаза в момент времени t=0. Такие колебания происходят под действием так называемых квазиупру­гих сил. Квазиупру­гие силы - это силы, пропорциональные смещению переменной величины.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колеба­ния, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер близкий к гармони­ческим; 2) различные периодические процессы можно представить как сложение не­скольких гармонических колебаний.

Скорость и ускорение при гармоническом колебании

Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения х по времени t. Пусть ,

тогда

.

Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на /2. Максимальное значение скорости равно .

Ускорение а гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.



Ускорение сдвинуто по фазе относительно смещения на . Максимальное значение модуля ускорения равно . На рис. представлены графики зависимости х, v и a от времени. Для удобства изображения начальная фаза принята равной нулю =0, т.е. х=0 при t=0.


Рис.
Зависимость между ускорением и смещением можно получить, если в формуле для ускорения множитель заменить на х, тогда получим .
Пружинный маятник

Рассмотрим колебания шарика массы m, подвешенного на пружинке жесткости к. Составим уравнение динамики гармонических колебаний шарика. По 2 закону Ньютона:



Тогда




Рис.
Полученное выражение называют дифференциальным урав­нением гармонических колебаний. Это линейное однородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениями являются:

x=Asin(ω₀ t+φ) , x=Acos(ω₀ t+φ)

   .

Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна



Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упру­гой силы, согласно ее определению, равна



Полная энергия колеблющейся точки



Полная энергия не зависит от времени. Следовательно, при гармонических ко­лебаниях выполняется закон сохранения механической энергии (идеальные колебания без рассеяния энергии).
Физический маятник

Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной го­ризон­тальной оси, не проходящей через цен­тр тяжести С (рис.). Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол  и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания.



Рис.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела:

,

где J - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести, ее момент равен . Тогда:
.
 Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения.

При малых углах, когда ,

или, принимая ,

получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника .

Его решения имеют вид или . Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом .

Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml², то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

, .
Затухающие колебания

В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку, была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутству­ют в лю­бой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды при­во­дит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колеба­ния с уменьшающейся во времени амплитудой.



Рис.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F_C пропорциональна скорости v и направлена против движения:

,

где r - коэффициент сопротивления среды

Тогда уравнение затухающих колебаний

,

,  .

Обозначим

, .

Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь ₀ - собственная частота колеба­ний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0,  - коэффициент зату­хания, который оп­ределяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии ₀ являются:

 либо .

График последней функции представлен на рис. Верхняя пунктирная линия дает график функции , А₀ - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненте.

Введем понятие времени релакса­ции , как вре­мени, за которое амплитуда уменьшается в e раз:

, ,  = 1, .

Частота и период затухающих колебаний:

, ;

при очень малом сопротивлении среды (²₀²) период колебаний практически ра­вен .

С ростом  период колебаний увеличивается и при >₀ решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра: декремент затухания D и логарифмический декремент .

Декремент затуха­ния показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время од­ного периода Т.



Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент 

.
Так как , то , где N - число колебаний за время релаксации .
Вынужденные колебания. Резонанс.

Если на колеблющуюся систему действует периодически изменяющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:
.

Дифференциальное уравнение с учетом внешней силы запишется так:

или

.

Решением неоднородного дифференциального уравнения второго порядка является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Acos(Ωt + α)

Поскольку первое слагаемое очень быстро стремится к нулю, то решением будет:

х=Acos(Ωt + α)

причем Ω - частота вынужденных колебаний, совпадает с частотой колебания вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний - А явля­ется сложной функцией от Ω и .

.
Зависимость ам­плитуды от Ω и  представлены на рис. (₁₂₃). При Ω=0 все кри­вые сходятся в одной точке оси ординат . При различных значениях  амплитуд­ные кривые имеют максимумы, кото­рые со­ответст­вуют частотам: Ω₁ , Ω₂ , Ω₃ .

Ω



Рис.

Явление возрастания, а затем убывания амплитуды колеба­ний при изменении частоты на­звано механическим резонансом, а частоты Ω₁, Ω₂, ... , которым соот­ветст­вуют максимумы амплитуды, называют резонанс­ными часто­тами Ω_рез. Чтобы определить их значения, необ­ходимо найти максимум для функции амплиту­ды или, что то же самое, минимум подко­ренного выражения ( ). Продифференцировав подкоренное выражение по Ω и приравняв производную нулю (что соответствует минимуму функции А(Ω), получим:

.

Отсюда, резонансная частота Ω_рез= ,

при 0, Ω_рез ₀.

Найдем резонансное значение амплитуды:

.

Другая особенность вынужденных колебаний - это сдвиг фазы, а именно вы­ну­жденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на величину α, для которой .

Величина сдвига фаз зависит от частоты Ω и коэффициента затухания . Вынужден­ные колебания и вынуждающая сила имеют одинаковую фазу лишь при =0. При Ω =₀ для любых значений  сдвиг фазы равен .

Если, напри­мер, соб­ственная частота ₀ вибраций корпуса корабля или крыльев самолета сов­падает с частотой колебаний, возбуждаемых вращательным движением гребного винта или пропеллера, возникнет механический резонанс, который может привести к разруше­нию. Однако явление резонанса имеет и положительное применение, например, в ра­диотехнике - для выделения нужного сигнала и множества других, отличаю­щихся по частоте, в акустике - для усиления звучания музыкального инструмента и т.д.

Для решения многих технических задач большой интерес представляют авто­колебания. Это незатухающие колебания в реальной колебательной системе, осу­ще­ствляемые под влиянием внешнего переменного воздействия, частота которого равна собственной частоте системы.