Линейные и нелинейные системы. Описание и примеры

• Название: Линейные и нелинейные системы. Описание и примеры
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 1.16 Mb.
• Имя файла: OTVETY.docx
• Тип: Документы; #397019
• страница: 1 из 6

1. 
   Линейные и нелинейные системы. Описание и примеры.
   

• 
  Линейные системы – системы, которые удовлетворяют принципу суперпозиции: реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности:
  
• 
  y(n) = Ф[a1(x) + a2(x)] = Ф[a1(x)] + Ф[a2(x)]
  
• 
  Необходимые условия линейности системы:
  
• 
  Гомогенность – при изменении амплитуды входного сигнала в k раз также в k раз изменяется и амплитуда выходного сигнала.
  
• 
  Аддитивность – при суммировании входных сигналов результирующий сигнал на выходе будет равен сумме реакций от исходных сигналов.
  
• 
  Инвариантность – когда смещение входного сигнала во времени вызывает аналогичное смещение выходного сигнала.
  
• 
  Статическая линейность – когда основные законы в системе описываются линейными уравнениями.
  
• 
  Гармоническая верность – если на вход системы подать синусоидальный сигнал, то на выходе будет сигнал той же частоты.
  
• 
  Примеры линейных систем:
  
  • 
    Распространение волн – звуковых или электромагнитных.
    
  • 
    Электрические схемы, состоящие из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.
    
  • 
    Электронные схемы – такие как усилители, фильтры.
    
  • 
    Механическое движение.
    
  • 
    Системы, описываемые дифференциальными уравнениями как RLC – цепи.
    
  • 
    Умножение на константу (усиление или ослабление).
    
  • 
    Изменения сигнала, такие как эхо или резонанс.
    
  • 
    Дифференциаторы и интеграторы.
    
• 
  Нелинейные системы – когда принцип суперпозиции не выполняется.
  
• 
  Примеры нелинейных систем:
  
  • 
    Гистерезис.
    
  • 
    Насыщение.
    
  • 
    Системы с пороговым уровнем (логические элементы).
    

2.Теорема Котельникова

Теоре́ма Коте́льникова  связывает аналоговые и дискретные сигналы и гласит, что, если аналоговый сигнал   имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте  :

• 
  Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой  , где   — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;
  
• 
  Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.
  

3.Устойчивость линейных систем.

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения. Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

Система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях:



Это требование равносильно требованию затухания импульсной характеристики:



Импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида



где p_i – полюсы функции передачи системы,r_i– соответствующие им вычеты, к – целый числа в диапазоне от нуля до значения, на единицу меньшего кратности полюса p_i.

Такие слагаемые при затухают, если вещественная часть полюса p_i является отрицательной:

Re(p_i)<0.

Отсюда получаем общее условие: линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы её функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.

Критерий Найквиста – по часовой стрелке, не содержит точку (-1, 0), годограф расположен вдоль вещественной оси.

АЧХ и ФЧХ. Фаза на частоте среза больше -180 градусов.
4. Преобразование функций описания линейных систем с помощью функций tf, zp, ss программы MATLAB
Формы описания линейных систем в именах функций обозначаются следующим образом:

­ tf — коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи (transferfunction);

­ zp — нули и полюсы (zeros and poles);

­ ss — описание в пространстве состояний (state-space).

Функция tf2zp

Функция tf2zp преобразует наборы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи в векторы нулей и полюсов, рассчитывая также значение общего коэффициента усиления:

[z, p, k] = tf2zp(b, a);

Преобразование производится путем вычисления корней полиномов числителя и знаменателя функции передачи с помощью функции roots. Коэффициент усиления k рассчитывается как отношение b(1)/а(1).

Функция zp2tf

Функция zp2tf является обратной по отношению к функции tf2zp: она осуществляет преобразование коэффициента усиления, а также векторов нулей и полюсов функции передачи в коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя:

[b, a] = zp2tf(z, p, k);

Преобразование производится с помощью функции poly, предназначенной для вычисления коэффициентов полинома по заданным его корням. В завершение вектор коэффициентов числителя умножается на k.

Функция tf2ss

Функция tf2ss преобразует наборы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи в параметры представления цепи в пространстве состояний:

[А, В, С, D] = tf2ss(b, a);

Функция ss2tf

Функция ss2tf является обратной по отношению к функции tf2ss: она преобразует параметры пространства состояний в коэффициенты полиномов функции передачи цепи:

[b, a] = ss2tf(A, В, С, D):

Функция zp2ss

Функция zp2ss преобразует нули, полюсы и коэффициент усиления цепи в ее параметры пространства состояний:

[А, В, С, D] = zp2ss(z, p, k);

Преобразование производится путем последовательного вызова функций zp2tf и tf2ss.

Функция ss2zp

Функция ss2zp является обратной по отношению к функции zp2ss, преобразуя параметры пространства состояний в нули, полюсы и коэффициент усиления цепи:

[z, p, k] = ss2zp(A, В, С, D);

Полюсы системы являются собственными числами матрицы А и вычисляются с помощью функции eig. Нули являются конечными решениями обобщенной за¬дачи нахождения собственных чисел и рассчитываются следующим образом:

z = eig([A B:C D], diag([ones(l,n) 0]));

5. 
   Функции генерации одиночных импульсов в MATLAB (rectpuls, tripuls, sinc, gauspuls, pulstran).
   

Прямоугольный импульс

Для формирования одиночного прямоугольного импульса с единичной амплитудой служит функция rectpuls:

у = rectpuls(t, width)

Здесь t — вектор значений времени, width — ширина (длительность) импульса.

Параметр width можно опустить, при этом его значение по умолчанию равно 1 и функция rectpuls производит результат, соответствующий математической функции rect.

Треугольный импульс

Для формирования одиночного треугольного импульса с единичной амплитудой служит функция tripuls:

у =tripuls(t, width, skew)

Здесь t — вектор значений времени, width — ширина (длительность) импульса, skew — коэффициент асимметрии импульса, определяющий положение его вершины. Пик импульса расположен при t = width*skew/2, Параметр skew должен лежать в диапазоне от -1 до 1.

Параметры skew или skew и width можно опустить, при этом используются их зна­чения по умолчанию: skew = 0 (симметричный импульс) и width = 1.

Импульс с ограниченной полосой частот

Для формирования сигнала, имеющего прямоугольный, то есть ограниченный по частоте спектр, служит функция sinc: у = sinc(t)

Единственным входным параметром является вектор значений времени t.

Спектральная функция сигнала, генерируемого функцией sinc, имеет прямо­угольный вид:



Гауссов радиоимпульс

Для формирования одиночного радиоимпульса с гауссовой огибающей и единичной амплитудой служит функция gauspuls:

у ⁼ gauspuls(t. fc. bw. bwr)

Здесь t — вектор значений времени, fc — несущая частота в герцах, bw — относительная ширина спектра (ширина спектра, деленная на несущую частоту), bwr — уровень (в децибелах), по которому производится измерение ширины спектра.

Параметры bwr, bw и fс можно опустить, при этом используются их значения по умолчанию: bwr = -6 дБ, bw = 0,5 и fc - 1000 Гц.

Генерация последовательности импульсов

Функция pulstran служит для генерации конечной последовательности импульсов (pulse train) одинаковой формы с произвольно задаваемыми задержками и уровнями. Сами импульсы могут задаваться одним из двух способов: именем функции, генерирующей импульс, либо уже рассчитанным вектором отсчетов.

Если импульсы задаются именем генерирующей функции, функция pulstran вызывается следующим образом:

у = pulstran(t, d, 'func', p1, p2, ...)

Здесь t — вектор значений времени, d — вектор задержек, 'func' — имя функции, генерирующей одиночный импульс. В качестве этой функции могут использоваться, например, rectpuls, tripuls, gauspuls, а также любые другие функции (в том числе и «самодельные»), принимающие в качестве первого входного параметра вектор моментов времени и возвращающие вектор рассчитанных отсчетов сигнала. Оставшиеся параметры p1, р2, ... — дополнительные, они передаются функции func при ее вызове.

6.Полюсы и вычеты функции передачи.

Одним из способов преобразования дробно-рациональной функции передачи является ее представление в виде суммы простых дробей. При отсутствии кратных корней у знаменателя такое представление имеет следующий вид:



Здесьp_i — полюсы функции передачи, а числа r_i называются вычетами, С₀ — целая часть функции передачи, отличная от нуля только в случае равенства степеней полиномов числителя и знаменателя.

Полюсы функции передачи могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. Вычеты, соответствующие комплексно-сопряженным полюсам, также являются комплексно-сопряженными.

При наличии кратных полюсов функции передачи разложение на простые дроби становится сложнее. Каждый m-кратный полюс p_i дает m слагаемых следующего вида:



RESIDUE, RESI2 - Разложение на простые дроби

Синтаксис:

[r, p, k] = residue(b, a)

coeff = resi2(u, v, pole, n, k)

[b, a] = residue(r, p, k)

Описание:

Функция p = [r, p, k] = residue(b, a) вычисляет вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух полиномов b(s) и a(s):

простые корни:

;

• 
  входные переменные – векторы b и a определяют коэффициенты полиномов числителя и знаменателя по убывающим степеням s;
  
• 
  выходные переменные – вектор-столбец r вычетов, вектор-столбец p полюсов и вектор-строка k целой части дробно-рациональной функции;
  
• 
  количество полюсов определяется по формуле:
  

n = length(a) – 1 = length® = length(p);

• 
  вектор коэффициентов многочлена прямой передачи будет пустым, если length(b) < length(a); в противном случае length(k) = length(b) –length(a) + 1;
  

кратные корни:

если p(j) = . . . =p(j+m-1) – полюс кратности m, то разложение на простые дроби включает член [1]

.

Функция rj = resi2(b, a, pole, m, j) вычисляет вектор коэффициентов разложения дробно-рациональной функции b(s)/a(s) для полюса pole, имеющего кратность m. Параметр j указывает, какой из коэффициентов rj вычисляется при данном обращении к функции; по умолчанию j = m; если не указано m, то оно принимается за 1, то есть функция определяет вычеты для простых корней.

Функция [b, a] = residue(r, p, k) с тремя входными и двумя выходными параметрами выполняет обратную функцию свертки разложения в дробно-рациональную функцию отношения двух полиномов b(s) и a(s):

Ограничения:

В вычислительном плане разложение дробно-рациональной функции на простые дроби плохо обусловлено. Если полином знаменателя имеет корни, близкие к кратным, то малые возмущения исходных данных могут привести к большим погрешностям вычисления полюсов и вычетов. Предпочтительнее использовать описание в пространстве состояний или представление таких функций в виде нулей и полюсов.

7. 
   Импульсная и переходная характеристика линейной системы
   

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака (импульс бесконечно большой амплитуды и нулевой длительности), результирующий выходной сигнал линейной стационарной системы будет представлять собой импульсную характеристику системы h(t).

Любой сигнал может быть представлен в виде свертки самого себя с дельта-функцией:

. Линейная система преобразует относительно переменной t все функции, входящие в это выражение. Входной сигнал при этом превращается в выходной сигнал , а дельта функция ( ) – в импульсную характеристику h(t-t’). Функция от t не зависит и поэтому остается без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы с постоянными параметрами равен свертке выходного сигнала и импульсной характеристики системы:

В импульсной переходной функции h(t) содержится вся информация о динамике линейной системы.

Переходной характеристикой называют реакцию системы на поданную на вход функцию единичного скачка. Обозначается переходная характеристика как g(t). Поскольку дельта-функция – это производная от единичного скачка, импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом операциями дифференцирования и интегрирования:

,

8. Комплексный коэффициент передачи линейной системы. АЧХ и ФЧХ

системы.

Выходной сигнал линейной системы представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики. Преобразование Фурье от свёртки даёт произведение спектров сворачиваемых сигналов, так что в частотной области прохождение сигнала через линейную систему описывается очень просто:



Здесь - преобразование Фурье импульсной характеристики системы:



Эта функция называется комплексным коэффициентом передачи системы, а её модуль и фаза – соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками системы. Значение показывает, как изменяется при прохождении через систему комплексная амплитуда синусоиды с частотой . АЧХ показывает, во сколько раз изменится амплитуда синусоиды, а ФЧХ – каков будет полученный ею фазовый сдвиг.