|
|
Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
4.3.4 Соленоидальные и потенциальные векторные поля
Важными классами векторных полей являются соленоидальные и потенциальные поля. Можно показать, что при достаточно общих предположениях любое векторное поле раскладывается в сумму потенциального и соленоидального векторных полей.
Непрерывное в области G векторное поле называется соленоидальным в этой области, если для любой ограниченной области с кусочно-гладкой границей его поток через эту границу равен нулю.
Теорема 6. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в некоторой области векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области его дивергенция равнялась нулю: .
Примером соленоидального в некоторой области G поля является поле вихря , заданного на G, дважды непрерывно дифференцируемого векторного поля (последнее означает, что вектор-функция имеет в G непрерывные частные производные второго порядка). В силу теоремы 6 достаточно проверить, что в G. Действительно, если , то и
(из непрерывности смешанных производных следует, что они не зависят от порядка дифференцирования).
Если в области G задано векторное поле и существует скалярное в G поле u, для которого векторное поле является полем градиентов: , то функция u называется потенциаломвекторного поля. Векторное поле, для которого существует потенциал, называется потенциальным полем. Таким образом, в случае потенциального векторного поля его компоненты являются производными некоторой функции u:
,
а дифференциальная форма является полным дифференциалом:
.
Очевидно, потенциал определен неоднозначно, с точностью до постоянного слагаемого.
Предположим теперь, что заданное в области G потенциальное векторное поле непрерывно в G, u – его потенциал и – гладкая кривая, лежащая в области G, началом которой является точка A, а концом – точка B:
.
Рассмотрим криволинейный интеграл
.
Подставляя и применяя формулу дифференцирования сложной функции, будем иметь
(70, а)
Таким образом, для потенциального поля криволинейный интеграл не зависит от выбора гладкой кривой, соединяющей в области G точки A и B, и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках. Это утверждение очевидным образом распространяется и на кусочно-гладкие кривые. В частности, для лежащего в G замкнутого кусочно-гладкого контура Г криволинейный интеграл равен нулю (точки A и B совпадают). Несложно показать и обратное: из равенства нулю циркуляции по любому замкнутому контуру следует, что поле потенциально.
Таким образом, имеет место следующий критерий потенциальности векторного поля.
Теорема 7. Для того чтобы непрерывное векторное поле было потенциальным в области, необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равнялась нулю.
Необходимое и достаточное условие в теореме, однако, трудно проверяемо. Для широкого класса областей существует более удобный критерий потенциальности.
Область называется односвязной, если любой лежащий в G кусочно-гладкий замкнутый контур можно непрерывной деформацией в G стянуть в точку. Примером односвязной области является всякая выпуклая область, примером неодносвязной области служит тор.
Теорема 8. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы его вихрь в этой области равнялся нулю.
Заметим, что условие в G является необходимым в случае произвольной области G, без предположения односвязности. Действительно,
.
Таким образом, потенциальные поля являются безвихревыми. В случае же односвязной области верно и обратное: безвихревое поле будет потенциальным.
Формула
, (70, б)
справедливая для потенциального поля , оказывается полезной как для вычисления криволинейных интегралов, если известен потенциал, так и для нахождения потенциала. Зафиксировав любую точку , можно считать потенциал в этой точке равным нулю: . Тогда для точки будем иметь
,
причем согласно сделанному замечанию путь интегрирования можно выбирать произвольным.
Пример. Проверить, является ли поле потенциальным в четверть-пространстве x > 0, z > 0, и найти его потенциал.
Решение. Согласно теореме 8 достаточно проверить условие . Имеем:
, ; ; .
Таким образом, поле потенциально. Для нахождения потенциала рассмотрим интеграл
вдоль ломаной , соединяющей точки A(0,1,1) и B(x, y, z) (рисунок 26; звенья ломаной параллельны координатным осям). Очевидно,
.
При этом , , .
Рисунок 26
Итак, .
ТРЕНИНГ И ЗАДАНИЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОМПЕТЕНЦИЙ
I ТРЕНИНГ КОМПЕТЕЦИЙ
1 Алгоритм формирования компетенций
Компетенция
|
Этап формирования*. Алгоритм расчета
|
Владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15)
|
А. Интегрирование функций одной переменной.
1. Непосредственное интегрирование.
1.1. Выбрать новую переменную.
1.2. Сделать замену переменной и свести данный интеграл к табличному.
1.3. Взять интеграл и вернуться к прежней переменной.
2. Интегрирование подведением под знак дифференциала .
2.1. Пусть имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной, т.е. .
2.2. Тогда = = .
2.3. Применить таблицу интегралов и вернуться к прежней переменной.
3. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям.
3.1. Выделить в подынтегральной функции и .
3.2. Вычислить и .
3.3. Применить формулу интегрирования по частям.
3.4. При удачном выборе последний интеграл – табличный либо легко к нему сводится, например, повторным интегрированием по частям.
3.5. Вычислить исходный интеграл
|
B. Найти область определения и линии уровня функции двух переменных .
1. Найти область определения функции .
1.1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция.
1.2. Найти область определения выделенных функций.
1.3. Найти область определения данной функции.
1.4. Записать ответ.
2. Найти линии уровня функции .
2.1. Определить область, в которой следует искать выражение для уровня функции.
2.2. Записать уравнение для уровня функции.
2.3. Записать ответ
|
C. Вычислить частные производные второго порядка функции нескольких переменных .
1. Чтобы найти частную производную по переменной , фиксируем остальные переменные и дифференцируем как функцию одной переменной .
2. Частные производные высших порядков вычисляются аналогично последовательным дифференцированием: , .
|
____________________
*Этапы формирования компетенций для студентов, изучивших юниту 2 по дисциплине 4194 «Математика (курс 13)».
Компетенция
|
Этап формирования. Алгоритм расчета
|
|
3. Найти смешанную производную функции
|
D. Уметь находить в заданной точке градиент и производную по направлению функции .
1. Найти в заданной точке градиент функции .
1.1. Найти частные производные данной функции .
1.2. Вычислить значения частных производных в точке М(2,3).
1.3. Вычислить градиент функции в точке :
.
2. Найти производную функции в точке M по направлению к точке .
2.1. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует ее производная по любому направлению , определяемой формулой , где и .
2.2. Найти частные производные данной функции в точке M.
2.3. Найти 2.3. Найти координаты вектора : .
2.4. Найти единичный вектор (орт) .
2.5. Вычислить скалярное произведение .
2.6. Записать ответ
|
E. Уметь находить экстремальные значения функции двух переменных.
1. Найти экстремум функции двух переменных в области определения данной функции.
1.1. Найти область определения.
1.2. Найти частные производные данной функции и .
1.3. Найти точки, в которых и равны нулю или
не существуют, т.е. критические точки (необходимое условие наличия экстремума).
1.4. Найти частные производные второго порядка.
1.5. Вычислить значения частных производных второго порядка в критических точках.
1.6. Использовать достаточное условие наличия экстремума. Составить и вычислить его значения в критических точках Mk (k = 0,1,2,3,…).
1.7. Сделать вывод о наличии экстремума: – экстремум есть; – нет экстремума; – неопределенный случай, требующий дополнительного исследования.
|
Компетенция
|
Этап формирования. Алгоритм расчета
|
|
1.8. По знаку второй производной в точке M0 установить характер экстремума: а) – точка минимума; б) – точка максимума.
1.9. Вычислить экстремальное значение функции.
2. Вычислить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.
2.1. Сделать чертеж области D.
2.2. Вычислить частные производные данной функции.
2.3. Найти стационарные точки, для этого частные производные приравнять нулю. Решить полученную систему уравнений и найти стационарные точки.
2.4. Найти значения функции в вершинах заданного прямоугольника.
2.5. Найти экстремумы функции на сторонах заданного прямоугольника: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2.6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области
|
F. Вычислить двойной интеграл в декартовых координатах.
1. Нарисовать область интегрирования.
2. Представить двойной интеграл в виде повторного, определив порядок интегрирования и расставив пределы интегрирования.
3. Проинтегрировать по y.
4. Проинтегрировать по x.
5. Вычислить повторный интеграл
|
2 Формирование компетенций
ОК-15. Владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
Этап формирования ОК-15. А. Интегрирование функций одной переменной
Решение типовой задачи
Условие задачи
Взять интеграл .
Решение задачи
№
п/п
|
Алгоритм расчета
|
Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
|
1
|
Непосредственное интегрирование
|
1.1
|
Выбрать новую переменную
|
;
|
1.2
|
Сделать замену переменной и свести данный интеграл к табличному
|
|
1.3
|
Взять интеграл и вернуться к прежней переменной
|
|
Условие задачи
Взять интеграл .
Решение задачи
№
п/п
|
Алгоритм расчета
|
Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
|
2
|
Интегрирование подведением под знак дифференциала
|
2.1
|
Пусть имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной, т.е.
|
;
|
2.2
|
Тогда = =
=
|
|
2.3
|
Применить таблицу интегралов и вернуться к прежней переменной
|
|
Условие задачи
Взять интеграл .
Решение задачи
№
п/п
|
Алгоритм расчета
|
Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
|
3
|
Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям
|
3.1
|
Выделить в подынтегральной функции и
|
,
|
3.2
|
Вычислить и
|
Тогда, а
|
3.3
|
Применить формулу интегрирования по частям
|
. Так как далее будет вычисляться определённый интеграл постоянную С опускаем
|
3.4
|
При удачном выборе последний интеграл – табличный, либо к нему сводится, например, повторным интегрированием по частям
|
|
3.5
|
Вычислить исходный интеграл
|
|
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1
Взять интеграл .
Задача 2
Взять интеграл .
Задача 3
Взять интеграл .
Задача 4
Взять интеграл .
Задача 5
Взять определённый интеграл .
Задача 6
Взять определённый интеграл .
Этап формирования ОК-15. B. Найти область определения и линии уровня функции двух переменных f(x, y)
Решение типовой задачи
Условия задачи
Найти область определения функции .
Решение задачи
№
п/п
|
Алгоритм расчета
|
Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
|
1
|
Найти область определения функции
|
1.1
|
Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция
|
;
|
1.2
|
Найти область определения выделенных функций
|
;
|
1.3
|
Найти область определения данной функции
|
|
1.4
|
Записать ответ
|
|
Условие задачи
Найти линии уровня функции .
Решение
№
п/п
|
Алгоритм расчета
|
Конкретное соответствие условий задачи рассматриваемому шагу алгоритма
|
2
|
Найти линии уровня функции
|
2.1
|
Определить область, в которой следует искать выражение для уровня функции
|
Плоскость
|
№
п/п
|
Абгоритм расчета
|
Конкретное соответствие условий задачи рассматриваемому шагу алгоритма
|
2.2
|
Записать уравнение для уровня функции
|
;
|
2.3
|
Записать ответ
|
Это уравнения прямых параллельных биссектрисе третьего и четвёртого координатных углов плоскости
|
|
|
|
Скачать 6.36 Mb.