Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
 Скачать 6.36 Mb.
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН 3 ЛИТЕРАТУРА 4 ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЕТЕНЦИЙ 5 ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР 6 1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6 1.1 Первообразная и неопределенный интеграл 6 1.2 Свойства неопределенных интегралов 7 1.3 Таблица простейших интегралов 8 1.4. Методы интегрирования* 8 1.4.1 Способ подстановки (замена переменной) 8 1.5. Постановка задачи интегрирования* 10 2 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 16 2.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы 16 2.2 Основные свойства определенных интегралов 17 2.3 Определенный интеграл с переменным верхним пределом 18 2.4 Формула Ньютона – Лейбница 19 2.5 Методы вычисления определенных интегралов 20 2.6 Определенный интеграл как площадь 21 2.7 Несобственные интегралы 23 2.7.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 23 2.7.2 Интегралы от неограниченной функции на промежутке интегрирования 24 2.8 Основные свойства несобственных интегралов 25 2.9 Приложения определенного интеграла 26 2.9.1 Длина дуги кривой в прямоугольных координатах 26 2.9.2 Длина дуги кривой, заданной параметрически 27 2.9.3 Площадь поверхности вращения 29 2.9.4 Объем тел 29 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 31 3.1 Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность 32 3.1.1 Определение функции двух переменных 32 3.1.2 Геометрическое изображение функций двух переменных 32 3.1.3 Предел и непрерывность в точке функции многих переменных 33 3.1.4 Области на плоскости 34 3.1.5 Основные свойства непрерывных функций двух переменных 35 3.2 Дифференцирование функции многих переменных 35 3.2.1 Частные производные и их геометрический смысл для функции двух переменных 35 3.2.2 Полный дифференциал 37 3.2.3 Частные производные и дифференциал сложной функции 38 3.2.4 Частные производные высших порядков 39 3.2.5 Признак полного дифференциала 40 3.2.6 Дифференциалы высших порядков 40 3.3 Экстремумы функций многих переменных 41 3.3.1 Необходимые условия существования экстремума 41 3.3.2 Достаточные условия существования экстремума 42 3.4 Приложения дифференцирования функций многих переменных в экономике и менеджменте 42 3.4.1 Производственные функции 43 3.4.2 Функция полезности 45 4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 50 4.1 Двойные и кратные интегралы 50 4.1.1 Понятие двойного интеграла 50 4.1.2 Понятие тройного интеграла 52 4.1.3 Вычисление кратного интеграла повторным интегрированием 53 4.1.4 Вычисление тройного интеграла 54 4.1.5 Замена переменных в кратном интеграле 57 4.1.6 Площадь поверхности 59 4.2 Криволинейный интеграл 59 4.2.1 Понятие и определение криволинейного интеграла 60 4.2.2 Свойства криволинейного интеграла 60 4.3 Элементы теории поля 62 4.3.1 Формула Грина 62 4.3.2 Определение поверхностного интеграла и его свойства 63 4.3.3 Формулы Стокса и Остроградского – Гаусса 64 4.3.4 Соленоидальные и потенциальные векторные поля 67 ТРЕНИНГ И ЗАДАНИЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОМПЕТЕНЦИЙ 71 ГЛОССАРИЙ 87 ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Элементарные приёмы интегрирования: Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки и метод подведения под знак дифференциала). Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений вида . Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Теорема о существовании определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченной функции. Основные свойства несобственных интегралов. Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Вычисление площади плоской фигуры. Объем тела вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Функции многих переменных. Примеры функций многих переменных. Область определения, Геометрическое изображение функций двух переменных. Поверхности и линии уровня. Предел и непрерывность функции в точке (в случае двух переменных). Частные производные, частный и полный дифференциал, их геометрический смысл для функции двух переменных. Условия существования полного дифференциала. Правила вычисления частных производных сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Использование функций многих переменных в экономике и менеджменте. Скалярное поле, линии уровня, производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков. Однородные функции. Функциональные определители. Неявные функции. Обратные функции. Экстремумы функции нескольких переменных; необходимые и достаточные условия экстремума. Метод множителей Лагранжа. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных в экономике и менеджменте. Понятие двойного интеграла. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Вычисление кратного интеграла повторным интегрированием. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле. Площадь поверхности. Определение криволинейного интеграла и его свойства. Элементы теории поля. Формула Грина. Определение поверхностного интеграла и его свойства. Формула Стокса. Формула Остроградского – Гаусса. ЛИТЕРАТУРА* Бугров, Я. С. Высшая математика [Текст] : в 3 т / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, 2006. Т. 1. 2007. Т. 2. 2005. Т. 3. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В. Е. Гмурман. – М. : Высшая школа, 2005. Ильин, В. А. Высшая математика [Электронный ресурс] : учебник для вузов / В. А. Ильин, А. В. Куркина. – М. : Проспект, 2008. Электронная библиотека "Мир книг" (www.mirknig.su). Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] / Н. Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ, 2006. Электронная библиотека "Мир книг" (www.mirknig.su). Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ [Текст] : в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Дрофа, 2004. Т. 1. 2004 Т. 2. 2006. Т. 3. Малыхин, В. И. Высшая математика [Текст] : учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / В. И. Малыхин. – М. : ИНФРА-М, 2009. Математика [Текст] : учеб. пособие / Ю. М. Данилов [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2009. Математика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие / Л. Н. Журбенко [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2009. Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления [Текст] : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2007. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М. : Физматлит, 2007. Т. 1. 2006. Т. 2. 2008. Т. 3. Шипачев, В. С. Основы высшей математики [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. – М. : Высшая школа, 2009. ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЕТЕНЦИЙ Студент, должен обладать следующими компетенциями. 1. Владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15). 2. Пониманием роли и значения информации и информационных технологий в развитии современного общества и экономических знаний (ОК-16). ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР* 1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Сформулировав основные положения дифференциального исчисления, Ньютон и Лейбниц четко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа. Создание дифференциального и интегрального исчисления открыло новую эпоху в развитии математики. Методы математического анализа нашли широкое применение во всех разделах математики, неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. Если одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции, то восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления. 1.1 Первообразная и неопределенный интеграл Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке А, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство . (1) Рассмотрим примеры. Пример 1. Функция является первообразной для функции на всей прямой, ибо при любом значении х: . Пример 2. Для функции первообразной будет функция , но для промежутка (0, ), ибо только на этом промежутке , а на промежутке ( , 0) первообразной для функции будет функция , т.к. . Очевидно, если является первообразной для , то также является первообразной для . Действительно, и . Оказывается, этим и исчерпывается все разнообразие первообразных на данном промежутке. Теорема. Если – первообразная функции , то любая другая первообразная функции имеет вид , где . Доказательство. Пусть – некоторая первообразная для функции . Тогда . Найдем производную разности . = . Итак, . Тогда в силу признака постоянства функции имеем , где , откуда . Из теоремы следует, что любые две первообразные на некотором промежутке для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только постоянным слагаемым. Действие нахождения первообразной для функции называется интегрированием этой функции. Возникает вопрос, какие функции обладают первообразными. Можно доказать, что каждая непрерывная функция или функция, имеющая конечное число точек разрыва первого рода (ограниченная), обладает первообразной. Неопределенным интегралом функции называется семейство (множество) всех первообразных этой функции. Обозначается неопределенный интеграл функции так: . Здесь называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, а знак – знаком неопределенного интеграла. Если – некоторая первообразная функции , то из определения неопределенного интеграла и доказанной выше теоремы следует, что , где С – произвольная постоянная. Отсюда вытекает следующее правило: чтобы убедиться, справедливо ли равенство , где – какая-нибудь функция, нужно найти производную от правой части. Если получится подынтегральная функция, то вышеупомянутое равенство верно, а если нет, то неверно. 1.2 Свойства неопределенных интегралов 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению: , (2) . (3) Доказательство. Действительно, если – первообразная функции , то , а . (4) 2. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен самой этой функции плюс произвольная постоянная: . (5) Действительно, , откуда и следует доказываемое свойство. Замечание. Равенство (4) можно записать так: . Отсюда, в частности, следует, что символы интегрирования и дифференцирования уничтожают друг друга. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. . (6) Действительно, вычисляя производную от правой части равенства, получаем подынтегральную функцию левой части: . 4. Неопределенный интеграл суммы равен сумме неопределенных интегралов (если интегралы слагаемых существуют), т.е. . Действительно, . Замечание. Свойства 3 и 4 можно объединить в одно – свойство линейности неопределенного интеграла: , (7) где и – любые постоянные. 1.3 Таблица простейших интегралов 1. . 2. . 3. . В частности, . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. 12. . 13. . Чтобы доказать справедливость любой из написанных формул, достаточно вычислить производную от правой части равенства и убедиться, что она равна подынтегральной функции. 1.4. Методы интегрирования* 1.4.1 Способ подстановки (замена переменной) Предположим, что на промежутке [а, b] . Допустим, что функция непрерывна вместе со своей первой производной в промежутке и пусть для всех t из . При этих предположениях сложная функция определена при , и по правилу дифференцирования сложной функции . Так как , то , откуда . (8, a) Из (8, a) следует, что где . (8, b) Эту формулу называют методом интегрирования способом подстановки или замены переменной. Пример 1. Решение. Положим Значит, = . Пример 2. . Решение. Положим . Значит, = Интегралы вида , , вычисляются с помощью известных тригонометрических формул = и Пример 3. Непосредственным следствием формулы (8) и табличных формул 1, 2 являются следующие три формулы: , (9) (10) (11) В частности, с помощью формулы (11) имеем и Формулы (10) и (11) применяются для вычисления интегралов вида и Эти интегралы сводятся к табличным, если Mx+ N выразить через производную квадратного трехчлена и выделить в этом трехчлене полный квадрат. Пример 4 1) , 2) . Интегрирование по частям для неопределенного интеграла. Пусть и – две функции аргумента х, имеющие непрерывные производные и . Как известно, Это равенство означает, что произведение uv есть первообразная функции для суммы . Следовательно, , откуда ; значит, . Отсюда, относя постоянную С к одному из интегралов, получим . (12) Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Пример 5. Решение. Положим тогда и . Следовательно, . Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Пример 6. . Докажем справедливость формулы . (13) Имеем = Следовательно, , и формула (13) верна. 1.5. Постановка задачи интегрирования* Как известно, производная от всякой элементарной функции есть функция элементарная. Первообразная же элементарной функции не всегда будет элементарной функцией. Например, можно доказать, что неопределенные интегралы , не являются элементарными функциями. Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны. Неопределенные интегралы, которые не являются элементарными функциями, называются интегралами, не берущимися в конечном виде. Класс функций, интегралы от которых берутся в конечном виде, довольно узок. Мы рассмотрим следующие случаи интегрируемости в конечном виде: 1) интегралы от рациональных функций; 2) интегралы вида , где R – функция, рациональная относительно и . Интегрирование рациональных функций Рациональными функциями называют функции вида где – многочлены. Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим , где – некоторый многочлен, а – многочлен степени, ниже, чем . Интеграл от многочлена является суммой интегралов вида с некоторыми числовыми коэффициентами, а интегрирование рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырех типов: I. II. ; III. IV. ( ), где Метод вычисления интегралов III типа изложен в п. 1.4.1. Интегралы IV типа заменой переменной сводятся к вычислению интегралов для которых имеют место рекуррентные формулы , . (14) Пример 1. Вычислить интеграл . Решение. Разделив «столбиком» многочлен на многочлен , получим Так как , то данный интеграл равен сумме интегралов Для вычисления последнего интеграла найдем константы А и В такие, что (15) Складывая дроби в правой части и приравнивая числители, получаем 2x – 1 = A(x – 3) + B(x – 2). Полагая здесь сначала , а затем , находим и , т.е. . Таким образом, данный интеграл равен сумме интегралов = Равенство (15) с константами является примером разложения рациональной функции на элементарные дроби. В общем случае для разложения рациональной функции на элементарные дроби следует выполнить два шага. Шаг 1. Представить многочлен в виде где – вещественные числа и дискриминанты всех квадратных трехчленов отрицательны: … Шаг 2. Найти вещественные числа А1, А2, … Am, …, M1, N1, M2, N2, …, Mr, Nr, …, такие, что (16) В формуле (16) вещественные корни , ,… многочлена Q(x) попарно различны; число слагаемых в формуле (16), отвечающих корню , совпадает с его кратностью m, а число слагаемых, содержащих в знаменателях степени трехчлена х2 + рх + q, совпадает с показателем степени r. Для реализации шага 1 требуется найти все корни многочлена Q(x); однако часто подынтегральная функция задана в таком виде, что все корни многочлена Q(x) известны. Пример 2. Вычислить интеграл Решение. Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби: Умножая обе части равенства на х(х2 + 1)2, получаем x2 – 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2+ 1)x + + (Dx + E)xили x2– 1 = (A + B)x4+ Cx3 + (2A + B + D)x2+ (C + E)x + A. Приравнивая коэффициенты при разных степенях х, получим систему: решая которую, найдем А = –1,B = 1, C = 0, D = 2, E = 0. Тогда + Пример 3. Вычислить интеграл Решение. Имеем . Полагая , находим По формулам (14) при m = 2 получаем Следовательно, Пример 4. Вычислить интеграл Решение. Целые корни многочлена могут быть только среди делителей числа 3 (для того, чтобы найти один из целых корней, применим схему Горнера). Значение х=1 является корнем этого многочлена. Разделив Q(x) на x– 1, получим Многочлен x2 – 2x + 3 не имеет действительных корней. Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби: Константы A,B, C,D,E,F находятся из тождества Сопоставляя коэффициенты при разных степенях х в обеих частях этого равенства, находим А = 0, В = , С = 0, , Е = 0 и .Таким образом, данный интеграл равен сумме интегралов Учитывая предыдущий пример, находим – Тригонометрические подстановки Рассмотрим интегрирование тригонометрических выражений. Для вычисления интеграла , где применяется универсальная тригонометрическая подстановкаt = tg . Из формул и видно, что указанная подстановка сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла от рациональной функции переменного t. Замечание: если рассматривать рациональную функцию R(sinx, cosx) как функцию двух переменных, то на неё легко распространяется данное выше (стр. 12) определение рациональной функции для одного переменного. Пример 5. Вычислить интеграл Решение. Полагаяt = tg ,имеем Выражая dx черезt, получаем . Так как то = Во многих случаях при вычислении интеграла вместо универсальной подстановки рекомендуется пользоваться другими подстановками. Укажем несколько таких случаев: 1) еслиR(–sin x,cos x) = –R(sin x,cos x), тоt = cos x; 2) если R(sin x, –cos x) = –R(sin x,cos x), то t = sin x; 3) если R(–sin x, –cos x) = R(sin x,cos x), то t = tg x или t = ctg x. Пример 6. Вычислить интеграл Решение. При замене sin x на – sin x подынтегральная функция меняет знак. Применим подстановку t = cos x: Пример 7. Вычислить интеграл . Решение. При замене sinx на –sin x и cos x на –cos x подынтегральная функция не меняется. Применим подстановку t = tgx и формулы В результате получим = . Пример 8. Доказать формулы , , . Решение. Последовательно находим Для вычисления интегралов вида где pи q– целые неотрицательные числа, рекомендуется применять известные тригонометрические формулы Пример 9.Вычислить интеграл Решение. Пользуясь предыдущими формулами, имеем . Следовательно, Пример 10. Вычислить интеграл . Решение. Имеем = Значит, данный интеграл равен сумме интегралов Вычислим каждый из этих интегралов: , Значит, Пример 11. Вычислить интеграл Решение. Применим метод интегрирования по частям и найденное ранее решение для Пример 12. Вычислить интегралы и . Решение для . Пользуясь предыдущим примером, имеем Второй из данных интегралов сводится к первому: Интегрирование рациональной функции,содержащей квадратичную иррациональность Если R(u,) – рациональная функция переменных u и , то для вычисления интегралов , , рекомендуется применять, соответственно, следующие тригонометрические подстановки: х = a sin t, x = atg t, x = . Иногда полезна также подстановка х =1/t. Пример 13. Вычислить интеграл . Решение. Имеем = Замечая, что sin2t = 2sintcost = = окончательно получаем Аналогично, для любого a > 0 с помощью подстановки выводится формула (17) 2 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы Пусть па замкнутом промежутке задана функция . Разобьем этот промежуток произвольно точками на частичных промежутков длины, соответственно, , где (рисунок 1). В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольным образом точку , вычислим и найдем произведение . Сумма называется интегральной суммой функции в промежутке [а, b] или суммой Римана. Обозначим через А наибольшую из длин частичных промежутков . Число называют рангом дробления промежутка [а, b]. Будем неограниченно увеличивать число n частичных промежутков так, чтобы . Если при существует конечный предел I интегральной суммы , н Рис. 1 е зависящий ни от способа разбиения промежутка [а, b] на части, ни от выбора точек в каждом из частичных промежутков, то функция называется интегрируемой на промежутке , а сам предел – определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом , т.е. по определению имеем . (18) Рисунок 1 Можно доказать, что все непрерывные на промежутке функции интегрируемы на этом промежутке. Интегрируемыми будут и ограниченные функции, имеющие на конечное число разрывов. В дальнейшем мы будем рассматривать только интегрируемые функции. 2.2 Основные свойства определенных интегралов Интеграл был введен для случая . Обобщим понятие определенного интеграла на случаи, когда и . Если , то по определению . Кроме того, также по определению полагаем . Отметим следующие свойства определенных интегралов. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. Доказательство. Действительно, по определению имеем 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме их интегралов. Рассмотрим доказательства на примере двух функций и . По определению имеем: Свойства 1 и 2 можно объединить в одно свойство линейности: для функций и , интегрируемых на промежутке и постоянных и , 3. Монотонность определенного интеграла. Если имеет место неравенство для функций , то это же неравенство сохраняется для интегралов . Это значит, что неравенства можно интегрировать. Здесь (в противоположность предыдущим свойствам) существенно, что . Доказательство. При любом дроблении на части с рангом дробления и произвольном выборе точек будем иметь и ; суммируя и переходя к пределу, получим . Откуда следует 4. Оценка модуля интеграла. Справедливо следующее неравенство: , т.е. абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла абсолютной величины подынтегральной функции. 5. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то внутри этого промежутка найдется хотя бы одна такая точка х = с, что . Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, а зависит только от пределов интегрирования: . 6. Свойство аддитивности определенного интеграла. Если функция интегрируема на наибольшем из промежутков , и , то она интегрируема и на двух остальных промежутках, т.е. и имеет место равенство . |