Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
 Скачать 6.36 Mb.
|
|
2.3 Определенный интеграл с переменным верхним пределом Пусть – функция, интегрируемая на . Тогда по свойству 3 (см. п. 2.2) она интегрируема и на , где х – любое из . Значит, для каждого такого х существует интеграл Каждому соответствует по этой формуле определенное число . Значит, эта формула определяет функцию . (Интеграл в правой части называется интегралом с переменным верхним пределом.) Эта функция обладает следующим важным свойством. Теорема Барроу (английский математик. 1630-1677). Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е. . (19) Доказательство. Действительно, придадим х произвольное приращение , такое, чтобы точка . Тогда функция примет новое значение: . Составим приращение функции : . По определению производной . Применяя теорему о среднем, получаем , где ; ввиду непрерывности имеем . Следствием теоремы является условие интегрируемости функции: если функция непрерывна, то она имеет первообразную, равную определенному интегралу с переменным верхним пределом ибо . Таким образом, для непрерывной на промежутке функции всегда существует первообразная на этом промежутке. 2.4 Формула Ньютона – Лейбница Если функция непрерывна на , то справедлива формула , где – какая-нибудь первообразная функции на . Покажем, что это так. По теореме Барроу является одной из первообразных для функции . А так как есть тоже первообразная для функции на , то . Положив в этом тождестве , получим , а т.к. , то . Следовательно, , и, в частности, при получим . (20, а) Эта формула называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона – Лейбница. Замечание. Разность, стоящую в правой части формулы, обычно обозначают символом , и формулу Ньютона – Лейбница, пишут в виде . (20, b) Пример. . 2.5 Методы вычисления определенных интегралов Замена переменной (метод подстановки) Рассмотрим определенный интеграл . Пусть функция непрерывна на , а удовлетворяет следующим условиям: 1) – функция, заданная на промежутке и непрерывная на нем вместе со своей производной ; 2) значения функции не выходят за пределы промежутка при изменении t в промежутке ; 3) , тогда имеет место следующая формула замены переменной: . (21) Доказательство. Пусть функция является первообразной для функции , т.е. . В силу формулы Ньютона – Лейбница имеем . Покажем, что является первообразной для функции . Действительно, , и тогда по формуле Ньютона – Лейбница получаем . (22) Из сравнения (21) и (22) вытекает доказываемая формула. Пример. Вычислить . Решение. Делаем подстановку . Интегрирование по частям Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по частям, аналогичная той, что была получена для неопределенных интегралов. Если функции и непрерывны вместе со своими производными на промежутке , то справедлива формула = = , которую чаще записывают символически в форме , (23) имея в виду, что заменяется его выражением , а – выражением , и называют формулой интегрирования по частям. Доказательство. Имеем , т.е. (для каждого ) , Откуда . Так как является первообразной на для , то по формуле Ньютона – Лейбница . Итак, , откуда и следует доказываемая формула. Пример. Вычислить . Решение. Обозначим . Тогда по формуле (23) получаем . 2.6 Определенный интеграл как площадь Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную осью Ох, прямыми х = а, х = b и кривой y = f(x) (рисунок 2). Такую фигуру будем называть криволинейной трапецией. Основанием ее служит отрезок на оси Ох. Предполагаем, что непрерывна на замкнутом промежутке и на этом промежутке. Поставим себе задачу найти площадь Q криволинейной трапеции. Естественно, чтобы определение площади было правомерно, должны быть выполнены следующие три постулата: 1) площади равных фигур равны; 2) если одна фигура содержится в другой, то площадь первой меньше или равна площади второй; 3) площадь фигуры, состоящей из нескольких частой, равна сумме площадей всех этих частей. Будем исходить из того, что знаем формулу площади прямоугольника: эта площадь равна произведению основания на высоту. Рисунок 2 Разобьем промежуток на частичных промежутков , , .., , ..., с длинами, соответственно, равными . Через точки проведем прямые, параллельные оси Оу. Эти прямые разобьют криволинейную трапецию на n частичных криволинейных трапеций. Обозначим через и , соответственно, наименьшее и наибольшее значения, принимаемые функцией нa промежутке . Так как k – частичная криволинейная трапеция с основанием длины содержится в прямоугольнике высоты с основанием и в то же время сама эта трапеция содержит в себе прямоугольник высоты с тем же основанием , то в силу второго постулата площадь k-й частичной криволинейной трапеции заключена между числами . Площадь Q всей криволинейной трапеции в соответствии с третьим постулатом равна сумме площадей всех n – частичных криволинейных трапеций, а стало быть, удовлетворяет неравенствам . (24) Поскольку непрерывна, числа и суть значения этой функции в некоторых точках соответствующего промежутка , суммы, стоящие слева и справа в (24), являются интегральными суммами для интеграла и поэтому при имеют этот интеграл своим пределом. Из (24) тогда вытекает, что , т.е. Таким образом, определенный интеграл с непрерывной неотрицательной подынтегральной функцией можно рассматривать как площадь некоторой криволинейной трапеции. 2.7 Несобственные интегралы 2.7.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования До сих пор пределы интегрирования мы считали конечными. Но иногда приходится отказываться от этого ограничения и рассматривать интегралы с бесконечными пределами. В некоторых случаях это бывает возможным, если пользоваться следующими определениями. Когда верхний предел бесконечен, то полагаем , (25) а если бесконечен нижний предел, то полагаем . (26) Интегралы (25) и (26) называют несобственными интегралами с бесконечными промежутками интегрирования или несобственными интегралами первого рода. Само собой разумеется, что пределы в (25) и (26) не всегда существуют, или, как говорят, эти несобственные интегралы не всегда сходятся. Простым примером возможных случаев служат функции при различных значениях . Сначала исключим случай . Далее заметим, что при этот интеграл с бесконечным пределом интегрирования сходится, а именно: ; напротив, при интеграл уже не сходится, ибо в этом случае . Если , то интеграл, очевидно, тоже не сходится, так как теперь . Истолкуем этот результат геометрически. Интеграл представляет собой площадь заштрихованной фигуры (рисунок 3), ограниченной слева прямой , снизу осью Ох, сверху линией с уравнением и справа отрезком ВС. По мере того как отрезок ВС будет неограниченно удаляться вправо, интеграл при всегда будет оставаться величиной конечной, стремящейся к проделу . Условимся называть этот результат перехода к пределу величиной площади фигуры, имеющей бесконечное протяжение. При величина этой площади бесконечна. Рисунок 3 Замечание. Наряду с интегралами (25) и (26) рассматривают также интегралы (A и В стремятся к бесконечности независимо). В теории вероятностей в вычислениях часто встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера – Пуассона. Можно доказать, что . 2.7.2 Интегралы от неограниченной функции на промежутке интегрирования Ранее было показано, что класс интегрируемых функций включает в себя непрерывные функции или функции, имеющие точки разрыва первого рода. Очевидно, что эти функции являются ограниченными в . Если функция не является ограниченной (имеет точку разрыва второго рода), задача интегрирования должна быть сформулирована иначе. Составим интеграл . Если существует предел этого выражения при , то этот предел называется несобственным интегралом второго рода . (27) Если существует и конечен, то этот несобственный интеграл называется сходящимся. Если не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Пример. Вычислить интеграл . Решение. = . Выделяют четыре разновидности несобственных интегралов 2-го рода: 1) когдаf(x) неограничена в правосторонней окрестности точки х = а, ; 2) когда f(x) неограничена в левосторонней окрестности точки x = b, . Если существуют записанные выше пределы, то несобственные интегралы сходятся; 3) когда f(x) неограниченна в любой двусторонней окрестности , ; 4) когда f(x) неограниченна в x = aи вx = b, . Оба предела в 3), 4) должны существовать, если же хотя бы один из пределов не существует, то интеграл по отрезку [а; b] расходится. 2.8 Основные свойства несобственных интегралов Для несобственных интегралов сохраняются основные свойства определенных интегралов. Например, как уже говорилось, , имеет место аддитивность по интервалу интегрирования; интеграл от четной функции на интервале (-,+) можно свести к вычислению интеграла на интервале (0,+), а интеграл от нечетной функции на (-,+) равен нулю. Так, – нечетная, а – четная функции. Поэтому , . В несобственном интеграле можно делать замену переменных. Например, пусть нужно вычислить . Сделаем замену переменных: , , если х = 1, то t = 0, если x +, то t +. Тогда . Отметим важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от обычных определённых интегралов. Известно, что для определённого интеграла справедливо утверждение: если существует интеграл , то существует и интеграл . В случае несобственных интегралов справедливо иное утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . Примем это утверждение без доказательства. Если несобственный интеграл сходится, то говорят, что интеграл сходится абсолютно. (Аналогично абсолютная сходимость определяется для несобственных интегралов второго рода.) Заметим, что сходимость несобственного интеграла не влечёт сходимость несобственного интеграла . В этом случае сходимость называется условной. Часто для исследования сходимости несобственных интегралов сравнивают их подынтегральные функции. Приведём без доказательства следующие теоремы: Теорема 1.Если – неотрицательные функции и для , то: 1) из сходимости следует сходимость ; наоборот 2) из расходимости следует расходимость . Теорема 2.Если – неотрицательные функции и существует конечный предел , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно. 2.9 Приложения определенного интеграла 2.9.1 Длина дуги кривой в прямоугольных координатах Пусть дуга АВ (рисунок 4) задана уравнением , где – функция, имеющая на отрезке непрерывную производную. Длиной дуги АВназывается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Рисунок 4 Найдем длину l дуги АВ. Впишем в дугу АВ ломаную линию . Пусть абсциссы точек , соответственно, (ординаты этих точек обозначим, соответственно, через ). Имеем разбиение отрезка на частичные отрезки , . Длина отрезка равна . Пусть . Через обозначим приращение функции на отрезке . По теореме Пифагора . Но в силу формулы Лагранжа , где – некоторая промежуточная точка отрезка . Отсюда , и, следовательно, длина ломаной линии . Переходя здесь к пределу при , получаем . (28, а) Или (l – длина дуги кривой AB). Отсюда длина дуги , где – переменная точка дуги , . Поэтому , откуда получаемформулу дифференциала дуги , (28, b) или . (29) 2.9.2 Длина дуги кривой, заданной параметрически Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , (30) причем функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные и в , то путем замены переменных и в (29) получимформулу для длины дуги . (31) Формула для дифференциала дуги будет . Если же кривая АВ задана в полярных координатах уравнением , то, учитывая связь между прямоугольными и полярными координатами, параметрические уравнения этой кривой будут: . Поэтому и согласно (31) . (32) Формула дифференциала дуги в этом случае будет . Пример 1. Найти длину дуги данной линии (рисунок 5): . Рисунок 5 Имеем и по формуле (28) находим = . Пример 2. Вычислить длину окружности радиуса R. Запишем уравнение окружности в полярных координатах: при . По формуле (31) получим . Примечание. Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями, где функции x(t), y(t) и z(t) имеют непрерывные производные, то ее длина (длина дуги для пространственной кривой определяется так же, как и для плоской) вычисляется по формуле . Пример 3. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями . Решение. Находим и : , . Вычисляем дифференциал длины дуги . Применяя формулу для длины дуги, получаем . Ответ: ед. длины. 2.9.3 Площадь поверхности вращения Площадью поверхности, образованной вращением плоской дуги вокруг оси, лежащей в плоскости дуги, называется предел площади поверхности, образованной вращением вокруг той же оси вписанной в эту дугу ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Отметим без доказательства, что площадь S поверхности вращения дуги АВ, заданной уравнением , вокруг оси Ох выражается формулой . (33) Если данная кривая АВ задана параметрическими уравнениями или уравнением в полярных координатах, то, соответственно, получим , (34) и . (35) Пример. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси Ох дуги окружности , соответствующей изменению х от а до b , . Здесь и по формуле (33) . В частности, при получаем площадь сферы . 2.9.4 Объем тел Вычисление объема по поперечным сечениям Рассмотрим тело В, содержащееся между плоскостями и (рисунок 6). Пусть для каждого х из сегмента дана площадь сечения этого тела Q(x), перпендикулярного к оси Ох. Найдем объем данного тела при условии непрерывности Q(x) в . Разделим сегмент на частей и через точки деления проведем плоскости, Рисунок 6 перпендикулярные к оси Ох. Эти плоскости разобьют тело В на слои. Выделим k-й слой, ограниченный плоскостями и . Объем этого слоя приближенно равен . Образуем сумму . Объем V тела В определим как . Этот предел существует в силу непрерывности Q(x) на и равен . Итак, . (36) Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , Решение. Находим – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси и пересекающей ее в точке с аппликатой . Сечение заданного тела плоскостью определяется неравенством т.е. при является эллипсом с полуосями . Площадь этого эллипса равна . Таким образом, при . Подставляя найденное значение в формулу (36), находим . Ответ: (ед. длины) . Вычисление объемов тел вращения Вычислим объем тела, образованного вращением области D, ограниченной графиками функций и и, возможно, прямыми и вокруг оси . Объем тела, образованного вращением области, ограниченной графиками функций и и , , где , т.е. , вычисляем по формуле . (37) Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченной графиками функций и , вокруг оси . Решение. Определяем область . Находим и как абсциссы точек пересечения графиков заданных функций, т.е. решаем уравнение . Получаем , . Далее определяем, какая из функций больше другой на отрезке и исследуем знак разности на . На имеем . Следовательно, и . Вычисляем объем по формуле (37): . Ответ: Объем равен (ед. длины) . В случае если тело образовано поверхностью вращения линии вокруг оси в пределах изменения х от а до b, то и , или, более кратко, . (38) Пример. Найти объем тела, образовавшееся вращением плоской фигуры, ограниченной линиями и , вокруг оси . Это тело называется сегментом параболоида (рисунок 7). Согласно формуле (38) имеем . Рисунок 7 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ До сих пор мы рассматривали функции одного аргумента. Однако даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда выражается формулой , где – размеры (длина, ширина, высота) параллелепипеда. Закон Ома устанавливает, что сила постоянного тока в проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов между двумя фиксированными точками этого проводника и обратно пропорциональна сопротивлению данного участка проводника, т.е. . Данный раздел посвящен исследованию функций нескольких переменных, играющих важную роль, как в самой математике, так и в ее приложениях. |