Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
 Скачать 6.36 Mb.
|
|
4.1.2 Понятие тройного интеграла Для функции трех независимых переменных f(x, y, z), заданной в трехмерной области G, подобным образом вводится понятие тройного (3-кратного) интеграла. Область G разбивается на части Gi объемом Vi, выбираются точки и составляется интегральная сумма . При условии непрерывности функции f в ограниченной замкнутой области G существует предел интегральных сумм, когда мелкость разбиений (т.е. наименьший из диаметров элементов разбиений) стремится к нулю. Этот предел называется тройным интегралом от функции f по области G и обозначается . На тройной интеграл распространяются все основные свойства двойного интеграла (в 1 и 6 вместо площади S плоской области D в случае тройного интеграла следует писать объем V области G). 4.1.3 Вычисление кратного интеграла повторным интегрированием Основной способ вычисления кратного интеграла состоит в последовательном интегрировании по каждой из переменных. Плоскую область D вида , где и – непрерывные на [a, b] функции, назовем правильной в направлении оси Oy (рисунок 15). Предположим, что функция f(x, y) непрерывна в такой области D. Для любого фиксированного x = x0, рассмотрим функцию f(x0, y) от одной переменной y, непрерывную на отрезке . Для нее существует определенный интеграл . Этот интеграл, конечно, зависит от точки x0. Обозначим его . Можно показать, что функция , определенная на отрезке [a, b], непрерывна на нем. Интеграл от этой функции называется повторным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . Рисунок 15 Теорема 2. Если функция f(x, y) непрерывна в области , то (58) т.е. двойной интеграл равен повторному интегралу. Таким образом, для вычисления двойного интеграла по правильной в направлении оси Oy области следует вначале, считая x постоянным, проинтегрировать функцию по переменной y, после чего проинтегрировать получившуюся функцию переменной x. Заметим, что если пределы во внешнем интеграле постоянные, то во внутреннем интеграле они, вообще говоря, зависят от x. Если область D правильная в направлении оси Ox: , то двойной интеграл равен повторному интегралу . Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по конечной области D, ограниченной параболой и прямой y = 1 (рисунок 16). Рисунок 16 Решение. Имеем: . Поэтому Если требуется вычислить интеграл по области, не являющейся правильной ни в направлении оси Ox, ни в направлении оси Oy, надо попытаться разбить область на конечное число частей, каждая из которых уже будет правильной в направлении какой-либо координатной оси (рисунок 17). Если это удастся сделать, то, в силу аддитивности интеграла, вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, каждый из которых может быть представлен в виде повторного. Рисунок 17 4.1.4 Вычисление тройного интеграла Перейдем теперь к вопросу вычисления тройного интеграла. Правильной относительно оси Oz называется трехмерная область G вида где и – непрерывные в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy функции (рисунок 18). Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в такой области G. Зафиксировав произвольным образом точку , рассмотрим функцию одной переменной z, непрерывную на отрезке . Возьмем от этой функции определенный интеграл (он существует в силу непрерывности функции). Этот интеграл зависит от точки . Обозначим его . Определенная на D функция двух переменных оказывается непрерывной на D. Интеграл называют повторным интегралом и обозначают . Для тройных интегралов имеет место утверждение, аналогичное теореме 2: если функция непрерывна в области , то (59) т.е. тройной интеграл равен повторному. Таким образом, для вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси Oz, следует вначале, считая x и y постоянными, проинтегрировать по переменной z, а затем от получившейся функции переменных x и y взять двойной интеграл по проекции области на плоскость xOy. Рисунок 18 Если далее предположить, что область D является правильной в направлении, например, оси Oy: , то, записав двойной интеграл по области D в виде повторного, будем иметь Если обозначить через E(x0) сечение области G плоскостью x = x0, , то, объединяя в интеграле справа два внутренних интегрирования по переменным y и z, получим формулу Как видим, для тройного интеграла имеется два способа сведения к повторному интегралу. В частном случае получаем формулы для нахождения объема V области G: (59а) где S(x) – площадь сечения E(x). Последнее равенство представляет собой уже известное соотношение (см. раздел 2.9.4 этой юниты), по которому объем тела равен одномерному интегралу от площади переменного сечения. Пример 2. Вычислить тройной интеграл от функции по конечной области G, ограниченной поверхностями и z = 0 (рисунок 19). Рисунок 19 Решение. Имеем и . Поэтому = . Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и z = 1 (рисунок 20). Решение. Имеем . Поэтому – круг радиуса и, следовательно, . Тогда Рисунок 20 4.1.5 Замена переменных в кратном интеграле Формулу замены переменных в двойном интеграле рассмотрим на примере вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Пусть на плоскости задана декартова система координат Oxy. Введем на плоскости полярную систему координат, взяв за полюс начало координат, а за полярную ось – ось x. Полярными координатами точки P(ρ, φ) называется пара , где – расстояние от точки до полюса, а – угол, который образует с полярной осью радиус-вектор точки. Полярные координаты однозначно определяют положение точки на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами представляется формулами (рисунок 21). Рисунок 21 Пусть D – ограниченная замкнутая область на плоскости xOy, уравнение границы которой имеет вид , а сама область D состоит из точек, для которых . При вычислении двойного интеграла от непрерывной функции f(x, y) по области D можно пользоваться формулой перехода к полярным координатам: . (60) При использовании данной формулы надо вместо аргументов x и y исходной функции подставить выражения , , полученную функцию переменных и умножить на и проинтегрировать по области D, перейдя в неравенстве для области с полярным координатам. Переход к полярным координатам часто приводит к упрощению подынтегрального выражения и (или) области интегрирования. Пример 1. Вычислить интеграл от функции по кругу . Решение. Используя формулу перехода к полярным координатам, будем иметь При вычислении тройных интегралов часто пользуются цилиндрическими или сферическими координатами. Зафиксировав в пространстве декартову систему координат Oxyz, цилиндрическими координатами точки P(ρ, φ, z) назовем тройку чисел , где – полярные координаты проекции точки на плоскость Oxy (рисунок 22), а z – обычная декартова координата точки P вдоль оси z. Сферическими координатами точки P(r, φ, ψ) называется тройка чисел , где r – радиус-вектор точки P, – полярная координата проекции точки на плоскость Oxy, а – угол, образованный радиус-вектором точки r и координатной плоскостью Oxy (рисунок 23). Рисунок 22 Рисунок 23 Связь между сферическими и декартовыми координатами выражается формулами При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах пользуются формулой (61) а в сферических координатах – формулой (62) Возникновение множителей и при переходе к цилиндрическим и сферическим координатам становится понятным, если использовать специальное разбиение области на части координатной сеткой соответствующей системы координат. Так, при малых объем параллелепипеда в цилиндрической системе координат есть а при малых объем параллелепипеда в сферической системе координат есть Приведем пример вычисления тройного интеграла в сферических координатах. Пример 2. Вычислить интеграл от функции по шару Решение. Имеем: 4.1.6 Площадь поверхности Рассмотрим гладкую поверхность где функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в ограниченной замкнутой области D. Разобьем произвольным образом область D на части площадью и выберем точки . В каждой точке поверхности проведем касательную плоскость и рассмотрим часть поверхности, проецирующиеся в область . При достаточно мелком разбиении области D площадь части можно приближенно выразить через , как . За площадь поверхности принимают предел суммы этих площадей по всем элементам разбиения, когда мелкость разбиения стремится к нулю. Этот предел существует, поскольку написанная сумма является интегральной суммой непрерывной в D функции и равен двойному интегралу . Таким образом, площадь гладкой поверхности вычисляется по формуле (63) Пример. Вычислить площадь поверхности Решение. Имеем и 4.2 Криволинейный интеграл 4.2.1 Понятие и определение криволинейного интеграла Рассмотрим кривую параметром на которой выбрана переменная s. Это означает, что длина дуги кривой от ее начала M(0) до точки M(s) равна s. Функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке [0, S]. Единичный касательный вектор к кривой в точке M(s) имеет вид Предположим, что на кривой Г задана вектор-функция являющаяся непрерывной функцией параметра . Умножив в каждой точке кривой значение вектор-функции скалярно на единичный касательный вектор , будем иметь непрерывную на отрезке [0, S] числовую функцию: Разобьем отрезок [0, S] произвольным образом точками Длину отрезка обозначим . Отметим, что, по смыслу параметра есть длина дуги кривой между точками и . Выбрав произвольным образом точки , составим сумму Эта сумма является интегральной суммой для непрерывной на отрезке [0, S] функции . Поэтому при стремлении к нулю мелкости разбиений (мелкостью разбиения называется наибольшая из длин отрезков разбиения) последовательность таких сумм имеет своим пределом определенный интеграл . Этот интеграл называется криволинейным интегралом от вектор-функции по кривой Г и обозначается или Таким образом, по определению (64, а) 4.2.2 Свойства криволинейного интеграла Поскольку понятие криволинейного интеграла сводится к понятию определенного интеграла, для криволинейного интеграла сохраняются важнейшие свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность и др. 1. Для любых непрерывных на Г вектор-функций и и постоянных и имеет место равенство (линейность криволинейного интеграла). 2. Если гладкая кривая Г состоит из дуг Г1 и Г2, то для любой непрерывной на Г вектор-функции имеет место равенство (аддитивность криволинейного интеграла). 3. Если то . Помимо этих свойств, криволинейный интеграл обладает свойством менять знак при изменении ориентации кривой. 4. Если – кривая с противоположной ориентацией, то . Действительно, в этом случае , а потому . Рассмотрим теперь ситуацию, когда гладкая кривая Г задается при помощи произвольного параметра t: . Функцииx(t), y(t), z(t) непрерывны вместе с производными , , на отрезке [a, b], причем . В таком случае переменная длина дуги s является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t. Но тогда обратная функция t(s) также является строго возрастающей и непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке [0, S] (S – длина кривой Г), и можно перейти к такому представлению кривой, когда в качестве параметра берется переменная длина дуги s: . Для единичного касательного вектора будем иметь: . Пусть на кривой Г задана вектор-функция , непрерывно зависящая от параметра . Тогда вектор-функция непрерывна по . По формуле замены переменной в определенном интеграле получим: Тем самым получена формула для вычисления криволинейного интеграла в случае произвольного параметра на гладкой кривой: . (64, б) Вид интеграла в правой части не зависит от того, какой параметр берется на кривой. Если кривая Г – кусочно-гладкая, то ее можно представить в виде объединения гладких частей: (все Гi – гладкие кривые, конец Гi–1 совпадает с началом Гi i = 2, …, n). Криволинейный интеграл от непрерывной вектор-функции по кусочно-гладкой кривой Г определяется как сумма интегралов по гладким частям: . Замечание. Криволинейный интеграл от двумерной вектор-функции вдоль плоской кривой можно рассматривать как частный случай интеграла , считая , , , . Пример. Механический смысл криволинейного интеграла от вектор-функции по кривой равен работе переменной силы вдоль дуги кривой Г. Вычислим работу силы вдоль дуги винтовой линии Г x = cos t, y = sin t, z = t, (0 t 2). Решение. Имеем: . 4.3 Элементы теории поля 4.3.1 Формула Грина Теорема. Если D – замкнутая плоская область, ограниченная кусочно-гладким контуром Г, функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными и , то имеет место формула Грина: , (65) где в криволинейном интеграле справа граница Г обходится против часовой стрелки. Формулу Грина можно использовать в обоих направлениях: с одной стороны, она позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к вычислению двойного; с другой стороны, часто оказывается проще вычислить соответствующий криволинейный интеграл. В качестве примера рассмотрим формулу для площади плоской области. Для этого в формуле Грина положим , . Тогда будем иметь и , или . Итак, для нахождения площади плоской области следует вычислить криволинейный интеграл вдоль ориентированной против часовой стрелки границы Г. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом . Решение. Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса x = a cos t, y = b sin t, (0 t 2), будем иметь: . 4.3.2 Определение поверхностного интеграла и его свойства Рассмотрим гладкую поверхность , где функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в ограниченной замкнутой области D. Всякую непрерывную единичную нормаль на поверхности назовем ориентацией поверхности. Но в каждой точке поверхности имеются лишь две единичные нормали: и , поэтому у поверхности есть только две ориентации: и . В том случае, когда выбирается нормаль , будем говорить о верхней стороне поверхности , если же выбирается нормаль ( ) – о нижней стороне. Предположим, что на поверхности задана вектор-функция , являющаяся непрерывной функцией переменных . Умножив в каждой точке поверхности вектор скалярно на , получим непрерывную на D числовую функцию . Разобьем произвольным образом область D на части Di площадью и выберем точки . Площадь части поверхности , которая проецируется на Di, приближенно равна (степень приближения зависит от мелкости разбиения; написанное выражение есть в точности площадь куска проведенной в точке (Mi, f(Mi)) касательной плоскости, который проецируется на Di). Умножим теперь значение функции в точке Mi на площадь и просуммируем по всем элементам разбиения. Используя координатную запись, будем иметь: . Таким образом, есть интегральная сумма непрерывной на D функции . Следовательно, существует предел таких сумм при мелкости разбиений, стремящейся к нулю. Этот предел называется поверхностным интегралом от вектор-функции по верхней стороне поверхности и обозначается или . Используя вектор вместо , получим определение поверхностного интеграла по нижней стороне поверхности . Итак, (66) Поверхностный интеграл, конечно, обладает свойствами линейности, аддитивности и, кроме того, меняет знак при изменении ориентации поверхности. Мы рассмотрели случай, когда поверхность однозначно проецируется на область D координатной плоскости Oxy. В случае, если поверхность однозначно проецируется на область D, например, координатной плоскости Oxz и является графиком непрерывно дифференцируемой функции y = g(x, z), (x, z) D, формула для вычисления поверхностного интеграла примет следующий вид: (67) (знак “+” выбирается в случае, когда нормаль составляет острый угол с положительным направлением оси Oy; в противном случае берется знак “–”). Произвольную гладкую поверхность всегда можно разбить на конечное число частей , допускающих явное задание. По определению получаем . Ориентация каждой части i должна, конечно, соответствовать исходной ориентации на . Аналогично поступают и в случае кусочно-гладкой поверхности – результата “склейки вдоль краев” конечного числа гладких поверхностей . Интеграл по такой поверхности определяется как сумма интегралов по гладким частям (при этом все j должны быть согласованно ориентированы). Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне параболоида . Решение. Имеем , и . 4.3.3 Формулы Стокса и Остроградского – Гаусса Формула Стокса. Всюду далее числовые функции, заданные в некоторой части пространства, будем называть скалярными полями, а векторные функции – векторными полями. Заданное в области G поле (скалярное или векторное) называется непрерывно дифференцируемым, если все его частные производные первого порядка непрерывны на G. Всякому непрерывно дифференцируемому на G скалярному полю соответствует непрерывное на G векторное поле его градиентов . Всякому же непрерывно дифференцируемому на G векторному полю можно поставить в соответствие следующие непрерывные на G скалярное поле и векторное поле (P, Q, R есть координаты вектора ). Скалярное поле называется дивергенцией векторного поля , а векторное поле называется вихрем (ротором) векторного поля . Если Г – кусочно-гладкий замкнутый контур и векторное поле задано на Г, то криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля по этому контуру. Если – кусочно-гладкая поверхность, то для векторного поля , заданного на поверхности , поверхностный интеграл называется также потоком векторного поля через поверхность . Пусть D – замкнутая плоская область, границей которой служит кусочно-гладкий контур Г0. Обозначим Г – контур на поверхности , проектирующийся в Г0 на плоскость Oxy. На контуре Г0 выберем ориентацию, при которой он проходится против часовой стрелки. Ориентация Г0 порождает ориентацию на Г. На поверхности выберем ориентацию, при которой нормаль во всех точках поверхности образует острый угол с осью Oz: . Такие ориентации на поверхности и ее крае Г называются согласованными (рисунок 24). Теорема 4.Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в некоторой области пространства, содержащей поверхность , то имеет место равенство , (68, а) называемое формулой Стокса. Эта формула означает, что поток вихря векторного поля через поверхность равен циркуляции векторного поля по краю поверхности, ориентированному согласованно с нормалью к поверхности. Рисунок 24 В координатной записи формула Стокса имеет вид . (68, б) При вычислениях формулу Стокса обычно используют справа налево: по заданному векторному полю легко найти вихрь, но не наоборот. Кроме того, при использовании формулы Стокса для нахождения циркуляции вдоль заданного контура Г в качестве можно брать любую гладкую поверхность, стягивающую Г, на которой поле непрерывно дифференцируемо. Например, если контур Г плоский, то в качестве можно взять плоскую поверхность, ограниченную этим контуром. Пример. Вычислить интеграл , где Г – эллипс в сечении цилиндра плоскостью (пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2a, 0, 0)) (рисунок 25). Рисунок 25 Решение. Имеем: . Тогда . В качестве поверхности , натянутой на контур Г, берем . По формуле Стокса исходный интеграл равен интегралу . Формула Остроградского – Гаусса. Теорема 5. Пусть G – замкнутая область в пространстве, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , а векторное поле непрерывно дифференцируемо на G. Тогда имеет место равенство , (69, а) где интеграл в правой части берется по внешней стороне (нормаль направлена во внешность области) поверхности , ограничивающей область G. Это равенство называется формулой Остроградского – Гаусса и означает, что интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую область, в направлении внешней нормали. В координатной форме формула Остроградского – Гаусса выглядит следующим образом: . (69, б) Формулу Остроградского – Гаусса чаще используют при вычислении поверхностных интегралов, сводя их к тройным. Пример. Вычислить интеграл , где – внешняя сторона границы куба . Решение. Имеем . Тогда . В силу формулы Остроградского – Гаусса исходный интеграл равен интегралу . Формулу Остроградского – Гаусса можно использовать и слева направо. Так, положив в ней , получим выражение для объема области в виде поверхностного интеграла: . |